1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1集合 Mx|2x2x10，Nx|2x+10，UR，则 MUN（ ） A ，1） B（ ，1） C（1， ） D（1， 2若复数 z 满足（1+2i） z2+i，其中 i 为虚数单位，则|z|（ ） A B C1 D2 3已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断 错误的是（ ） A乙班的理科综合成绩强于甲班 B甲班的文科综合成绩强于乙班 C两班的英语平均分分差最大 D两班的语文平均分分差最小 4已知各项均不相等的等比数列an，若 3a2，2a3
2、，a4成等差数列，设 Sn为数列an的前 n 项和，则 等于（ ） A B C3 D1 5执行如图所示的程序框图，令 yf（x），若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，2）（2，5 B（，1）（1，+） C（，2）（2，+） D（，1）（1，5 6某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为 1，则该几何体的外接球 的表面积是（ ） A B112 C D 7设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 0， 0， 0，用 S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD 的面积，则 S1+S2+S3的最 大值是（ ） A B2 C4 D8 8已知双曲线
3、 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为坐标原点， 以 F1F2为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、Q，点 B 为圆 O 与 y 轴正半轴的交点，若POF2QOB，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B C1 D 9已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的最大值为 ，其图象相邻 两条对称轴之间的距离为 ，且 f（x）的图象关于点（ ，0）对称，则下列判断正确 的是（ ） A要得到函数 f（x）的图象只将 y cos2x 的图象向右平移 个单位 B函数 f（x）的图象关于直线 x 对称 C当 x ， 时，函数 f（x）的最小值为 D
4、函数 f（x）在 ， 上单调递增 10已知函数 f（x） ，则 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 11 已知定义在 R 上的偶函数 f （x）（函数 f （x） 的导函数为 f （x） ） 满足 ， e3f（2018）1，若 f（x）f（x），则关于 x 的不等式 的解集为（ ） A（，3） B（3，+） C（，0） D（0，+） 12 已知函数 ， ， 若函数 F （x） f （g （x） ） 1 在区间 ， 上恰有两个不同的零点，则实数 t 的取值范围（ ） A ，4 B ， ） C4， ） D4， 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13代数式（x2
5、+2）（ ）5的展开式的常数项是 （用数字作答） 14 “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人 们称之为神奇数具体数列为 1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每 个数字等于前两个相邻数字之和已知数列an为“斐波那契”数列，Sn为数列an的前 n 项和，若 a2020M，则 S2018 （用 M 表示） 15已知点 F1，F2分别是双曲线 ： 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2P14，则双曲线 C 的离心率的取 值范围为 16若变量 x，y 满足约束条件 ，且 z3x+y 的
6、最小值为8，则 k 三、解答题（本大题共 4 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（x） sin2x2cos 2x1，xR （）求函数 f（x）的最小正周期和最小值； （）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c ，f（C）0，sinB 2sinA，求 a，b 的值 18 水是地球上宝贵的资源， 由于价格比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用 水资源造成严重的资源浪费 某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水， 计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x（吨），一位居民的 月用水量不超过 x 的部
7、分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费为了了解居民用水情 况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0， 0.5），0.5，1），1，1.5），4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方 图 （1）若全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，试估计全市有多少居民？并 说明理由； （2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为1，1.5）和1.5，2）之间选取 7 户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这 7 户家庭中按抽签方式选出 4 户颁发“低碳环保家庭”奖，设 X 为用水量吨数在1，1.5）中的获奖的家庭数，Y
8、 为用 水量吨数在1.5， 2） 中的获奖家庭数， 记随机变量 Z|XY|， 求 Z 的分布列和数学期望 19如图 1，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB4，ADDCCB2，ADC 沿 AC 折起， 使得平面 ADC平面 ABC，E 为 AB 的中点，连接 DE，DB（如图 2） （）求证：BCAD （）求直线 DE 与平面 BCD 所成的角的正弦值 20已知点 F 是拋物线 C：y22px（p0）的焦点，若点 M（x0，1）在 C 上，且|MF| （1）求 p 的值； （2）若直线 l 经过点 Q（3，1）且与 C 交于 A，B（异于 M）两点，证明：直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常
9、数 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 21已知 a0，函数 f（x）ax2xlnx，g（x）lnx （1）求证：g（x）x； （2）讨论函数 yf（x）零点的个数 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （其中 t 为参数）以坐标原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 C2的极坐标方 程为 （）把曲线 C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程； （）若曲线 C1，C2相交于 A，B 两点，AB 的中点为 P，过点 P 做曲线 C2的垂线交曲 线 C1于 E，F
10、两点，求|PE| |PF| 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1| （）解不等式 f（x）+f（x+4）8； （）若|a|1，|b|1，a0，求证： 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1集合 Mx|2x2x10，Nx|2x+10，UR，则 MUN（ ） A ，1） B（ ，1） C（1， ） D（1， 【分析】可以求出集合 M，N，然后进行补集、交集的运算即可 解： ， ，UR， ， ， 故选：B 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算， 考查了
11、计算能力，属于基础题 2若复数 z 满足（1+2i） z2+i，其中 i 为虚数单位，则|z|（ ） A B C1 D2 【分析】方法一：利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的定义即可求出 方法二：等式两边直接取模，即可求出 解：方法一：（1+2i） z2+i， （12i）（1+2i） z（2+i）（12i）， 5z43i， z i， |z| 1， 方法二：（1+2i） z2+i， |（1+2i）| |z|2+i|， |z| ， |z|1， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算以复数的模，是基础题 3已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断
12、 错误的是（ ） A乙班的理科综合成绩强于甲班 B甲班的文科综合成绩强于乙班 C两班的英语平均分分差最大 D两班的语文平均分分差最小 【分析】先对图象数据的进行处理，再逐一进行检验即可得解 解：由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得： 乙班的理科综合成绩强于甲班，即选项 A 正确， 甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项 B 正确， 两班的英语平均分分差最大，即选项 C 正确， 两班地理平均分分差最小，即选项 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查了对图象数据的处理能力，属中档题 4已知各项均不相等的等比数列an，若 3a2，2a3，a4成等差数列，设 Sn为数列an的前 n 项和，则 等于（
13、） A B C3 D1 【分析】设等比数列an的公比为 q，q1，由 3a2，2a3，a4成等差数列，可得 22a3 3a2+a4，由等比数列的通项公式解得 q，利用通项公式与求和公式即可得出 解：设等比数列an的公比为 q，q1， 3a2，2a3，a4成等差数列， 22a33a2+a4， 4a2q3a2+a2q2，化为 q24q+30， 解得 q1（舍去）或 q3 q3 时，则 故选：A 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的求通项公式与和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 5执行如图所示的程序框图，令 yf（x），若 f（a）1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，2）（2，5
14、 B（，1）（1，+） C（，2）（2，+） D（，1）（1，5 【分析】执行该程序的功能是计算并输出分段函数 f（x），讨论 a 的取值情况，求出 f （a）1 时的解集即可 解：执行该程序的功能是计算并输出分段函数 f（x） ， ， ， ， 当 a2 时，由 f（a）a21，解得：a（，1）（1，2， 当 2a5 时，由 f（a）2a31，解得 a（2，5； 当 a5 时，由 f（a） 1，解得 a； 综上所述，a 的取值范围是（，1）（1，5 故选：D 【点评】本题考查了程序框图与分段函数的应用问题，也考查了不等式与分类讨论的应 用问题，是综合题 6某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每
15、个小方格的边长为 1，则该几何体的外接球 的表面积是（ ） A B112 C D 【分析】 首先把三视图转换为几何体， 进一步利用线面的垂直的应用求出外接球的半径， 进一步求出球的表面积 解：根据几何体的三视图，得到： 该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 PD6， 且侧面 PA底面 ABC，PABC，PAPC ， AC8，BC6，AB10 则：PA2+PB2AB2， 所以ABC 的外接圆的圆心为斜边 AB 的中点 E， 设该几何体的外接球的球心为 O，OE底面 ABC， 设 OEx，外接球的半径为 R 则 ， 解得 x 所以 ， 外接球的表面积 S4 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：
16、三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应 用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 7设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点，且满足 0， 0， 0，用 S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD 的面积，则 S1+S2+S3的最 大值是（ ） A B2 C4 D8 【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线 AB，AC，AD 两两垂直，可以扩展为长 方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出 最大值 解：设 ABa，ACb，ADc， 因为 AB，AC，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以
17、 a2+b2+c2 4R24 所以 SABC+SACD+SADB （ab+ac+bc ） （a 2+b2+c2）2 即最大值为：2 故选：B 【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体 扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键 8已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为坐标原点， 以 F1F2为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、Q，点 B 为圆 O 与 y 轴正半轴的交点，若POF2QOB，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B C1 D 【分析】联立圆与双曲线的方程，求得 P 的坐标
18、，tanQOF2tanPOB，化简即可求 得双曲线的离心率 解：POF2QOB， QOF2POB， 双曲线的一条渐近线方程为 y x， 则 tanQOF2 ， 由题意可知：以线段 F1F2为直径的圆的方程 x2+y2c2， 联立 ， 解得 x ，y ， tanPOB ， ， 即 2 ， e21 ， 2 （e21）2， 解得 e ， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题 9已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，| ）的最大值为 ，其图象相邻 两条对称轴之间的距离为 ，且 f（x）的图象关于点（ ，0）对称，则下列判断正确 的是（ ） A要
19、得到函数 f（x）的图象只将 y cos2x 的图象向右平移 个单位 B函数 f（x）的图象关于直线 x 对称 C当 x ， 时，函数 f（x）的最小值为 D函数 f（x）在 ， 上单调递增 【分析】根据题意求出函数 f（x）的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可 解：函数 f（x）Asin（x+）中，A ， ，T， 2， 又 f（x）的图象关于点（ ，0）对称，x+2（ ）+k， 解得 k ，kZ， ； f（x） sin（2x ）； 对于 A，y cos2x 向右平移 个单位， 得 y cos2（x ） cos（2x ）的图象， 且 y cos（2x ） cos（ 2x） sin（2x
20、 ），A 正确； 对于 B，x 时，f（ ） sin（2 ）0，f（x）的图象不关于 x 对称， B 错误； 对于 C， x ， 时， 2x ， ， sin （2x ） ， 1， f （x） 的最小值为 ， C 错误； 对于 D，x ， 时，2x ， ，f（x）是单调递减函数，D 错误 故选：A 【点评】本题考查了由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，以及正弦函数的图 象和性质的应用问题，是中档题 10已知函数 f（x） ，则 f（x）的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行排除即可 解：因为 f（x） f（x）， 所以函数为奇函数，排除
21、B 选项， 当 x+时，f（x）+，排除 C，D， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用极限思想以及函数的奇偶性进行排 除是解决本题的关键 11 已知定义在 R 上的偶函数 f （x）（函数 f （x） 的导函数为 f （x） ） 满足 ， e3f（2018）1，若 f（x）f（x），则关于 x 的不等式 的解集为（ ） A（，3） B（3，+） C（，0） D（0，+） 【分析】设 g（x）exf（x），根据函数的奇偶性和单调性得到 g（x1）g（2），去 掉“g”，解不等式即可 解：f（x）是偶函数，f（x）f（x）， f（x）f（x）f（x）， f（x）f（x），f（
22、x）f（x）f（x）， 即 f（x）+f（x）0，设 g（x）exf（x）， 则exf（x）exf（x）+f（x）0， g（x）在（，+）上递增， 由 ，得 ， ， 相减可得 f（t）f（t+3），f（x）的周期为 3， e3f（2018）e3f（2）1， ， ， 结合 f（x）的周期为 3 可化为 ， g（x1）g（2），x12，x3， 不等式解集为（3，+）， 故选：B 【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性，考查导数的应用以及转化思想，是一道常 规题 12 已知函数 ， ， 若函数 F （x） f （g （x） ） 1 在区间 ， 上恰有两个不同的零点，则实数 t 的取值范围（ ） A
23、，4 B ， ） C4， ） D4， 【分析】令 mlog2x，则 m0， ，问题转化为 2m 22m+t40 在 m0， 上有两个 不同的实解， 即 t2m2+2m+4 在 m0， 上有两个不同的实解 利用二次函数的图象， 可得结论 解：因为函数 F（x）f（g（x）1 的零点为方程 f2（log2x） 22log 2 x+t41 的根， 而 f（0）1， 所以 2（log2x）22log2x+t40 令 mlog2x，则 m0， ，问题转化为 2m 22m+t40 在 m0， 上有两个不同的实 解， 即 t2m2+2m+4 在 m0， 上有两个不同的实解 令 y2m2+2m+4（m0， ）
24、， 则 y （m0， ），y max ， 函数 F（x）f（g（x）1 在区间1，2 上恰有两个不同的零点，可知实数 t 的 取值范围是4， ） 故选：C 【点评】本题考查函数的零点，考查二次函数的图象与性质，正确转化是关键 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13代数式（x2+2）（ ）5的展开式的常数项是 3 （用数字作答） 【分析】写出（ ）5的展开式的通项，由 x 的指数分别为2，0 求得 r 值，则答案 可求 解：（ ）5的展开式的通项为 由 2r102，得 r4； 由 2r100，得 r5 （x2+2）（ ）5 的展开式的常数项是 故答案为：3 【点评】
25、本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题 14 “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人 们称之为神奇数具体数列为 1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每 个数字等于前两个相邻数字之和已知数列an为“斐波那契”数列，Sn为数列an的前 n 项和，若 a2020M，则 S2018 M1 （用 M 表示） 【分析】利用“斐波那契”数列的递推关系式 an+2an+1+an使用迭代法求出 an+2与 Sn的 关系式，即可求出 S2018 解：由题意知数列an中：a1a21，an+2an+1+an， 故 an+2an+1+anan+
26、an1+anan+an1+an2+an1an+an 1+an2+a1+1Sn+1， Snan+21， a2020M，S2018M1 故答案为：M1 【点评】本题主要考查利用数列的递推关系式使用迭代法求和，属于基础题 15已知点 F1，F2分别是双曲线 ： 的左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2P14，则双曲线 C 的离心率的取 值范围为 （1， 【分析】|F1F2|2|OP|，|，PF1PF2，根据沟渎定理、双曲线的定义、tanPF2P1 4，以及离心率的定义列式可解得 解：|F1F2|2|OP|，PF1PF2，|PF1|2+|
27、PF2|24（1+b2）， 由双曲线的定义可得：|PF1|PF2|2， tanPF2F1 4， 由得|PF2|（0， ， 由得（|PF2|+1）22b2+1， 由得 2b2+1（1， ， b2+1（1， ， 离心率为 （1， 故答案为：（1， 【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题 16若变量 x，y 满足约束条件 ，且 z3x+y 的最小值为8，则 k 2 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z3x+y 的最小值为8，建立条 件关系即可求出 k 的值 解：目标函数 z3x+y 的最小值为8， y3x+z，要使目标函数 z3x+y 的最小值为1， 则平面区域位于直线 y3x+z
28、 的右上方，即 3x+y8， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则目标函数经过点 A 时，目标函数 z3x+y 的最小值为8， 由 ，解得 A（2，2），同时 A 也在直线 yk0， 即2k0， 解得 k2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数 z3x+y 的最小值为8，确定平 面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键 三、解答题（本大题共 4 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知函数 f（x） sin2x2cos 2x1，xR （）求函数 f（x）的最小正周期和最小值； （）在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
29、 c ，f（C）0，sinB 2sinA，求 a，b 的值 【分析】（）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的 正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出 的值，代入周期公式求出函数 f（x）的最 小正周期，利用正弦函数的值域确定出 f（x）最小值即可； （）由 f（C）0 及第一问化简得到的解析式，求出 C 的度数，利用正弦定理化简 sinB 2sinA，得到 b2a，利用余弦定理列出关系式，把 c，b2a，cosC 的值代入即可求出 a 与 b 的值 解：（）f（x） sin2x（cos2x+1）1 sin2xcos2x22sin（2x ）2， 2，1sin（2x
30、）1， f（x）的最小正周期 T；最小值为4； （）f（C）2sin（2C ）20， sin（2C ）1， C（0，），2C （ ， ）， 2C ，即 C ， 将 sinB2sinA，利用正弦定理化简得：b2a， 由余弦定理得：c2a2+b22abcosCa2+4a22a23a2， 把 c 代入得：a1，b2 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数 公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18 水是地球上宝贵的资源， 由于价格比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用 水资源造成严重的资源浪费 某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水， 计划
31、调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x（吨），一位居民的 月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费为了了解居民用水情 况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0， 0.5），0.5，1），1，1.5），4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方 图 （1）若全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，试估计全市有多少居民？并 说明理由； （2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为1，1.5）和1.5，2）之间选取 7 户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这 7 户家庭
32、中按抽签方式选出 4 户颁发“低碳环保家庭”奖，设 X 为用水量吨数在1，1.5）中的获奖的家庭数，Y 为用 水量吨数在1.5， 2） 中的获奖家庭数， 记随机变量 Z|XY|， 求 Z 的分布列和数学期望 【分析】（1）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为 0.5（0.12+0.08+0.04）12%，解 出即可得出 （2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1，频率 频率 组距 组距，可得 0.5 （0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）1，得 a据题意可知随机变量 Z 的取值为 0，2，4利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出 解：（1）由图
33、，不低于 3 吨人数所占百分比为 0.5（0.12+0.08+0.04）12%， 所以假设全市的人数为 x（万人），则有 0.12x3.6，解得 x30， 所以估计全市人数为 30 万 （2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1， 因为频率 频率 组距 组距， 所以 0.5（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）1，得 a0.3， 用水量在1，1.5之间的户数为 1000.30.515 户， 而用水量在1.5，2吨之间的户数为 1000.40.520 户， 根据分层抽样的方法，总共需要抽取 7 户居民， 所以用水量在1，1.5之间应抽取的户数为 户，
34、而用水量在1.5，2吨之间的户数为 户 据题意可知随机变量 Z 的取值为 0，2，4. ， ， ， ， ， ， ， 其分布列为： Z 0 2 4 P 期望为：E（Z）0 2 【点评】本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式、频率 分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19如图 1，四边形 ABCD 为等腰梯形，AB4，ADDCCB2，ADC 沿 AC 折起， 使得平面 ADC平面 ABC，E 为 AB 的中点，连接 DE，DB（如图 2） （）求证：BCAD （）求直线 DE 与平面 BCD 所成的角的正弦值 【分析】（）证明 ACBC，结合平面
35、 ADC平面 ABC，推导出 BC平面 ADC，然 后证明 BCAD （）取 AC 中点 F，连结 DF，EF，得到 FA，FE，FD 两两垂直，以 FA，FE，FD 所 在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出它们的法向量，设直线 DE 与平面 BCD 所成角为 ， 利用向量的数量积求出直线 DE 与平面 BCD 所成角的正弦值即 可 【解答】证明：（）在图 1 中，作 CHAB 于 H，则 BH ，AH ， BC1，CH ，CA ，ACBC， 平面 ADC平面 ABC，且平面 ADC平面 ABCAC， BC平面 ADC， 又 AD平面 ADC，BCAD 解：（）取 A
36、C 中点 F，连结 DF，FE， 由题意得 FA，FE，FD 两两垂直， 以 FA，FE，FD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图， E（0， ，0），D（0，0， ），B（ ，0，0）， （0， ， ）， （0，1，0）， （ ，0， ）， 设 （x，y，z）是平面 BCD 的法向量， 则 ，取 x1， （1，0， ）， 设直线 DE 与平面 BCD 所成的角为 ， 则 sin|cos ， | ， 直线 DE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，
37、是中档题 20已知点 F 是拋物线 C：y22px（p0）的焦点，若点 M（x0，1）在 C 上，且|MF| （1）求 p 的值； （2）若直线 l 经过点 Q（3，1）且与 C 交于 A，B（异于 M）两点，证明：直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常数 【分析】（1）抛物线定义知|MF|x0 ，则 x0 ，求得 x02p，代入抛物线方 程，x01，p ； （2）由（1）得 M（1，1），拋物线 C：y22x，当直线 l 经过点 Q（3，1）且垂直于 x 轴时，直线 AM 的斜率 kAM ，直线 BM 的斜率 kBM ，kAM kBM 当直线 l 不垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 y
38、+1k（x3），代入抛物线 方程，由韦达定理及斜率公式求得 kAM kBM ，即可 证明直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为常数 解：（1）由抛物线定义知|MF|x0 ，则 x0 ，解得 x02p， 又点 M（x0，1）在 C 上，代入 y22px，整理得 2px01，解得 x01，p ， p 的值 ； （2）证明：由（1）得 M（1，1），拋物线 C：y2x， 当直线 l 经过点 Q（3，1）且垂直于 x 轴时，此时 A（3， ），B（3， ）， 则直线 AM 的斜率 kAM ，直线 BM 的斜率 kBM ， kAM kBM 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x1，y1），B（x2，
39、y2）， 则直线 AM 的斜率 kAM ，同理直线 BM 的斜率 kBM ， kAM kBM ，设直线 l 的斜率为 k（k0），且经过 Q（3， 1），则直线 l 的方程为 y+1k（x3）， 联立方程 ，消 x 得，ky2y3k10， y1+y2 ，y1 y2 3 ， 故 kAM kBM ， 综上，直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为 【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式 及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题 一、选择题 21已知 a0，函数 f（x）ax2xlnx，g（x）lnx （1）求证：g（x）x； （2）讨论函数 yf（x）零点
40、的个数 【分析】（1） 设 G （x） g （x） x， 则 G （x） lnxx， 从而 x0， 且 ， 利用 导数性质能证明 g（x）x （2）x0，f（x） ，由（1）2+8a0，得到方程 2ax2x10 有两个 不相等的实根，设 F（x） ，则 0，从而 F（x）是减函 数，由此利用导数性质能求出 yf（x）零点的个数 【解答】证明：（1）设 G（x）g（x）x，则 G（x）lnxx， x0，且 ， 当 0x1 时，G（x）0，G（x）递增， 当 x1 时，G（x）0，G（x）递减， G（1）0，G（x）最大G（x）极大G（1）10， G（x）g（x）x0， g（x）x 解：（2）f（
41、x）ax2xlnx，（a0）， x0，f（x） ， （1） 2+8a0，方程 2ax2x10 有两个不相等的实根，分别为 x 1，x2（x1x2， ，且 0， x10x2， 当 0xx2时，f（x）0，f（x）递减，当 xx2时，f（x）0，f（x）递增， f（x2）0，f（x）minf（x2）ax22x2lnx2， 2ax22+x210，即 ， f（x） 设 F（x） ，则 0，F（x）是减函数， 当 x11，即 a 1 时，f（x）min0， 函数 yf（x）只有一个零点， 当 0x21，即 a （ ） 2 1 时，f（x）min0， 函数 f（x）没有零点， 当 x21，即 a（0，1）
42、时，f（x）min0，且 x2 ， 由（1）知 lnxx，f（x）ax2xlnxax2xxax（x ）， 若 a ，则有 f（x）0， x2 ， 函数 yf（x）有且只有一个大于 x2的零点， 又 f（ ） 0，即函数 yf（x）在区间（0，x2）有且只有一个零点， 综上，当 0a1 时，函数 f（x）有两个零点；当 a1 时，函数 f（x）只有一个零点， 当 a1 时，函数 yf（x）没有零点 【点评】本题考查不等式的证明，考查函数的零点个数的求法，考查函数性质、导数性 质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论与整合思想，是中 档题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在
43、平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （其中 t 为参数）以坐标原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 C2的极坐标方 程为 （）把曲线 C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程； （）若曲线 C1，C2相交于 A，B 两点，AB 的中点为 P，过点 P 做曲线 C2的垂线交曲 线 C1于 E，F 两点，求|PE| |PF| 【分析】（I）曲线 C1的参数方程为 （其中 t 为参数），消去参数即可得出曲 线 C2的极坐标方程为 展开为 （cossin） ， 利用 即可得出 （II）设 A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为 P（
44、x0，y0），联立抛物线与直线的方程可 得 x26x+10，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得 x 0 3，y02进而 点到线段 AB 的中垂线的参数方程为 （t 为参数），代入抛物线方程，利用 参数的意义即可得出 解：（I）曲线 C1的参数方程为 （其中 t 为参数），消去参数可得 y24x 曲线 C2的极坐标方程为 展开为 （cossin） ，化为 xy 10 （II）设 A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为 P（x0，y0）， 联立 ，解得 x 26x+10， x1+x26，x1x21 x0 3，y02 线段AB的中垂线的参数方程为为 （t为参数） ， 代入y24x， 可得t2+8 t16 0， t1t216， |PE| |PF|t1t2|16 【点评】本题考
