1、已知集合 AxR|x1，BxR|x24，AB（ ） A （，2 B2，2 C1，2 D2，1 2 （5 分）若（12i）z5i，则|z|的值为（ ） A3 B5 C D 3 （5 分）已知向量 （1，2） ， （1，0） ， （4，3） 若 为实数， （ + ） ， 则 （ ） A B C1 D2 4 （5 分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在（2700， 3000的频率为（ ） A0.001 B0.1 C0.2 D0.3 5 （5 分）已知命题 p：1x2，q：log2x1，则 p 是 q 成立的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C既不充分有不必要 D充要
2、 6 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn若 S420，a510，则 a16（ ） A32 B12 C16 D32 7 （5 分）如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ） 第 2 页（共 18 页） ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 8 （5 分）现有四个函数：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x的图象（部 分）如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A B C D 9 （5 分）已知 tan2，则 sin2+sincos2cos2（ ） A B
3、 C D 10 （5 分）直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2，则直线 l 的方程是（ ） Ayx+2 Byx+2 Cy2 Dyx+2 或 y2 11 （5 分）椭圆长轴上的两端点 A1（3，0） ，A2（3，0） ，两焦点恰好把长轴三等分，则 该椭圆的标准方程为（ ） A B 第 3 页（共 18 页） C D 12 （5 分）函数 f（x）ax3+x+1 有极值的充要条件是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 二、填空题二、填空题 13 （5 分）某校邀请 6 位学生的父母共 12 人，请这 12 位家长中的 4 位介绍其对子女的教 育情况，如
4、果这 4 位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有 种 14 （5 分）等比数列an满足 a1+a23，a2+a36，则 a7 15 （5 分）如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在 一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的 个数是 ； 16 （5 分）如图，已知 A，B 是函数 f（x）log2（16x）图象上的两点，C 是函数 g（x） log2x 图象上的一点，且直线 BC 垂直于 x 轴，若ABC 是等腰直角三角形（其中 A 为 直角顶点） ，则点 A 的横坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分
5、解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第分解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第 17-21 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作等） （一）必考题题为选考题，考生根据要求作等） （一）必考题 17 （12 分）在ABC 中，求 b，c 18（12 分） 如图所示， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1， ACAA1， ABC60 （1）证明：ABA1C； （2）求二面角 AA1CB 的余弦值 19 （12 分）盒中装有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个来用，用完 第 4 页
6、（共 18 页） 后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，求 X 的分布列 20 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx， 且过点（4，） （1）求双曲线方程； （2）若点 M（3，m）在此双曲线上，求 21 （12 分）已知函数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）若函数 yf（x）的图象与直线 y1 恰有两个交点，求 a 的取值范围 选修选修 44：坐标系：坐标系与参数方程选讲与参数方程选讲 22 （10 分）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为以极点为原点，极轴 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系， 曲线C的参数方程为（
7、为参数） 求 直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设不等式|x2|a（aN*）的解集为 A，且A，A （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）|x+a|+|x2|的最小值 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年陕西省咸阳市武功县高三（上）第一次模拟数学学年陕西省咸阳市武功县高三（上）第一次模拟数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 AxR|x
8、1，BxR|x24，AB（ ） A （，2 B2，2 C1，2 D2，1 【分析】利用不等式的性质先求出集合 B，再由交集定义求出 AB 【解答】解：集合 AxR|x1， BxR|x24xR|2x2， ABx|2x12，1 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集 定义的合理运用 2 （5 分）若（12i）z5i，则|z|的值为（ ） A3 B5 C D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算 答案 【解答】解：由（12i）z5i， 得， 则|z|的值为 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查
9、了复数模的求法，是基础题 3 （5 分）已知向量 （1，2） ， （1，0） ， （4，3） 若 为实数， （ + ） ， 则 （ ） A B C1 D2 【分析】由题意可得 + （1+，0） ，由垂直可得数量积为 0，可得 的方程，解方 程可得 第 6 页（共 18 页） 【解答】解： （1，2） ， （1，0） ， （4，3） + （1+，2） （ + ） ， 4（1+）320， 解得 故选：B 【点评】本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题 4 （5 分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在（2700， 3000的频率为（ ） A0.001 B0.1 C0.2
10、 D0.3 【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是，所以结合组距为 300 可得频率 【解答】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在（2700，3000的频率为：0.001 3000.3 故选：D 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义 5 （5 分）已知命题 p：1x2，q：log2x1，则 p 是 q 成立的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C既不充分有不必要 D充要 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由 log2x1 得 0x2， p 是 q 成立的成立的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查
11、充分条件和必要条件的判断，结合不等式 的关系是解决本题的关 第 7 页（共 18 页） 键 6 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn若 S420，a510，则 a16（ ） A32 B12 C16 D32 【分析】设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由已知列关于首项与公差的方程组，求 出首项与公差，则答案可求 【解答】解：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 由 S420，a510，得 ，解得 a1d2 a16a1+15d2+15232 故选：D 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前 n 项和，是基础题 7 （5 分）如图，ABCDA1B1C1D1为正方体
12、，下面结论错误的是（ ） ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 【分析】 A 中因为 BDB1D1可判， B 和 C 中可由三垂线定理进行证明； 而 D 中因为 CB1 D1A，所以D1AD 即为异面直线所成的角，D1AD45 【解答】解：A 中因为 BDB1D1，正确；B 中因为 ACBD，由三垂线定理知正确； C 中由三垂线定理可知 AC1B1D1，AC1B1C，故正确； D 中显然异面直线 AD 与 CB1所成的角为 45 故选：D 【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力 第 8
13、页（共 18 页） 8 （5 分）现有四个函数：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x的图象（部 分）如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A B C D 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到 【解答】解：根据yxsinx 为偶函数，它的图象关于 y 轴对称，故第一个图象即是； 根据yxcosx 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数， 在（，）上的值为负数，故第三个图象满足； 根据yx|cosx|为奇函数，当 x0 时，f（x）0，故第四个图象满足； yx2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性
14、，故第 2 个图象满足， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题 9 （5 分）已知 tan2，则 sin2+sincos2cos2（ ） A B C D 【分析】利用 sin2+cos21，令原式除以 sin2+cos2，从而把原式转化成关于 tan 的 式子，把 tan2 代入即可 【解答】解：sin2+sincos2cos2 故选：D 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用本题利用了 sin2+cos21 巧妙的 第 9 页（共 18 页） 完成弦切互化 10 （5 分）直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得
15、的弦长为 2，则直线 l 的方程是（ ） Ayx+2 Byx+2 Cy2 Dyx+2 或 y2 【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直 线的斜率，然后求出直线方程 【解答】解：圆 C：x2+y24x6y+90 的圆心坐标（2，3） ，半径为 2， 直线 l 过点（0，2） ，被圆 C：x2+y24x6y+90 截得的弦长为 2， 圆心到所求直线的距离为：1， 设所求直线为：ykx+2即 kxy+20， 1， 解得 k0 或， 所求直线方程为 yx+2 或 y2 故选：D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能 力 11
16、 （5 分）椭圆长轴上的两端点 A1（3，0） ，A2（3，0） ，两焦点恰好把长轴三等分，则 该椭圆的标准方程为（ ） A B C D 【分析】由题意可设所求的椭圆的方程为，且 a3，再由两焦点 恰好把长轴三等分可得 a3c，从而可求 c，然后根据可求 b 的值，进而可求 椭圆的方程 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：由题意可设所求的椭圆的方程为，且 a3 由两焦点恰好把长轴三等分可得 2a6c 即 a3c3 c1， 故所求的椭圆方程为： 故选：A 【点评】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程， 求解出 a，b 的值 12 （5 分）函数 f（x）ax3
17、+x+1 有极值的充要条件是（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da0 【分析】用排除法 当 a0 时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除 B，D； 当 a0 时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除 A，进而得到答案 【解答】解：当 a0 时，函数 f（x）ax3+x+1x+1 是单调增函数无极值，故排除 B， D 当 a0 时，函数 f（x）ax3+x+1 是单调增函数无极值，故排除 A， 故选：C 【点评】本题主要考查函数极值的充要条件做选择题时要选择最快的方法是很关键的 问题，因为选择题都给一定的选项，所以排除法对做选择来说是一个很重要的方法 二、填空题二、填空题 13 （5 分）某校邀
18、请 6 位学生的父母共 12 人，请这 12 位家长中的 4 位介绍其对子女的教 育情况，如果这 4 位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有 240 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：先从 6 对夫妇中选一对，再从余下的 5 对夫妇中 选两对，每一对中选一位，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，选出的 4 位中恰有一对是夫妇，则先从 6 对夫妇中选一对，有 C616 种结果， ，再从余下的 5 对夫妇中选两对，每一对中选一位有 C52C21C2140 种结果， 则不同的选择方法有 640240 种， 第 11 页（共 18 页） 故答案为：2
19、40 【点评】本题考查排列组合以及分步计数原理的应用，属于基础题 14 （5 分）等比数列an满足 a1+a23，a2+a36，则 a7 64 【分析】根据等比数列的通项公式分别化简 a1+a23，a2+a36 后得到首项和公比的两 个关系式，分别记作和，然后即可求出公比，把公比代入即可求出首项， 根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出 a7的值即可 【解答】解：由 a1+a2a1（1+q）3，a2+a3a1q（1+q）6， 得：q2，把 q2 代入得到 a11， 则 a72664 故答案为：64 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题 15 （5 分）
20、如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在 一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的 个数是 36 ； 【分析】先考虑 6 个表面，每一个表面有四条棱与之垂直；再考虑 6 个对角面，每个对 角面又有两条面对角线与之垂直 【解答】解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成 24 个“正交 线面对” ； 而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成 12 个“正 交线面对” ， 所以共有 36 个“正交线面对” ； 故答案为 36 【点评】画出图形，分类讨论 16 （5 分）如图，已知 A，B
21、是函数 f（x）log2（16x）图象上的两点，C 是函数 g（x） log2x 图象上的一点，且直线 BC 垂直于 x 轴，若ABC 是等腰直角三角形（其中 A 为 直角顶点） ，则点 A 的横坐标为 第 12 页（共 18 页） 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，代入函数解析式，再由等腰直角三角 形可得 y2y32（x2x1） ，y2+y32y1，再由对数的运算性质和方程思想，计算即可得 到所求值 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， 则 y1log2（16x1） ，y2log2（16x2） ， y3log2x3
22、，x2x3， ABC 是等腰直角三角形（其中 A 为直角顶点） ， 可得 y2y32（x2x1） ， y2+y32y1， 即有 log2（16x2）log2x32（x2x1） ， log2（16x2）+log2x32log2（16x1） ， 化简可得 x2x12， log2x22+log2x1， 即为 2+x14x1， 解得 x1， 故答案为： 【点评】本题考查对数的运算性质和运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于 中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 70 分解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第分解答应写出文字说明、解答过程成演算步骤，第 17-21 题为必题为必 考
23、题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 2223 题为选考题，考生根据要求作等） （一）必考题题为选考题，考生根据要求作等） （一）必考题 17 （12 分）在ABC 中，求 b，c 【分析】由 A 的度数求出 sinA 的值，利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积， 使面积等于，把 sinA 的值代入可得 bc 的值，然后再求出 cosA 的值，由 a 的值及 cosA 的值，利用余弦定理表示出 a2，配方变形后，把 bc 及 cosA 的值代入，开方可得 b+c 的 值，联立 bc 的值与 b+c 的值，即可求出 b 和 c 的值 第 13 页（共 18 页）
24、 【解答】解：，sinAsin120， bc4， （4 分）又 cosAcos120，且 a， 根据余弦定理 a2b2+c22bccosA 得：21b2+c2+bc（b+c）2bc， 即（b+c）225，开方得：b+c5， （8 分） 而 cb，联立，求得 b1，c4 （10 分） 【点评】此题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握 公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键，学生在求出 b 和 c 值时注意利 用 cb 这个条件 18（12 分） 如图所示， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1， ACAA1， ABC60 （1）证明：ABA1C； （2
25、）求二面角 AA1CB 的余弦值 【分析】 （1）欲证 ABA1C，而 A1C平面 ACC1A1，可先证 AB平面 ACC1A1，根据三 棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，可知 ABAA1，由正弦定理得 ABAC，满足线面垂直 的判定定理所需条件； （2）作 ADA1C 交 A1C 于 D 点，连接 BD，由三垂线定理知 BDA1C，则ADB 为二 面角 AA1CB 的平面角，在 RtBAD 中，求出二面角 AA1CB 的余弦值即可 【解答】解： （1）证明：三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1，在ABC 中， AB1，AC，ABC60，由正弦定理得ACB30， BAC90，即
26、ABAC， AB平面 ACC1A1， 又 A1C平面 ACC1A1， ABA1C （2）如图，作 ADA1C 交 A1C 于 D 点，连接 BD， 由三垂线定理知 BDA1C， 第 14 页（共 18 页） ADB 为二面角 AA1CB 的平面角 在 RtAA1C 中，AD， 在 RtBAD 中，tanADB， cosADB， 即二面角 AA1CB 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑 思维能力，计算能力，是中档题 19 （12 分）盒中装有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个来用，用完 后装回盒中，此时盒中旧球
27、个数 X 是一个随机变量，求 X 的分布列 【分析】从盒中任取 3 个，这 3 个可能全是旧的，2 个旧的 1 个新的，1 个旧的 2 个新的 或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是 3 个，4 个，5 个，6 个，即 X 可 以取 3，4，5，6X 取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可 【解答】解：X 的所有可能取值为 3，4，5，6 P（X3）， P（X4）， P（X5）， P（X6）， 所以 X 的分布列为 X 3 4 5 6 第 15 页（共 18 页） P 【点评】本题考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是 正确地求出 X 取某个值时对应
28、的事件的概率 20 （12 分）已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx， 且过点（4，） （1）求双曲线方程； （2）若点 M（3，m）在此双曲线上，求 【分析】 （1）设双曲线方程为 x2y2，0，由双曲线过点（4，） ，能求出双 曲线方程 （2）由点 M（3，m）在此双曲线上，得 m由此能求出的值 【解答】解： （1）双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为 yx， 设双曲线方程为 x2y2，0， 双曲线过点（4，） ， 1610，即 6， 双曲线方程为1 （2）点 M（3，m）在此双曲线上， 1， 解得 m M（3，） ，或 M
29、（3，） ， F1（2，0） ， 当 M（3，）时，（23，） ，（，） ， 1260； 当 M（3，）时，（23，） ，（，） ， 126+6+9+30 第 16 页（共 18 页） 故0 【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题， 注意双曲线性质的合理运用 21 （12 分）已知函数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）若函数 yf（x）的图象与直线 y1 恰有两个交点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）对函数 f（x）求导，根据导数大于 0 时原函数单调增，导数小于 0 时原函 数单调减可得到答案 （2）求出函数的极值点，根据图象可得答案 【解
30、答】解： （1）因为 f（x）x3+ax22a2xx（x+2a） （xa） 令 f（x）0 得 x12a，x20，x3a 由 a0 时，f（x）在 f（x）0 根的左右的符号如下表所示 x （， 2a） 2a （2a， 0） 0 （0，a） a （a， +） f（x） 0 + 0 0 + f（x） 极小值 极大值 极小值 所以 f（x）的递增区间为（2a，0）与（a，+）f（x）的递减区间为（，2a） 与（0，a） （2）由（1）得到， f（x）极大值f（0）a4 要使 f（x）的图象与直线 y1 恰有两个交点，如图示 或 第 17 页（共 18 页） 故只要或 a41， 即或 0a1 【点评
31、】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导数大于 0 时原 函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 选修选修 44：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22 （10 分）在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为以极点为原点，极轴 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系， 曲线C的参数方程为（ 为参数） 求 直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和 曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标 【解答】解：直线 l 的极坐标方程为（R） ，转换为直角坐标方程为 曲线 C 的参数方
32、程为（ 为参数） ， 整理得，转换为直角坐标方程为 x22y 所以，整理得，解得 x0 或 2， 当 x0 时，y0， 当 x2时，y6， （舍去） 所以直线与曲线的交点的坐标为 P（0，0） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设不等式|x2|a（aN*）的解集为 A，且A，A （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）|x+a|+|x2|的最小值 【分析】 （1）根据包含关系得到关于 a 的不等式，解出即可； 第 18 页（共 18 页） （2）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可 【解答】解： （1）因为A，且A， 所以2a，且2a， 解得a 又因为 aN*， 所以 a1 （2）因为|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|3， 当且仅当（x+1） （x2）0， 即1x2 时取到等号 所以 f（x）的最小值为 3 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题
