1、若复数 z 满足（1i）z2i，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 在复平面内 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）设 a1og26，blog515，clog721，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 4 （5 分）执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 12，20，则输出的 a（ ） A0 B2 C4 D12 5 （5 分）已知数列an的前 n 项和 Sn2+an，且 a11，则 S5（ ） A27 B C D31 6 （5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜
2、想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 307+23在不超过 30 的素数 中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ） A B C D 7 （5 分）在ABC 中，a2，C，tan，则ABC 的面积等于（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 8 （5 分）若函数在 R 上是增函数，则 a 的取值范围为（ ） A2，3 B2，+） C1，3 D1，+） 9 （5 分）已知向量 、 夹角为 60，且| |2，| 2 |2，则| |（ ） A2 B2 C3 D3 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，0，0）的图象关于点 M（）
3、成中心对称，且与点 M 相邻的一个最低点为 N（） ，则对于下 列判断： 直线 x是函数 f（x）图象的一条对称轴； 点（，0）是函数 f（x）的一个对称中心； 函数 y1 与 yf（x） （）的图象的所有交点的横坐标之和为 7 其中正确的判断是（ ） A B C D 11 （5 分）已知椭圆长轴两个端点分别为 A、B，椭圆上一动点 P（不同于 A，B）和 A、B 的连线的斜率之积为常数 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图 象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B3e 2，3e
4、 Ce 2，3e D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）定积分，则（x+a）5展开式中 x2的系数是 14（5 分） 已知x表示不超过实数 x 的最大整数， 函数 g （x） x， x0是函数 的零点，则 g（x0） 第 3 页（共 25 页） 15 （5 分）已知数列an中，Sn是其前 n 项和，Sn+（1）nan，则 S19 16 （5 分）已知四边形 ABCD 中，ABBCCD1，DA，设ABD 与BCD 面积分 别为 S1，S2则 S12+S22的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 满足 （1）求角 A； （2）若ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 S 的最大值 18 （12 分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了 100 位顾客购物的相关数 据如表： 一次购物款 （单位：元） 0，50） 50，100） 100，150） 150，200） 200，+） 顾客人数 a 20 30 20 b 统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客占 30%，该商场每日大约有 5000 名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于 100 元的顾客发放纪念品（
6、每人一 件） （1）试确定 a，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量； （2）现有 5 人前去该商场购物，求获得纪念品的人数 的分布列与数学期望 19 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1中点 （）求证：AB1面 A1BD； （）求二面角 AA1DB 的余弦 20 （12 分）已知 p0，抛物线 C1：x22py 与抛物线 C2：y22px 异于原点 O 的交点为 M， 且抛物线 C1在点 M 处的切线与 x 轴交于点 A，抛物线 C2在点 M 处的切线与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C 第 4 页（共 25 页） （1）若直线 yx+1
7、与抛物线 C1交于点 P，Q，且，求； （2）证明：BOC 的面积与四边形 AOCM 的面积之比为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）mexlnx1 （）当 m1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）当 m1 时，证明：f（x）1 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：y2，曲线 C2：（02） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C1，C2的极坐标方程； （）直线 l 的极坐标方程为 （R） ，若 l 与 C1交于点 P，l 与 C2的交点为 O， Q，求
8、C2PQ 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x5|+|x+4| （）求不等式 f（x）11 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）（）3a 110 的解集不是空集，求实数 a 的取值 范围 第 5 页（共 25 页） 2018-2019 学年山西省太原五中高三 （上）学年山西省太原五中高三 （上） 10 月月考数学试卷 （理月月考数学试卷 （理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
9、是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x22x30，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|1x3 Cx|1x0 或 0x3 Dx|1x0 或 1x3 【分析】先化简 A，B，再求出其交集即可 【解答】解：由 Ax|1x3，Bx|x0，或 x1， 故 ABx|1x0，或 1x3 故选：D 【点评】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题 2 （5 分）若复数 z 满足（1i）z2i，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 在复平面内 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解
10、：由（1i）z2i，得 z， 复数 在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）设 a1og26，blog515，clog721，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 【分析】由对数的单调性可得 a2b1，再根据 c1，利用对数的运算法则，判断 b c，从而得到 a、b、c 的大小关系 第 6 页（共 25 页） 【解答】解：由于 alog26log242；2clog7211+log73，ac 2blog5151+log53， log37
11、log35， 可得 bc 综上可得，abc， 故选：A 【点评】本题主要考查对数值大小的比较，换底公式的应用，属于基础题 4 （5 分）执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 12，20，则输出的 a（ ） A0 B2 C4 D12 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算当前 a，b 的值，即可得出结论 【解答】解：由 a12，b20，ab，则 b20128； 由 ab，则 a1284； 由 ba，则 b844； 由 ab4，则输出 a4 故选：C 【点评】本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了古代数学文化的应用问题， 是基础题 5 （5 分）已知数列an的前 n 项和 S
12、n2+an，且 a11，则 S5（ ） A27 B C D31 【分析】Sn2+an，且 a11，可得 1a1S12+，解得 1n2 时，Sn2 an2（SnSn1） ，化为：Sn2（Sn12） ，S121，利用等比数列的通项公 式即可得出 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：Sn2+an，且 a11， 1a1S12+，解得 1 n2 时，Sn2an2（SnSn1） ， 化为：Sn2（Sn12） ，S121， Sn2，即 Sn2， 则 S52， 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 6 （5 分）我国数学家陈景润在哥
13、德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜 想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 307+23在不超过 30 的素数 中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ） A B C D 【分析】利用列举法先求出不超过 30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即 可 【解答】解：在不超过 30 的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共 10 个， 从中选 2 个不同的数有45 种， 和等于 30 的有（7，23） ， （11，19） ， （13，17） ，共 3 种， 则对应的概率 P， 故选：C 【点评】 本题主要考查古典概型的
14、概率的计算， 求出不超过 30 的素数是解决本题的关键 7 （5 分）在ABC 中，a2，C，tan，则ABC 的面积等于（ ） A B C D 【分析】先求出 tanB，利用同角三角函数求出 sinB，利用正弦定理求出 b，最后利用三 角形的面积公式计算出ABC 的面积 第 8 页（共 25 页） 【解答】解：由二倍角公式可得， 由，可得， 所以，sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 由正弦定理可得，得， 因此，ABC 的面积为， 故选：D 【点评】本题考察正弦定理与三角形的面积，关键在于选择合适的定理求三角形的边和 角，属于中等题 8 （5 分）若函数在 R 上是增
15、函数，则 a 的取值范围为（ ） A2，3 B2，+） C1，3 D1，+） 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和二次函数的性质分析可得， 解可得 a 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数在 R 上是增函数， 则有， 解可得：2a3， 则 a 的范围是2，3； 故选：A 【点评】本题考查函数单调性的综合应用，关键是掌握函数单调性的定义 9 （5 分）已知向量 、 夹角为 60，且| |2，| 2 |2，则| |（ ） A2 B2 C3 D3 第 9 页（共 25 页） 【分析】 由| 2 |2得， 展开左边后代入数量积公式， 化为关于 的一元二次方程求解 【解答】解：| 2 |
16、2， ，即60， ，即，解得 故选：C 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查一元二次方程的解法，是基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，0，0）的图象关于点 M（）成中心对称，且与点 M 相邻的一个最低点为 N（） ，则对于下 列判断： 直线 x是函数 f（x）图象的一条对称轴； 点（，0）是函数 f（x）的一个对称中心； 函数 y1 与 yf（x） （）的图象的所有交点的横坐标之和为 7 其中正确的判断是（ ） A B C D 【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴 方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案
17、 【解答】解：函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，0，0）的图象关于点 M（）成中心对称，且与点 M 相邻的一个最低点为 N（） ， 则：， T， 进一步解得：，A3 由于函数 f （x） Asin （x+）（其中 A0， 0， 0） 的图象关于点 M （） 成中心对称， 2+k（kZ） ， 第 10 页（共 25 页） 解得：k， 由于 0， 当 k1 时， f（x）3sin（2x+） 当 x时，f（）3sin，故不正确； 由 2x+k， 解得：x， 当 k0 时，对称中心为： （，0） ，故正确； 由于：x， 则：02x+6， 函数 f（x）的图象与 y1 有 6 个交点 根据函
18、数的交点设横坐标为 x1、x2、x3、x4、x5、x6， 根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为 7故正确 正确的判断是 故选：C 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用， 考查正弦型函数的解析式的求法， 主要确定 A， 、 的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于中档题 11 （5 分）已知椭圆长轴两个端点分别为 A、B，椭圆上一动点 P（不同于 A，B）和 A、B 的连线的斜率之积为常数 ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】根据直线的斜率公式，即可求得椭圆方程，求得，利用椭圆的离心率 公式即可求得离心率 e 的值； 【解答】解：椭圆长轴两个端点分别为 A、B
19、， 第 11 页（共 25 页） A（a，0） ，B（a，0） 设 P 点坐标为（x，y） ，则 kAP，kBP， kAPkBP， y2（x2a2） ， 整理可得+1， a2b2， ， e 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查直线的斜率之积为 定值，属于中档题 12 （5 分）已知函数，g（x）mx+1，若 f（x）与 g（x）的图 象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m 的取值范围是（ ） A B3e 2，3e Ce 2，3e D 【分析】在函数 f（x）与 g（x）上分别设出关于直线 y1 对称的点的坐标，利用消参法， 转化为关于 a 的表达式，构造
20、函数，求函数的导数研究函数的最值进行求解即可 【解答】解：设（a，b）是函数 f（x）上的点，则ae2，b2lna， 则点（a，b）关于 y1 对应的点为（a，2b）在 g（x）上， 即 2bam+1 有解， 即 12lnaam， 当 m0 时，不满足条件 当 m0 时，m， 设 h（a）， 第 12 页（共 25 页） 则 h（a）， 当ae2时，1lna2，则，22lna4， 即由 h（a）0，得3+2lna0，得 lna，即ae2，时，函数为增函数， 由 h（a）0，得3+2lna0，得 lna，即a时，函数为减函数， 即当 a时， 函数 h （a） 取得极小值同时也是最小值 h （）
21、2， 又 h（e2），h（）3e，函数 h（a）的最大值为 3e， 即 h（a）的取值范围是， 则 m 的取值范围是， 故选：D 【点评】本题主要考查导数的综合应用，根据点的对称性，建立方程关系，构造函数， 利用导数研究函数的最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）定积分，则（x+a）5展开式中 x2的系数是 80 【分析】求定积分得到 a 的值，再根据二项展开式的通项公式，求得（x+a）5展开式中 x2的系数 【解答】 解： 定积分 （ex+e x+x） 2， 则 （x+a） 5 （x+2
22、） 5， 它的开式中 x2的系数是2380， 故答案为：80 【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式 系数的性质，属于基础题 第 13 页（共 25 页） 14（5 分） 已知x表示不超过实数 x 的最大整数， 函数 g （x） x， x0是函数 的零点，则 g（x0） 2 【分析】根据函数的单调性判断：2x03，即可取整求解 【解答】解：函数 f（x）log2x，在（0+）单调递增 f（3）log2310，f（2）10，根据零点判定定理可得 2x03， g（x0）x02， 故答案为：2； 【点评】本题考查了函数的零点判断，取整函数，属于中档题，关键是能够
23、看出函数是 单调递增函数 15 （5 分）已知数列an中，Sn是其前 n 项和，Sn+（1）nan，则 S19 【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分组求和与等比 数列的前 n 项求解 【解答】解：由 Sn+（1）nan， 得，则； 当 n2 时， 得： 当 n 为偶数时，有，则， （n 为奇数） ； 当 n 为奇数时，有， ，即 （n 为偶数） S19（a1+a3+a19）+（a2+a4+a18） 第 14 页（共 25 页） 故答案为： 【点评】解：本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了数列的分组求和与等 比数列前 n 项和的求法，是中档题 16 （5 分
24、）已知四边形 ABCD 中，ABBCCD1，DA，设ABD 与BCD 面积分 别为 S1，S2则 S12+S22的最大值为 【分析】直接利用已知条件，建立等量关系式，利用三角形的面积公式和余弦定理及三 角函数关系式的恒等变换求出结果 【解答】解：四边形 ABCD 中，ABBCCD1，DA， 设ABD 与BCD 面积分别为 S1，S2， 则 S1ABADsinA，CDBCsinC 在ABD 中，利用余弦定理：BD2AD2+AB22ADABcosA， 所以：BD222cosC 在BCD 中，利用余弦定理：BD2CD2+CB22CDCBcosC， 所以：BD222cosC 所以：cosCcosA1
25、则 S12+S22 （）2 当时，S12+S22最大值，最大值为， 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式的应用，余弦定理的应用，三角函数 关系式的恒等变换，函数的性质的应用属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 满足 （1）求角 A； 第 15 页（共 25 页） （2）若ABC 的外接圆半径为 1，求ABC 的面积 S 的最大值 【分析】 （1）根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角 A 的值； （2）由正弦、余弦定理，利用三角形面积公式与基本不
26、等式， 即可求得ABC 面积的最大值 【解答】解： （1）设内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， 根据， 可得， a2b2+c2bc，（2 分） cosA，（4 分） 又 0A， A；（6 分） （2）由正弦定理得2R， a2RsinA2sin，（8 分） 由余弦定理得 3b2+c2bc2bcbcbc，（10 分） ABC 的面积为 SbcsinA3， （当且仅当 bc 时取等号） ， ABC 面积 S 的最大值为（12 分） 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与基本不等 式的应用问题，是中档题 18 （12 分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商
27、场收集了 100 位顾客购物的相关数 据如表： 一次购物款 （单位：元） 0，50） 50，100） 100，150） 150，200） 200，+） 顾客人数 a 20 30 20 b 统计结果显示 100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客占 30%，该商场每日大约有 5000 名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于 100 元的顾客发放纪念品（每人一 件） 第 16 页（共 25 页） （1）试确定 a，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量； （2）现有 5 人前去该商场购物，求获得纪念品的人数 的分布列与数学期望 【分析】 （1）通过已知条件，结合 100 位顾客中购物款
28、不低于 150 元的顾客占 30%，求 解 b，然后求解 a （2）判断 5 人购物获得纪念品的人数服从二项分布，求出 的可能值，求出概率，得到 分布列，然后求解期望即可 【解答】解： （1）由已知，100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客有 b+2010030%， b10；a100（20+30+20+10）20 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 （2）由（1）可知 1 人购物获得纪念品的频率即为概率 P 故5人 购 物 获 得 纪 念 品 的 人 数 服 从 二 项 分 布 ， 即， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P 数学期望为 【点评】本题考查离散型随机变量的分
29、布列以及期望的求法，是基本知识的考查 19 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1中点 （）求证：AB1面 A1BD； （）求二面角 AA1DB 的余弦 第 17 页（共 25 页） 【分析】 （） 取 BC 中点 O， 连结 AO， 由已知条件推导出 AO平面 BCC1B1， 连结 B1O， 则 B1OBD，AB1BD，AB1A1B，由此能证明 AB1平面 A1BD （）设 AB1与 A1B 交于点 C，在平面 A1BD 中，作 GFA1D 于 F，连结 AF，则AFG 为二面角 AA1BB 的平面角，由此能求出二面角 AA1DB 的余弦值 【解答】
30、 （）证明：取 BC 中点 O，连结 AO， ABC 为正三角形， AOBC， 正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1， AO平面 BCC1B1， 连结 B1O，在正方形 BB1C1C 中，O、D 分别为 BC、CC1的中点， B1OBD， AB1BD， 在正方形 ABB1A1中，AB1A1B， AB1平面 A1BD （）解：设 AB1与 A1B 交于点 C， 在平面 A1BD 中，作 GFA1D 于 F，连结 AF， 由（）得 AB1平面 A1BD， AFG 为二面角 AA1BB 的平面角， 在AA1D 中，由等面积法可求得 AF， 又AG， sin，cosAFG 第
31、 18 页（共 25 页） 二面角 AA1DB 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真 审题，注意空间思维能力的培养 20 （12 分）已知 p0，抛物线 C1：x22py 与抛物线 C2：y22px 异于原点 O 的交点为 M， 且抛物线 C1在点 M 处的切线与 x 轴交于点 A，抛物线 C2在点 M 处的切线与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C （1）若直线 yx+1 与抛物线 C1交于点 P，Q，且，求； （2）证明：BOC 的面积与四边形 AOCM 的面积之比为定值 【分析】 （1）根据题意，设 P，Q 的坐标分别为（x1，y1
32、） ， （x2，y2） ，联立直线与抛物线 的方程可得 x22px2p0，结合根与系数的关系用 p 表示|PQ|的值，分析可得 p 的值， 进而由数量积的计算公式可得x1x2+（x1+1） （x2+1） ，结合根与 系数的关系分析可得答案； （2）根据题意，联立 x22py 与 y22px 的方程，可得 M 的值，联立直线与抛物线的方 程，可以用 P 表示：BOC 的面积与四边形 AOCM 的面积之比，验证即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，若直线 yx+1 与抛物线 C1交于点 P，Q， 设 P，Q 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 由，消去 y 得 x22px2p0
33、 则 x1+x22p，x1x22p ， p0，p1 x1x2+（x1+1） （x2+1）2x1x2+x1+x2+14+2+11 第 19 页（共 25 页） （2）证明：由，得 xy2p 或 xy0， 则 M（2p，2p） 设直线 AM：y2pk1（x2p） ，与 x22py 联立得 由，得，k12 设直线 BM：y2pk2（x2p） ，与 y22px 联立得 由，得， 故直线 AM：y2p2（x2p） ，直线 BM：， 从而不难求得 A（p，0） ，B（2p，0） ，C（0，p） ， ， BOC 的面积与四边形 AOCM 的面积之比为（为定值） 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛
34、物线的几何性质，属于综合题 21 （12 分）已知函数 f（x）mexlnx1 （）当 m1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）当 m1 时，证明：f（x）1 【分析】 （）求得 m1 时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方 程可得所求切线的方程； （）证法一：运用分析法证明，当 m1 时，f（x）mexlnx1exlnx1要证 明 f（x）1，只需证明 exlnx20，思路 1：设 g（x）exlnx2，求得导数，求 得单调区间，可得最小值，证明大于 0 即可； 思路 2：先证明 exx+1（xR） ，设 h（x）exx1，求得导数和单调区间，
35、可得最小 值大于 0；证明 xlnx10设 p（x）xlnx1，求得导数和单调区间，可得最小 值大于 0，即可得证； 思路 3：先证明 exlnx2 ：因为曲线 yex与曲线 ylnx 的图象关于直线 yx 对称， 结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离 AB2，即可得证； 证法二：因为 f（x）mexlnx1，要证明 f（x）1，只需证明 mexlnx20 思路 1：设 g（x）mexlnx2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于 0，即 第 20 页（共 25 页） 可得证； 思路 2：先证明 exx+1（xR） ，且 lnxx+1（x0） 设 F（x）exx1，求得导数 和单
36、调区间， 可得最小值大于 0， 再证明 mexlnx20， 运用不等式的性质， 即可得证 【解答】 （）解：当 m1 时，f（x）exlnx1， 所以（1 分） 所以 f（1）e1，f（1）e1（2 分） 所以曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y（e1）（e1） （x1） 即 y（e1）x（3 分） （）证法一：当 m1 时，f（x）mexlnx1exlnx1 要证明 f（x）1，只需证明 exlnx20（4 分） 以下给出三种思路证明 exlnx20 思路 1：设 g（x）exlnx2，则 设，则， 所以函数 h（x）在（0，+）上单调递增（6 分） 因为，g（1）e10
37、， 所以函数在（0，+）上有唯一零点 x0，且（8 分） 因为 g（x0）0 时，所以，即 lnx0x0（9 分） 当 x（0，x0）时，g（x）0；当 x（x0，+）时，g（x）0 所以当 xx0时，g（x）取得最小值 g（x0） （10 分） 故 综上可知，当 m1 时，f（x）1（12 分） 思路 2：先证明 exx+1（xR） （5 分） 设 h（x）exx1，则 h（x）ex1 因为当 x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0， 所以当 x0 时，函数 h（x）单调递减，当 x0 时，函数 h（x）单调递增 所以 h（x）h（0）0 第 21 页（共 25 页） 所以 exx+
38、1（当且仅当 x0 时取等号） （7 分） 所以要证明 exlnx20， 只需证明（x+1）lnx20（8 分） 下面证明 xlnx10 设 p（x）xlnx1，则 当 0x1 时，p（x）0，当 x1 时，p（x）0， 所以当 0x1 时，函数 p（x）单调递减，当 x1 时，函数 p（x）单调递增 所以 p（x）p（1）0 所以 xlnx10（当且仅当 x1 时取等号） （10 分） 由于取等号的条件不同， 所以 exlnx20 综上可知，当 m1 时，f（x）1（12 分） （若考生先放缩 lnx，或 ex、lnx 同时放缩，请参考此思路给分！ ） 思路 3：先证明 exlnx2 因为曲
39、线 yex与曲线 ylnx 的图象关于直线 yx 对称， 设直线 xt（t0）与曲线 yex，ylnx 分别交于点 A，B， 点 A，B 到直线 yx 的距离分别为 d1，d2， 则 其中，（t0） 设 h（t）ett（t0） ，则 h（t）et1 因为 t0，所以 h（t）et10 所以 h（t）在（0，+）上单调递增，则 h（t）h（0）1 所以 设 g（t）tlnt（t0） ，则 因为当 0t1 时，g（t）0；当 t1 时，g（t）0， 所以当 0t1 时，g（t）tlnt 单调递减；当 t1 时，g（t）tlnt 单调递增 所以 g（t）g（1）1 第 22 页（共 25 页） 所以
40、 所以 综上可知，当 m1 时，f（x）1（12 分） 证法二：因为 f（x）mexlnx1， 要证明 f（x）1，只需证明 mexlnx20（4 分） 以下给出两种思路证明 mexlnx20 思路 1：设 g（x）mexlnx2，则 设，则 所以函数 h（x）在（0，+）上单调递增（6 分） 因为，g（1）me10， 所以函数在（0，+）上有唯一零点 x0，且（8 分） 因为 g（x0）0，所以，即 lnx0x0lnm（9 分） 当 x（0，x0）时，g（x）0；当 x（x0，+）时，g（x）0 所以当 xx0时，g（x）取得最小值 g（x0） （10 分） 故 综上可知，当 m1 时，f（
41、x）1（12 分） 思路 2：先证明 exx+1（xR） ，且 lnxx+1（x0） （5 分） 设 F（x）exx1，则 F（x）ex1 因为当 x0 时，F（x）0；当 x0 时，F（x）0， 所以 F（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增 所以当 x0 时，F（x）取得最小值 F（0）0 所以 F（x）F（0）0，即 exx+1（当且仅当 x0 时取等号） （7 分） 由 exx+1（xR） ，得 ex 1x（当且仅当 x1 时取等号） （8 分） 所以 lnxx1（x0） （当且仅当 x1 时取等号） （9 分） 再证明 mexlnx20 第 23 页（共 25 页） 因为
42、 x0，m1，且 exx+1 与 lnxx1 不同时取等号， 所以 mexlnx2m（x+1）（x1）2（m1） （x+1）0 综上可知，当 m1 时，f（x）1（12 分） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的 证明，注意运用不等式的传递性和构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的 运算能力，属于难题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：y2，曲线 C2：（02） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C1，C2的极坐标方程； （）直线 l 的
43、极坐标方程为 （R） ，若 l 与 C1交于点 P，l 与 C2的交点为 O， Q，求C2PQ 的面积 【分析】 （）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果 （）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系和三角形的面积公式 的应用求出结果 【解答】解： （）因为 xcos，ysin， C1的极坐标方程为 sin2 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（y1）21 从而曲线 C2的极坐标方程为 22sin02sin （）将代入 sin2， 得 14， 即|OP|1|4， 将代入 2sin， 第 24 页（共 25 页） 得 21， 即|OQ|2|1， 从而|PQ|1|+|2|5， 因为 C2到直线 l 的距离为， 则C2PQ 的面积为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x5|+|x+4|
