1、已知集合 Ax|x24x120，则 AB（ ） A0，6） B2，6） C （2，0 D 2 （5 分）复数（25i） （3+8i）的虚部为（ ） Ai B46 C1 D1 3 （5 分）已知 alog526，c0.60.9，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 4 （5 分） “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故 “沉鱼” ，讲的是西 施浣纱的故事； “落雁” ， 指的就是昭君出塞的故事； “闭月” ， 是述说貂蝉拜月的故事； “羞 花” ，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事她们分别是中国古代的四大美女某艺术团要以 四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙
2、、丁三人抽签决定扮演的 对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ） A B C D 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） A 第 2 页（共 23 页） B C D 6 （5 分）已知函数，则函数 f（x）的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）在正方形 ABCD 中，点 E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BC 上靠近 C 的三等分点， 则（ ） A B C D 8 （5 分） 九章算术卷七盈不足中有如下问题： “今有共买羊，人出五，不足四十五； 人出七，不足三问人数、羊价各几何？” 翻译为： ”现有几个人一起买羊，若每人出 五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱
3、，问人数、羊价分别是多少” 为了研究 该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） 第 3 页（共 23 页） Ak20 Bk21 Ck22 Dk23 9 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为，点 P 在正方形 A1B1C1D1上，且 A1， C 到 P 的距离分别为 2， 则直线 CP 与平面 BDD1B1， 所成角的正切值为 （ ） A B C D 10 （5 分）已知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过点 F2且与椭 圆 C 交于 M，N 两点，且，若|OA|AF2|，则直线 l 的斜率为（ ） A1 B C D 11 （
4、5 分）关于函数有下述三个结论： 函数 f（x）的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；函数 f（x）的最小正周 期为 ：x0R，f（x0）1其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAB 是面积为的等边三角形，ACB45，则当 三棱锥 PABC 的体积最大时，其外接球半径为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知函数，则曲线 yf（x）在处的切线方程 为 14 （5 分）设实数满足，则 zx+4y 的最小值为 第 4 页（共 23 页） 15 （5
5、 分）为了了解某公司 800 名党员“学习强国”的完成情况，公司党委书记将这 800 名党员编号为 1，2，3，800，并用系统抽样的方法随机抽取 50 人做调查，若第 3 组中 40 号被抽到，则第 9 组中抽到的号码是 16 （5 分）已知双曲线 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M （x1，y1） ，N（x1，y1）在双曲线 C 上，且 x10，若，且 MON 为等边三角形，则双曲线 C 的渐近线方程为 三、解答题：解答应写出文三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）某学校 1200 名高三学生参加当地教育局举办的人身安全测
6、试，将所得成绩统 计如图所示，其中 ab0.016 （1）求测试分数在60，90）的学生人数； （2）求这 1200 名高三学生成绩的平均数以及中位数 18 （12 分）记首项为 1 的数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求证：数列an是等比数列； （2）若，求数列bn的前 2n 项和 19 （ 12 分 ） 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 （1）求 tanA 的值； （2）若，a6，求 c 的值 20 （12 分）如图（1）所示，在四棱锥 SABCD 中，BADCDACBD2ABD 90，平面 SBD平面 ABCD，且
7、SBD 为边长为的等边三角形 第 5 页（共 23 页） （1）求证：CBDS； （2）过 S 作 STBD，使得四边形 STDB 为菱形，连接 TA，TD，TC，得到的图形如图 （2）所示，若平面 BMN平面 ADT，且直线 DC平面 BMNM，直线 TC平面 BMN N，求三棱锥 DMNB 的体积 21 （12 分）记抛物线 y22x 的焦点为 F，点 M 在抛物线上，N（3，1） ，斜率为 k 的 直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）求|MN|+|MF|的最小值； （2）若 M（2，2） ，直线 MP，MQ 的斜率都存在，且 kMP+kMQ+20；探究：直线 l 是否过定点
8、，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）4lnx+x22mx（mR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若直线 l 为曲线的切线，求证：直线 l 与曲线不可能有 2 个切点 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年陕西省百校联盟学年陕西省百校联盟 TOP20 高三（上）高三（上）9 月联考数学月联考数学 试卷（文科） （全国试卷（文科） （全国 II 卷）卷） 参考答案与试题参考答案与试题解析解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四
9、个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x24x120，则 AB（ ） A0，6） B2，6） C （2，0 D 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x6，By|y2， AB2，6） 故选：B 【点评】本题考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的 运算，属于基础题 2 （5 分）复数（25i） （3+8i）的虚部为（ ） Ai B46 C1 D1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：（25i） （3+8i）6+16i15i+4046+i， 所求虚部为 1 故选：D
10、【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）已知 alog526，c0.60.9，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解：依题意，alog5262， ， 0c0.60.90.601， abc 第 7 页（共 23 页） 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分） “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故 “沉鱼” ，讲的是西 施浣纱的故事； “落雁” ， 指的就是昭君出塞的故事； “闭
11、月” ， 是述说貂蝉拜月的故事； “羞 花” ，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事她们分别是中国古代的四大美女某艺术团要以 四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的 对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共 6 种，而甲不扮演貂蝉且 丙扮演昭君值包含 1 个基本事件，代入古典概型的概率公式即可 【解答】解：依题意，所有的情况为（甲西施，丙昭君，丁貂蝉） ， （甲西施， 丙貂蝉，丁昭君） ， （甲昭君，丙西施，丁貂蝉） ， （甲昭君，丙貂蝉，丁 西施） ， （甲貂蝉，丙昭君，丁西施） ，
12、（甲貂蝉，丙西施，丁昭君） ，其中 满足条件的就 1 种，所求事件的概率为 故选：C 【点评】本题考查了古典概型的概率，属于基础题 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） A 第 8 页（共 23 页） B C D 【分析】先求出函数的定义域，利用函数的奇偶性和特殊值的对应关系，利用排除法进 行判断即可 【解答】解：函数的定义域是（，0）（0，+） ， f（x）+sin（x）（+sinx）f（x） ， 则函数 f（x）是奇函数，椭圆关于原点对称，排除 C， 当 x+，f（x）+，排除 D， 当 x 时，f（x）+sin0，排除 B， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的
13、奇偶性，对称性以及函数值 的对应性，结合排除法是解决本题的关键 6 （5 分）已知函数，则函数 f（x）的零点个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】求出分段函数的零点，利用数形结合，转化求解即可 第 9 页（共 23 页） 【解答】解：当 x1 时，令 f（x）0，得，解得或 x0； 当 x1 时，令 f（x）0，得，故， 在同一直角坐标系中分别作出 ylnx+3，的图象如图所示， 观察可知，有 1 个交点，即 f（x）0 在（1，+）上有 1 个解； 综上所述，函数 f（x）的零点个数为 3 故选：C 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力 7 （
14、5 分）在正方形 ABCD 中，点 E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BC 上靠近 C 的三等分点， 则（ ） A B C D 【分析】建立直角坐标系，用特值法进行计算，设 AB6，分别表示出 A、B、C、D、E、 F 的坐标，则由得 【解答】解：以 D 为原点建立如图所示的平面直角坐标系； 不妨设 AB6，则 A（0，6） ，C（6，0） ， 故，B（6，6） ，E（3，0） ，F（6，2） ， 故，； 设，则， 解得，故 故选：C 第 10 页（共 23 页） 【点评】本意考查平面向量基本定理，利用坐标系及特殊值法进行运算，属于中档题 8 （5 分） 九章算术卷七盈不足中有如下问题：
15、“今有共买羊，人出五，不足四十五； 人出七，不足三问人数、羊价各几何？” 翻译为： ”现有几个人一起买羊，若每人出 五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少” 为了研究 该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ） Ak20 Bk21 Ck22 Dk23 【分析】根据题意可得 x 为人数，y 为羊价，得：5x+457x+3，解得 x21，模拟程序 的运行可得当 x21，k21 时，退出循环，输出 x，y 的值，即可得解判断框中应填入 的内容 【解答】解：模拟执行程序，可得 x 为人数，y 为羊价， 由题意可得：5x+457x+3，解得
16、x21， 即当 x20，k20 时，继续循环， 当 x21，k21 时，退出循环，输出 x，y 的值， 则判断框中应填入的内容为：k20？ 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为，点 P 在正方形 A1B1C1D1上，且 第 11 页（共 23 页） A1， C 到 P 的距离分别为 2， 则直线 CP 与平面 BDD1B1， 所成角的正切值为 （ ） A B C D 【分析】根据勾股定理计算 C1P，结合 A1P 得出 P 为 A1C1的中点，再构造直角三角形计
17、 算线面角即可 【解答】解：设正方体的边长为 a，则 a316，故 a2， A1C1a4， CP2，C1P2， 又 A1P2， P 为线段 A1C1的中点， 设 ACBDO，则 OC平面 BDD1B1，故CPO 为直线 CP 与平面 BDD1B1所成角， tanCPO 故选：A 【点评】本题考查了空间距离与线面角的计算，判断 P 点位置是关键，属于中档题 10 （5 分）已知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1，F2，直线 l 过点 F2且与椭 圆 C 交于 M，N 两点，且，若|OA|AF2|，则直线 l 的斜率为（ ） A1 B C D 【分析】椭圆1，可得 c设 M（x1，y1） ，N（x2
18、，y2） ，A（x0，y0） 由 题意直线 l 与 x 轴不垂直， 设直线 l 的方程为： myx 与椭圆方程联立化为：（m2+4） y2+2my20，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得 y0，x0根据|OA|AF2|， 第 12 页（共 23 页） 可得 x0，即可得出 【解答】解：椭圆1， c 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，A（x0，y0） 由题意直线 l 与 x 轴不垂直，设直线 l 的方程为：myx 联立，化为： （m2+4）y2+2my20， y1+y2， y0，x0my0+ |OA|AF2|，x0， ，化为：m24， 直线 l 的斜率 k 满足：k2， 解得 k 故
19、选：B 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、一元二次方程的根与系 数的关系、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）关于函数有下述三个结论： 函数 f（x）的图象既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称；函数 f（x）的最小正周 期为 ：x0R，f（x0）1其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】判断函数的奇偶性，和对称性的关系进行判断即可； 求出函数的解析式，作出函数图象利用数形结合进行判断； 利用数形结合进行判断 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：f（x）|sin|+|cos|sin|+|cos|sin|+|co
20、s|f（x） ， 则 f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，故错误， 当 2k2k+， kZ， 即 4kx4k+， kZ， f （x） sin+cossin （x+） ， 当 2k+2k+，kZ，即 4k+x4k+2，kZ， f（x）sincossin（x） ， 当 2k+2k+，kZ，即 4k+2x4k+3，kZ， f（x）sincossin（x+） ， 当 2k+2k+2，kZ，即 4k+3x4k+4，kZ， f（x）sin+cossin（x） ， 作出函数 f（x）在2，2上的图象如图： 由图象知，函数的最小周期为 ，故正确， 由图象知函数的最小值为 1，则：x0R，f（x0）1 错误
21、， 故正确的命题只有一个， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合绝对值的应用，利用辅助角公式进 行转化，结合三角函数的图象是解决本题的关键 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAB 是面积为的等边三角形，ACB45，则当 三棱锥 PABC 的体积最大时，其外接球半径为（ ） A B C D 【分析】几何体中的各个面的经过外心的垂线交点即为球心 【解答】解：如图所示，PAB 是面积为的等边三角形 第 14 页（共 23 页） ， AB2； 又ACB45，AB2 由正弦定理可知点 C 在以 AB 为弦的圆的优弧上运动， 当点 C 运动到最高处，ABC 的面积最大，此时 C
22、ACB 时且平面 PAB底面 ABC， 三棱锥 PABC 的体积最大 所以分别过PAB 和ABC 的外心做垂线，垂线的交点即为球心 O设PAB 和ABC 外接圆半径分别为 r1，r2，三棱锥 PABC 外接球半径为 R， 则，故，故 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理，三棱锥外接球半径的求法，属难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知函数，则曲线 yf（x）在处的切线方程 为 yx 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程 【解答】解：函数的导数为 f（x）3x2， 可得曲线 yf（
23、x）在处的切线斜率为， 切点为（，） ，可得曲线 yf（x）在处的切线方程为 y+（x ） ， 即为 yx 故答案为：yx 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运 算能力，属于基础题 14 （5 分）设实数满足，则 zx+4y 的最小值为 【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最小值 【解答】解：画出实数满足，表示的平面区域，如图所示； 由图形知，当目标函数 zx+4y 过点 C 时，z 取得最小值； 由，得 A（，） ， z 的最小值为+4 故答案为： 【点评】本题考查线性规划的简单应用问题，
24、是基础题 15 （5 分）为了了解某公司 800 名党员“学习强国”的完成情况，公司党委书记将这 800 名党员编号为 1，2，3，800，并用系统抽样的方法随机抽取 50 人做调查，若第 3 组中 40 号被抽到，则第 9 组中抽到的号码是 136 【分析】求出系统抽样的组距，再根据题意计算第 9 组抽到的号码数 【解答】解：依题意，共分为 50 组，每组人数为， 所以第 9 组抽到的号码是 40+166136 故答案为：136 【点评】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题 第 16 页（共 23 页） 16 （5 分）已知双曲线 C：的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M （x1，y
25、1） ，N（x1，y1）在双曲线 C 上，且 x10，若，且 MON 为等边三角形，则双曲线 C 的渐近线方程为 y2x 【分析】由已知条件推出|MN|2（|MF1|MF2|）4a，得到|OM|4a，MON60， 求出 M 的坐标，解得 b2a，然后求解双曲线 C 的渐近线方程 【解答】解：因为， 故|MN|2（|MF1|MF2|）4a， 因为MON 为等边三角形，故|OM|4a，MON60， 则 x14acos602a， 则，解得 b2a，故双曲线 C 的渐近线方程为 y2x 故答案为：y2x 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 三、解答题：解答应写出文字说明、
26、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）某学校 1200 名高三学生参加当地教育局举办的人身安全测试，将所得成绩统 计如图所示，其中 ab0.016 （1）求测试分数在60，90）的学生人数； （2）求这 1200 名高三学生成绩的平均数以及中位数 【分析】 （1）根据频率分布直方图求出测试分数在60，90）的学生频率，结合考试人数 为 1200，即可估计测试分数在60，90）的学生人数； （2）一每组数据的中间值为代表值，各组的频率为权，加权平均即可得到学生成绩的平 均数，根据中位数可以将频率分成两等份即可得到中位数 第 17 页（共 23
27、页） 【解答】解： （1）依题意， （0.005+a+b+0.035+0.028）101，故 a+b0.032； 而 ab0.016，联立两式解得：a0.024，b0.008； 故测试分数在60，90）的概率 P（0.024+0.035+0.028）100.87， 故所求人数为 12000.871044； （2）依题意，所求平均数为 550.05+650.24+750.35+850.28+950.08 2.75+15.6+26.25+23.8+7.676； 所求中位数为 【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，用频率分布直方图估计中位数和平均数， 属于基础题 18 （12 分）记首项为 1
28、的数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求证：数列an是等比数列； （2）若，求数列bn的前 2n 项和 【 分 析 】（ 1 ） 把 已 知 数 列 递 推 式 变 形 ， 可 得， 得 ，两式作差可得数列an是等比数列； （2）由（1）求出数列an的通项公式，代入，可得 ，再由等差数列的前 n 项和求解 【解答】 （1）证明：由， 得， 得， 两式相减可得， 故 an+23an+1， 而，故 a23a1， 数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列； （2）解：由（1）可知， 第 18 页（共 23 页） 故 记数列bn的前 2n 项和为 T2n， 则 【点评】本题考查数列递推
29、式，考查等比关系的确定，训练了等差数列前 n 项和的求法， 是中档题 19 （ 12 分 ） 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 （1）求 tanA 的值； （2）若，a6，求 c 的值 【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求 tanA 的值 （2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求 cosA，由余弦定理即可解得 c 的值 【解答】解： （1）因为， 故由正弦定理，得 sinAsinBcosC+sinCsinAcosB， 因为 sinA0， 所以， 所
30、以， 所以， 所以， 故，即； （2）因为，由（1）可知， 由余弦定理得，a2b2+c22bccosA， 因为 a6，即， 所以，解得； 又 c0， 第 19 页（共 23 页） 所以 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导 公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力 和转化思想，属于基础题 20 （12 分）如图（1）所示，在四棱锥 SABCD 中，BADCDACBD2ABD 90，平面 SBD平面 ABCD，且SBD 为边长为的等边三角形 （1）求证：CBDS； （2）过 S 作 STBD，使得四边形 STDB 为菱形
31、，连接 TA，TD，TC，得到的图形如图 （2）所示，若平面 BMN平面 ADT，且直线 DC平面 BMNM，直线 TC平面 BMN N，求三棱锥 DMNB 的体积 【分析】 （1）由已知得 CBBD，再由面面垂直的性质可得 CB平面 SBD，进一步得到 CBDS； （2）由平面 BMN平面 ADT，得 ADBM，DTMN，结合 ABDM，得到点 M 是 DC 的中点，进一步得到 N 是 TC 的中点，然后利用等积法求三棱锥 DMNB 的体积 【解答】 （1）证明：CBD90，CBBD， 又平面 SBD平面 ABCDBD，平面 SBD平面 ABCD， 故 CB平面 SBD； 又 SD平面 SB
32、D，故 CBDS； （2）解：平面 BMN平面 ADT， 故 ADBM，DTMN， 又 ABDM，故 DMAB1， 点 M 是 DC 的中点， 又CDT 中，MNDT，M 是 DC 的中点， N 是 TC 的中点， 第 20 页（共 23 页） 故， 设 BD 的中点为 O，DSDBBS， SODB， 又平面 SBD平面 ABCD， SO平面 ABCD， 故 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应 用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 21 （12 分）记抛物线 y22x 的焦点为 F，点 M 在抛物线上，N（3，1）
33、，斜率为 k 的 直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）求|MN|+|MF|的最小值； （2）若 M（2，2） ，直线 MP，MQ 的斜率都存在，且 kMP+kMQ+20；探究：直线 l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 【分析】 （1）设 M，N 在准线 l上的射影为 M，N，求得抛物线的焦点和准线，运用抛 物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值； （2）设斜率为 k 的直线 l 的方程为 ykx+b，联立抛物线方程，设 P（x1，y1） ，Q（x2， y2） ，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，可得 b1，即可判断直线 l 过 定点 【解答
34、】解： （1）设 M，N 在准线 l上的射影为 M，N， 抛物线 y22x 的焦点为 F（，0） ，准线为 l：x， 由抛物线的定义可得|MF|MM|， 则|MN|+|MF|MN|+|MM|NN|3+， 可得|MN|+|MF|的最小值为； 第 21 页（共 23 页） （2）设斜率为 k 的直线 l 的方程为 ykx+b， 联立抛物线方程 y22x，可得 k2x2+（2kb+2）x+b20， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 y1kx1+b，y2kx2+b， 且 x1+x2，x1x2， 由 M（2，2） ，可得 kMP+kMQ+ 2k+（b2k2） （+）2k+（b2k2） 2k
35、+（b2k2） 2， 即为 2k+2，化为 b1， 则直线 l 的方程为 ykx1， 可得直线 l 恒过定点（0，1） 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）4lnx+x22mx（mR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若直线 l 为曲线的切线，求证：直线 l 与曲线不可能有 2 个切点 【分析】 （1）先得出导函数 f（x） ，然后根据 f（x）的表达式，再对 m 进行分类讨论 的情况下分别得出函数 f（x）在定义域上的单调区间； （2）可用反证法
36、去证明，假设存在两个切点，根据两个切点斜率相同列出算式，然后通 第 22 页（共 23 页） 过分析得出矛盾，则原命题成立，得证 【解答】解： （1）由题意， 令 yx2mx+2，则m28， 若，则0，则 f（x）0， 故函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 若或，yx2mx+2 有两个零点 x1，x2，则 x1x220， 其中，； （i）若，则 x10，x20，此时 f（x）0， 故函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （ii）若，则 x10，x20， 此时当 x（0，x1）时，f（x）0，当 x（x1，x2）时，f（x）0，当 x（x2，+） 时，f（x）0， 故函数 f（x）在（0，
37、x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减； 综上所述，可知： 当时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当时，函数 f（x）在（0，x1）和（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单 调递减 （2） 证明：（反证法） 假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 T1（x1， y1） ，T2（x2，y2） ， 不妨令 0x1x2，则 T1处切线 l1的方程为：，T2处切 线 l2的方程为： 切线 l1，l2为同一直线， 所以有 第 23 页（共 23 页） 即， 整理得 消去 x2得， 令，由 0x1x2与 x1x22，得 t（0，1） ， 记，则， 所以 p（t）为（0，1）上的单调减函数，所以 p（t）p（1）0从而式不可能成 立，所以假设不成立， 即若直线 l 为曲线的切线，则直线 l 与曲线不可能有 2 个切点 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、 反证法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于较难题
