1、已知集合 Ax|x2x60，Bx|x10，则 AB（ ） A （，3 B （，2 C （，1） D2，1） 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）2i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数是（ ） A1i B1+i C1i D1+i 3 （5 分）设 xR，则“2x4”是“lg（|x|1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知函数则函数 yf（1x）的图象大致是（ ） A B C D 5 （5 分）若抛物线 y22px（p0）的焦点到准线的距离为 2，过焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且|AB|8，则弦 AB
2、 的中点到 y 轴的距离为（ ） A2 B3 C4 D6 6 （5 分）已知函数，则（ ） A0 B C1 D2 7 （5 分）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857，因为 1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律：142+857 第 2 页（共 29 页） 999，571+428999，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成 一个三位数 x， 则 999x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为（ ） A B C D 8 （5 分）若 F 为双曲线的左焦点，过原点的直线
3、 l 与双曲线 C 的左右两支 分别交于 A，B 两点，则的取值范围是（ ） A B C D 二、多项选择题本题：共二、多项选择题本题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）习总书记讲到： “广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普 通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的收入与支出 数据的折线图如下：
4、 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 10 （5 分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 y Asint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型 第 3 页（共 29 页） 是函数，则下列结论正确的是（ ） A2 是 f（x）的一个周期 Bf（x）在0，2上有 3
5、 个零点 Cf（x）的最大值为 Df（x）在上是增函数 11 （5 分）给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算：规定：为 同时与，垂直的向量；，三个向量构成右手系（如图 1） ； 如图 2，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB AD2，AA14，则下列结论正确的是（ ） A B C D长方体 ABCDA1B1C1D1的体积 12 （5 分）若实数 a，b 满足 2a+3a3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（ ） 第 4 页（共 29 页） A0ab1 Bba0 C1ab Dab 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.
6、13 （5 分） （2xy）5的展开式中，含 x3y2项的系数为 （用数字作答） 14 （5 分）已知，则 tan2 15（5 分） 平行四边形 ABCD 中， M 为 CD 的中点， 点 N 满足， 若， 则 + 的值为 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AD2，Q 为 BC 的中点，点 M，N 分别在线 段 AB，CD 上运动（其中 M 不与 A，B 重合，N 不与 C，D 重合） ，且 MNAD，沿 MN 将DMN 折起，得到三棱锥 DMNQ，则三棱锥 DMNQ 体积的最大值为 ；当 三棱锥 DMNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6
7、小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在b2+aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB，这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，_，A，b，求ABC 的面积 18 （12 分）如图，五面体 ABCDEF 中，正方形 ABCD 的边长为，AB2EF，EF平 面 ABCD，点 P 在线段 DE 上，且 DP2PE，Q 为 BC 的中点 （1）求证：BE平面 APQ； （2）已知 AE平面 ABCD，且 AE2，求二面角
8、 PAFE 的余弦值 19 （12 分）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想： 第 5 页（共 29 页） （nN）是质数.1732 年，瑞士数学家欧拉算出 F56416700417，该数不是 质数已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Snlog2（Fn1）1（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2） 若 bn （n+1） log2an+1， 设为数列的前 n 项和， 求出 Tn， 并证明： 对任意 nN+， 1Tn2 20（12 分） 截止到 2018 年末， 我国公路总里程达到 484.65 万公里， 其中高速公路达到 14.26 万公里，规模居
9、世界第一与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图 是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故 的一个主要因素研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表 是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v 表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表 示反应距离和制动距离，单位：m） 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 d1 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研
10、究，求其中恰好有 1 起属 于超速驾驶的概率（用频率代替概率） ； （2）已知 d2与 v 的平方成正比，且当行车速度为 100km/h 时，制动距离为 65m （i）由表中数据可知，d1与 v 之间具有线性相关关系，请建立 d1与 v 之间的回归方程， 并估计车速为 110km/h 时的停车距离； （ii）我国道路交通安全法规定：车速超过 100km/h 时，应该与同车道前车保持 100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性 参考数据：， 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线的斜 率和截距的最小二乘估计分别为：， 第 6 页（共 29
11、 页） 21 （12 分）已知 F1，F2分别为椭圆（ab0）的左、右焦点，P 为 C 上 的动点，其中 P 到 F1的最短距离为 1，且当PF1F2的面积最大时，PF1F2恰好为等 边三角形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ，记椭圆 C 的外切圆为 E （i）求圆 E 的方程； （ii）在平面内是否存在定点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 E 相切，若存在求出定点 Q 的 坐标；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数的极大值为，其中 e2.71828为自然对数的底 数 （1）求实数 k 的值； （2）若函数，对任意 x（0，+） ，g
12、（x）af（x）恒成立 （i）求实数 a 的取值范围； （ii）证明：x2f（x）asinx+x21 第 7 页（共 29 页） 2019-2020 学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小小题，每小题题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|x10，则 AB（ ） A （，3 B （，2 C （，1） D2，1）
13、【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x2x60x|2x3， Bx|x10x|x1， ABx|x3（，3 故选：A 【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）2i（其中 i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数是（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+i）2i， z， 则 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是 基础题 3 （5 分）设 xR，则“2x
14、4”是“lg（|x|1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “2x4”“lg（|x|1）0” ， “lg（|x|1）0”“x2 或 x2”“2x 4 或” ，由此能求出结果 【解答】解：设 xR，则“2x4”“lg（|x|1）0” ， 第 8 页（共 29 页） “lg（|x|1）0”“x2 或 x2”“2x4 或” ， “2x4”是“lg（|x|1）0”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分）已知函数则函数 yf（1x）的
15、图象大致是（ ） A B C D 【分析】利用导数分析出 f（x）的单调性，进而得到 f（x）图象示意图，再根据 f（1x） 图象与 f（x）图象的关系即可进行判断 【解答】解：当 x0 时，f（x）xlnx，则令 f（x）lnx+10，解得 x，所以当 0x时，f（x）单调递减，x时，f（x）单调递增， 当 x0 时，f（x），则令 f（x）e x10，所以当 x0 时，f（x）单调递增， 作出函数 f（x）的图象如图： 又因为 f（1x）的图象时将 f（x）图象先关于 y 轴对称，再向左移动一个单位得到的， 第 9 页（共 29 页） 故根据 f（x）图象可值 f（1x）图象为 故选：B
16、【点评】本题考查函数图象的变换，涉及导数判断函数单调性，数形结合思想，属于中 档题 5 （5 分）若抛物线 y22px（p0）的焦点到准线的距离为 2，过焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且|AB|8，则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】先设出 A，B 的坐标，根据抛物线的定义求得 x1+x2+p8，进而根据 AB 中点到 y 轴的距离求得 p，则抛物线方程可得 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点到准线的距离为 2，可得 p2，抛物线方程 为：y24x， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，根据抛物线定义，x1+x2+p8， 所以
17、x1+x26， AB 的中点的横坐标为：3，中点到 y 轴的距离为 3， 故选：B 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程解题的关键是利用了抛物线的定义 6 （5 分）已知函数，则（ ） A0 B C1 D2 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（x）+f（x）1，进而分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数，则 f（x）lg（x） +lg（x）+， 则 f（x）+f（x）1， 则有f（ln5）+f（ln5）1； 故选：C 第 10 页（共 29 页） 【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题 7 （5 分）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 1428
18、57，因为 1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律：142+857 999，571+428999，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成 一个三位数 x， 则 999x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为（ ） A B C D 【分析】先计算 6 个数字中任意取 3 个数字构成一个三位 x 共种，又因为相加等 9 的 数字 3 组，则求出共种情况，求出概率即可 【解答】解：根据题意，从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个 三位数 x，共有65412
19、0 种 又因为从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中：1+89，2+79，4+59，共 3 组 所以要使 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数 x，999x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个， 所以共有64248 种， 故 故选：C 【点评】本题考查概率问题，属于基础题，理解题目意思是解题的关键 8 （5 分）若 F 为双曲线的左焦点，过原点的直线 l 与双曲线 C 的左右两支 分别交于 A，B 两点，则的取值范围是（ ） A B C D 【分析】求得双曲线的 a，b，c，设|AF|m，|FB|n，F为双曲线的右焦点，连接 BF，
20、 AF，由对称性可得四边形 AFBF为平行四边形，运用平行四边形的性质和函数的导数， 判断单调性，可得极值、最值，进而得到所求范围 【解答】解：双曲线的 a2，b，c3， 设|AF|m，|FB|n，F为双曲线的右焦点，连接 BF，AF，由对称性可得四边形 AFBF 第 11 页（共 29 页） 为平行四边形， 可得|BF|AF|m，可得 nm2a4，nm+4， 且 mca1， 则，设 f（m），m1， f（m）+， 当 m4 时，f（m）0，f（m）递增，1m4 时，f（m）0，f（m）递减， 可得 f（m）在 m4 处取得极小值，且为最小值， 当 m1 时，f（1），当 m+时，f（m）0，
21、 则 f（m）， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质和函数的导数的 运用，考查化简运算能力，属于中档题 二、多项选择题本题：共二、多项选择题本题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）习总书记讲到： “广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普 通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019
22、 年 12 个月的收入与支出 数据的折线图如下： 第 12 页（共 29 页） 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 【分析】由企业 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图直接求解 【解答】解：由企业 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图，得： 在 A 中，该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利
23、润约为： x1（30+40+35+30+50+60）（20+25+10+20+22+30）118， 该企业 2019 年 7 月至 12 月的总利润约为： （80+75+75+80+90+80）（28+22+30+40+45+50）265， 该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润，故 A 正确； 在 B 中，该企业 2019 年第一季度的利润约约是： （30+40+35）（20+25+10）50 万元，故 B 错误； 在 C 中，该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润分别为（单位：万元） ：10，28，30，52， 该企业 2019
24、 年 4 月至 7 月的月利润持续增长，故 C 正确； 在 D 中，该企业 2019 年 7 月和 8 月的月利润比 11 月份的月利润大，故 D 错误 故选：AC 【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 10 （5 分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 y 第 13 页（共 29 页） Asint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型 是函数，则下列结论正确的是（ ） A2 是 f（x）的一个周期 Bf（x）在0，2上有 3 个零点 Cf（x）的最大值为 Df（x）在上是增函数 【
25、分析】求出函数 ysinx 与 y的周期，取最小公倍数求原函数的周期判断 A； 求出函数的零点个数判断 B；利用导数求最值判断 C；举例说明 D 错误 【解答】解：ysinx 的周期为 2，y的周期为 ， 的周期为 2，故 A 正确； 由0，得 sinx+sinxcosx0，得 sinx0 或 cosx1， x0，2，x0，x，x2，则 f（x）在0，2上有 3 个零点，故 B 正确； 函数的最大值在0，上取得， 由 f（x）cosx+cos2x2cos2x+cosx10，可得 cosx，当 x（0，）时，cosx 单调递减，原函数单调递增， 当 x（，）时，cosx 单调递减，原函数单调递减
26、，则当 x时，原函数求得最 大值为 sin+，故 C 正确； f（）sin+1，f（）sin1，f（x） 在上不是增函数，故 D 错误 故选：ABC 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，训练了利用导 数求最值，属难题 11 （5 分）给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算：规定：为 同时与，垂直的向量；，三个向量构成右手系（如图 1） ； 如图 2，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB 第 14 页（共 29 页） AD2，AA14，则下列结论正确的是（ ） A B C D长方体 ABCDA1B1C1D1的体积 【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案 【
27、解答】解：，且分别与 垂直，故 A 正确； 由题意，故 B 错误； ， ， 且 与共线同向， ，与共线同向， 与共线同向， |，且与共线同向，故 C 正确； 第 15 页（共 29 页） 22416，故 D 成立 故选：ACD 【点评】本题是新定义题，考查命题的真假判断与应用，考查计算能力，是中档题 12 （5 分）若实数 a，b 满足 2a+3a3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（ ） A0ab1 Bba0 C1ab Dab 【分析】构造 f（x）2x+3x，g（x）3x+2x，易知 f（x） ，g（x）是递增函数，结合函 数的图象，得出结论 【解答】解：由 2a+3a3b+2b， 设
28、f（x）2x+3x，g（x）3x+2x，易知 f（x） ，g（x）是递增函数， 画出 f（x） ，g（x）的图象如下：绿色，蓝色的分别是 f（x） ，g（x）的图象， 根据图象可知：当 x0，1 时，f（x）g（x） ， 0ab1，f（a）f（b）可能成立；故 A 正确； 当 ba0 时，因为 f（x）g（x） ，所以 f（a）f（b）可能成立，B 正确； 当 ab 时，显然成立， 当 1ab 时，因为 f（a）g（b） ，所以不可能成立， 故选：ABD 【点评】本题考查了对数运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于 第 16 页（共 29 页） 基础题 三、填空题：本题共三、填
29、空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） （2xy）5的展开式中，含 x3y2项的系数为 80 （用数字作答） 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 r2，可得含 x3y2的项的系数 【解答】解：二项式（2xy）5的展开式的通项为 Tr+125 r（1）rC 5rx5 ryr， 令 r2，可得含 x3y2的项的系数是 23C5280 故答案为：80 【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 14 （5 分）已知，则 tan2 4 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果 【解答】解：由于，
30、所以：， 整理得：， 所以：tan， 则：4， 故答案为：4 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考 察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 15（5 分） 平行四边形 ABCD 中， M 为 CD 的中点， 点 N 满足， 若， 则 + 的值为 【分析】所以+（） ，整理后结合向量基本 定理即可求解 【解答】解：平行四边形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，点 N 满足， 所以+（） ， +（）， 第 17 页（共 29 页） 则根据平面向量基本定理可得， 解可得，1， 则 +， 故答案为： 【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的简
31、单应用，属于基础试 题 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AD2，Q 为 BC 的中点，点 M，N 分别在线 段 AB，CD 上运动（其中 M 不与 A，B 重合，N 不与 C，D 重合） ，且 MNAD，沿 MN 将DMN 折起，得到三棱锥 DMNQ，则三棱锥 DMNQ 体积的最大值为 1 ；当三 棱锥 DMNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为 【分析】沿 MN 将DMN 折起，当 DN平面 MNQ 时，三棱锥 DMNQ 的体积最大， 此时 VDMNQ，在利用二次函 数的性质即可求出 VDMNQ的最大值，当三棱锥 DMNQ 体积最大时，三棱锥 DMNQ 是正三棱柱的一部分，则三棱
32、柱 MNQEDF 的外接球即是三棱锥 DMNQ 的外接球， 求出三棱柱 MNQEDF 的外接球的半径 R，从而求出三棱锥 DMNQ 的外接球的表面 积 【解答】解：设 MBt，则 AMDN2t， 沿 MN 将DMN 折起，当 DN平面 MNQ 时，三棱锥 DMNQ 的体积最大， 第 18 页（共 29 页） 此时 VDMNQ， 当 t时，VDMNQ取最大值，最大值为 1， 此时 MB，DN，MQNQ2，MNQ 为等边三角形， 当三棱锥 DMNQ 体积最大时，三棱锥 DMNQ 是正三棱柱的一部分，如图所示： 则三棱柱 MNQEDF 的外接球即是三棱锥 DMNQ 的外接球， 设点 G，H 分别是上
33、下地面正三角形的中心， 线段 GH 的中点即是三棱柱 MNQEDF 的外接球的球心 O，OH 又，MNQ 是边长为 2 的等边三角形，HQ， 三棱柱 MNQEDF 的外接球的半径 ROQ， 三棱锥 DMNQ 的外接球的表面积为 4R2， 故答案为：1； 【点评】本题主要考查了三棱锥的体积以及三棱锥的外接球，是中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在b2+aca2+c2，acosBbsinA，sinB+cosB，这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，并
34、解决该问题已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，_，A，b，求ABC 的面积 【分析】取，由余弦定理可得 cosB进而解得 B，C 的大小也 可得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取acosBbsinA， 由正弦定理可得： tanB1， B （0， ） ， 解得 B， 可得 sinCsin （A+B） ， 第 19 页（共 29 页） 由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出； 取，可得，由此可求出 B 的大小，C 的大小也可 得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 【解答】解： （1）若选择， 由余弦
35、定理，（4 分） 因为 B（0，） ，所以；（5 分） 由正弦定理，得，（7 分） 因为，所以，（8 分） 所以 （10 分） 所以（12 分） （2）若选择acosBbsinA，则 sinAcosBsinBsinA，（3 分） 因为 sinA0，所以 sinBcosB，（4 分） 因为 B（0，） ，所以；（5 分） 由正弦定理，得，（7 分） 因为，所以，（8 分） 所以， （10 分） 所以（12 分） （3）若选择， 则，所以，（3 分） 因为 B（0，） ，所以， 第 20 页（共 29 页） 所以，所以；（5 分） 由正弦定理，得，（7 分） 因为，所以，（8 分） 所以 ， （1
36、0 分） 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18 （12 分）如图，五面体 ABCDEF 中，正方形 ABCD 的边长为，AB2EF，EF平 面 ABCD，点 P 在线段 DE 上，且 DP2PE，Q 为 BC 的中点 （1）求证：BE平面 APQ； （2）已知 AE平面 ABCD，且 AE2，求二面角 PAFE 的余弦值 【分析】 （1）连结 BD，交 AQ 于点 M，连结 PM，推导出 PMBE，由此能证明 BE平 面 APQ （2）以 A 为坐标原点，分别以为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出二
37、面角 PAFE 的余弦值 【解答】解： （1）连结 BD，交 AQ 于点 M，连结 PM， BMQDMA，BQ，BM， EP，PMBE， PM平面 APQ，BE平面 APQ， 第 21 页（共 29 页） BE平面 APQ （2）解：以 A 为坐标原点，分别以为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系， 则 A（0，0，0） ，C（，0） ，D（0，2，0） ，E（0，0，2） ，F（，0，2） ， 设 P（x，y，z） ，DP2PE，则（x，y2，z）（0，2，2） ， 则 P（0，） ，（0，） ， 设平面 AFP 的法向量为 （x，y，z） ， （，0，2） ， ，取 x，则 （）
38、 ， 平面 AEF 的法向量 （0，1，0） ， 设二面角 PAFE 的平面角为 ， 则 cos 二面角 PAFE 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想： （nN）是质数.1732 年，瑞士数学家欧拉算出 F56416700417，该数不是 质数已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Snlog2（Fn1）1（nN+） 第 22 页（共 29 页） （1）求数列an的通项公式； （2） 若 b
39、n （n+1） log2an+1， 设为数列的前 n 项和， 求出 Tn， 并证明： 对任意 nN+， 1Tn2 【分析】 （1）求得 Sn，运用数列的递推式：n1 时，a1S1，n2 时，anSnSn1， 即可得到所求通项公式； （2） 求得 bn， 运用数列的裂项相消求和和数列的单调性、 不等式的性质， 即可得到所求 【解答】解： （1）Snlog2（Fn1）1log2212n1， 当 n1 时，a1S11，n2 时，anSnSn12n12n 1+12n1，对 n1 也成立， 则 an2n 1，nN*； （2）bn（n+1）log2an+1（n+1）log22nn（n+1） ， 2（） ，
40、 则 Tn2（1+）2（1） ， 由于 2（1）随着 n 的增大而增大，可得 T1Tn2， 即对任意 nN+，1Tn2 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和和数列的单调性的判 断以及运用，化简运算能力，属于中档题 20（12 分） 截止到 2018 年末， 我国公路总里程达到 484.65 万公里， 其中高速公路达到 14.26 万公里，规模居世界第一与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图 是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故 的一个主要因素研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表 是根据某部门的调查
41、结果整理所得的数据（v 表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表 示反应距离和制动距离，单位：m） 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 d1 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究，求其中恰好有 1 起属 于超速驾驶的概率（用频率代替概率） ； （2）已知 d2与 v 的平方成正比，且当行车速度为 100km/h 时，制动距离为 65m 第 23 页（共 29 页） （i）由表中数据可知，d1与 v 之间具
42、有线性相关关系，请建立 d1与 v 之间的回归方程， 并估计车速为 110km/h 时的停车距离； （ii）我国道路交通安全法规定：车速超过 100km/h 时，应该与同车道前车保持 100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性 参考数据：， 参考公式：对于一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，其回归直线的斜 率和截距的最小二乘估计分别为：， 【分析】 （1）由题意知所求概率服从 B（3，） ，求出对应的概率值； （2）线求出 d2与 v 的解析式； （i）由 d1与 v 之间具有线性相关关系，求出线性回归方程， 利用方程计算 v110 时的值，再求停车距离 d
43、 的值； （ii）计算 v100 时的停车距离 d，解释车速超过 100km/h 时， 车辆应该与同车道前车保持在 100m 以上的距离 【解答】解： （1）由题意知，Pi， 故所求的概率为 P1； （2）由 d2与 v 的平方成正比，设 d2kv2， 第 24 页（共 29 页） 当行车速度为 v100km/h 时，制动距离为 d265m； 即 k100265，解得 k0.0065， 所以 d20.0065v2； （i） 由 d1与 v 之间具有线性相关关系， 且 vi1004100.4， （d1）i21021； 又， 所以 0.21， 210.21100.40.084， 所以 d1与 v
44、间的回归方程为0.21v0.084； v110 时，0.211100.08423.016 d20.0065110278.65， 所以估计车速为 110km/h 时的停车距离为 d23.016+78.65101.666102（m） ； （ii）v100 时，0.211000.08420.916 d20.0065100265， 车速为 100km/h 时的停车距离为 d20.916+6585.91686（m） ； 车速超过 100km/h 时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大， 要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在 100m 以上的距离 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考
45、查了超几何概率的计算问题， 是中档题 21 （12 分）已知 F1，F2分别为椭圆（ab0）的左、右焦点，P 为 C 上 的动点，其中 P 到 F1的最短距离为 1，且当PF1F2的面积最大时，PF1F2恰好为等 第 25 页（共 29 页） 边三角形 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ，记椭圆 C 的外切圆为 E （i）求圆 E 的方程； （ii）在平面内是否存在定点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与 E 相切，若存在求出定点 Q 的 坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据题意及 a 与 b 和 c 的关系，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （2） （i）根据题意，求得圆 E 的方程； （ii）解法一：以 PQ 为直径的圆的圆心为 G，根据题意可知|OG|2r，根据两点之间 的距离公式，化简（m21） （x024）0
