1、成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第 一节课上课的时间为 7：558：35，课间休息 10 分钟某同学请假后返校，若他在 8： 559：35 之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率为（ ） A B C D 6 （5 分）已知 Sn是数列an的前 n 项和，则“an是等差数列”是“是等差数列” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）已知 f（x）sin（x+）+cos（x+） ，0，f（x）是奇函数， 直线与函数 f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ） A
2、f（x）在上单调递减 Bf（x）在上单调递减 Cf（x）在上单调递增 第 2 页（共 26 页） Df（x）在上单调递增 8 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，且，a2成等差数列，则 （ ） A9 B6 C3 D1 9 （5 分）椭圆与双曲线焦点相同，当这两 条曲线的离心率之积为 1 时，双曲线 Q 的渐近线斜率是（ ） A B C D2 10 （5 分）已知函数 g（x）为一次函数，若对m，nR，有 g（m+n）g（m）+g（n） 3，当 x1，1时，函数的最大值与最小值之和是 （ ） A10 B8 C7 D6 11 （5 分）在ABC 中，点 P 满足，过点 P 的直线与 AB，A
3、C 所在的直线分别交 于点 M，N，若，（0，0） ，则 + 的最小值为（ ） A B C D 12 （5 分）函数 f（x）是定义在 R 上的函数，且满足，当 x1，1）时， f（x）x2+1，则方程在（0，5的根的个数为（ ） A3 B4 C5 D6 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“”的否定是 14 （5 分）2019 年 10 月 1 日，我国在天安门广场举行盛大的建国 70 周年阅兵典礼能被 第 3 页（共 26 页） 邀请到现场观礼是无比的荣耀假设如图，在坡度为 15的观礼台上，某一列座位与
4、 旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别 为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 米 15 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 与正方体每条棱所成的角均 相等，则平面 截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为 16 （5 分）已知函数 f（x）x33x2+bx+c 有极值，且导函数 f（x）的极值点是 f（x） 的零点，给出命题： c1； 若 c0，则存在 x00，使得 f（x0）0； f（x）与 f（x）所有极值之和一定小于 0； 若1c0，且 ykx 是曲线 C：y|f（x）|（x0）的一条
5、切线，则 k 的取值范围 是（，2） ， 则以上命题正确序号是 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，小题，17-21 题各题各 12 分，分，22 或或 23 题题 10 分分.解答应写岀文字说明、证解答应写岀文字说明、证 明过程或演算步骤）明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知函数 （1）用“五点作图法”作岀 f（x）在一个周期内的图象； （2）在ABC 中，若函数 f（x）在角 A 处取得最大值，且，求ABC 周长的最 大值 18 （12 分）如图，是由矩形 ABCDRtEAB，和 RtFAD 组成的一个平面图形，其中 ABAEAF3，AD4将其沿 AB，AD 折起使得
6、AE，AF 重合，连结 EC 如图 （1）证明：平面 ECD平面 EAD； 第 4 页（共 26 页） （2）若 M 为线段 BC 中点，求直线 EM 与平面 AED 所成角的正切值 19 （12 分） 2019 年电商 “双十一” 大战即将开始 某电商为了尽快占领市场， 抢占今年 “双 十一”的先机，对成都地区年龄在 15 到 75 岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调 查， 随机抽取了 100 人， 其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： （年龄单位： 岁） 年龄段 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 频率 0.1 0.32 0.28
7、 0.22 0.05 0.03 购物人数 8 28 24 12 2 1 （1）若以 45 岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断能否在犯 错的概率不超过 0.001 的前提下认为“网上购物”与年龄有关？ 年龄低于 45 岁 年龄不低于 45 岁 总计 使用网上购物 不使用网上购物 总计 （2）若从年龄在55，65） ，65，75的样本中各随机选取 2 人进行座谈，记选中的 4 人 中“使用网上购物”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考数据 P（k2k0） 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.82
8、8 参考公式：K2 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）过点，直线 l 经过抛物线的焦点 F 与抛物线交于 A，B 两点 （1）若直线 l 的方程为 yx2，求ABO 的面积； （2）若直线 OA，OB 的斜率为 k1，k2，且 k1+k22，求直线 l 的方程 第 5 页（共 26 页） 21 （12 分）已知函数，其中 a 为实数， e 为自然对数的底数 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）是否存在实数 a，使得对任意给定的 x02，2，在区间2，2上总存在三 个不同的 xi（i1，2，3） ，使得 f（x1）f（x2）f（x3）g（x0）成立？若存在，求 出实数 a
9、 的取值范围；若不存在，请说明理由 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.请考生用请考生用 2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为，直线恒过定点 M（1，2） ， 倾斜角为 （1）求曲线 C 和直线 l 的参数方程； （2）当时，若直线 l 交椭圆于 A，B 两点，求|AM|BM|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（
10、x）|2x+1|+|x+m|，mR （1）若不等式 f（x）+|x+m|2 对xR 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）当 m1 时，求不等式 f（x）2m 的解集 第 6 页（共 26 页） 2019-2020 学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（理科）学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）设集合 Ax|ylog
11、2（x1），By|yx2，则 AB（ ） A （0，2 B （1，2） C （1，+） D （1，2 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x10x|x1，By|y0， AB（1，+） 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计 算能力，属于基础题 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数（1+i）z3i，则|z|（ ） A1 B2 C D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解：由（1+i）z3i，得 z， |z| 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式
12、的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）若 ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A2a2b Bln（ab）0 C D|a|b| 【分析】利用函数 y2x在 R 上单调递增，可得 2a2b，可判断 A 由于 ab 不一定大于 1，可得 ln（ab）与 0 的大小关系不确定，即可判定 B 由 a、b 的正负不定，可得|a|与|b|的大小关系不确定即可判定 C 根据函数 f（x）在 R 上单调递增，可判定 D 【解答】解：ab，函数 y2x在 R 上单调递增，可得 2a2b， 第 7 页（共 26 页） ab 不一定大于 1，ln（ab）与 0 的大小关系不确定， a、b 的正负不定，
13、|a|与|b|的大小关系不确定 根据函数 f（x）在 R 上单调递增，可得 ab 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 4 （5 分）已知点 A（1，1） 、B（1，2） 、C（2，1） 、D（3，4） ，则向量在方 向上的投影（ ） A B C D 【分析】首先利用有向线段的坐标求法求出向量和的坐标，然后利用向量的投影定 义解答 【解答】解：因为点 A（1，1） 、B（1，2） 、C（2，1） 、D（3，4） ， 则向量（5，5） ，（2，1） ， 所以向量在方向上的投影为； 故选：B 【点评】本题考查了向量的投影的计算； 在 上
14、的投影为，属于基础题 5 （5 分）成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第 一节课上课的时间为 7：558：35，课间休息 10 分钟某同学请假后返校，若他在 8： 559：35 之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率为（ ） A B C D 【分析】求出该同学在 8：559：35 之间随机到达教室的区间长度， 以及他听第二节课的时间不少于 20 分钟时随机到达教室的区间长度，即可求出概率值 【解答】解：该同学在 8：559：35 之间随机到达教室，区间长度为 40； 他听第二节课的时间不少于 20 分钟，应在 8：559：05 之间
15、随机到达教室，区间长度 为 10， 所以他在 8：559：35 之间随机到达教室，听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率是 第 8 页（共 26 页） P 故选：B 【点评】本题主要考查了几何概型中的长度类型问题，是基础题 6 （5 分）已知 Sn是数列an的前 n 项和，则“an是等差数列”是“是等差数列” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】等差数列的判定结合充要条件的判定可得结果 【解答】解：an是等差数列SnAn2+BnAn+B是等差数列， “an是等差数列”是“是等差数列”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的判定、
16、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 7 （5 分）已知 f（x）sin（x+）+cos（x+） ，0，f（x）是奇函数， 直线与函数 f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ） Af（x）在上单调递减 Bf（x）在上单调递减 Cf（x）在上单调递增 Df（x）在上单调递增 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数是奇函数以及条件求出 和 的值，结 合三角函数的单调性进行求解即可 【解答】解：f（x）sin（x+）+cos（x+）sin（x+） ， f（x）是奇函数， +0，得 ， 则 f（x）sinx， 第 9 页（共 26 页） 由sinx得 sinx1
17、， 直线与函数 f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为， T，0 即，得 4， 即 f（x）sin4x， 由 2k4x2k+，kZ 得kxk+，当 k0 时，函数的 递增 区间为，k1 时，递增区间为， 由 2k+4x2k+，kZ 得k+xk+，当 k0 时，函数的递减 区间为，当 k1 时，函数的递减区间为， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式结合函数单 调性进行求解是解决本题的关键 8 （5 分）已知等比数列an的各项均为正数，且，a2成等差数列，则 （ ） A9 B6 C3 D1 【分析】 设各项都是正数的等比数列an的公比为 q，
18、（q0） ， 由题意可得关于 q 的式子， 解之可得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得 【解答】解：设各项都是正数的等比数列an的公比为 q， （q0） ， 由题意可得 2+a2，即 q22q30， 解得 q1（舍去） ，或 q3， q29 故选：A 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基 础题 9 （5 分）椭圆与双曲线焦点相同，当这两 第 10 页（共 26 页） 条曲线的离心率之积为 1 时，双曲线 Q 的渐近线斜率是（ ） A B C D2 【分析】求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双 曲线 Q 的渐近线斜率 【
19、解答】解：椭圆与双曲线焦点相同，可 得焦点坐标（，0） ， 椭圆的离心率为：，双曲线的 c， 这两条曲线的离心率之积为 1， 所以双曲线的离心率为：，解得 m2，则 n 双曲线 Q 的渐近线斜率是： 故选：B 【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，是基本知识的考查 10 （5 分）已知函数 g（x）为一次函数，若对m，nR，有 g（m+n）g（m）+g（n） 3，当 x1，1时，函数的最大值与最小值之和是 （ ） A10 B8 C7 D6 【分析】根据 g（x）为一次函数，待定系数法求解 b，利用奇函数最值之和为定值 0 即 可求解 【解答】解：设 g（x）kx+b（k0） 由
20、g（m+n）g（m）+g（n）3， 可得 k（m+n）+bkm+b+kn+b3， 可得 b3 那么 g（x）kx+3， 那么 f（x） 令 h（x），可知 h（x）是递增函数， 由 h（x）， 第 11 页（共 26 页） h（x）+h（x）0 则 f（x）minh（x）min+g（x）min f（x）maxh（x）max+g（x）max f（x）min+f（x）maxh（x）min+g（x）min+h（x）max+g（x）max6， 故选：D 【点评】本题考查了奇偶性的应用和对数的计算属于基础题 11 （5 分）在ABC 中，点 P 满足，过点 P 的直线与 AB，AC 所在的直线分别交 于
21、点 M，N，若，（0，0） ，则 + 的最小值为（ ） A B C D 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得 2+ 的最小值 【解答】解：ABC 中， 点 P 满足， ，（0，0） ， 因为 B，P，C 三点共线，所以，0，0 +（+） （）1+1+ 当且仅当 时取“” ，则 + 的最小值为 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中 档题 第 12 页（共 26 页） 12 （5 分）函数 f（x）是定义在 R 上的函数，且满足，当 x1，1）时， f（x）x2+1，则方程在（0，5的根的个数为（ ） A3
22、B4 C5 D6 【分析】先求出函数 f（x）在（0，5上的解析式，再在同一坐标系中作出函数 f（x）与 函数在（0，5的函数图象，观察图象即可求解 【解答】解：设 x1，3） ，则，x21，1） ， f（x2）（x2）2+1x2+4x3， ， 当 x1，3）时，； 设 x3，5） ，则 x21，3） ， ， ，即当 x3，5）时，； 在同一坐标系中作出函数 f（x）与函数在（0，5的函数图象如下， 由图象可知，函数 f（x）与函数在（0，5上有 4 个交点，即方程 在（0，5的根的个数为 4 故选：B 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系及函数解析式的求法，考查数形结合思想， 难度不大 第
23、 13 页（共 26 页） 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“”的否定是 xR，x22x1 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以： “”的 否定是：xR，x22x1 故答案为：xR，x22x1 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，是 基础题 14 （5 分）2019 年 10 月 1 日，我国在天安门广场举行盛大的建国 70 周年阅兵典礼能被 邀请到现场观礼是无比的荣耀假设如图，在坡度为 15的观礼台上，
24、某一列座位与 旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别 为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 30 米 【分析】求得AEC、ACE 和EAC，利用正弦定理求得 AC，在 RtABC 中利用 AB ACsinACB 求得 AB 的长 【解答】解：如图所示， 依题意可知AEC45，ACE1806015105， EAC1804510530， 由正弦定理可知， CEsinEACACsinCEA， AC20（米） ； 在 RtABC 中， 第 14 页（共 26 页） ABACsinACB2030（米） 所以旗杆的高度为 30 米 故答案为：
25、30 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，此类问题的解决方法是建立数学模 型，把实际问题转化成数学问题，是基础题 15 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 与正方体每条棱所成的角均 相等，则平面 截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，然后求解 截此正 方体所得截面三角形面积的最大值 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所 成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面 时，满足平面 与正方体每条棱所成的角均相等， 并且如图所示的
26、正三角形，为平面 截正方体所形成的三角形截面中， 截面面积最大者 因为正三角形的边长为， 所以最大截面为 S 故答案为： 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属 于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）x33x2+bx+c 有极值，且导函数 f（x）的极值点是 f（x） 的零点，给出命题： c1； 若 c0，则存在 x00，使得 f（x0）0； f（x）与 f（x）所有极值之和一定小于 0； 若1c0，且 ykx 是曲线 C：y|f（x）|（x0）的一条切线，则 k 的取值范围 是（，2） ， 则以上命题正确序号是 【分析
27、】列出关系式求解 b 与 c 的关系，化简函数的解析式，利用函数的零点判断的 正误；通过 c 的范围，结合函数的图象判断的正误；求出极值之和判断正误；利用 函数的导数结合函数的切线方程，转化推出向量的范围判断的正误即可 【解答】解：正确； 函数 f（x）x33x2+bx+c 的导函数为：f（x）3x26x+b；且导函数 f（x）的极 值点是 f（x）的零点 f（x）6x60 得 x1，当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递增，故 x1 是的极小值点； f（1）0 即 13+b+c0； b2c； 函数 f（x）x33x2+bx+c 有极值； 第 16
28、 页（共 26 页） f（x）3x26x+（2c）中，3643（2c）0； 解得：c1； 正确； 当 c0 时，f（x）3x26x+（2c）有两个不等的实根，设为 x1，x2； 由知，x1 是 f（x）的极小值点； x11x2 f（1）1c10， 当 x1（，x1） 时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x1（x1，x2） 时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x1（x2，+） 时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x0 时，f（0）c0， 当 x1 时，f（1）0， 存在 x00，使得 f（x0）0； 正确； 由知 f（x）极值为 f（1）b3 设 f（x）3x26x+（2c）有两个不
29、等的实根，设为 x1，x2； x1+x22，x1x2 f（x）得两个极值 f（x1）+f（x2）（x13+x23）3（x12+x22）+b（x1+x2）+2c， （x1+x2）x12+x22x1x23（x1+x2）22x1x2+b（x1+x2）+2c （x1+x2）（x1+x2）23x1x23（x1+x2）22x1x2+b（x1+x2）+2c 22233222+b2+2c 2b+2c42（2c）+2c40 f（x）与 f（x）所有极值之和为：f（1）+f（x1）+f（x2）b3（2c）3c 10 错误； f（x）x33x2+（2c）x+c（x1）3+（1+c） （1x） ， 当 x0 时，y|
30、f（x）|（x1）3+（1+c） （1x）| 若1c0f（x）3（x1）2（1+c）0 解得 x1， 如图：且 ykx 是 yg（x）（x1）3+（1+c） （x1） （x0）的一条切线， 第 17 页（共 26 页） 设切点坐标（x0，y0） （x00） ，则 g（x）3（x1）2+（1+c） ，k3（x01） 2+（1+c） ， 因为 k3（x01）2+（1+c） ， 1+c（x01）3+3x0（x01）2， k3（x01）2+（1+c）3（x01）2（x01）3+3x0（x01）22（x01）3， 1+c（x01）3+3x0（x01）2（x01）2（2x0+1）（0，1） x01（，1）
31、 ，k2（x01）3（，2） 故答案为： 第 18 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查 推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运 用 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，小题，17-21 题各题各 12 分，分，22 或或 23 题题 10 分分.解答应写岀文字说明、证解答应写岀文字说明、证 明过程或演算步骤）明过程或演算步骤） 17 （12 分）已知函数 （1）用“五点作图法”作岀 f（x）在一个周期内的图象； （2）在ABC 中，若函数 f（x）在角 A 处取得最大值，且，求AB
32、C 周长的最 大值 【分析】 （1）化简求出函数 f（x）的解析式，列表描点即可用“五点作图法”画出函数 f （x）在一个周期内的图象； （2）由题意求出角 A 的值，再求ABC 周长的最大值 【解答】解： （1）化简函数 f（x）cos（2x）+4sin2x2 cos2xcos+sin2xsin+42 sin2xcos2x sin（2x） ， 列表如下； x 2x 0 2 y 0 1 0 1 0 描点、连线如图所示 （2）由图象知，f（x）在 x时取得最大值 1， 第 19 页（共 26 页） 此时 A，且 BC，ABC 中，设 BCa，ACb，ABc， 由正弦定理得，2， 可得 b2sin
33、B，c2sinC2sin（B） ，B（0，） ； b+c2sinB+2sin（B） 2sinB+2sincosB2cossinB 3sinB+cosB 2sin（B+） ， 由 B（0，） ，得 B+（，） ； 当 B时 b+c 取得最大值为 2， 所以ABC 周长的最大值为 a+b+c3 【点评】本题主要考查了五点法作函数 yAsin（x+）的图象，解三角形的问题，是 基础题 18 （12 分）如图，是由矩形 ABCDRtEAB，和 RtFAD 组成的一个平面图形，其中 ABAEAF3，AD4将其沿 AB，AD 折起使得 AE，AF 重合，连结 EC 如图 （1）证明：平面 ECD平面 EA
34、D； （2）若 M 为线段 BC 中点，求直线 EM 与平面 AED 所成角的正切值 【分析】 （1）由翻折变换的性质，先证明 AE平面 ABCD，CD平面 AED，又 CD平 面 ECD，所以平面 ECD平面 AED （2）过 M 作 AD 的垂线，连接 EN，直线 EM 和平面 AED 所成的角为MEN，RtMEN 中，tanMEN，得出结论 【解答】解： （1）证明：由翻折变换的性质：AEAD，AEAB，ADABA，则 AE 平面 ABCD， 第 20 页（共 26 页） 如图，所以 AECD，又 CDAD，AEADA，所以 CD平面 AED 又 CD平面 ECD，所以平面 ECD平面
35、AED （2）过 M 作 AD 的垂线，垂足为 N，连接 EN，有 MNCD，CD平面 AED， 所以 MN平面 AED，所以 MNEN，直线 EM 和平面 AED 所成的角为MEN， 由 M 为 BC 的中点，MNCD，所以 N 为 AD 的中点， 所以 AN2，MNCD3，又 AE3，在EAN 中，EN， RtMEN 中，tanMEN， 故直线 EM 与平面 AED 所成角的正切值为 【点评】 （1）考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定； （2）考查线面所成的角， 中档题 19 （12 分） 2019 年电商 “双十一” 大战即将开始 某电商为了尽快占领市场， 抢占今年 “双 十一”的
36、先机，对成都地区年龄在 15 到 75 岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调 查， 随机抽取了 100 人， 其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示： （年龄单位： 岁） 年龄段 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 购物人数 8 28 24 12 2 1 （1）若以 45 岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的 22 列联表，并判断能否在犯 错的概率不超过 0.001 的前提下认为“网上购物”与年龄有关？ 年龄低于 45 岁 年龄不低于 45 岁 总计 使用网上购物 不使用网上
37、购物 总计 （2）若从年龄在55，65） ，65，75的样本中各随机选取 2 人进行座谈，记选中的 4 人 中“使用网上购物”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 参考数据 P（k2k0） 0.025 0.010 0.005 0.001 第 21 页（共 26 页） k0 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：K2 【分析】 （1）根据统计表中的数据，计算出是否低于 45 岁人数，以及对应的是否网上购 物人数，列出分布列，计算 k 值，查表判断即可； （2）X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列计算期望即可 【解答】解： （1）由
38、统计表可得，低于 45 岁人数为 70 人，不低于 45 岁人数为 30 人， 可得列联表如下 年龄低于 45 岁 年龄不低于 45 岁 总计 使用网上购物 60 15 75 不使用网上购物 10 15 25 总计 70 30 100 于是有 K2的观测值 k14.28610.828， 故可以在犯错的概率不超过 0.001 的前提下认为“网上购物”与年龄有关； （2）由题意可知，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，相应的概率为： P（X0），P（X1），P（X2） ，P（X3）， 于是 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 所有 E（X）0+1+2+3 【点评】本题考查了独立性检验，考
39、查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望考 查了分析解决问题的能力，数据处理能力和计算能力，属于中档题 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px（p0）过点，直线 l 经过抛物线的焦点 第 22 页（共 26 页） F 与抛物线交于 A，B 两点 （1）若直线 l 的方程为 yx2，求ABO 的面积； （2）若直线 OA，OB 的斜率为 k1，k2，且 k1+k22，求直线 l 的方程 【分析】 （1）将点代入求出 p 的值，再根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出三角 形的面积， （2）设直线 l 方程为 yk（x2） ，根据韦达定理和斜率公式，即可求出 【解答】解： （1）将点 M（1
40、，2）代入抛物线方程，可得 p4，则抛物线方程为 y28x， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立可得 x212x+40， x1+x212，则|AB|x1+x2+416， 又点 O 到直线 AB 的距离为， SABO168， （2）由题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 方程为 yk（x2） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立，可得 k2x2（4k2+8）x+4k20， 显然0，从而 x1+x2，x1x24， k1+k2+2k2k（+）2k2k2k 第 23 页（共 26 页） 2k2， k2， 直线 l 的方程为 2x+y40 【点评】本题考查抛物线的
41、方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率公式， 属于中档题 21 （12 分）已知函数，其中 a 为实数， e 为自然对数的底数 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）是否存在实数 a，使得对任意给定的 x02，2，在区间2，2上总存在三 个不同的 xi（i1，2，3） ，使得 f（x1）f（x2）f（x3）g（x0）成立？若存在，求 出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解， （2）结合（1）的讨论可作出函数 f（x）的大致图象，结合图象对 a 进行分类讨论，即 可求解 【解答】解： （1）f（x），x2，2，
42、 由 f（x）0 即 cosxsinx10 可得或， 由 f（x）0 即 cosxsinnx10 可得或 0， 故函数的单调递增区间 （） ， （） ， 单调递减区间 （2） ， （0，） ， （2）由（1）知，f（x）在2，2上 有 2 个极小值 f（）f（）0，1 个极大值 f（0）1， 另外 f（2）e2，f（2），作出函数的大致图象如图所示，由 g（x）ax+， x2，2， 结合图象可知，当 a0 时，g（x）（） ，满足题意， 第 24 页（共 26 页） 当 a0 时，g（x）， 由题意可得， 解可得， 当 a0 时，g（x）， 由题意可得， 解可得， 综上可得 a 的范围 【点评
43、】本题综合考查了导数的应用及逻辑推理与运算的能力，试题具有一定的综合性 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.请考生用请考生用 2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为，直线恒过定点 M（1，2） ， 倾斜角为 （1）求曲线 C 和直线 l 的参数方程； （2）当时，若直线 l 交椭圆于 A，B 两点，求|AM|BM|的值 【分析】 （1）根据参数方程的求法即可求出， （2）求出直线 l 的参数方程，代入到椭圆方程，参数的几何意义可得 第 25 页（共 26 页） 【解答】解： （1）曲线 C 的方程是（ 为参数） ， 直线 l 的参数方程是（t 为参数） ， （2）当 a时，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，将其代入椭圆方程化 简可得t2+（4+2）t80， 由题意知0 恒成立，t1t2， 由参数的几何意义可得|AM|BM|t1t2| 【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平 面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与
