1、设全集 UR，集合 Ax|76x0，集合 Bx|ylg（x+2），则（UA） B 等于（ ） A （2，） B （，+） C2，） D （2，） 3 （5 分）函数 f（x）的最小正周期为（ ） A B C2 D4 4 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，2，M 为 BC 的中点，则（ ） A+ B+ C+ D+ 5 （5 分）已知函数 f（x），且 f（a）2，则 f（7a）（ ） A B C Dlog37 6 （5 分）已知 p：xR，mx2+10，q：xR，x2+mx+10，若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为（ ） Am2 Bm2 Cm2 或 m2 D2m2 7 （5 分）已知
2、命题 p：x+y2，命题 q：x，y 不都是1，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）设曲线 yxn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1x2xn的值为（ ） A B C D1 9 （5 分）已知数列an对任意的 nN*有 an+1an+1 成立，若 a11，则 a10等 于（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 10 （5 分）在等差数列an中，其前 n 项的和为 Sn，a12018，2，则 S2018（ ） A2018 B2018 C2017 D2017 11 （5
3、 分）给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为 120如图所示，点 C 在 以 O 为圆心的圆弧上变动 若x+y， 其中 x， yR， 则 x+y 的最大值是 （ ） A B2 C D3 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（4x）f（x） ，且当 x（1，3时， f（x）则 g（x）f（x）|1gx|的零点个数是（ ） A7 B8 C9 D10 三、填空题（每小题三、填空题（每小题 5 分，共分，共 16 分）分） 13 （5 分）已知向量 ， 夹角为 45，且| |1，|2 |，则| | 14 （5 分）已知“命题 p： （xm）23（xm） ”是“命题 q：
4、x2+3x40”成立的必要 不充分条件，则实数 m 的取值范围为 15 （5 分）在正项等比数列an中，a6+a73，则满足 a1+a2+ana1a2an的 最大正整数 n 的值为 16 （5 分）设点 P 在曲线 yex上，点 Q 在曲线 yln（2x）上，则|PQ|最小值为 三、解答题三、解答题 17 （10 分）设 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，q：实数 x 满足|x3|1 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a0 且p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
5、 4bsinAa （1）求 sinB 的值； 第 3 页（共 19 页） （2）若 a，b，c 成等差数列，且公差大于 0，求 cosAcosC 的值 19 （12 分）已知数列an是正项数列，bn是等差数列，bn，bn+2成等比数列，且 a13，a315 （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列的前 n 项和为 Sn，证明 Sn 20 （12 分）已知 f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x） ，xR （）最小正周期及对称轴方程； （）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a 3，求 BC 边上的高的最大值 21 （12 分）设函数 （1）若，
6、求 f（x）的极值； （2）若 f（x）在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）若数列An满足 An+1An2，则称数列An为“平方递推数列” 已知数列an 中，a12，点（an，an+1）在函数 f（x）2x2+2x 的图象上，其中 n 为正整数 （1）证明数列2an+1是“平方递推数列” ，且数列lg（2an+1）为等比数列； （2） 设 （1） 中 “平方递推数列” 的前 n 项之积为 Tn， 即 Tn （2a1+1） （2a2+1） （2an+1） ， 求数列an的通项及 Tn关于 n 的表达式； （3）记 bnTn，求数列bn的前 n 项和 Sn，并求使 Sn2
7、012 的 n 的最小值 第 4 页（共 19 页） 2018-2019 学年山西省大同一中高三（上）开学数学试卷（文科）学年山西省大同一中高三（上）开学数学试卷（文科） （8 月份月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）复数 z+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z+3i， 复数 z+3i 在复平面内对应的点的坐标为（2，2） ，所在的象限为第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代
8、数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分）设全集 UR，集合 Ax|76x0，集合 Bx|ylg（x+2），则（UA） B 等于（ ） A （2，） B （，+） C2，） D （2，） 【分析】先化简集合 A、B，求出 A 在 U 中的补集UA，再计算（UA）B 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|76x0x|x，+） ， 集合 Bx|ylg（x+2）x|x+20x|x2（2，+） ， UA（，） ， （UA）B（2，） 故选：A 【点评】本题考查集合的化简与运算问题，是基础题目 3 （5 分）函数 f（x）的最小正周期为（ ） A B C2 D4 第 5
9、 页（共 19 页） 【分析】直接利用正弦函数的周期公式 T，求出它的最小正周期即可 【解答】解：函数 f（x）由 T|4，故 D 正 确 故选：D 【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力 4 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，2，M 为 BC 的中点，则（ ） A+ B+ C+ D+ 【分析】 根据平面向量的线性运算与几何意义， 表示出+， 且+； 两式相加求出的值 【解答】解：如图所示， 等腰梯形 ABCD 中， 2，； 又 M 为 BC 的中点， + ， 又+， +； 2（+）+（+） +； + 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与几何意义的应用问题，
10、是基础题目 第 6 页（共 19 页） 5 （5 分）已知函数 f（x），且 f（a）2，则 f（7a）（ ） A B C Dlog37 【分析】利用分段函数性质求解 【解答】解：函数 f（x），且 f（a）2， 当 a0 时，f（a）2a22，无解； 当 a0 时，f（a）log3a2，解得 a9， f（7a）f（2）2 22 故选：A 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质 的合理运用 6 （5 分）已知 p：xR，mx2+10，q：xR，x2+mx+10，若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围为（ ） Am2 Bm2 Cm2 或 m2 D2m2
11、【分析】由题意，可先解出两命题都是真命题时的参数 m 的取值范围，再由 pVq 为假命 题，得出两命题都是假命题，求出两命题都是假命题的参数 m 的取值范围，它们的公共 部分就是所求 【解答】解：由 p：xR，mx2+10，可得 m0， 由 q：xR，x2+mx+10，可得m240，解得2m2 因为 pVq 为假命题，所以 p 与 q 都是假命题 若 p 是假命题，则有 m0；若 q 是假命题，则有 m2 或 m2 故符合条件的实数 m 的取值范围为 m2 故选：A 【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是准确理解复合命题的真假判断规 则， 7 （5 分）已知命题 p：x+y2，命题
12、q：x，y 不都是1，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 7 页（共 19 页） 【分析】根据逆否命题的等价性先判断q 是p 充分不必要条件即可得到结论 【解答】解：p：x+y2，q：x，y 都是1， 则当 x，y 都是1 时，满足 x+y2， 反之当 x1，y3 时，满足 x+y2，但 x，y 都是1 不成立， 即q 是p 充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知 p 是 q 的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性先判断q 是p 充分不必要条件是解决本题的关键 8 （5
13、 分）设曲线 yxn+1（nN*）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1x2xn的值为（ ） A B C D1 【分析】欲判 x1x2xn的值，只须求出切线与 x 轴的交点的横坐标即可，故先利用导 数求出在 x1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解 决 【解答】解：对 yxn+1（nN*）求导得 y（n+1）xn， 令 x1 得在点（1，1）处的切线的斜率 kn+1，在点 （1，1）处的切线方程为 y1k（xn1）（n+1） （xn1） ， 不妨设 y0， 则 x1x2x3xn， 故选：B 【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线
14、上某点切线方程、数列等基础 知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题 9 （5 分）已知数列an对任意的 nN*有 an+1an+1 成立，若 a11，则 a10等 于（ ） A B C D 【分析】利用累加法以及裂项法即可得到结论 【解答】解：an+1an+1， 第 8 页（共 19 页） an+1an（）+11（） ， a2a11（1） ， a3a21（） ， a4a31（） ， a10a91（） ， 两边同时相加得 a10a19（1） ， 则 a10a1+9（1）9+， 故选：A 【点评】本题主要考查数列递推公式的应用，利用累加法是解决本题的关键 10 （5 分）在等差数列an中
15、，其前 n 项的和为 Sn，a12018，2，则 S2018（ ） A2018 B2018 C2017 D2017 【分析】 设等差数列an的公差为 d， 由题意可得： 数列为等差数列，a1+d， 其公差为由2，解得 d，再利用求和公式即可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d， 由题意可得：数列为等差数列，a1+d，其公差为 由2， 22，解得 d2 则 S20182018（2018）+2018 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 11 （5 分）给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为 120如图所示，点 C
16、在 第 9 页（共 19 页） 以 O 为圆心的圆弧上变动 若x+y， 其中 x， yR， 则 x+y 的最大值是 （ ） A B2 C D3 【分析】首先以 O 为原点，向量的方向为 x 轴正方向，建立平面直角坐标系，并设 COA，从而可写出 A，B，C 三点的坐标，从而根据条件便可得到 ，这样便可得到，根据两角 和的正弦公式即可得到 x+y2sin（+30） ，根据 的范围即可得出 x+y 的最大值 【解答】解：如图，以 O 为坐标原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直角坐标系，则： A（1，0） ，B（） ，设AOC，0120，C（cos，sin） ； ； ； ； ； 0120； 30
17、+30150； +3090，即 60时 x+y 取最大值 2 故选：B 第 10 页（共 19 页） 【点评】考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数乘 和加法运算，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最大值 12 （5 分）已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（4x）f（x） ，且当 x（1，3时， f（x）则 g（x）f（x）|1gx|的零点个数是（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】先根据函数的周期性画出函数 yf（x）的图象，以及 y|1gx|的图象，结合图 象当 x10 时，ylg101 此时与函数 yf（x）无交点，即可判定函数函数 g（x）f （
18、x）|1gx|的零点个数 【解答】解：R 上的偶函数 f（x）满足 f（4x）f（x） ， 函数 f（x）为周期为 4 的周期函数， 根据周期性画出函数 yf（x）的图象，ylog6x 的图象 根据 y|lgx|在（1，+）上单调递增函数，当 x10 时 log101， 当 x10 时 ylgx 此时与函数 yf（x）无交点， 结合图象可知有 10 个交点， 则函数 g（x）f（x）lgx 的零点个数为 10， 故选：D 【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数 f（x）性质，作出其图象， 将函数 g（x）f（x）|1gx|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中 的一
19、个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易 第 11 页（共 19 页） 三、填空题（每小题三、填空题（每小题 5 分，共分，共 16 分）分） 13 （5 分）已知向量 ， 夹角为 45，且| |1，|2 |，则| | 【分析】利用数量积的性质即可得出 【解答】解：向量 ， 夹角为 45，且| |1，|2 | ， 化为10， 化为， ， 解得| | 故答案为： 【点评】本题考查了数量积的性质，属于基础题 14 （5 分）已知“命题 p： （xm）23（xm） ”是“命题 q：x2+3x40”成立的必要 不充分条件，则实数 m 的取值范围为 （，71，+） 【分析】先求出命题 p，q 成立的等价
20、条件，利用 p 是 q 成立的必要不充分条件，建立不 等关系，即可求实数 m 的取值范围 【解答】解：由： （xm）23（xm） ，解得（xm） （xm3）0，即 xm+3 或 x m 所以 p：xm+3 或 xm 由 x2+3x40，解得4x1，即 q：4x1 因为 p 是 q 成立的必要不充分条件， 所以 qp，pq 不成立 即满足 m+34 或 m1，解得 m7 或 m1 所以实数 m 的取值范围为： （，71，+） 故答案为： （，71，+） 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决此类问题的基本方 法 15 （5 分）在正项等比数列a
21、n中，a6+a73，则满足 a1+a2+ana1a2an的 最大正整数 n 的值为 12 【分析】设正项等比数列an首项为 a1，公比为 q，由题意可得关于这两个量的方程组， 解之可得数列的通项公式和 a1+a2+an及 a1a2an的表达式，化简可得关于 n 的不等 式，解之可得 n 的范围，取上限的整数部分即可得答案 【解答】解：设正项等比数列an首项为 a1，公比为 q， 由题意可得，解之可得：a1，q2， 故其通项公式为 an2n 6 记 Tna1+a2+an， Sna1a2an2 5242n6254+n6 由题意可得 TnSn，即， 化简得：2n1，即 2n1， 因此只须 n， （n
22、1） ，即 n213n+100， 解得n， 由于 n 为正整数，因此 n 最大为的整数部分，也就是 12 故答案为：12 【点评】本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题 16 （5 分）设点 P 在曲线 yex上，点 Q 在曲线 yln（2x）上，则|PQ|最小值为 （1 ln2） 第 13 页（共 19 页） 【分析】根据函数 yex与函数 yln（2x）互为反函数，图象关于 yx 対称，则|PQ| 最小值为为函数 yex上的点 P 到直线 yx 最小距离的 2 倍，利用点到直线的距离进 行求解即可 【解答】解：函数 yex与函数 yln（2x）互为反函数，图象关于 yx
23、 対称， |PQ|最小值为为函数 yex上的点 P 到直线 yx 最小距离的 2 倍， 设 P（x，ex） ， 则 P 到直线 yx 的距离 d， exx0 恒成立， d 设 h（x）exx， 则 h（x）ex1，由 h（x）0 得 ex2，可得 xln2，此时函数递增， 由 h（x）0 得 ex2，可得 xln2，此时函数递减， 即当 xln2 时，函数 h（x）取得极小值，同时也是最小值 h（ln2）eln2ln21ln2， 则 d 的最小值为， 则|PQ|的最小值为 2d2（1ln2） ， 故答案为：（1ln2） 【点评】本题主要考查函数最值的求解，结合互为反函数的对称性，转化为求点到直
24、线 y x 的距离， 结合导数与最值的关系是解决本题的关键 综合性强， 考查学生的运算能力 三、解答题三、解答题 17 （10 分）设 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，q：实数 x 满足|x3|1 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 a0 且p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）若 a1，根据 pq 为真，则 p，q 同时为真，即可求实数 x 的取值范围； （2）根据p 是q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由 x24ax+3a20 得（x3a）
25、（xa）0 当 a1 时，1x3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1x3 由|x3|1，得1x31，得 2x4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2x4， 若 pq 为真，则 p 真且 q 真， 实数 x 的取值范围是 2x3 （2）由 x24ax+3a20 得（x3a） （xa）0， 若p 是q 的充分不必要条件， 则pq，且qp， 设 Ax|p，Bx|q，则 AB， 又 Ax|px|xa 或 x3a， Bx|qx|x4 或 x2， 则 0a2，且 3a4 实数 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及充分条件和必要条件的应用，考查学生 的推理能力 18 （12
26、 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 4bsinAa （1）求 sinB 的值； （2）若 a，b，c 成等差数列，且公差大于 0，求 cosAcosC 的值 【分析】 （1）由已知及正弦定理可得 4sinBsinAsinA，进而可求 sinB 的值 （2）由等差数列的性质可得：2ba+c，结合（1）及正弦定理得 sinA+sinC，设 cosAcosCx，可求 22cos（A+C）+x2，利用同角三角函数基本关系式求得 cosB， 进而计算得解 【解答】解： （1）4bsinAa，由正弦定理可得：4sinBsinAsinA， 又 sinA0， 解得：sinB （2
27、）a，b，c 成等差数列，且公差大于 0，可得：2ba+c， 由正弦定理以及第 1 问得：sinA+sinC， 第 15 页（共 19 页） 设 cosAcosCx， 2+2，得 22cos（A+C）+x2， 又 abc，ABC， 所以 0B90， 故 cos（A+C）cosB 代入式得 x2 因此 cosAcosC 【点评】本题主要考查了正弦定理，等差数列的性质，同角三角函数基本关系式在解三 角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19 （12 分）已知数列an是正项数列，bn是等差数列，bn，bn+2成等比数列，且 a13，a315 （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列的
28、前 n 项和为 Sn，证明 Sn 【分析】 （1）由 bn，bn+2成等比数列，得 anbnbn+2由已知得出 b1（b1+2d） a13， （b1+2d） （b1+4d）a315，解出 b1，d；写出通项公式 （2）由（1）得：ann（n+2） ，求出并将其裂成，求出前 n 项和 为 Sn，即证明 【解答】解（1）由 bn，bn+2成等比数列，得 anbnbn+2 设bn的公差为 d， a13，a315， b1（b1+2d）a13， （b1+2d） （b1+4d）a315， 解得：b1d1 或 b1d1 bnn 或 bnn6 （2）由（1）得：ann（n+2） ， 第 16 页（共 19 页
29、） 12 【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求法；考查数列求和的方法；错位相 减及裂项求和是常考的求和方法 20 （12 分）已知 f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x） ，xR （）最小正周期及对称轴方程； （）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a 3，求 BC 边上的高的最大值 【分析】 （）利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三 角函数图象和性质求得其最小正周期 T，及对称轴 （）利用三角形面积公式得到 h 和 bc 的关系式，进而利用余弦定理得到 b 和 c 的关系 式，利用基本不等式的性质求得 b
30、c 的最大值，进而求得 h 的最大值 【解答】解： （）f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x）cos2x2cosxsinx cos2xsin2x2（cos2xsin2x）2cos（2x+） ， T， 令 2x+k（kZ） ，即 x（kZ） ， 函数 f（x）的对称轴方程为 x（kZ） ， （）f（x）2cos（2x+） ， f（A）2cos（2A+），即 cos（2A+）， 0A， 2A+， 2A+， A 设 BC 边上的高为 h， 则 SABCbcsinAah，即 bc2h，hbc， 第 17 页（共 19 页） cosA， bc+9b2+c2， b2+c22bc，当且仅当 bc
31、时，等号成立 bc+92bc，bc9，此时 bc， A， bca3，等号能成立 此时 h h 的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，三角函数恒等变换的应用考 查了基础的知识的综合运用 21 （12 分）设函数 （1）若，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）在定义域上单调递增，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的定义域，代入 a 的值，求出函数的单调区间，求出函数的极值 即可； （2）求出函数的导数，问题转化为，令，求出函数的导数， 根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）定义域为 x（0，+） ， 当时，且 f（1）0 令 h（x）
32、x+1lnx，则， 故 h（x）在定义域上是减函数，注意到 h（1）0， 当 x（0，1）时，h（x）h（1）0，此时 f（x）0； 当 x（1，+）时，h（x）h（1）0，此时 f（x）0 f（x）的极大值为 f（1）0，无极小值 （2）当 x（0，+）时，故， 令， 第 18 页（共 19 页） 由 g（x）0 得 x（0，e2） ， 由 g（x）0 得 x（e2，+） ， 故 g（x）的最大值为， ， 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道 综合题 22 （12 分）若数列An满足 An+1An2，则称数列An为“平方递推数列” 已知数列an 中，a
33、12，点（an，an+1）在函数 f（x）2x2+2x 的图象上，其中 n 为正整数 （1）证明数列2an+1是“平方递推数列” ，且数列lg（2an+1）为等比数列； （2） 设 （1） 中 “平方递推数列” 的前 n 项之积为 Tn， 即 Tn （2a1+1） （2a2+1） （2an+1） ， 求数列an的通项及 Tn关于 n 的表达式； （3）记 bnTn，求数列bn的前 n 项和 Sn，并求使 Sn2012 的 n 的最小值 【分析】 （1）由 an+12an2+2an，2an+1+12（2an2+2an）+1（2an+1）2，能证明数列 2an+1是“平方递推数列” ，由此能求出数
34、列lg（2an+1）为首项是 lg5，公比为 2 的等 比数列 （2）由已知得 an（1） ，由此能求出 Tn （3）由 bn2，得 Sn2n2+由此能求出 使 Sn2012 的 n 的最小值 【解答】 （1）证明：an+12an2+2an，2an+1+12（2an2+2an）+1（2an+1）2， 数列2an+1是“平方递推数列” 由以上结论 lg（2an+1+1）lg（2an+1）22lg（2an+1） ， 数列lg（2an+1）为首项是 lg5，公比为 2 的等比数列 （2）解：lg（2an+1）lg（2a1+1）2n 12n1lg 5 ， 2an+1，an（1） lg Tnlg（2a1+1）+lg（2an+1）（2n1）lg 5， 第 19 页（共 19 页） Tn （3）解：bn2， Sn2n2+ Sn2 012，2n2+2 012 n+1008nmin1008 【点评】本题考查数列是“平方递推数列” ，且为等比数列的证明，考查数列an的通项 及 Tn关于 n 的表达式的求法，考查使 Sn2012 的 n 的最小值的求法，解题时要注意对 数性质的合理运用
