1、已知命题 p：xR，cosxsinx，命题 q：x（0，） ，sinx+2，则下列 判断正确的是（ ） A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p（q）是假命题 D命题 p（q）是真命题 6 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为（ ） A3 B4 C8 D9 7 （5 分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 25 页） A108cm3 B100cm3 C92cm3 D84cm3 8 （5 分）若 tan+4，则 sin2（ ） A B C D 9 （5 分）已知函数 f（x）是奇函数，且 f（x+2）f（x
2、） ，若 f（x）在1，0上是增函 数，的大小关系是（ ） A B C D 10 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16，则球 O 的体积等于 （ ） A B C D 11 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，ABO 的面积为 2，则抛物线的焦点为（ ） A （） B （） C （1，0） D （） 12 （5 分）已知 f（x）|xex|，又 g（x）f2（x）tf（x
3、） （tR） ，若满足 g（x）1 的 x 有四个，则 t 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 25 页） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在等差数列an中，已知 a3+a810，则 3a5+a7 14 （5 分）2018 年 4 月 4 日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛 共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手 在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠
4、军是丁或戊 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是 15 （5 分）当输入的实数 x2，30时，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 103 的概率是 16 （5 分）已知函数 f（x），则满足不等式 f（2x2）f（x）的 x 的取 值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 f（x）2cos2x+2sinxcosx（xR） （）当 x0，时，求函数 f（x）的单调递增区间； 第 4 页（共 25 页） （
5、）设ABC 的内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 c3，f（C）2，若向 量 （1，sinA）与向量 （2，sinB）共线，求 a，b 的值 18 （12 分）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 1565 岁的人群抽样了 n 人， 回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表 组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 1 组 15，25） a 0.5 第 2 组 25，35） 18 x 第 3 组 35，45） b 0.9 第 4 组 45，55） 9 0.36 第 5 组 55，65 3 y （）分别求出 a，b，x，y 的值； （）
6、从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2，3，4 组每 组各抽取多少人？ （）在（）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率 19 （12 分）如图，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点 （1）求证：平面 EFG平面 PAD； （2）若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 MEFG 的体积 第 5 页（共 25 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为， 点
7、A 在椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若 存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知 f（x）（x2ax）lnx （1）求 f（x）的单调递减区间； （2）证明：当 a1 时，（x0）恒成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅铅笔将答题卡上笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧
8、方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题 进行评分；不涂则答题无效进行评分；不涂则答题无效.【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （：坐标系与参数方程】 （10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线 C：sin22acos（a0） ，过点 P（2，4）且倾斜角为的直线 l 与曲线 C 分别 交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 选修选修
9、 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|ax1| （1）若 f（x）2 的解集为3，1，求实数 a 的值； 第 6 页（共 25 页） （2）当 a2 时，若存在 xR，使得不等式 f（2x+1）f（x1）73m 成立，求实 数 m 的取值范围 第 7 页（共 25 页） 2018-2019 学年山西省太原五中高三 （上）学年山西省太原五中高三 （上） 10 月月考数学试卷 （文月月考数学试卷 （文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四
10、个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Mx|x23x40，Ny|y（）x，x1，则（ ） ANM BMN CMN DRNM 【分析】首先转化 M、N，然后根据集合的运算和关系找出答案 【解答】解：x23x40，1x4，M1，4， x1，0（）x4，N（0，4， MN 故选：B 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2 （5 分）复数 z 满足，则复数 z 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：， z1i， 则复数 z 的虚部为1 故
11、选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知 （1，2） ， （3，4） ， （ +2 ）（ ） ，则 （ ） A B C D 【分析】先求出，根据 即可得出，这样进行数量积的坐标运算即 第 8 页（共 25 页） 可求出 【解答】解：； ； ； 解得 故选：B 【点评】考查向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件 4 （5 分）若 a（），b2，c3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Bbca Cabc Dcba 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：a（）0，b2log32（1，0
12、） ，c3log23 1， 则 a，b，c 的大小关系是 cba 故选：D 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 5 （5 分）已知命题 p：xR，cosxsinx，命题 q：x（0，） ，sinx+2，则下列 判断正确的是（ ） A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p（q）是假命题 D命题 p（q）是真命题 【分析】命题 p：取 x0R，cosxsinx 成立，即可判断出真假命题 q：取 x时， +2，此时不成立，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法 即可得出 【解答】解：命题 p：x0R，cosxsinx，因此是真
13、命题 第 9 页（共 25 页） 命题 q：x（0，） ，sinx+2，是假命题，取 x时，+2， 此时不成立，因此是假命题 则下列判断正确的是：命题 p（q）是真命题 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的单调性及其值域、简易逻辑的判定方法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 6 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为（ ） A3 B4 C8 D9 【分析】利用约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成 求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可 【解答】解：由实数 x，y 满足，画出可行域如图： 目标函数 z2x+y 可化为：y2x+z， 得到一
14、簇斜率为2，截距为 z 的平行线， 要求 z 的最大值，须满足截距最大， 当目标函数过点 A 时截距最大， 又，x2，y4， 点 A 的坐标为（2，4） ， z 的最大值为：22+48； 故选：C 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边 界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度属简单题 7 （5 分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A108cm3 B100cm3 C92cm3 D84cm3 【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长分
15、别 为 4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角） 据此即可得出体积 【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长 分别为 4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角） 该几何体的体积 V663100 故选：B 第 11 页（共 25 页） 【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键 8 （5 分）若 tan+4，则 sin2（ ） A B C D 【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以 1，将 1 用同角三角函数关系代换，利 用齐次式的方法化简，可求出所求 【解答】 解： sin22sincos 故选：D 【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次
16、式的应用，同时考查了计算能力，属于 基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）是奇函数，且 f（x+2）f（x） ，若 f（x）在1，0上是增函 数，的大小关系是（ ） A B C D 【分析】由 f（x+2）f（x） ，得 f（x+4）f（x） ，利用函数奇偶性单调性之间的关系， 即可比较大小 【解答】解：f（x+2）f（x） ，函数 f（x）是奇函数， f（x+2）f（x）f（x） ， 函数 f（x）关于 x1 对称， 且 f（x+4）f（x） ， 函数是周期为 4 的周期数列 第 12 页（共 25 页） f（x）在1，0上是增函数， f（x）在1，1上是增函数，f（x）在1，2上是减函数
17、， f（）f（4+）f（）f（） ， f（x）在1，2上是减函数，且 1， f（1）f（）f（） ， 即 f（）f（）f（1） ， 故选：D 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决 本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识 10 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥体积取得最大值时，其面积等于 16+16，则球 O 的体积等于 （ ） A B C D 【分析】当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等 于 16+16，确定该四棱锥的底面边长和高
18、，进而可求球的半径为 R，从而可求球的体 积 【解答】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， 该四棱锥的表面积等于 16+16， 设球 O 的半径为 R，则 AC2R，SOR，如图， 该四棱锥的底面边长为 ABR， 则有（R）2+4R16+16， 解得 R2 球 O 的体积是R3 故选：D 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式 求解 11 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为 2，ABO 的面积为 2，
19、则抛物线的焦点为（ ） A （） B （） C （1，0） D （） 【分析】求出双曲线双曲线（a0，b0）的渐近线方程与抛物线 y22px （p0）的准线方程，进而求出 A，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为 2，AOB 的 面积为，列出方程，由此方程求出 p 的值 【解答】解：双曲线双曲线（a0，b0） ， 双曲线的渐近线方程是 yx 又抛物线 y22px（p0）的准线方程是 x， 故 A，B 两点的纵坐标分别是 y， 又由双曲线的离心率为 2，所以2，则， A，B 两点的纵坐标分别是 y， 又AOB 的面积为 2，x 轴是角 AOB 的角平分线， ，得 p2 抛物线的焦点坐标为： （，
20、0） 第 14 页（共 25 页） 故选：D 【点评】 本题考查圆锥曲线的共同特征， 解题的关键是求出双曲线的渐近线方程， 解出 A， B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算 量，做题时要严谨，防运算出错 12 （5 分）已知 f（x）|xex|，又 g（x）f2（x）tf（x） （tR） ，若满足 g（x）1 的 x 有四个，则 t 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】令 yxex，则 y（1+x）ex，求出极值点，判断函数的单调性，作出 yxex图 象，利用图象变换得 f（x）|xex|图象，令 f（x）m，则关于 m 方程 h（m）m2tm
21、+1 0 两根分别在，满足 g（x）1 的 x 有 4 个，列出不等式求 解即可 【解答】解：令 yxex，则 y（1+x）ex，由 y0，得 x1， 当 x（，1）时，y0，函数 y 单调递减， 当 x（1，+）时，y0，函 数 y 单调递增作出 yxex图象， 利用图象变换得 f（x）|xex|图象（如图 10） ， 令 f（x）m，则关于 m 方程 h（m）m2tm+10 两根分别在时（如图 11） ， 满足 g（x）1 的 x 有 4 个，由， 解得 故选：B 第 15 页（共 25 页） 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变 换，函数零点个数，
22、考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）在等差数列an中，已知 a3+a810，则 3a5+a7 20 【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a72（a5+a6）2（a3+a8） 【解答】解：由等差数列的性质得： 3a5+a72a5+（a5+a7）2a5+（2a6）2（a5+a6）2（a3+a8）20， 故答案为：20 【点评】本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题 的根本 14 （5 分）2018 年 4 月 4 日，中国诗词大会
23、第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛 共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手 在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是 丙 【分析】假设三个中有一个是正确的，然后逐个进行判断，满足条件即可，不满足就排 除掉 【解答】解：假设爸爸是正确的，冠军是甲或者丙，冠军只有一个， （1）如果冠军是甲，则妈妈说冠军一定不是乙和丙，就是说有可能是甲或丁或戊；则妈 妈猜的也对，这与题干矛盾故冠军不会是甲 （2）如果冠军是
24、丙，那么甲乙丁戊都不是冠军妈妈说一定不是乙和丙就是错的，孩子 说冠军是丁和戊就是错的这样爸爸的猜测就是对的故冠军是 丙 故答案为 丙 【点评】本题考查合情推理的应用，属于基础题 15 （5 分）当输入的实数 x2，30时，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 103 第 16 页（共 25 页） 的概率是 【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的 关系， 令输出值大于等于 103 得到输入值的范围， 利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 103 的概率 【解答】解：设实数 x2，30， 经过第一次循环得到 x2x+1，n2 经过第二循环得到
25、x2（2x+1）+1，n3 经过第三次循环得到 x22（2x+1）+1+1，n4 此时输出 x 输出的值为 8x+7 令 8x+7103 得 x12 由几何概型得到输出的 x 不小于 103 的概率为 P 故答案为： 【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的 结果，根据结果找规律，属于基础题 16 （5 分）已知函数 f（x），则满足不等式 f（2x2）f（x）的 x 的取 值范围是 x1 第 17 页（共 25 页） 【分析】根据 f（x）的性质可作出其图象的草图，根据图象可去掉不等式中的符号： “f” ， 从而转化为具体不等式求解 【解答】解：因为 x0
26、 时，f（x）x2+11；当 x0 时，f（x）1， 所以 f（x）在0，+）上递增， 作出 f（x）的草图如下： 根据图象，由 f（2x2）f（x） ，得，解得x1， 所以 x 的取值范围为：x1， 故答案为：x1 【点评】本题考查函数单调性的应用，考查不等式的求解，属中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知函数 f（x）2cos2x+2sinxcosx（xR） （）当 x0，时，求函数 f（x）的单调递增区间； （）设ABC 的内角
27、A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 c3，f（C）2，若向 量 （1，sinA）与向量 （2，sinB）共线，求 a，b 的值 【分析】 （I）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为令 ，kz，求得 x 的范围，结合，可得 f （x）的递增区间 （）由 f（C）2，求得，结合 C 的范围求得 C 的值根据向量 第 18 页（共 25 页） （1，sinA）与向量 （2，sinB）共线，可得 ，故有，再由余弦定 理得 9a2+b2ab，由求得 a、b 的值 【 解 答 】 解 ：（ I ） 令， 解得，即， ，f（x）的递增区间为 （）由，得 而 C（0，） ，可得 向量向量 （
28、1，sinA）与向量 （2，sinB）共线， 由正弦定理得： 由余弦定理得：c2a2+b22abcosC，即 9a2+b2ab， 由、解得 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理 的应用，两个向量共线的性质，属于中档题 18 （12 分）为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对 1565 岁的人群抽样了 n 人， 回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表 组号 分组 回答正确 的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 1 组 15，25） a 0.5 第 2 组 25，35） 18 x 第 3 组 35，45） b 0.9 第 4 组
29、45，55） 9 0.36 第 5 组 55，65 3 y （）分别求出 a，b，x，y 的值； 第 19 页（共 25 页） （）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，求第 2，3，4 组每 组各抽取多少人？ （）在（）抽取的 6 人中随机抽取 2 人，求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率 【分析】 （I）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组的频数为 25，再结合频率分布直方图 求得 n，a，b，x，y 的值； （II）因为第 2，3，4 组回答正确的人数共有 54 人，抽取比例为，根据抽取比例计算 第 2，3，4 组每组应抽取的人数； （III）列出从 6
30、 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果，共 15 基本事件，其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件，利用古典概型概率公式计算 【解答】解： （）由频率表中第 4 组数据可知，第 4 组总人数为， 再结合频率分布直方图可知 n， a1000.01100.55，b1000.03100.927， ； （）因为第 2，3，4 组回答正确的人数共有 54 人， 利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人，每组分别抽取的人数为：第 2 组：人； 第 3 组：人；第 4 组：人 （）设第 2 组 2 人为：A1，A2；第 3 组 3 人为：B1，B2，B3；第 4 组 1 人为：C1 则从 6 人中随机抽取
31、 2 人的所有可能的结果为： （A1，A2） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1， B3） ， （A1，C1） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A2，B3） ， （A2，C1） ， （B1，B2） ， （B1，B3） ， （B1，C1） ， （B2， 第 20 页（共 25 页） B3） ， （B2，C1） ， （B3，C1）共 15 个基本事件， 其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件， 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是： 【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题 的关键是读懂频率分布直方图 19 （12 分）如图
32、，已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，平面 PAD平面 ABCD，E，F，G 分别是 PD，PC，BC 的中点 （1）求证：平面 EFG平面 PAD； （2）若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 MEFG 的体积 【分析】 （1）由线面垂直的性质定理，证出 CD平面 PAD在PCD 中根据中位线定 理，证出 EFCD，从而 EF平面 PAD，结合面面垂直的判定定理，可得平面 EFG平 面 PAD； （2）根据线面平行判定定理，得到 CD平面 EFG，所以 CD 上的点 M 到平面 EFG 的 距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，得到三
33、棱锥 MEFG 的体积等于三棱锥 DEFG 的 体积 再由面面垂直的性质证出点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高， 算出EFG 的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥 DEFG 的体积，即可得到三棱锥 MEFG 的体 积 【解答】 解：（1） 平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD， CD平面 ABCD， CDAD CD平面 PAD（3 分） 又PCD 中，E、F 分别是 PD、PC 的中点， 第 21 页（共 25 页） EFCD，可得 EF平面 PAD EF平面 EFG，平面 EFG平面 PAD；（6 分） （2）EFCD，EF平面 EFG，CD平面 EFG，
34、 CD平面 EFG， 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离， VMEFGVDEFG， 取 AD 的中点 H 连接 GH、EH，则 EFGH， EF平面 PAD，EH平面 PAD，EFEH 于是 SEFHEFEH2SEFG， 平面 EFG平面 PAD，平面 EFG平面 PADEH，EHD 是正三角形 点 D 到平面 EFG 的距离等于正EHD 的高，即为，（10 分） 因此，三棱锥 MEFG 的体积 VMEFGVDEFGSEFG（12 分） 【点评】本题给出底面为正方形的四棱锥，求三棱锥 MEFG 的体积并证明面面垂直， 着重考查了锥体体积的求法和空间
35、线面平行、面面垂直等位置关系判定的知识，属于中 档题 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为， 点 A 在椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若 第 22 页（共 25 页） 存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由 【分析】 （）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程 （）存在这样的点 M 符合题意设 P（x1，y1） ，Q（x2，y
36、2） ，N（x0，y0） ，设直线 PQ 的方程为 yk （x1） ， 邻里中心与椭圆方程， 利用韦达定理求出， 通过点 N 在直线 PQ 上，求出 N 的坐标，利用 MNPQ，转化求解 m 的范围 【解答】解： （）由得 a2c，|AF1|2，|AF2|2a2， 由余弦定理得， 解得 c1，a2，b2a2c23， 所以椭圆 C 的方程为 （）存在这样的点 M 符合题意 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，N（x0，y0） ， 由 F2（1，0） ，设直线 PQ 的方程为 yk（x1） ， 由得（4k2+3）x28k2x+4k2120， 由韦达定理得，故， 又点 N 在直线 PQ 上，
37、所以 因为 MNPQ，所以，整理得， 所以存在实数 m，且 m 的取值范围为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及 计算能力 21 （12 分）已知 f（x）（x2ax）lnx 第 23 页（共 25 页） （1）求 f（x）的单调递减区间； （2）证明：当 a1 时，（x0）恒成立 【分析】 （1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调减区间； （2）构造函数 g（x） ，在求导，可得 g（x）（2x1） （lnx+1x） ，再令 m（x）lnx+1 x，再求导，求出当 x0 时，m（x）0 恒成立，即可证明 【解答】解： （1）易
38、得 f（x）定义域为（0，+） ， f（x）（2xa）lnx+xa3x+2a（2xa）lnx（2xa）（2xa） （lnx1） ， 令 f（x）0 得或 xe 当 a0 时，x0，2xa0， 当 f（x）0 得 xe，f（x）的单调递减区间为（0，e） ； 当 a0 时， （i） 若，即 0a2e 时，时，f（x）0，时，f（x） 0，x（e，+）时，f（x）0， f（x）的单调递减区间为； （ii） 若，即 a2e 时，x（0，+）时，f（x）0 恒成立，f（x）没有单调递减 区间； （iii） 若，即 a2e 时，x（0，e）时，f（x）0；时，f（x）0， 时，f（x）0，f（x）的单调
39、递减区间为 综上：a0 时，单调递减区间为（0，e） ； 0a2e 时，单调递减区间为； a2e 时，无单调递减区间； a2e 时，单调递减区间为 （2）令 g（x）f（x）， 则 g（x）（2x1） （lnx1）+（2x2+5x2）（2x1） （lnx1）+（2x1） （2 x）（2x1） （lnx+1x） 令 m（x）lnx+1x， 第 24 页（共 25 页） 则， 当 x（0，1）时，m（x）0，x（1，+）时，m（x）0， x1 时，m（x）max0，即 x0 时，m（x）0 恒成立 解 g（x）0 得或 x1， 时，g（x）0，时，g（x）0， 时，g（x）max0，得证 【点评】
40、本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，关键时求出函数的最值，属于 难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上铅笔将答题卡上 所选题所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题 进行评分；不涂则答题无效进行评分；不涂则答题无效.【选修【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （：坐标系与参数方程】 （10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
41、立坐标系已知曲线 C：sin22acos（a0） ，过点 P（2，4）且倾斜角为的直线 l 与曲线 C 分别 交于 M，N 两点 （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值 【分析】 （1）利用极坐标转化为普通方程求解 （2）把参数表达式代入曲线 C 得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可 【解答】解： （1）sin22acos 可变为 2sin22acos， 曲线 C 的直角坐标方程为 y22ax 直线 l 的参数方程为 （2）将直线 l 的参数表达式代入曲线 C 得， 又|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t
42、1t2|， 由题意知，|t1t2|2|t1t2|， （t1+t2）25t1t2， 代入解得 a1 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于容易题 选修选修 4-5：不等式选：不等式选讲讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|ax1| （1）若 f（x）2 的解集为3，1，求实数 a 的值； （2）当 a2 时，若存在 xR，使得不等式 f（2x+1）f（x1）73m 成立，求实 数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可 （2）令 h（x）f（2x+1）f（x1） ，通过讨论 x 的范围，得到函数的单调性，求出 h （x）的最小值，从而求出 m 的范围即可 【解答】解： （1）显然 a0，当 a0 时，解集为：，3，1，无 解； 当 a0 时，解集为：，令1，3，解得 a1， 综上 a1 （2）当 a2 时， 令 h（x）f（2x+1）f（x1） |4x+1|2x3|； 由此可知，h（x）在（，）单调减，在（，）和（，+）单调增， 则当 x时，h（x）取到最小值， 由题意知，73m，则实数 m 的取值范围是（， 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及分类讨论思想，是一道中 档题
