1、将甲、乙、丙、丁、戊 5 名护士派往 5 所医院（含 A 医院） ，每所医院派 1 名护 士，则甲和乙都不派往 A 医院的总派法数为（ ） A48 B60 C72 D96 6 （5 分）如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠 肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ） A1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 B1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 第 2 页（共 21 页） C2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例
2、 D2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 7 （5 分）若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 8 （5 分）若 tan+3，则 cos4（ ） A B C D 9 （5 分）已知函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，当 x1 时，f（x）x2mx+5，且 f（x）在（，0）上单调递增，则 m 的取值范围为（ ） A4，+） B2，+） C （，4 D （，2 10 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+sin（2x+） ，则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线
3、 yf（x）关于（，0）对称 Cf（x）的最大值为 2 D曲线 yf（x）关于 x对称 11 （5 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，E，F 分别为 AB，BC 的 中点，异面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 第 3 页（共 21 页） D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 12 （5 分）若曲线 yxex+（x1）存在两条垂直于 y 轴的切线，则 m 的取值范围为 （ ） A （，0） B，0） C （，+） D （1，） 二、
4、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置. 13 （5 分）a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a5bsinA，则 sinB 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z的取值范围为 15 （5 分）四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB 1，AC2，AD3，则四面体 ABCD 的体积为 ，球 O 的表面积为 16 （5 分）设 A（2，0） ，B（2，0） ，若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|P
5、B| 6，且PAB 的内心到 x 轴的距离为，则 a 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 小题共小题共 70 分分.解答解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题题为必考题.每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）（一） 必考题：共必考题：共 60 分分. 17 （12 分）设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12，b1 1 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n
6、 项和 Sn 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PDCE，AE1， PD3，PC （1）证明：AD平面 PCD （2）求 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件 作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是 正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件逐一检验 已知每个零件检验合格的概率为 0.8， 每个零件是否检验合格相互独立， 且每个零件的
7、人工检验费为 2 元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为 1.6 元现有 1000 箱零件需要检验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 20 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的抛物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（1，0） （1）求 p 的值及该圆的方程； （2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证
8、明：MFNF 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求
9、曲线 C 的极坐标方程； （2）若点 P 的极坐标为（1，） ，过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求+ 第 5 页（共 21 页） 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且，求 a2+b2+c2 的最小值 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年陕西省汉中市重点中学高三（下）第一次联考数学年陕西省汉中市重点中学高三（下）第一次联考数 学试卷（理科） （学试卷（理科） （4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答
10、案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x0，Bx|x2+mx120，若 AB2，则 m（ ） A4 B4 C8 D8 【分析】根据 AB2即可得出 x2 是方程 x2+mx120 的实数根，从而可求 出 m 的值 【解答】解：AB2， 2B， （2）22m120，解得 m4 故选：B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系， 考查了计算能力，属于
11、基础题 2 （5 分）已知 a，bR，3+aib（2a1）i，则|3a+bi|（ ） A B C3 D4 【分析】利用复数相等、模的计算公式即可得出 【解答】解：因为 3+aib（2a1）i， 3b，a（2a1） ， 联立解得：b3，a 则|3a+bi|1+3i| 故选：A 【点评】本题考查了复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3 （5 分）设双曲线的焦距为 12，则 m（ ） 第 7 页（共 21 页） A1 B2 C3 D4 【分析】把双曲线方程化为标准方程，利用 a2+b2c2即可 【解答】解：因为双曲线方程为：（m0） 可化为，所以， 则 m2 故选：B 【
12、点评】本题考查了双曲线的方程、性质，属于基础题 4 （5 分） 设非零向量 ， 满足| |3| |， cos ， ， （ ） 16， 则| | （ ） A B C2 D 【分析】由于 （ ），再利用平面向量数量积进行运算求解即可 【解答】解：| |3| |，cos ， ， （ ）， 故选：A 【点评】本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题 5 （5 分）将甲、乙、丙、丁、戊 5 名护士派往 5 所医院（含 A 医院） ，每所医院派 1 名护 士，则甲和乙都不派往 A 医院的总派法数为（ ） A48 B60 C72 D96 【分析】先从丙、丁、戊中任选 1 人派往 A 医院，
13、再把剩余的 4 人派往另外的 4 所医院， 每所医院派 1 名护士，最后利用乘法原理求出结果 【解答】解：先从丙、丁、戊中任选 1 人派往 A 医院有 C 种选法，再把剩余的 4 人派往 另外的 4 所医院，每所医院派 1 名护士，有 A 种选法，所以总派法数为 C A 72， 故选：C 【点评】本题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题 6 （5 分）如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠 第 8 页（共 21 页） 肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ） A1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超
14、过了 B1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 【分析】根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假 【解答】解：对于 A，1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有 87 例，其中西安 32 例所以西安所占比例为，故 A 正确； 对于 B，由曲线图可知.1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都 呈递增趋势，故 B 正
15、确： 对于 C，2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 21311697 例， 故 C 正确： 对于 D，2 月 8 日到 2 月 10 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了， 2 月 6 日到 2 月 8 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故 D 错误 故选：D 【点评】本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题 7 （5 分）若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 第 9 页（共 21 页） 【分析】由对数的运算法则可求 x2y4（x0，y0） ，再用均值不等式可求 x2+y 的最小 值 【解答
16、】解：因为 log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1， x2y4（x0，y0） ， 则 x2+y24，当且仅当 x2y2 时等号成立，则 x2+y 的最小值为 4 故选：C 【点评】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题 8 （5 分）若 tan+3，则 cos4（ ） A B C D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求 sin2 的值， 进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解 【解答】解：tan+3， sin2， cos412sin22 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦
17、函数 公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，当 x1 时，f（x）x2mx+5，且 f（x）在（，0）上单调递增，则 m 的取值范围为（ ） A4，+） B2，+） C （，4 D （，2 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性可得 f（x）在（2，+）上为增函数， 又由二次函数的性质以及函数的解析式可得2，解可得 m 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，且 f（x）在（，0） 上单调递增， 则 f（x）在（2，+）上为增函数， 又由当 x1 时，f（x）x
18、2mx+5，则有2，解可得 m4； 即 m 的取值范围为（，4； 第 10 页（共 21 页） 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性与对称性的综合应用，涉及二次函数函数的性质，属于 基础题 10 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+sin（2x+） ，则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于（，0）对称 Cf（x）的最大值为 2 D曲线 yf（x）关于 x对称 【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性、 最值，以及图象的对称性，得出结论 【解答】解：函数 f（x）sin2x+sin（2x+）sin2x+sin2x+cos2x （sin
19、2x+cos2x）sin（2x+） ， 它的最小正周期为，最大值为，故排除 A、C； 令 x，求得 f（x），故曲线 yf（x）不关于（，0）对称； 令 x，求得 f（x），故曲线 yf（x）关于直线 x对称，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、三角函数的周期性、最值，以及图象的对 称性，属于中档题 11 （5 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，E，F 分别为 AB，BC 的 中点，异面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） 第 11 页（共 21 页） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，
20、且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 【分析】连结 EF，A1C1，C1D，DF，推导出 EFA1C1，从而直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，得异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F，由此能推导出直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 【解答】解：连结 EF，A1C1，C1D，DF， E，F 分别为 AB，BC 的中点，EFA1C1， 直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F， 设 AA1，则 AB2，则 DF，C1F， 由余弦定理得异面直线 A
21、B1与 C1F 所成角的余弦值： mcosDC1F 综上：直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 故选：B 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）若曲线 yxex+（x1）存在两条垂直于 y 轴的切线，则 m 的取值范围为 （ ） A （，0） B，0） C （，+） D （1，） 第 12 页（共 21 页） 【分析】先求出 yxex+（x1）的导数，令 y0，得到 m（x+1）3ex，然后将 问题转化为 m （x+1） 3ex 在 （， 1） 上有两个不同的解
22、， 再构造函数 f （x） （x+1） 3ex（x1）求出 f（x）的取值范围即可 【解答】解：由 yxex+（x1） ，得， 令 y0，则 m（x+1）3ex， 曲线 yxex+（x1）存在两条垂直于 y 轴的切线， m（x+1）3ex在（，1）上有两个不同的解 令 f（x）（x+1）3ex（x1） ，则 f（x）（x+1）2ex（x+4） ， 当 x4 时，f（x）0；当4x1 时，f（x）0， f（x）在（，4）上单调递减，在（4，1）上单调递增， ， 又当 x1 时，f（x）0， 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了转化思想和函数思想， 属中档题 二、填空
23、题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置分把答案填在答题卡的相应位置. 13 （5 分）a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a5bsinA，则 sinB 【分析】由正弦定理化简已知可得 sinA5sinBsinA，结合 sinA0，即可解得 sinB 的值 【解答】解：a5bsinA， 由正弦定理可得 sinA5sinBsinA， 又sinA0， sinB 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 第 13 页（共 21 页） 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件
24、，则 z的取值范围为 ，+） 【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是 求可行域内的点与点（0，0）构成的直线的斜率范围 【解答】解：x，y 满足约束条件表示的区域如图， z的几何意义是可行域内的点与点 O（0，0）构成的直线的斜率问题 当取得点 A（，）时， z的取值为， z 的取值范围为，+） ， 故答案为：，+） 【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率本题主要考查 了用平面区域二元一次不等式组， 以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题 目 标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出 关键
25、点、定出最优解 15 （5 分）四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB 1，AC2，AD3，则四面体 ABCD 的体积为 1 ，球 O 的表面积为 14 【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球 的直径即为长方体的对角线即可得出 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC2，AD3， 四面体 ABCD 的体积1231， 把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线 设球 O 的半径为 r，则（2r）212+22+3214 其表面积4r214 故答案为：1，14
26、【点评】本题考查了正四棱锥与球的性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 16 （5 分）设 A（2，0） ，B（2，0） ，若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|PB| 6，且PAB 的内心到 x 轴的距离为，则 a 【分析】根据条件得到 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程 组求出 P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可 【解答】解：A（2，0） ，B（2，0） ，P 满足|PA|+|PB|6|AB|， P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为， 若直线直线 yax （a0） 与椭圆方程为联立，
27、可得， y2 PAB 的内心到 x 轴的距离为，所以三角形的内切圆的半径为：r， 三角形的面积为：，可得|y|，y2 ，解得 a3，因为 a0，所以 a 故答案为： 【点评】本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交 点坐标是解决本题的关键 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 小题共小题共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题题为必考题为必考题.每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（
28、一）（一） 必考题：共必考题：共 60 分分. 第 15 页（共 21 页） 17 （12 分）设等差数列anbn的公差为 2，等比数列an+bn的公比为 2，且 a12，b1 1 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列2an+2n的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）a1b11，a1+b13，可得 anbn2n1，an+bn32n 1联立解得 a n （2）2an+2n2n1+52n 1利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 【解答】解： （1）a1b11，a1+b13， anbn1+2（n1）2n1，an+bn32n 1 联立解得 an（2n1）+32n 2 （2）2an+2n2n1
29、+32n 1+2n2n1+52n1 数列2an+2n的前 n 项和 Sn+5n2+52n5 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PDCE，AE1， PD3，PC （1）证明：AD平面 PCD （2）求 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值 【分析】 （1）推导出 ADCD，PDCD，PDCE，从而 PD平面 ABCD，进而 AD PD，由此能证明 AD平面 PCD （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直
30、角坐标系，利用向 量法能求出 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，AE1， PD3，PC 第 16 页（共 21 页） ADCD，AB2AE2，PD2+CD2PC2，PDCD， PDCE，CDCEC， PD平面 ABCD，ADPD， CDPDD，AD平面 PCD （2）解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，P（0，0，3） ，C（0，2，0） ，E（2，1，0） ， （2，0，0） ，（0，2，3） ，（2，1，
31、3） ， 设平面 PCE 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z2，得 （，3，2） ， 设 DA 与平面 PCE 所成角为 ， 则 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值为： sin 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件 作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是 正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零
32、件逐一检验 已知每个零件检验合格的概率为 0.8， 每个零件是否检验合格相互独立， 且每个零件的人工检验费为 2 元 第 17 页（共 21 页） （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为 1.6 元现有 1000 箱零件需要检验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 【分析】 （1）X 的可能取值为 8，20，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列 （2）求出 EX15.0656，从而 1000 箱零件的人工检验总
33、费用的数学期望为 1000EX 15065.6 元 再由 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 1.610100016000 元， 得到应该选择人工检验 【解答】解： （1）X 的可能取值为 8，20，P（X8）0.84+0.240.4112，P（X20） 10.41120.5888， 则 X 的分布列为 X 8 20 P 0.4112 0.5888 （2）由（1）知，EX80.4112+200.588815.0656， 所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX15065.6 元 因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 1.610100016000
34、元， 且 1600015065.6， 所以应该选择人工检验 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应 该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题 20 （12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，AB 为过焦点 F 且垂直于 x 轴的抛物线 C 的弦，已知以 AB 为直径的圆经过点（1，0） （1）求 p 的值及该圆的方程； （2）设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MFNF 【分析】 （1）易知 A（，p） ，所以 p，即可解得 p 的值，得
35、到圆心坐标为 （1，0） ，半径为 2，从而求出改圆的方程； （2）设 M（1，y0） ，MN 的方程为 yk（x+1）+y0，与抛物线方程联立，由0 可 第 18 页（共 21 页） 得令0 可得，所以，与抛物线方程联立可求出 N 点的坐标，从而得到 0，故 MFNF 【解答】解： （1）易知 A 点的坐标为（，p） ， 所以 p，解得 p2， 又圆的圆心为 F（1，0） ， 所以圆的方程为（x1）2+y4； （2）证明：易知直线 MN 的斜率存在且不为 0， 设 M（1，y0） ，MN 的方程为 yk（x+1）+y0，代入 C 的方程得 ky24y+4（y0+k）0， 令1616k（y0+
36、k）0得， 所以 ky24y+4（y0+k）0，解得， 将代入 C 的方程，得 x，即 N 点的坐标为（，） ， 所以（2，y0） ，（，） ， 所以2+y02+（）0 故 MFNF 【点评】本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向 量的基本知识，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 【分析】 （1）先求导 f（x）3x2+a，分当 a0 时，a0 时，两种情况讨论，而当 a 0 内再分类讨论，得到单调递性
37、， （2）当 a3，f（x）3x2+a3x23，可得 f（x）在1，+）上单调递增原不 等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2） ，因为 2x24x+31，x2+21，所以 2x24x+3 x2+2，可解不等式，进而得出答案 【解答】解： （1）f（x）3x2+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（a，+）上单调递增， 第 19 页（共 21 页） 当 a0 时，f（x）0，得 x 当 a时，a， 令 f（x）0，得 axa， 令 f（x）0，得 xa， 所以 f（x）的单调递减区间为（a，a） ，单调递增区间为（a，+） 当 a时，a， 令 f（x）0，得x， 令 f（x）0
38、，得 ax或 x， 所以 f （x） 的单调递减区间为 （，） ， 单调递增区间为 （a， ） ， （， +） 当a0 时，a， 令 f（x）0，得 ax或 x 令 f（x）0，得，x， 所以 f（x）的单调递减区间为（a，） ， 单调递增区间为（，+） （2）因为 a3，所以 f（x）3x2+a3x23， 当 x1 时，f（x）0，所以 f（x）在1，+）上单调递增 因为 x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）（x2+2）3+a（x2+2）f（x2+2） ， 所以原不等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2） ， 因为 2x24x+32（x1）2+11，x2+21， 所以 2x24x
39、+3x2+2， 解得 2x2+， 故所求不等式的解集为（2，2+） 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题 四、 （二）选考题：共四、 （二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做两题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 20 页（共 21 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若点
40、P 的极坐标为（1，） ，过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求+ 的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型 函数的性质的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标 方程为（x2）2+（y+1）25，转换为极坐标方程为 24cos2sin （2）点 P 的极坐标为（1，） ，转换为直角坐标方程为（1，0） ， 所以经过点 P 的直线得参数方程为（t 为参数）代入圆的直角坐标方程 （x2）2+（y+1）25，得
41、t2+（2sin6cos）t+50， 所以：t1+t22sin+6cos，t1t25， 所以+ 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且，求 a2+b2+c2 的最小值 【分析】 （1）根据 f（x）|x2|+|2x1|，利用零点分段法解不等式 f（x）3 即可； （2）先求出m的值，然后由柯西不等式，有 第 21 页（共 21 页） ，再求出 a2+b2+c2的最小值 【解答】解： （1）f（x）|x2|+|2x1| f（x）3，或或， x2 或 x2 或 x0，x2 或 x0， 不等式的解集为x|x2 或 x0 （2）由（1）知，f（x）minm， 由柯西不等式，有， a2+b2+c21，当且仅当 2abc，即 a，bc时取等号， a2+b2+c2的最小值为 1 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和柯西不等式的应用， 考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题
