1、已知复数 z，则复数 z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 Ax|x3k+1，kN，By|y4k1，kN，C1，2，3，4，5， 6，7，8，则（AB）C（ ） A7 B2，4，7 C （1，3，7） D （1，3，4，7） 3 （5 分）已知实数 a0，b0，则“ab1”是“ea+2beb+2a”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知条件 P：是奇函数；值域为 R；函数图象经过第四象限则下列函 数中满足条件 P 的是（ ） Af（x）2x+2 x B C D
2、f（x）sinx 5 （5 分）已知角 的终边过点 P（sin，cos） ，则 sin（）（ ） Acos2 Bcos2 Csin2 Dsin2 6 （5 分） 已知函数 f （x） ， 则不等式 f （2x3） f （1） 的解集为 （ ） A1，2 B1，2 C1，3 D （1，2） 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C2 D 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）函数 f（x）xsinx+在区间2，2上的大致图象为（ ） A B C D 9 （5 分）已知角 a， 满足 sin（2+）3sin，若，则实数 的值为（ ） A2 B3 C4 D6
3、10 （5 分）定义：mina，b表示 a，b 两数中较小的数例如 min2，42已知 f（x） minx2，x2，g（x）2x+x+m（mR） ，若对任意 x12，0，存在 x21， 2，都有 f（x1）g（x2）成立，则 m 的取值范围为（ ） A4，+） B6，+） C7，+） D10，+） 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）cos（x+） （0，|）图象向右平移 个单位长度得到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）的最小正周期为 ，x为函数 g（x）的一条对称轴，则函数 g（x）的一个增区间为（ ） A （0，） B （，） C （，） D （，） 12 （5 分）已知函
4、数 f（x）xlnx+m（mR） ，若 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2） ，下 列选项中不正确的是（ ） Am1 B C0x11 Dx1+x22 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）曲线 f（x）xlnx+x 在点 x1 处的切线方程为 第 3 页（共 20 页） 14 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组，存在可行解（x，y）满足 mxy6m 0，则实数 m 的最小值为 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 S，若 a11，2Snan+1，则数列an的通项公式 an 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，已知
5、 PABC，PBAC，PAPBPC2AB4，则三 棱锥 PABC 外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知平面向量 （1，2） ， （k，3） （kR） （1）若 ，求 k 的值； （2）若 ，求向量 + 与 夹角的余弦值 18 （12 分）已知函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）|e xm|，mR （1）当时，求函数 f（x）的单调区间： （2）若函数有两个零点：求实数 m 的取值范围 19 （12 分）已知数列an满足：an0，a11，anan+1（2an+1）
6、 （nN*） （1）求证：为等差数列，并求出 an； （2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn 成立，求正整数 n 的最小值 20 （12 分）如图，在ABC 中，已知 AB1，BC2，ABC60，M 为 BC 中点，E， F 分别为线段 AB，AC 上动点（不包括端点） ，记 （1）当 45时，求BEM 的面积； （2）当 EMFM 时，求证：当 变化时，恒有 第 4 页（共 20 页） 21 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，E，F 分别为 AB 的三等分点，FGBC，ED BC，AB3，BC2，若沿着 FG，ED 折叠使得点 A 和 B 重合，如图 2
7、 所示，连结 GC， BD （1）求证：平面 GBD平面 BCDE； （2）求点 E 到平面 CDG 的距离 22 （12 分）已知函数 f（x）ex+cosxax（aR） （1）若 a0 时，讨论 f（x）在区间，上零点个数； （2）若当 x0，+）时，f（x）2 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年山西省长治二中高三 （上）学年山西省长治二中高三 （上） 11 月月考数学试卷 （文月月考数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出
8、的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）已知复数 z，则复数 z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标即可 【解答】解：因为， 所以复数 z 在复平面内对应点为， 所以 z 在复平面内对应点在第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|x3k+1，kN，By|y4k1，kN，C1，2，3，4，5， 6，7，8，则（AB）C（ ） A7 B2，4，7 C （1，3，
9、7） D （1，3，4，7） 【分析】先求出 C 在集合 A，B 的元素，然后求解（AB）C 即可求解 【解答】解：由题意知集合 A1，4，7，10，B1，3，7，11， C 中元素在集合 A 中或在集合 B 中的有 1，3，4，7， 故（AB）C1，3，4，7 故选：D 【点评】本题考查集合的求法，集合的交集与并集的运算，考查计算能力 3 （5 分）已知实数 a0，b0，则“ab1”是“ea+2beb+2a”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由于 ea+2beb+2aea2aeb2b，构造函数 f（x）ex2x（x0） ，通过 求导，探
10、究 f（x）的单调性，再根据充分必要条件的定义得出结论即可 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：ea+2beb+2aea2aeb2b， 令 f（x）ex2x（x0） ，f（x）ex2， 令 f（x）0，解得 xln2，故 f（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调 递增， 故当 ab1 时，f（a）f（b） ，故“ab1”是“ea+2beb+2a”的充分条件； 但当 0abln2 时，有 f（a）f（b） ， 故“ab1”是“ea+2beb+2a”的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性，充分必要条件，渗透了函数思想，属于中档题 4 （5 分）已知条件 P
11、：是奇函数；值域为 R；函数图象经过第四象限则下列函 数中满足条件 P 的是（ ） Af（x）2x+2 x B C Df（x）sinx 【分析】根据给出的条件，逐一进行判断，只要有一个不满足，就排除选项即可 【解答】解：A 选项为偶函数，不符合题意； B 选项虽然是奇函数，但 x0 时 f（x）2，故不 符合题意； C 选项 f（x）f（x） ，故为奇函数，值域为 R，图象也经过第四象限， 符合题意； D 选项 f（x）sinx1，1不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了函数的性质，用排除法更容易得出结论，属于基础题 5 （5 分）已知角 的终边过点 P（sin，cos） ，则 sin（）（
12、 ） Acos2 Bcos2 Csin2 Dsin2 【分析】先利用三角函数的定义，得到 cossin，sincos，再利用两角差的正弦公 式即可算出结果 【解答】解：由题意知 cossin，sincos， sin（）sincoscossincos2sin2cos2， 第 7 页（共 20 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了三角函数的定义和两角差的正弦公式，是基础题 6 （5 分） 已知函数 f （x） ， 则不等式 f （2x3） f （1） 的解集为 （ ） A1，2 B1，2 C1，3 D （1，2） 【分析】画出函数的图象，利用数形结合转化求解不等式的解集即可 【解答】解：因为 f
13、（1）0，故只需求解不等式 f（2x3）0 即可， 由图易知，当1x1 时，f（x）0，故令12x31，解得 1x2 故选：B 【点评】本题考查了分段函数的性质、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于 基础题 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C2 D 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【 解 答 】 解 ： 该 几 何 体 为 一 个 直 三 棱 柱 削 去 两 个 三 棱 锥 ， 故 体 积 为 第 8 页（共 20 页） 故选：C 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档 题
14、8 （5 分）函数 f（x）xsinx+在区间2，2上的大致图象为（ ） A B C D 【分析】先求函数的定义域，判断函数的奇偶性，由 f（x）f（x）知 f（x）为偶函数， 故排除 A，D；再取一特殊值检验正负即可得出结论 【解答】解：由题意得函数定义域为x|x0， 则 f（x）（x）sin（x）+xsinxf（x） ； 知 f（x）为偶函数，故排除 A，D； 又，排除 B， 故选：C 【点评】本题考查了函数的图象与性质的探究，考查了观察能力及分析解决问题的能力， 属于中档题 9 （5 分）已知角 a， 满足 sin（2+）3sin，若，则实数 的值为（ ） 第 9 页（共 20 页） A
15、2 B3 C4 D6 【分析】先用两角和的正弦公式化简 sin（2+）3sin，得到， 再利用二倍角公式化简得到2tan，从而求出 的值 【解答】解：由 sin（2+）3sin 得 sin2cos+cos2sin3sin， 两边同时除以cos得sin2+cos2tan3tan，即 ， 所以， 故 2， 故选：A 【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，二倍角公式，是中档题 10 （5 分）定义：mina，b表示 a，b 两数中较小的数例如 min2，42已知 f（x） minx2，x2，g（x）2x+x+m（mR） ，若对任意 x12，0，存在 x21， 2，都有 f（x1）g（x2）成立，则
16、 m 的取值范围为（ ） A4，+） B6，+） C7，+） D10，+） 【分析】先利用定义写出分段函数 f（x） ，画出图象，f（x1）的最大值小于 g（x2）的最 大值问题，转化成恒成立问题， 【解答】解：如图，当 x12，0时，f（x1）maxf（1）1； 当 x21，2时，g（x2）为增函数， 则 g（x2）maxg（2）6+m 由题意知 f（x1）maxg（x2）max， 即16+m，即 m7 故选：C 【点评】利用定义得分段函数 f（x） ，再用函数的最值来解决本题，属于中档题 第 10 页（共 20 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）cos（x+） （0，|
17、）图象向右平移 个单位长度得到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）的最小正周期为 ，x为函数 g（x）的一条对称轴，则函数 g（x）的一个增区间为（ ） A （0，） B （，） C （，） D （，） 【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求 f（x）sin（x+） ，利用函数 y Asin（x+）的图象变换可求 g（x）sin（x+） ，利用周期公式可求 ， 利用正弦函数的对称性可求 ，根据正弦函数的单调性即可求解 【解答】解：函数 f（x）sin（x+）cos（x+）sin（x+） （0， |） ， g（x）f（x）sin（x）+sin（x+） ， g（x）的最小正周期为 ， 2， x为
18、函数 g（x）的一条对称轴， 2+k+，解得 k+， |， ， g（x）sin（2x） ， 令 2k2x2k+，kZ，解得 k+xk+，kZ， 当 k0 时，可得函数 g（x）的一个增区间为（，） 故选：C 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数 yAsin（x+）的图象变换， 正弦函数的对称性和单调性，考查了函数思想，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）xlnx+m（mR） ，若 f（x）有两个零点 x1，x2（x1x2） ，下 列选项中不正确的是（ ） 第 11 页（共 20 页） Am1 B C0x11 Dx1+x22 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，通过
19、求解函数的最小值判断 AC 的正误； 利用函数的零点判断 B 的正误，结合图象判断 D 的正误即可 【解答】解：令 f（x）0，解得 x1， 故 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，如图 故 f（x）minf（1）1+m0，即 m1，并且 0x11，故 A、C 正确； 由于 x1，x2为 f（x）的零点，故有 x1lnx1+m0，x2lnx2+m0，两式相减得 ， 即，故 B 正确； 由于当 m2+ln2 时，x22，此时 x1+x22，故 D 不正确 故选：D 【点评】本题考查函数的导数的应用，命题的真假的判断，函数的零点的求法，考查数 形结合以及计算能力，是中档题 二、
20、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）曲线 f（x）xlnx+x 在点 x1 处的切线方程为 y2x1 【分析】求导函数，然后求解切线的斜率，求切点坐标，进而可求切线方程 【解答】解：求导函数，可得 ylnx+2， x1 时，y2，y1 曲线 yxlnx+1 在点 x1 处的切线方程是 y12（x1） 即 y2x1 故答案为：y2x1 第 12 页（共 20 页） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属 于基础题 14 （5 分）若实数 x，y 满足不等式组，存在可行解（x，y）满足 mxy6m 0，
21、则实数 m 的最小值为 1 【分析】画出不等式组表示的平面区域为可行域，根据直线方程恒过定点，结合图形求 得最优解，得出 m 的取最小值 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示为可行域； 又直线方程 mxy6m0 可化为 m（x6）y0，则直线 m（x6）y0 恒过定 点（6，0） ， 由图形知，当直线过点 P 时，m 取最小值； 由，求得 P（2，4） ； 此时 m1 故答案为：1 【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题 15 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 S，若 a11，2Snan+1，则数列an的通项公式 an 【分析】当 n
22、2 时，可得数列an是从第二项开始的等比数列，且此时 an23n 2， 令 n1，可求得 a11，进而得到答案 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：当 n2 时，2Sn1an，2Snan+1， 得 2anan+1an，即 an+13an 故数列an从第二项起为等比数列，又 a22，则 an23n 2 当 n1 时，a11， 故 an 故答案为： 【点评】本题考查数列通项的求法，主要是数列通项与前 n 项和的关系，考查运算求解 能力，属于基础题 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，已知 PABC，PBAC，PAPBPC2AB4，则三 棱锥 PABC 外接球的表面积为 【分析】作 PH平
23、面 ABC，垂足为 H，连结 HA，HB，HC推导出 BC平面 AHP，从 而 BCAH，同理得 ACBH，从而 H 为ABC 的垂心推导出ABC 为等边三角形， 三棱锥 PABC 的外接球的半径为 R，则（PHR）2+AH2R2，由此能求出外接球表面 积 【解答】解：如图，作 PH平面 ABC，垂足为 H，连结 HA，HB，HC 因为 PABC，BCPH，所以 BC平面 AHP，故 BCAH， 同理得 ACBH，故 H 为ABC 的垂心 又因为 RtAHPRtBHPRtCHP， 故 AHBHCH，故 H 为ABC 的外心故ABC 为等边三角形， 因此，解得，故， 设三棱锥 PABC 的外接球
24、的半径为 R， 则（PHR）2+AH2R2，解得， 故外接球表面积为 故答案为： 第 14 页（共 20 页） 【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知平面向量 （1，2） ， （k，3） （kR） （1）若 ，求 k 的值； （2）若 ，求向量 + 与 夹角的余弦值 【分析】 （1）由题意利用两个向量垂直的性质，求得 k 的值 （2）由题意利用两个向量的夹角公式，两个向量的数量积的定义
25、及公式，求出向量 + 与 夹角的余弦值 【解答】解： （1）由 得 32k0，即 （2）由 得 0，即 k+60，所以，k6 设向量 + 与 夹角为 ，则， （ + ）2 2+25+4550， 故| + |5， （ + ） +45， 故 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，两个向量的数量积 的定义及公式，属于中档题 18 （12 分）已知函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）|e xm|，mR 第 15 页（共 20 页） （1）当时，求函数 f（x）的单调区间： （2）若函数有两个零点：求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由 f（x）为偶函
26、数，根据对称性可先研究 f（x）在（0，+）上的单调性结 合导数即可求解， （2）由于 f（x）为定义在 R 上的偶函数，从而可知在（0，+）上有一个根即 可然后对 m 进行分类讨论即可求解 【解答】解： （1）因为 f（x）为偶函数， 故先研究 f（x）在（0，+）上的单调性 当 x0 时，当时， 令 f（x）0，解得 xln2，当 0xln2 时，单调递减； 当 xln2 时，单调递增 故 f（x）在（，ln2） ， （0，ln2）上单调递减，在（ln2，0） ， （ln2，+）单调递 增 （2）由于 f（x）为定义在 R 上的偶函数， 故方程在（0，+）上有一个根即可 当 m0 时，f（
27、x）e xm ，即在（0，+）上有一个根， 由于在（0，+）上单调递减，且， 故； 当 0m1 时，令 e xm0，解得 xlnm， 当 x（0，lnm）时，ye xm0； 当 x（lnm，+）时，ye xm0 解得或； 当 m1 时，f（x）me x 在（0，+）上单调递增，由于此时 f（x）（m1，m） ， 故只需，即 综上可得，或 第 16 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在求解函数的零点中的应用，属于中档 试题 19 （12 分）已知数列an满足：an0，a11，anan+1（2an+1） （nN*） （1）求证：为等差数列，并求出 an； （2）设 bn
28、，数列bn的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn 成立，求正整数 n 的最小值 【分析】 （1）运用等差数列的定义，只需证明为常数，再由等差数列的通项 公式，可得所求； （2）求得，再由数列的裂项相消 求和，可得所求和 Sn，解不等式可得所求最小值 【解答】解： （1）证明：，故， 故为等差数列，首项，公差为 2， 故， 故； （2）， 故， 令， 即，即（n+1）21000， 当 n30 时，3129611000； 当 n31 时，32210241000， 故 n31，因此不等式成立的正整数 n 的最小值为 31 【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，以及不等式的解
29、法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）如图，在ABC 中，已知 AB1，BC2，ABC60，M 为 BC 中点，E， F 分别为线段 AB，AC 上动点（不包括端点） ，记 （1）当 45时，求BEM 的面积； （2）当 EMFM 时，求证：当 变化时，恒有 【分析】 （1）利用正弦定理求出 BE，再求出面积； （2）先判断ABC 为直角三角形，根 据题意，求出 EM 和 FM，再证明 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 在 BEM中 ， ， 故， 故BEM 的面积为； （2）在ABC 中，根据余弦定理得 AC21+4212cos603， 故
30、 BC2AB2+AC2，因此BAC90，ACB30 当 EMFM 时，在BEM 中， 即； 在CFM 中， 即， 故； 【点评】考查正余弦定理的应用，还用了三角函数的化简求值，解三角形等，中档题 21 （12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，E，F 分别为 AB 的三等分点，FGBC，ED BC，AB3，BC2，若沿着 FG，ED 折叠使得点 A 和 B 重合，如图 2 所示，连结 GC， BD 第 18 页（共 20 页） （1）求证：平面 GBD平面 BCDE； （2）求点 E 到平面 CDG 的距离 【分析】 （1）先证 GOFM，再证 FMBCDE 平面，进而得到 GOBCDE
31、 平面，由面 面垂直的判定定理即可得证； （2）运用等体积法即可求解 【解答】解： （1）证明：取 BD，BE 的中点分别为 O，M，连结 GO，OM，如图，OM DE 且，又因为 GFDE 且， 所以 GFOM 且 GFOM，故四边形 OGFM 为平行四边形，故 GOFM 因为 M 为 EB 中点，三角形 BEF 为等边三角形，故 FMEB， 因为平面 EFB平面 BCDE，故 FM平面 BCDE，因此 GO平面 BCDE， 故平面 GBD平面 BCDE； （2）因为 BECD，故 BE平面 CDG， 故点 E 到平面 CDG 的距离等于点 B 到平面 CDG 的距离 由 （ 1 ） 知 三
32、 棱 锥G BCD的 体 积， ，故 在CDG 中，取 CD 中点，连结， 故， 设点 B 至平面 CDG 的距离为 d，故三棱锥 BCDG 的体积， 由于 V1V2，则，即， 故点 E 到平面 CDG 的距离为 第 19 页（共 20 页） 【点评】本题考查面面垂直的判定及点到平面的距离，考查运算能力及逻辑推理能力， 属常规题目 22 （12 分）已知函数 f（x）ex+cosxax（aR） （1）若 a0 时，讨论 f（x）在区间，上零点个数； （2）若当 x0，+）时，f（x）2 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）当 a0 时，f（x）ex+cosx，通过当 x0，时，当
33、x，0）时，利 用函数的性质结合函数的导数判断函数的单调性，求解函数的零点个数即可 （2）当 x0，+）时，f（x）exsinxa，通过当 a0 时，当 0a1 时， 当 a1 时， 利用函数的导数， 结合构造法， 转化求解函数的最值， 判断 a 的范围即可 【解答】解： （1）当 a0 时，f（x）ex+cosx， 当 x0，时，ex1，故 ex+cosx0， 故 f（x）在0，上无零点； 当 x，0）时，f（x）exsinx， 因为sinx0，ex1，故 f（x）0， 因此 f（x）在（，0）上单调递增 因为 f（）e 10，f（0）20， 故存在唯一 x0（，0）使得 f（x0）0 综上
34、知，f（x）在区间，上有一个零点； （2）当 x0，+）时，f（x）exsinxa， 当 a0 时，因为 ex1，sinx1，a0， 故 f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增 故 f（x）f（0）2，符合题意； 当 0a1 时，令 g（x）exsinxa（x0，+） ） ，g（x）excosx1cosx 0， 第 20 页（共 20 页） 故 g（x）在（0，+）上单调递增， 故 g（x）g（0）1a0，故 f（x）0， 因此 f（x）f（0）2； 当 a1 时，令 g（x）exsinxa（x0，+） ） ， 令 g（0）1a0，g（a）easinaaea1a， 令 h（a）ea1a（a1） ，h（a）ea10， 故 h（a）h（1）e20，故 g（a）0， 存在 x0（0，a）使得 g（x0）0， 故 f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， 当 x（0，x0）时，f（x）f（0）2，与题意矛盾， 故 a1 不符合题意 综上，a1 符合题意 【点评】本题考查函数的导数的应用幂函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的 应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题
