1、双曲线 C：1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原 点若|PO|PF|，则PFO 的面积为（ ） A B C2 D3 9 （5 分）定义在0，+）上的函数 f（x）满足：当 0x2 时，f（x）2xx2：当 x2 时，f（x）3f（x2） 记函数 f（x）的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，an， 并记相应的极大值为 b1，b2，bn，则 a1b1+a2b2+a20b20的值为（ ） A19320+1 B19319+1 C20319+1 D20320+1 10 （5 分）秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提岀的一种多项式简化算法秦九 韶算法是一种将一元 n 次
2、多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法其大大简化了计 算过程，即便在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算祛依然是最优的 算法用秦九韶算法计算当 x0.6 时函数 f（x）x4+2x3+3x2+4 的值时，需要进行加法 运算的次数及函数值分别为（ ） A3，5.6426 B4，5.6426 C3，5.6416 D4，5.6416 11 （5 分）已知函数 f（x），g（x）x2x2，设 b 为实数，若存在 实数 a，使得 g（b）+f（a）2 成立，则 b 的取值范围为（ ） 第 3 页（共 23 页） A1，2 B，） C， D （，4 12 （5 分）某棱锥的三视图如图所示，
3、则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A11 B12 C13 D14 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13（5 分） 函数 f （x） cosx2x2 xb （bR） 当 b0 时， 函数 f （x） 的零点个数为 14 （5 分）在数列an中，则 a2019的值 为 15 （5 分）安排 A，B，C，D，E，F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾 一位老人考虑到义工与老人住址距离问题，义工 A 不安排照顾老人甲，义工 B 不安排 照顾老人乙，安
4、排方法共有 16 （5 分）设双曲线 C：（a0）与直线 l：y+x1 相交于两不同点 A，B，设 直线 l 与 y 轴交点为 P，且，则 a 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 为必考题，为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知函数 f（x）+（0） ，x1，x2是函数 f （x）的零点，且|x2x1|的最小值为 （）求 的值； 第 4
5、 页（共 23 页） （）设 ，（0，） ，若 f（），f（），求 cos （）的值 18 （12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2ABC DBC120，E、F 分别为 AC、DC 的中点 （）求证：EFBC； （）求二面角 EBFC 的正弦值 19 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0） ，其焦点到准线的距离为 2，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做抛物线 C 的切线 l1，l2交于点 M （）求抛物线 C 的方程 （）若 l1l2，求MAB 面积的最小值 20 （12 分）今年 3 月 5 日，国务院总理李克强作的政府工作
6、报告中，提到要“惩戒学术不 端，力戒学术不端，力戒浮躁之风” 教育部日前公布的教育部 2019 年部门预算中 透露，2019 年教育部拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元国务院学位委员 会、教育部 2014 年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学位 论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为“不合 格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文” 有且只有 1 位专家评议意见为“不合 格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进得复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位） 专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认
7、定为“存在问题学位论文” 设每篇学位论 文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 p（0p1） ，且各篇学位论文是否被评议为 “不合格”相互独立 （1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 f（p） ，求 f（p） ； （2） 若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元， 需要复评的评审费用为 1500 元；除评审费外，其它费用总计为 100 万元现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇， 第 5 页（共 23 页） 问是否会超过预算？并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+（a1）x+1ex，g（x）x2+2ax+2a （）讨论 f（x）的单调性：
8、 （）、R 使得 g（sin）f（cos）1 成立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系中曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2） 经过点 M （0， 1） 作直线 l 交曲线 C 于 A， B 两点 （A 在 B 上方） ， 且满足|BM|2|AM|， 求直线 l 的方程 选修选修 4-5：不尊式选讲：不尊式选讲
9、23已知函数 f（x）|x+a|+|x2| （）当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年山西省长治市高三（上）学年山西省长治市高三（上）9 月联考数学试卷（理月联考数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大題共一、选择题（本大題共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 ）合题目要求的 ） 1 （5 分）已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（
10、） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 AB 和 AB，由此能求出结果 【解答】解：集合 Ax|x1， Bx|3x1x|x0， ABx|x0，故 A 正确，D 错误； ABx|x1，故 B 和 C 都错误 故选：A 【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、 并集定义的合理运用 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若，则 ab（ ） A1 B C D2 【分析】利用复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：， ， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件
11、，是基础题 3 （5 分）已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aacb Babc Cbca Dcab 【分析】本题先将 a、b、c 的大小与 1 作个比较，发现 b1，a、c 都小于 1再对 a、c 第 7 页（共 23 页） 的表达式进行变形，判断 a、c 之间的大小 【解答】解：由题意，可知： alog521， blog0.50.2log25log242 c0.50.21， b 最大，a、c 都小于 1 alog52，c0.50.2 而 log25log242， ac， acb 故选：A 【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这
12、里尽量借助于整数 1 作为中间量来比 较本题属基础题 4 （5 分）函数 f（x）（x）cosx（x 且 x0）的图象可能为（ ） A B C D 【分析】由条件可得函数 f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当 x 趋向于 0 时，f（x）0，结合所给的选项，得出结论 【解答】解：对于函数 f（x）（x）cosx（x 且 x0） ，由于它的定义域 关于原点对称， 第 8 页（共 23 页） 且满足 f（x）（+x）cosxf（x） ，故函数 f（x）为奇函数，故它的图象关于 原点对称 故排除 A、B 当 x，f（x）0，故排除 C， 但是当 x 趋向于 0 时，f（x）0， 故
13、选：D 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域， 属于中档题 5 （5 分）设函数 f（x）log2x，在区间（0，5）上随机取一个数 x，则 f（x）2 的概率 为（ ） A B C D 【分析】解不等式 f（x）2 的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：log2x，x（0，5） 由 f（x）2， 得 log2x2 解得 0x4， 根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数 x， f（x）2 的概率为：， 故选：D 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出不等式的解，利用长 度比是解决本题的关键 6
14、（5 分）已知向量 ， 满足| |1，| |，且 ， 夹角为，则（ + ） （2 ） （ ） A B C D 【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得 【解答】解： （ + ） （2 ）2 22+ 23+1 故选：A 【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 第 9 页（共 23 页） 7 （ 5 分 ） 定 义 运 算a*b 为 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 输 出 的S 值 ， 则 的值为（ ） A B C4 D6 【分析】由已知的程序框图可知程序的功能是：计算并输出分段函数的值，比较 a，b 的 值，即可计算得解 【解答】解：由已知的程序框图可知
15、本程序的功能是： 计算并输出分段函数 S的值， a，log100alg， lg，lgalg， a， blog98log4， 可得：ab， S（） 故选：B 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能 是解答的关键，属于基础题 8 （5 分）双曲线 C：1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原 点若|PO|PF|，则PFO 的面积为（ ） A B C2 D3 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出三角形 POF 的顶点 P 的坐标，然后求解面积即 可 【解答】 解： 双曲线 C：1 的右焦点为 F （， 0）
16、， 渐近线方程为： yx， 不妨 P 在第一象限， 可得 tanPOF，P（，） ， 所以PFO 的面积为： 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 9 （5 分）定义在0，+）上的函数 f（x）满足：当 0x2 时，f（x）2xx2：当 x2 时，f（x）3f（x2） 记函数 f（x）的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，an， 并记相应的极大值为 b1，b2，bn，则 a1b1+a2b2+a20b20的值为（ ） A19320+1 B19319+1 C20319+1 D20320+1 【分析】由二次函数的最值求法，可得 f（x）的最小极大值点和极大值，再讨论
17、x 的范 围，可得其余的极大值点和极大值，再由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式， 计算可得所求和 【解答】解：当 0x2 时，f（x）2xx21（x1）2， 可得 f（x）的极大值点 a11，b11， 当 2x4，即有 0x22，可得 f（x）3f（x2）31（x3）2， 可得 a23，b23， 当 4x6，即有 0x42，可得 f（x）9f（x4）91（x5）2， 可得 a35，b39， 第 11 页（共 23 页） 即有 a2039，b3319， 则 S20a1b1+a2b2+a20b2011+33+59+39319， 3S2013+39+527+39320， 相减可得2S201+
18、2（3+9+27+319）39320 1+239320， 化简可得 S201+19320， 故选：A 【点评】本题考查函数的极值的求法，以及数列的错位相减法，考查等比数列的求和公 式，考查化简运算能力，属于中档题 10 （5 分）秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提岀的一种多项式简化算法秦九 韶算法是一种将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法其大大简化了计 算过程，即便在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算祛依然是最优的 算法用秦九韶算法计算当 x0.6 时函数 f（x）x4+2x3+3x2+4 的值时，需要进行加法 运算的次数及函数值分别为（ ） A3，5.
19、6426 B4，5.6426 C3，5.6416 D4，5.6416 【分析】由秦九韶算法可得：f（x）x4+2x3+3x2+4（ （ （x+2）x+3）x）x+4代入即可 得出 【解答】解：f（x）x4+2x3+3x2+4（ （ （x+2）x+3）x）x+4 当 x0.6 时函数 f（x）x4+2x3+3x2+4（ （ （0.6+2）0.6+3）0.6）0.6+45.6416 当 x0.6 时函数 f（x）x4+2x3+3x2+4 的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分 别为 3，5.6416 故选：C 【点评】本题考查了秦九韶算法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 11 （
20、5 分）已知函数 f（x），g（x）x2x2，设 b 为实数，若存在 实数 a，使得 g（b）+f（a）2 成立，则 b 的取值范围为（ ） A1，2 B，） C， D （，4 【分析】先求分段函数的值域得：当 x0 时，f（x）（x）+2，当 x0 时， 第 12 页（共 23 页） f（x）f（0）2，即 f（x）的值域为：2，+） ，由方程有解问题得：g（b）2f （a）0，即 b2b20，解得1b2，得解 【解答】解：由 f（x）， 当 x0 时，f（x）（x）+2， 当 x0 时，f（x）f（0）2， 即 f（x）的值域为：2，+） ， 又 b 为实数，存在实数 a，使得 g（b）+
21、f（a）2 成立， 则 g（b）2f（a）0， 即 b2b20， 解得1b2， 故选：A 【点评】本题考查了分段函数的值域及方程有解问题，属中档题 12 （5 分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】该几何体是高为 1 的三棱锥，结合图中数据，过 PA 中点作面 PAC 垂线与过 F 作面 ABC 的垂线交于点 M，则 M 为该棱锥的外接球的球心设面 EMF 交 AC 于 H，则 MEHMFH90，EHF135，在EHF 中，由余弦定理可得 EF，由 正弦定理的四边形 MEHF 的外接圆直径为，即 MH，即该棱锥的外接球的半 第 1
22、3 页（共 23 页） 径 R即可求解 【解答】解：由题意，该几何体是高为 1 的三棱锥，且由俯视图可得三菱锥的底为等腰 直角三角形， 可得 PC，AC1，PA，PAC 为 Rt 过 PA 中点作面 PAC 垂线与过 F 作面 ABC 的垂线交于点 M，则 M 为该棱锥的外接球的 球心 设面 EMF 交 AC 于 H，则MEHMFH90，EHF135， 在EHF 中，由余弦定理可得 EF， 由正弦定理的四边形 MEHF 的外接圆直径为，即 MH， MF， ，即该棱锥的外接球的半径 R 则该棱锥的外接球的表面积为 S411 故选：A 【点评】本题考查了三棱锥的性质、空间几何位置关系、三垂线定理、
23、球的性质，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）分，把答案填在答卷纸的相应位置上） 13 （5 分）函数 f（x）cosx2x2 xb（bR） 当 b0 时，函数 f（x）的零点个数为 0 【分析】当 b0 时，题目等价于函数 ycosx 与函数 y2x+2 x 图象交点个数，数形 结合即可 【解答】解：当 b0 时，f（x）cosx2x2 x，则函数 f（x）零点个数等价于函数 y 第 14 页（共 23 页） cosx 与函数 y2x+2 x 图象交点
24、个数， 作出图象如图： 由图可知，图象无交点，故零点个数为 0， 故答案为 0 【点评】本题考查函数零点与函数图象交点个数之间的关系，数形结合是关键，属于中 档题 14 （5 分）在数列an中，则 a2019的值为 1 【分析】根据题意，将 an+1an+变形可得 an+1an，据 此可得 a2019（a2019a2018）+（a2018a2017）+（a2a1）+a1+（1） +（）+（）+1，化简可得答案 【解答】解：根据题意，数列an中，an+1an+，变形可得 an+1an ， 则 a2019（a2019a2018）+（a2018a2017）+（a2a1）+a1+（1）+（ ）+（）+
25、11； 故答案为：1， 【点评】本题考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题 15 （5 分）安排 A，B，C，D，E，F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾 一位老人考虑到义工与老人住址距离问题，义工 A 不安排照顾老人甲，义工 B 不安排 照顾老人乙，安排方法共有 42 第 15 页（共 23 页） 【分析】根据义工 A，B 有条件限制，可分 A 照顾老人乙和 A 不照顾老人乙两类分析，A 照顾老人乙时，再从除 B 外的 4 人中选 1 人；A 不照顾老人乙时，老人乙需从除 A、B 外的 4 人中选 2 人，甲从除 A 外的剩余 3 人中选 2 人 【解答】解：当
26、A 照顾老人乙时，共有 C41C42C2224 种不同方法； 当 A 不照顾老人乙时，共有 C42C32C2218 种不同方法 安排方法有 24+1842 种， 故答案为：42 【点评】本题考查有条件限制排列组合问题，关键是正确分类，是基础题 16 （5 分）设双曲线 C：（a0）与直线 l：y+x1 相交于两不同点 A，B，设 直线 l 与 y 轴交点为 P，且，则 a 【分析】由曲线 C 与直线 l 有两个不同交点，得其两方程联立后二次方程的0，借助 向量相等条件，韦达定理，列出只含 a 的方程，再求解 【解答】解：把直线与双曲线方程联立消去 y 得（1a2）x2+2a2x2a20，设 A
27、（x1， y1） ，B（x2，y2） ，P（0，1） ， ， （x1，y11）（x2，y21） ， 求得 x1x2， x1+x2x2，x1x2x22， 消去 x2得，a 故答案为： 【点评】本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解 方程等知识，考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用 数学知识解决问题的能力 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第明过程或演算步骤第 17-21 为必考题，为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据
28、要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 第 16 页（共 23 页） 60 分分 17 （12 分）已知函数 f（x）+（0） ，x1，x2是函数 f （x）的零点，且|x2x1|的最小值为 （）求 的值； （）设 ，（0，） ，若 f（），f（），求 cos （）的值 【分析】 （）利用二倍角公式和辅助角公式整理出 f（x）sin（2x） ，根据周期 求得 ； （）根据 f（x）解析式可求解出 cos，sin；再利用同角三角函数关系求出 sin，cos； 代入两角和差余弦公式求得结果 【解答】解： （）f（x）+sin2xcos2x sin（2x） ， |x
29、2x1|的最小值为 ，即 T，得 1 （）由（）知：f（x）sin（2x） ， f（）sin（+）sin（+）cos，f（） sin（）sin（）sin， 则 sin， 又 ，（0，） ，sin，cos， cos（）coscos+sinsin+ 【点评】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、 辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力， 属于常规题型 18 （12 分）如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2ABC DBC120，E、F 分别为 AC、DC 的中点 第 17 页（共 23 页） （）求证：EFB
30、C； （）求二面角 EBFC 的正弦值 【分析】 （）以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在 直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标 系，得到 E、F、B、C 点的坐标，易求得此0，所以 EFBC； （）设平面 BFC 的一个法向量（0，0，1） ，平面 BEF 的法向量（x，y，z） ， 依题意，可求得一个（1，1） ，设二面角 EBFC 的大小为 ，可求得 sin 的值 【解答】 （）证明：由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线 为 x 轴，BC
31、 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所 示空间直角坐标系，易得 B（0，0，0） ，A（0，1，） ，D（，1，0） ，C（0，2， 0） ，因而 E（0，） ，F（，0） ，所以（，0，） ，（0， 2，0） ，因此0，所以 EFBC （）解：在图中，设平面 BFC 的一个法向量（0，0，1） ，平面 BEF 的法向量 （x，y，z） ，又（，0） ，（0，） ， 由得其中一个（1，1） ， 设二面角 EBFC 的大小为 ，由题意知 为锐角，则 cos|cos，|， 因此 sin，即所求二面角正弦值为 第 18 页（共 23 页） 【点评】
32、本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想 象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力 19 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0） ，其焦点到准线的距离为 2，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做抛物线 C 的切线 l1，l2交于点 M （）求抛物线 C 的方程 （）若 l1l2，求MAB 面积的最小值 【分析】 （）由题意可得 p2，进而得到所求抛物线方程； （）求得 y的导数，设 A（x1，） ，B（x2，） ，可得切线的方程，再由两 直线垂直的条件可得 x1x24，设直线 l：ykx+m，联立抛物线方程，运用判别式
33、大于 0，以及韦达定理，可得 m1，可得直线 l 的方程 ykx+1，联立 l1，l2，可得 M 的坐标， 求得 M 到直线 l 的距离和弦长|AB|，由三角形的面积公式，即可得到所求最小值 【解答】解： （）抛物线 C：x22py（p0） ，其焦点到准线的距离为 2， 可得 p2，则抛物线的方程为 x24y； （）由 x24y，即 y的导数为 yx， 设 A（x1，） ，B（x2，） ，则 l1：y（xx1） ， l2：y（xx2） ， l1l2，可得1，即 x1x24， 设直线 l：ykx+m，联立抛物线方程 x24y，可得 x24kx4m0， 16k2+16m0，x1+x24k，x1x2
34、4m4，即 m1， 第 19 页（共 23 页） 可得直线 l：ykx+1， 联立可得，即 M（2k，1） ， M 到直线 l 的距离为 d， |AB|4（1+k2） ， 则MAB 面积为 S4（1+k2） 4（1+k2） 4，当 k0 时，MAB 面 积取得最小值 4 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线的位置关系，注意联立 直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题 20 （12 分）今年 3 月 5 日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不 端，力戒学术不端，力戒浮躁之风” 教育部日前公布的教育部 2019 年部门预算中
35、透露，2019 年教育部拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元国务院学位委员 会、教育部 2014 年印发的博士硕士学位论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学位 论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为“不合 格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文” 有且只有 1 位专家评议意见为“不合 格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进得复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位） 专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文” 设每篇学位论 文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 p（0p1） ，且各篇学位论文
36、是否被评议为 “不合格”相互独立 （1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 f（p） ，求 f（p） ； （2） 若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元， 需要复评的评审费用为 1500 元；除评审费外，其它费用总计为 100 万元现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇， 问是否会超过预算？并说明理由 【分析】 （1）先求出一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求出 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再把它们相加即得解； （2）先求出 E（X）900+1800p（1p）2，再求出其最大值，比较最大值和预算的大 第 20
37、页（共 23 页） 小即得解 【解答】解（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 C p2 （1p）+C p3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 C p（1p）21（1p） 2， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 f（p）C p2（1p）+C p3+C p（1p）21（1p）23p2（1p）+p3+3p（1p） 21（1p）2 3p5+12p417p3+9p2 （2）设每篇学位论文的评审费为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500 P（X1500）C p（1p）2，P（X900）1C p（1p）2， 所以 E（X）9001
38、C p（1p）2+1500C p（1p）2900+1800p（1p）2 令，g（p）p（1p）2，p（0，1） g（p）（1p）22p（1p）（3p1） （p1） 当 p（0，）时，g（p）0，g（p）在（0，）单调递增， 当 p（，1）时，g（p）0，g（p）在（，1）单调递减， 所以 g（p）的最大值为 g（） 所以实施此方案，最高费用为 100+6000）10 4800（万元） 综上，若以此方案实施，不会超过预算 【点评】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的 期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力属中档题 21 （12 分）已知函数
39、 f（x）x2+（a1）x+1ex，g（x）x2+2ax+2a （）讨论 f（x）的单调性： （）、R 使得 g（sin）f（cos）1 成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）求导，分 a1，a1 及 a1 解关于导函数的不等式即可得到单调性； （）问题等价于 x1，1时，g（x）maxf（x）min1 成立，由（1）可得 f（x） 第 21 页（共 23 页） 在1，1上的最小值，再分类讨论求得 g（x）在1，1上的最大值，解不等式即可求 得 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）（2x+a1）ex+x2+（a1）x+1exx2+（a+1）x+aex （x+a） （x+1）ex，
40、 当 a1 时，令 f（x）0，解得 x1 或 xa；令 f（x）0，解得ax 1， f（x）在（，a） ， （1，+）上是增函数，在（a，1）上是减函数； 当 a1 时，令 f（x）0，解得 xa 或 x1；令 f（x）0，解得1x a， f（x）在（，1） ， （a，+）上是增函数，在（1，a）上是减函数； 当 a1 时，f（x）0 恒成立，且只在 x1 时 f（x）0， f（x）是 R 上的增函数； （）、R 时，sin、cos1，1， 若要、R 使得 g（sin）f（cos）1 成立，只需 x1，1时，g（x）maxf （x）min1 成立， 由（1）知当 a1 时，f（x）在1，1上
41、是增函数， 当1a1 时，f（x）在1，a上是减函数，在a，1上是增函数， ， 当 a1 时，f（x）在1，1上是减函数，f（x）minf（1）（a+1）e； g（x）x2+2ax+2a，对称轴为 xa， 当 a1 时，g（x）在1，1上是增函数，g（x）maxg（1）4a1， 则，解得，a1； 当 1 a 1 时 ，g（ x ）在 1 ， a上 是增 函数 ，在 a ，1 上是 减函 数， ， 则，整理得， 又1a1， 只需（1+a）ea10， 第 22 页（共 23 页） 令 h（x）（1+x）ex1，则 h（x）（x+2）ex， 当1x1 时，h（x）0，h（x）在（1，1）上是增函数，
42、 又 h（0）0， a0 时，h（a）0，0a1； 当 a1 时，g（x）在1，1上是减函数，g（x）maxg（1）1， 则 g（x）maxf（x）min1（a+1）e1，解得 a1 综上所述，实数 a 的取值范围为 a1 或 a0 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题，考查分类 讨论思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分.选修选修 4-4：坐标：坐标系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）直角坐标系中曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2） 经过点 M （0， 1） 作直线 l 交曲线 C 于 A， B 两点 （A 在 B 上方） ， 且满足|BM|2|AM|， 求直线 l 的方程 【分析】 （1）消去参数，即可求曲线 C 的直角坐标方程； （2）利用参数的几何意义，即可求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，曲线 C 的直 角坐标方程为： （2）设直线 l
