1、抛物线 y4x2的准线方程为（ ） Ay1 B Cx1 D 4 （5 分）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 m，n，mn，则 B若 m，n，mn，则 C若 m，n，mn，则 D若 m，n，mn，则 5 （5 分）圆 C1：x2+（y1） 21 与圆 C2： （x+4）2+（y1）24 的公切线的条数为（ ） A4 B3 C2 D1 6 （5 分）已知向量 ， 的夹角为，且 （3，4） ，| |2，则|2 + |（ ） A2 B2 C2 D84 7 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若命题 p，q 均为真命题，则命题 pq 为真命题 B “若 ，则 si
2、n“的否命题是“若 ，则 sin“ C在ABC 中， “C”是“sinAcosB”的充要条件 D命题 p： “x0R，x02x050”的否定为p： “xR，x2x50” 8 （5 分）为得到函数 y2sin（+）的图象，只需把函数 y2cosx 的图象上所有的点 （ ） A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） 第 2 页（共 21 页） C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）
3、9 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+1）f（1x） ，且当 x0，1时，f （x）2xm，则 f（2019）（ ） A1 B1 C2 D2 10 （5 分）函数的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x）loga（x+3）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+40 上，其中 mn0，则+的最小值为（ ） A B C2 D4 12 （5 分）已知：m0，若方程有唯一的实数解，则 m（ ） A B C D1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13
4、 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最大值为 14 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为 第 3 页（共 21 页） 15 （5 分）曲线 yex与其在点（0，1）处的切线及直线 x1 所围成的封闭图形的面积 为 16 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心以 b 为 半径的圆与双曲线 C 的渐近线 bxay0 交于 M，N 两点若3（O 为坐标原点） ， 则双曲线 C 的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数 f（x）sinxcos（x+） （）求函数 f（x）的最小正周期； （）当 x0，时，求函数 f（x）的值域 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 （2，Sn） ， （1，an1） ，且 和 共线 （）求数列an的通项公式； （）设 bn且数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 19 （12 分）在BC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asinBbcosA，cosB （）求 a：b：c； （）若 BD 为 AC 边的中线，且 BD，求ABC 的面积 20 （12 分）如图 1，在平行四边形 AB
6、CD 中，BAD60，AB1，AD2，以对角线 BD 为折痕把BCD 折起，使点 C 到图 2 所示点 P 的位置使得 PA （）求证：平面 PAB平面 PBD； （）求二面角 BPAD 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且过点 P（2，1） （）求椭圆 C 的方程； （）若 A，B 是椭圆 C 上的两个动点，且APB 的角平分线总垂直于 x 轴，求证：直 线 AB 的斜率为定值 22 （12 分）已知函数 f（x）lnxax2 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 a1，记函数 g（x）f（x）+x2bx，设 x1，x2（x1
7、x2）是函数 g（x）的 两个极值点，且 be+，求 g（x1）g（x2）的最小值 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x3，Bx|x24，则 AB 为（ ） A2，3） B1，3） C1，2 D （1，2 【分析】可解出 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Bx|2x2； AB（1，2 故选：D 【点评】考查描述法、
8、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算 2 （5 分）在等差数列an中，若 a1+a2+a33，a59，则 a8的值是（ ） A15 B16 C17 D18 【分析】由已知直接利用等差数列的性质求解 【解答】解：在等差数列an中，由 a1+a2+a33， 得 3a23，即 a21， 又 a59， a82a5a218117 故选：C 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题 3 （5 分）抛物线 y4x2的准线方程为（ ） Ay1 B Cx1 D 【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得 【解答】解：因为抛物线 y4x2， 可化为：x2， 则抛物线的准线方
9、程为 y 故选：D 【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质，比较基础 第 6 页（共 21 页） 4 （5 分）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 m，n，mn，则 B若 m，n，mn，则 C若 m，n，mn，则 D若 m，n，mn，则 【分析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出 答案 【解答】解：选择支 C 正确，下面给出证明 证明：如图所示： mn，m、n 确定一个平面 ，交平面 于直线 l m，ml，ln n，l， l， 故 C 正确 故选：C 【点评】正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定
10、定理 是解题的关键 5 （5 分）圆 C1：x2+（y1） 21 与圆 C2： （x+4）2+（y1）24 的公切线的条数为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有 4 条公切线 【解答】解：|C1C2|4，r11，r22，r1+r21+23， |C1C2|r1+r2，所以圆 C1与圆 C2相离，有 4 条公切线 故选：A 【点评】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题 6 （5 分）已知向量 ， 的夹角为，且 （3，4） ，| |2，则|2 + |（ ） 第 7 页（共 21 页） A2 B2 C2 D84 【分析】根据平面向量的数量积公式计
11、算模长即可 【解答】解：向量 ， 的夹角为，且 （3，4） ， | |5， 又| |2， 4+4 + 452+452cos+22 84， |2 + |2 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题目 7 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若命题 p，q 均为真命题，则命题 pq 为真命题 B “若 ，则 sin“的否命题是“若 ，则 sin“ C在ABC 中， “C”是“sinAcosB”的充要条件 D命题 p： “x0R，x02x050”的否定为p： “xR，x2x50” 【分析】利用复合命题的真假四种命题的逆否关系以及命题的否定，充要条件判断选项 的正误即可 【解答】
12、解：对于 A：若命题 p，q 均为真命题，则 q 是假命题，所以命题 pq 为假 命题，所以 A 不正确； 对于 B： “若 ，则 sin”的否命题是“若 ，则 sin” ，所以 B 不正 确； 对于 C： 在ABC 中， “C” 是 “sinAcosB” 的充要条件： “C” “A+B” “AB”sinAcosB， 反之 sinAcosB，A+B，或 A+B， “C”不一定成立， 第 8 页（共 21 页） C是 sinAcosB 成立的充分不必要条件，所以 C 不正确； 对于 D：命题 p： “x0R，x02x050”的否定为p： “xR，x2x50”满足命 题是的否定形式，所以 D 正确
13、 故选：D 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，四种命题的逆否关系，命 题的否定等知识，是基本知识的考查 8 （5 分）为得到函数 y2sin（+）的图象，只需把函数 y2cosx 的图象上所有的点 （ ） A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答
14、】 解： 把函数 y2cosx2sin （x+） 的图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得 y2sin（x+）的图象； 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变，可得函数 y2sin（+）的 图象， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 9 （5 分）已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+1）f（1x） ，且当 x0，1时，f （x）2xm，则 f（2019）（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】根据 f（x）是 R 上的奇函数，并且 f（x+1）f（1x） ，便可得出 f（x+4）f （x） ，即 f（x）的周期为 4，
15、而由 x0，1时，f（x）2xm 及 f（x）是奇函数，即可 第 9 页（共 21 页） 得出 f（0）1m0，从而求得 m1，这样便可得出 f（2019）f（1）f（1） 1 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+1）f（1x） ； f（x+2）f（x）f（x） ； f（x+4）f（x） ； f（x）的周期为 4； x0，1时，f（x）2xm； f（0）1m0； m1； x0，1时，f（x）2x1； f（2019）f（1+5054）f（1）f（1）1 故选：B 【点评】考查奇函数的定义，周期函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数 值为 0 10 （5 分）函数的图
16、象大致是（ ） A B C D 【分析】分析函数的奇偶性，及 x（0，）时，函数值的符号，利用排除法可得答案 【解答】解：函数 满足 f（x）f（x） ， 故函数图象关于原点对称，排除 A、B， 当 x（0，）时， 第 10 页（共 21 页） 故排除 D， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档 11 （5 分）已知函数 f（x）loga（x+3）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny+40 上，其中 mn0，则+的最小值为（ ） A B C2 D4 【分析】首先求出对数所经过的定点，进一步利用关系式的恒等变换和基本不等式的应 用
17、求出最小值 【解答】解：函数 f（x）loga（x+3）1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A， 故：A（2，1） 点 A（2，1）在直线 mx+ny+40 上， 则：2m+n4， 所以：2m+2+n6， 整理得：， 则：（） （）+2， 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，基本不等式的应用，关系 式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 12 （5 分）已知：m0，若方程有唯一的实数解，则 m（ ） A B C D1 【分析】方法一：验证，当时，f（x）lnx 与 g（x）x2x 在点（1，0）处有共 同的切线，即可； 方法二：将方程整理
18、得，设，则由题意，直线是函 数 f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0） ，列出方程组求解即可 【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）lnx 与 g（x）x2x 在点（1，0）处 有共同的切线 yx1 第 11 页（共 21 页） 方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函 数 f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0） ，则有：，解之得：x01， y01， 故选：B 【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应 用 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知实数 x，
19、y 满足约束条件，则 zx2y 的最大值为 1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】解：由 zx2y 得 yxz， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） ： 平移直线 yxz， 由图象可知当直线 y经过点 C 时，直线 yxz 的截距最小， 此时 z 最大， 由，得 A（1，0） 代入目标函数 zx2y， 得 z1201， 故答案为：1 第 12 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 14 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画
20、出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为 6+ 【分析】首先还原几何体，然后计算表面积 【解答】解：由三视图得到几何体如图：是正方体的一部分，四棱锥 PABCD， 所以几何体的表面积为：22+22+22+22 6+2（ +） ； 故答案为：6+2+2 【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体，计 第 13 页（共 21 页） 算相关的数据求表面积 15 （5 分）曲线 yex与其在点（0，1）处的切线及直线 x1 所围成的封闭图形的面积为 e 【分析】利用导数的几何意义，求出切线方程，利用积分的几何意义，即可求出封闭区 域的面积 【解答】解：yex的导数为
21、 yex， 则在（0，1）处的切线斜率 k1，切线方程为 yx+1， 则所求封闭图形的面积 S（exx1）dx （exx2x）| e11e 故答案为：e 【点评】本题主要考查导数的几何意义以及积分的几何意义，熟练掌握函数的导数公式 和积分公式是解题的关键，属于基础题 16 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心以 b 为 半径的圆与双曲线 C 的渐近线 bxay0 交于 M，N 两点若3（O 为坐标原点） ， 则双曲线 C 的离心率为 【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系，然后求解双曲 线的离心率即可 【解答】解：双曲线 C
22、：1（a0，b0）的右顶点为 A（a，0） ， 以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点 则点 A 到渐近线 bx+ay0 的距离为 AB， 第 14 页（共 21 页） rb， BN， 3， OB2BN， OAa， a2+， a2c24b4+a2b2， a2（c2b2）4b4， a22b22c22a2， 即 3a22c2， 即ac， e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用：离心率的求法，点到直线的距离公式以及 圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分
23、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知函数 f（x）sinxcos（x+） （）求函数 f（x）的最小正周期； 第 15 页（共 21 页） （）当 x0，时，求函数 f（x）的值域 【分析】 （）化函数 f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期； （）求出 x0，时 f（x）的取值范围，即可得出最值 【解答】解： （）f（x）sinxcos（x+）sinx（cosxsinx） ， sinxcosxsin2x， sin2x， sin2x+cos2x， sin（2x+）， 函数 f（x）的最小正周期 T， （）x0， 2x+， sin（2x+），1， f（x）0， 故
24、函数的值域为0， 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，向量 （2，Sn） ， （1，an1） ，且 和 共线 （）求数列an的通项公式； （）设 bn且数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 【分析】 （）首项利用已知条件求出数列的通项公式 （）利用（）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和 【解答】解： （）数列an的前 n 项和为 Sn，向量 （2，Sn） ， （1，an1） ， 且 和 共线 第 16 页（共 21 页） 故：Sn2an2， 当 n1 时，a12， 当 n2 时，Sn12an12， 得
25、：anSnSn1， 整理得：an2an1， 即：（常数） ， 故：数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 所以： 证明： （）由于：， 所以：， 所以：+， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 19 （12 分）在BC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asinBbcosA，cosB （）求 a：b：c； （）若 BD 为 AC 边的中线，且 BD，求ABC 的面积 【分析】 （）由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA，结合 sinB0，可求 tanA， 结合
26、范围 A（0，） ，可求 A，利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，根据三角形内 角和定理，诱导公式可求 sinC 的值，利用正弦定理可求 a：b：c 的值 （）设 a7x，b8x，c5x，由余弦定理可得 x 的值，进而可求 a，b，c，根据三角 形面积公式即可计算得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （）asinBbcosA， 由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA， 第 17 页（共 21 页） sinB0， sinAcosA，可得：tanA， A（0，） ， A2 分 cosBB（0，） ， sinB， sinCsin（A+B）sin（+B）+4 分 a：b：cs
27、inA：sinB：sinC7：8：56 分 （）设 a7x，b8x，c5x， 在ABD 中，由余弦定理可得：BD2AB2+AD22ABADcosA，可得：21（5x）2+ （4x）2221x2，解得 x1， a7，b8，c5， SABCbcsinA1012 分 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，正 弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化 思想，属于中档题 20 （12 分）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，BAD60，AB1，AD2，以对角线 BD 为折痕把BCD 折起，使点 C 到图 2 所示点 P 的位置使得
28、 PA （）求证：平面 PAB平面 PBD； （）求二面角 BPAD 的余弦值 【分析】 （）在图 1 中，求解三角形可得 ABBD，同理 CDBD，图 2 中，在PAD 中，求解三角形可得 ADPD，结合 PDBD，得到 PD平面 ABD，进一步得到 PD 第 18 页（共 21 页） AB， 又 ABBD，可得 AB平面 PBD，由面面垂直的判定可得平面 PAB平面 PBD； （）以 D 为坐标原点，分别以 DB，DP 所在直线为 y，z 轴，过点 D 在平面 ABD 内平 行于 AB 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PAD 与平面 PAB 的一个法向 量，由两法向量所成
29、角的余弦值可得二面角 BPAD 的余弦值 【解答】 （）证明：图 1 中，BAD60，AB1，AD2， 由余弦定理得：BD21+4212cos603， BD2+AB2AD2，则ABD90，即 ABBD，同理 CDBD， 图 2 中，在PAD 中，AD2，PD1，PA， PD2+AD2PA2，即PDA90，则 ADPD， 又 PDBD，ADBDD，PD平面 ABD， AB平面 ABD，PDAB， 又 ABBD，PDBDD，AB平面 PBD， AB平面 PAB，平面 PAB平面 PBD； （）如图，以 D 为坐标原点，分别以 DB，DP 所在直线为 y，z 轴， 过点 D 在平面 ABD 内平行于
30、 AB 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，B（0，0） ，A（1，0） ，P（0，0，1） ， ， 设平面 PAD 的一个法向量为， 由，取 y1，可得 同理可得平面 PAB 的一个法向量为 |cos| 又二面角 BPAD 为锐二面角，则二面角 BPAD 的余弦值为 第 19 页（共 21 页） 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解二面角，是中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且过点 P（2，1） （）求椭圆 C 的方程； （）若 A，B 是椭圆 C 上的两个动点，且APB 的角平分
31、线总垂直于 x 轴，求证：直 线 AB 的斜率为定值 【分析】 （）由由题意可得，解得 a26，b23，则椭圆方程可求； （）设直线 PA 的方程为 y+1k（x2） ，联立直线方程和椭圆方程，求得 A 的横坐标， 同理求得 B 的横坐标，进一步求得 A、B 的纵坐标的差，代入斜率公式得答案 【解答】解： （）由题意可得，解得 a26，b23， 故椭圆 C 的方程为+1， 证明（2） ：设直线 AP 的斜率为 k，则直线 BP 的斜率为k， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 PA 的方程为 y+1k（x2） ，即 ykx+12k 联立，得（1+2k2）x2+4（k2k2）x+8
32、k28k40 第 20 页（共 21 页） 2x1，即 x1 设直线 PB 的方程为 y+1k（x2） ，同理求得 x2 x2x1 y1y2k（x1+x2）+24k， 直线 AB 的斜率 kAB1， 故直线 AB 的斜率为定值 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算 能力，属中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）lnxax2 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 a1，记函数 g（x）f（x）+x2bx，设 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的 两个极值点，且 be+，求 g（x1）g（x2）的最小值 【分析】 （）求出函数的导数，通过讨论
33、a 的范围，求出函数的单调区间即可； （）求出 g（x1）g（x2）的解析式，结合函数的单调性以及二次函数的性质求出其 最小值即可 【解答】解； （）f（x）的定义域是（0，+） ，f（x）， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增； 当 a0 时，由 f（x）0，解得：0x， 故 f（x）在（0，）递增， 由 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（，+）递减， 综上，a0 时，f（x）在（0，+）递增， a0 时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减； 第 21 页（共 21 页） （）g（x）f（x）+x2bxlnx+x2bx（x0） ， g（x）， x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的两个极值点， x1，x2是方程 x2bx+10 的两个根， 由韦达定理可知， x1x2，0x11， 又 x1+x2x1+be+， 且 yx+在（0，1）递减，可知 0x1， 故 g（x1）g（x2）ln+， 设 h（x）lnx2x2+，x（0， 故 h（x）0，故 h（x）递减， 故 h（x）minh（）2， 故 g（x1）g（x2）的最小值是2 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题
