1、已知集合 Ax|x24x120，则 AB（ ） A0，6） B2，6） C （2，0 D 2 （5 分）（ ） A B C D 3 （5 分）已知 alog315，blog420，clog630，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 4 （5 分） “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故 “沉鱼” ，讲的是西 施浣纱的故事； “落雁” ， 指的就是昭君出塞的故事； “闭月” ， 是述说貂蝉拜月的故事； “羞 花” ，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事她们分别是中国古代的四大美女某艺术团要以 四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂 蝉且乙
2、不扮演杨贵妃的概率为（ ） A B C D 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 6 （5 分）的展开式中，x4项的系数为（ ） A280 B280 C35 D560 7 （5 分）已知 A（2，4） ，B（4，1） ，C（9，5） ，D（7，8） ，现有如下四个结论： 四边形 ABCD 为平行四边形； 与夹角的余弦值为：； 则上述正确结论的序号为（ ） A B C D 8 （5 分） 九章算术卷七盈不足中有如下问题： “今有共买羊，人出五，不足四十五； 人出七，不足三问人数、羊价各几何？” 翻译为： ”现有几个人一起买羊，若每人出 五钱，还差四十五
3、钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少” 为了研究 该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） 第 3 页（共 25 页） Ak20 Bk21 Ck22 Dk23 9 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为，点 P 在正方形 A1B1C1D1上，且 A1， C 到 P 的距离分别为 2， 则直线 CP 与平面 BDD1B1， 所成角的正切值为 （ ） A B C D 10 （5 分）已知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过点 F2且与椭 圆 C 交于 M，N 两点，且，若|OA|AF2|，则直线 l 的斜率为（ ）
4、A1 B C D 11 （5 分）关于函数有下述三个结论： 函数 f（x）的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；函数 f（x）的最小正周 期为 ：x0R，f（x0）1其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分）在三棱锥 SABC 中，AC2AB4，ASSC，平面 ABC平面 SAC， 则当CBS 的面积最大时，三棱锥 SABC 内切球的半径为（ ） 参考数据：0.25 A0.125 B0.25 C0.5 D0.75 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知函数，则曲线 yf（x）在处的切线方程 为
5、第 4 页（共 25 页） 14 （5 分）设实数满足，则 zx+4y 的最小值为 15 （5 分）若随机变量 服从正态分布 N（9，16） ，则 P（313） 参考数据：若 N（，2） ，则 P（+）0.6827；P（2+2 ）0.9545；P（3+3）0.9973 16 （5 分）已知双曲线 C1：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，第 一象限内的点 M（x0，y0）在双曲线 C1的渐近线上，且 MF1MF2，若以 F2为焦点的抛 物线 C2：y22px（p0）经过点 M，则双曲线 C1的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）记首项为 1 的数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求证：数列an是等比数列； （2）若，求数列bn的前 2n 项和 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （1）求 A 的值； （2）若 AMBC，垂足为 M，且 BC12，求 AM 的取值范围 19 （ 12 分 ） 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， ， PDBC， 点 M 是线段上靠近 A 的三等分 点 （1）求证：PCPA； （2）求二面角 MPCB 的余弦值 20 （12 分）记抛物线
7、y22x 的焦点为 F，点 M 在抛物线上，N（3，1） ，斜率为 k 的 直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）求|MN|+|MF|的最小值； 第 5 页（共 25 页） （2）若 M（2，2） ，直线 MP，MQ 的斜率都存在，且 kMP+kMQ+20；探究：直线 l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）2lnx+ax，g（x）x2+12f（x） （1）讨论函数 f（x）在4，+）上的单调性； （2）若 a0，当 x（1，+）时，g（x）0，且 g（x）有唯一零点，证明：a1 22 （12 分） 某游戏公司对今年新开发的一些游
8、戏进行评测， 为了了解玩家对游戏的体验感， 研究人员随机调查了 300 名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如 图所示，其中 ab0.016 （1）求这 300 名玩家测评分数的平均数； （2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请 3 位游戏专家对游 戏进行初测，如果 3 人中有 2 人或 3 人认为游戏需要改进，则公司将回收该款 游戏进行改进；若 3 人中仅 1 人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请 2 位专家二测， 二测时， 2 人中至少有 1 人认为游戏需要改进的话， 公司则将对该款游戏进行回收改进 已 知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为 p （
9、0p1） ， 且每款游戏之间改进 与否相互独立 （i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率； （ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为 300 元/人，今年所有游戏的研发总费用为 50 万 元，现对该公司今年研发的 600 款游戏都进行检测，假设公司的预算为 110 万元，判断 这 600 款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年陕西省百校联盟学年陕西省百校联盟 TOP20 高三（上）高三（上）9 月联考数学月联考数学 试卷（理科） （全国试卷（理科） （全国 II 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
10、一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x24x120，则 AB（ ） A0，6） B2，6） C （2，0 D 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x6，By|y2， AB2，6） 故选：B 【点评】本题考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的 运算，属于基础题 2 （5 分）（ ） A B C D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【
11、解答】解： 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分）已知 alog315，blog420，clog630，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【分析】可以得出，并且可知 0log53 log54，从而得出 log315log4202，并且可得出 log6302，从而得出 a，b，c 的大小关 系 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：，且 0log53log54， ， log315log4202，且 log630log6362， abc 故选：A 【点评】本题考查对数函数的单调性，对数的换底公式，以及增函数的定义，属于基础 题 4 （5 分）
12、“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故 “沉鱼” ，讲的是西 施浣纱的故事； “落雁” ， 指的就是昭君出塞的故事； “闭月” ， 是述说貂蝉拜月的故事； “羞 花” ，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事她们分别是中国古代的四大美女某艺术团要以 四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂 蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为（ ） A B C D 【分析】依题意，基本事件的总数为24，设事件 A 表示甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨 贵妃，则事件 A 包含14 个基本事件，故 P（A）可求 【解答】解：依题意，基本事件的总数为24，设事件 A 表示甲不扮演貂蝉且乙不扮
13、演杨贵妃， 若甲扮演杨贵妃，则包含6 个基本事件； 若甲扮演西施或者昭君，则包含 228 个基本事件， 第 8 页（共 25 页） 综上 A 包含 6+814 个基本事件， 所以 P（A） 故选：B 【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） A B C D 【分析】先求出函数的定义域，利用函数的奇偶性和特殊值的对应关系，利用排除法进 行判断即可 【解答】解：函数的定义域是（，0）（0，+） ， f（x）+sin（x）（+sinx）f（x） ， 则函数 f（x）是奇函数，椭圆关于原点对称，排除 C， 当 x+，f（x）+，排除 D， 第 9 页（共
14、25 页） 当 x 时，f（x）+sin0，排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及函数值 的对应性，结合排除法是解决本题的关键 6 （5 分）的展开式中，x4项的系数为（ ） A280 B280 C35 D560 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 【解答】解：在的展开式中，通项公式为 Tr+1 （1）r， 令 144， 求得 r3，可得 x4项的系数为 （1）335， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 7 （5 分
15、）已知 A（2，4） ，B（4，1） ，C（9，5） ，D（7，8） ，现有如下四个结论： 四边形 ABCD 为平行四边形； 与夹角的余弦值为：； 则上述正确结论的序号为（ ） A B C D 【分析】求出对应向量的坐标，结合向量垂直，向量长度，夹角以及模长公式分别进行 计算，判断即可 【解答】解：（2，3） ，（7，1） ，（3，7） ， 则273114311， 则不成立，故错误， 第 10 页（共 25 页） （2，3） ， 则，则四边形 ABCD 为平行四边形，故正确， 21+728，|5，|， 则与夹角的余弦值为 cos，故 错误， +（9，2） ，则|+|，故正确， 故正确的是， 故
16、选：B 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量的坐标公式，向量模长，夹角，垂直 关系的应用和判断，利用向量数量积的坐标公式是解决本题的关键 8 （5 分） 九章算术卷七盈不足中有如下问题： “今有共买羊，人出五，不足四十五； 人出七，不足三问人数、羊价各几何？” 翻译为： ”现有几个人一起买羊，若每人出 五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少” 为了研究 该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） Ak20 Bk21 Ck22 Dk23 【分析】根据题意可得 x 为人数，y 为羊价，得：5x+457x+3，解得 x21，模拟程
17、序 的运行可得当 x21，k21 时，退出循环，输出 x，y 的值，即可得解判断框中应填入 的内容 【解答】解：模拟执行程序，可得 x 为人数，y 为羊价， 由题意可得：5x+457x+3，解得 x21， 第 11 页（共 25 页） 即当 x20，k20 时，继续循环， 当 x21，k21 时，退出循环，输出 x，y 的值， 则判断框中应填入的内容为：k20？ 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为，点 P 在正方形 A1B1C1D1上，且 A1， C 到 P
18、的距离分别为 2， 则直线 CP 与平面 BDD1B1， 所成角的正切值为 （ ） A B C D 【分析】根据勾股定理计算 C1P，结合 A1P 得出 P 为 A1C1的中点，再构造直角三角形计 算线面角即可 【解答】解：设正方体的边长为 a，则 a316，故 a2， A1C1a4， CP2，C1P2， 又 A1P2， P 为线段 A1C1的中点， 设 ACBDO，则 OC平面 BDD1B1，故CPO 为直线 CP 与平面 BDD1B1所成角， tanCPO 故选：A 【点评】本题考查了空间距离与线面角的计算，判断 P 点位置是关键，属于中档题 10 （5 分）已知椭圆1 的左、右焦点分别为
19、 F1，F2，直线 l 过点 F2且与椭 第 12 页（共 25 页） 圆 C 交于 M，N 两点，且，若|OA|AF2|，则直线 l 的斜率为（ ） A1 B C D 【分析】椭圆1，可得 c设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，A（x0，y0） 由 题意直线 l 与 x 轴不垂直， 设直线 l 的方程为： myx 与椭圆方程联立化为：（m2+4） y2+2my20，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得 y0，x0根据|OA|AF2|， 可得 x0，即可得出 【解答】解：椭圆1， c 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，A（x0，y0） 由题意直线 l 与 x 轴不垂直，设直线
20、 l 的方程为：myx 联立，化为： （m2+4）y2+2my20， y1+y2， y0，x0my0+ |OA|AF2|，x0， ，化为：m24， 直线 l 的斜率 k 满足：k2， 解得 k 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、一元二次方程的根与系 数的关系、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）关于函数有下述三个结论： 第 13 页（共 25 页） 函数 f（x）的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；函数 f（x）的最小正周 期为 ：x0R，f（x0）1其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】判断函
21、数的奇偶性，和对称性的关系进行判断即可； 求出函数的解析式，作出函数图象利用数形结合进行判断； 利用数形结合进行判断 【解答】解：f（x）|sin|+|cos|sin|+|cos|sin|+|cos|f（x） ， 则 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，故错误， 当 2k2k+， kZ， 即 4kx4k+， kZ， f （x） sin+cossin （x+） ， 当 2k+2k+，kZ，即 4k+x4k+2，kZ， f（x）sincossin（x） ， 当 2k+2k+，kZ，即 4k+2x4k+3，kZ， f（x）sincossin（x+） ， 当 2k+2k+2，kZ，即 4k+3x4
22、k+4，kZ， f（x）sin+cossin（x） ， 作出函数 f（x）在2，2上的图象如图： 由图象知，函数的最小周期为 ，故正确， 由图象知函数的最小值为 1，则：x0R，f（x0）1 错误， 故正确的命题只有一个， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合绝对值的应用，利用辅助角公式进 第 14 页（共 25 页） 行转化，结合三角函数的图象是解决本题的关键 12 （5 分）在三棱锥 SABC 中，AC2AB4，ASSC，平面 ABC平面 SAC， 则当CBS 的面积最大时，三棱锥 SABC 内切球的半径为（ ） 参考数据：0.25 A0.125 B0.25 C0.5
23、D0.75 【分析】在ABC 中，AC2AB4，由 AB2+AC2BC2可得 ABAC，利 用面面垂直的性质定理可得：AB平面 SAC，因此 ABSC又 SCSA，可得 SC平 面 SAB，于是 SCSB可得 SB2+SC220利用基本不等式的性质可得 SSBCSBSC 当且仅当 SBSC时取等号此时 SA设 三棱锥 SABC 内切球的半径为 r利用体积变形即可得出 【解答】解：在ABC 中，AC2AB4，AB2+AC2BC2 ABAC， 平面 ABC平面 SAC，平面 ABC平面 SACAC， AB平面 SAC，ABSC 又 SCSA，SAABA SC平面 SAB，SCSB SB2+SC22
24、0 SSBCSBSC5当且仅当 SBSC时取等号 此时 SA SSAC，SSAB，SABC4 设三棱锥 SABC 内切球的半径为 r 则（+4+5），可得 r20.250.5 故选：C 第 15 页（共 25 页） 【点评】本题考查了面面垂直的性质定理、勾股定理及其逆定理、基本不等式的性质、 三棱锥内切球的性质、三棱锥的体积计算公式、体积变形，考查了空间想象能力、推理 能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知函数，则曲线 yf（x）在处的切线方程 为 yx 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和
25、切点，由点斜式方程可得所求切线方程 【解答】解：函数的导数为 f（x）3x2， 可得曲线 yf（x）在处的切线斜率为， 切点为（，） ，可得曲线 yf（x）在处的切线方程为 y+（x ） ， 即为 yx 故答案为：yx 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运 算能力，属于基础题 14 （5 分）设实数满足，则 zx+4y 的最小值为 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最小值 【解答】解：画出实数满足，表示的平面区域，如图所示； 第 16 页（共 25 页） 由图形知，当目标函数 zx+4y 过点 C 时，z 取得最小值；
26、 由，得 A（，） ， z 的最小值为+4 故答案为： 【点评】本题考查线性规划的简单应用问题，是基础题 15 （5 分）若随机变量 服从正态分布 N（9，16） ，则 P（313） 0.84 参考数据：若 N（，2） ，则 P（+）0.6827；P（2+2 ）0.9545；P（3+3）0.9973 【分析】由已知求得 与的值，可得 P（313）P（3+）P （3+3）+P（+），代值得答案 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（9，16） ， 对称轴方程为 x9，4， 则 P（313）P（3+） P（3+3）+P（+） 0.9973+0.68270.84 故答案为：0.84 【点评】本题考
27、查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 16 （5 分）已知双曲线 C1：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，第 第 17 页（共 25 页） 一象限内的点 M（x0，y0）在双曲线 C1的渐近线上，且 MF1MF2，若以 F2为焦点的抛 物线 C2：y22px（p0）经过点 M，则双曲线 C1的离心率为 2+ 【分析】 求得双曲线的渐近线方程和焦点坐标， 运用两直线垂直的条件： 斜率之积为1， 解方程可得 M 的坐标，再由抛物线的焦点和方程，可得 a，b，c 的方程，结合离心率公 式，可得所求值 【解答】解：双曲线的渐
28、近线方程为 yx，焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 由题意可得 y0x0， 又 MF1MF2，可得 y02+x02c2， 由 a2+b2c2，联立可得 x0a，y0b， 由 F 为焦点的抛物线 C2：y22px（p0）经过点 M， 可得 b22pa，即有 b24acc2a2， 由 e，可得 e24e10， 解得 e2+， 故答案为：2+ 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和抛物线的焦 点和方程，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）记首项为 1 的数列an的
29、前 n 项和为 Sn，且 （1）求证：数列an是等比数列； （2）若，求数列bn的前 2n 项和 【 分 析 】（ 1 ） 把 已 知 数 列 递 推 式 变 形 ， 可 得， 得 ，两式作差可得数列an是等比数列； （2）由（1）求出数列an的通项公式，代入，可得 ，再由等差数列的前 n 项和求解 【解答】 （1）证明：由， 第 18 页（共 25 页） 得， 得， 两式相减可得， 故 an+23an+1， 而，故 a23a1， 数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列； （2）解：由（1）可知， 故 记数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 【点评】本题考查数列递推式，考查等比
30、关系的确定，训练了等差数列前 n 项和的求法， 是中档题 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 （1）求 A 的值； （2）若 AMBC，垂足为 M，且 BC12，求 AM 的取值范围 【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理余弦定理求出 A 的值 （2）利用余弦定理和三角形的面积及基本不等式的应用求出结果 【解答】 解：（1） 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 整理得 acosB（2cb）cosA，所以转换为 sinAcosB（2sinCsinB）cosA， 故 sin（A+B）sinC2sinC
31、cosA，由于 C（0，） ， 故 sinC0，故 cosA，所以 （2）由于， 由于 AMBC，垂足为 M，且 BC12， 所以，故 第 19 页（共 25 页） 由余弦定理得b2+c2bc2bcbcbc， 当且仅当 bc 时 0bc144， 所以， 即 AM 的取值范围是（0，6 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角 形面积公式的应用，及基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力，属于基础题型 19 （ 12 分 ） 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， ， PDBC， 点
32、 M 是线段上靠近 A 的三等分 点 （1）求证：PCPA； （2）求二面角 MPCB 的余弦值 【分析】 （1）由 BCPD，BCDC，得 BC平面 PDC，从而 AD平面 PDC，进而 PC AD，推导出 PCPD，从而 PC平面 PAD，由此能证明 PCPA （2）作 POCD 于 O，则平面 ABCD平面 PDC，PO平面 ABCD，以点 O 为原点， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 MPCB 的余弦值 【解答】解： （1）证明：BCPD，BCDC，BC平面 PDC， AD平面 PDC，PCAD， 又PDCPCD，CPBCBP，BC， 在PDC 中，设 PCPD2， 则 D
33、CAB2，故 PC2+PD2DC2， PCPD， ADPDD，PC平面 PAD， 而 PA平面 PAD，PCPA （2）解：作 POCD 于 O， 第 20 页（共 25 页） BC平面 PDC，平面 ABCD平面 PDC， PO平面 ABCD， 以点 O 为原点，建立空间直角坐标系，设 PCPD2， 则 P（0，0，） ，C（0，0） ，A（2，0） ，B（2，0） ，M（2， 0） ， （0，） ，（2，0） ，（2，0，0） ， 设平面 PMC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y3，得 （2，） ， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （0，1，1） ，
34、 设二面角 MPCB 的平面角为 ， 则 cos 二面角 MPCB 的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）记抛物线 y22x 的焦点为 F，点 M 在抛物线上，N（3，1） ，斜率为 k 的 直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）求|MN|+|MF|的最小值； （2）若 M（2，2） ，直线 MP，MQ 的斜率都存在，且 kMP+kMQ+20；探究：直线 l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 【分析】 （1）设 M，N 在准线 l上的射
35、影为 M，N，求得抛物线的焦点和准线，运用抛 第 21 页（共 25 页） 物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值； （2）设斜率为 k 的直线 l 的方程为 ykx+b，联立抛物线方程，设 P（x1，y1） ，Q（x2， y2） ，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，可得 b1，即可判断直线 l 过 定点 【解答】解： （1）设 M，N 在准线 l上的射影为 M，N， 抛物线 y22x 的焦点为 F（，0） ，准线为 l：x， 由抛物线的定义可得|MF|MM|， 则|MN|+|MF|MN|+|MM|NN|3+， 可得|MN|+|MF|的最小值为； （2）设斜率为 k 的直线
36、 l 的方程为 ykx+b， 联立抛物线方程 y22x，可得 k2x2+（2kb+2）x+b20， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 y1kx1+b，y2kx2+b， 且 x1+x2，x1x2， 由 M（2，2） ，可得 kMP+kMQ+ 2k+（b2k2） （+）2k+（b2k2） 2k+（b2k2） 2， 即为 2k+2，化为 b1， 则直线 l 的方程为 ykx1， 可得直线 l 恒过定点（0，1） 第 22 页（共 25 页） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于中档题 21 （
37、12 分）已知函数 f（x）2lnx+ax，g（x）x2+12f（x） （1）讨论函数 f（x）在4，+）上的单调性； （2）若 a0，当 x（1，+）时，g（x）0，且 g（x）有唯一零点，证明：a1 【分析】 （1）先求导，然后讨论 a 的取值对 f（x）符号的影响，进而确定函数的单调 性； （2）由题意若 a0，当 x（1，+）时，g（x）0，且 g（x）有唯一零点，只需 g （x0）0 进而求解 【解答】解： （1）依题意，f（x）+a 若 a0，则 f（x）0，故函数 f（x）在4，+）上单调递增； 若 a0，令 f（x）0，解得 x， 若 a0，则0，则 f（x）0，函数 f（x）
38、在4，+）上单调递增； 若 a，则4，则 f（x）0，则函数 f（x）在4，+）上单调递减； a0，则4，则函数 f（x）在4，单调递增，在（，+）上单 调递减； 综上所述，a0 时，函数 f（x）在4，+）上单调递增，a时，函数 f（x）在4， +）单调递减， a0 时，函数 f（x）在4，单调递增，在（，+）上单调递减 第 23 页（共 25 页） （2）证明：依题意，x2+14lnx2ax0，而 g（x）2x2a， 令 g（x）0，解得 x1， 因为 a0，故1， 故 g（x）在（1，+）上有唯一零点 x0， 又 g（x）2（+xa） 故+x0a0 要使 g（x）0 在（1，+）上恒成立
39、，且 g（x）0 有唯一解，只需 g（x0）0， 即2lnx0+（x20+1）ax00 由可知，2lnx0+（x 2+1）x0（ +x0）0， 故2lnx0x20+0， 令 h（x0）2lnx0x20+，显然 h（x0）在（1，+）上单调递减， 因为 h（1）20，h（2）2ln2+0， 故 1x02， 又 a+x0在（1，+）单调递增， 故必有 a1 【点评】 （1）考查函数的求导，分类讨论的思想； （2）考查转化思想，将要证转化成只需证明 22 （12 分） 某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测， 为了了解玩家对游戏的体验感， 研究人员随机调查了 300 名玩家，对他们的游戏体验感进行
40、测评，并将所得数据统计如 图所示，其中 ab0.016 （1）求这 300 名玩家测评分数的平均数； （2）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请 3 位游戏专家对游 戏进行初测，如果 3 人中有 2 人或 3 人认为游戏需要改进，则公司将回收该款 游戏进行改进；若 3 人中仅 1 人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请 2 位专家二测， 第 24 页（共 25 页） 二测时， 2 人中至少有 1 人认为游戏需要改进的话， 公司则将对该款游戏进行回收改进 已 知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为 p （0p1） ， 且每款游戏之间改进 与否相互独立 （i）对该公司的任意一款
41、游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率； （ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为 300 元/人，今年所有游戏的研发总费用为 50 万 元，现对该公司今年研发的 600 款游戏都进行检测，假设公司的预算为 110 万元，判断 这 600 款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明 【分析】 （1）利用频率分布直方图的性质结合题设条件列方程组，求出 a，b由此能求 出这 300 名玩家测评分数的平均数 （2） （i）由一款游戏初测被认定需要改进的概率为，一款游戏二测 被认定需要改进的概率为：，能求出某款游戏被认定需要改 进的概率 （ii）设每款游戏的评测费用为 X 元，则 X 的可能取值为
42、 900，1500，分别求出相应的概 率，由此能求出 E（X）900+1800p（1p）2令 g（p）p（1p）2，p（0，1） ， 利用导数性质求出 g（p）的最大值为 g（）由此能求出这 600 款游戏所需的最 高费用超过预算 【解答】解： （1）依题意得： （0.005+a+b+0.035+0.028）101， 解得 a+b0.032，而 ab0.016， 联立，解得 a0.024，b0.008 这 300 名玩家测评分数的平均数为： 550.035+650.24+750.35+850.28+950.0876 （2） （i）一款游戏初测被认定需要改进的概率为， 第 25 页（共 25 页
43、） 一款游戏二测被认定需要改进的概率为：， 某款游戏被认定需要改进的概率为： 1（1p）23p5+12p417p3+9p2 （ii）设每款游戏的评测费用为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500， P（X1500）， P（X900）1 E（X）+1500900+1800p（1p）2 令 g（p）p（1p）2，p（0，1） ， 则 g（p）（1p）22p（1p）（3p1） （p1） ， 当 p（0，）时，g（p）0，g（p）在（0，）上单调递增， 当 p（）时，g（p）0，g（p）在（）上单调递减， g（p）的最大值为 g（） 实施此方案，最高费用为： 50+600（900+1800）10 4120110， 这 600 款游戏所需的最高费用超过预算 【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查所需最高费用是否超过预算的求法，考查 频率分布直方图的性质、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求 解能力，是中档题
