1、2020 年高考数学模拟试卷（文科）（年高考数学模拟试卷（文科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|x0，则 AB（ ） A1，2 B（1，2 C（0，2 D（2，+） 2已知复数 z 满足 z（1+i）1i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 3已知 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 4已知某企业 2020 年 4 月之前的过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如表： 月份 11 12 1 2 3 广告投入（x 万元） 8.2 7.8 8 7.9 8.1
2、利润（y 万元） 92 89 89 87 93 由此所得回归方程为 ，若 2020 年 4 月广告投入 9 万元，可估计所获利润约 为（ ） A100 万元 B101 万元 C102 万元 D103 万元 5设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a64+a4，则 S9（ ） A18 B24 C48 D36 6人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，3040 分贝是较理想的 安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果 突然暴露在高达 150 分贝
3、的噪声环境中， 听觉器官会发生急剧外伤， 引起鼓膜破裂出血， 双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过 90 分贝，一般地，如果强度为 x 的声音对应的等级为 f（x）dB，则有 f（x）10lg ，则 90dB 的声音与 50dB 的声音强度之比为（ ） A10 B100 C1000 D10000 7函数 ytan2x 图象的对称中心坐标为（ ） A（2k，0），kZ B（k，0），kZ C ， ， D ， ， 8中国古代名著孙子算经中的“物不知数”问题： “今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七 除余二，问该数为
4、多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图 中的“”处应填入（ ） A B C D 9已知函数 f（x） ， ， ，若 f（x）的最小值为 f（1），则实数 a 的值不 可能是（ ） A1 B2 C3 D4 10 已知三棱锥 ABCD 中， 侧面 ABC底面 BCD， ABC 是边长为 3 的正三角形， BCD 是直角三角形，且BCD90，CD2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A4 B C12 D 11已知过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长 线交抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|2，|FB|1，则|AB|（ ）
5、A3 B4 C6 D6 12已知 f（x） 恰有一个极值点为 1，则 t 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 x，y 满足约束条件 ，则 2xy 的最小值是 14已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，2Snan+1+1，则 Sn 16 已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1、 F2， 点 P 是 C1与 C2的一个公共点， PF1F2 是一个
6、以 PF1为底的等腰三角形， |PF1|4， C1的离心率为 ， 则 C 2的离心率为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共 60 分 17已知 （2cosx，sinx）， （cosx， cosx），且 f（x） （1）求 f（x）在 ， 上的值域； （2）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长，若 ，且 a 2，b+c4，求ABC 的面积 18已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，D 是 BC 的中点 （1）求证：
7、A1B平面 ADC1； （2）求三棱锥 C1A1AD 的体积 19环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问 题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和 水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机 物污染问题其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国 环保总局根据空气污染指数 PM2.5 浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数， 后者是空气质量等级）： （1） （0，50优； （2） （50，100良； （3） （100，150轻度污染； （4） （150， 2
8、00中度污染； （5）（200，300重度污染； （6）（300，+）严重污 染 辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从 2012 年开始考察了连续六年 12 月份 的空气污染指数，绘制了频率分布直方图（如图），经过分析研究，决定从 2018 年 12 月 1 日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段 材料回答以下两个问题： （1）若按分层抽样的方法，从空气质量等级为优与良的天气中抽取 5 天，再从这 5 天中 随机抽取 2 天，求至少有一天空气质量是优的概率； （1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的 12 月份共 60 天的
9、空气质量进行统计，其结果如表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 12 28 11 6 2 1 根据限行前 6 年 180 天与限行后 60 天的数据，计算并填写 22 列联表，并回答是否有 95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前 限行后 总计 参考数据： P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 参考公式 K2 ，其中 na+b+c+d 20已知椭圆 C： 1（ab0）过点 ， ，F1（0，1），F2（0，1）是两
10、个焦点以椭圆 C 的上顶点 M 为圆心作半径为 r（r0）的圆， （1）求椭圆 C 的方程； （2）存在过原点的直线 l，与圆 M 分别交于 A，B 两点，与椭圆 C 分别交于 G，H 两点 （点 H 在线段 AB 上），使得 ，求圆 M 半径 r 的取值范围 21已知函数 f（x）lnx，g（x）ex （1）若 h（x）af（x） （a+1）x，aR，求函数 h（x）的单调区间； （2）不等式 对于 x0 恒成立，求实数 m 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知平面直角坐标系
11、xOy 中，曲线 C1的方程为 1，以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 若将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 倍，得曲线 C2 （1）写出直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程； （2）设点 P（1，0），直线 l 与曲线 C2的两个交点分别为 A，B，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）ln（|x1|x+2|m） （1）当 m2 时，求函数 yf（x）的定义域； （2）已知函数 f（x）的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
12、分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|x0，则 AB（ ） A1，2 B（1，2 C（0，2 D（2，+） 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x2，Bx|x0， AB（0，2 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 2已知复数 z 满足 z（1+i）1i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 z（1+i）1i，得 z z 的虚部为1 故选：D
13、【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 【分析】可以得出 ， ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解：log0.32log0.310， ， abc 故选：A 【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力， 属于基础题 4已知某企业 2020 年 4 月之前的过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如表： 月份 11 12 1 2 3 广告投入（x 万元） 8.2 7.8 8 7.9 8.1 利润（y 万元） 92 89 89 87 93
14、 由此所得回归方程为 ，若 2020 年 4 月广告投入 9 万元，可估计所获利润约 为（ ） A100 万元 B101 万元 C102 万元 D103 万元 【分析】 先通过表格中的数据算出样本中心点 ， ， 再将其代入回归方程求出 a 的值， 从而得到回归直线方程，然后把 x9 代入，求出 的值即可得解 解：由表格中的数据可知， ， ， （8，90）在回归方程上，90128+a，解得 a6， 回归方程为 ， 把 x9 代入回归方程得， 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程的性质，考查学生的运算能力，属于基础题 5设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a64+a4，则 S9（ ）
15、 A18 B24 C48 D36 【分析】设等差数列an的公差为 d，由 a3+a64+a4找出首项 a1与公差 d 的关系式求出 a5，再代入前 n 项和的关系式求出 S9 解：设等差数列an的公差为 d，由 a3+a64+a4可得 a1+2d+a1+5d4+a1+3d，整理得： a1+4d4a5， 所以 S9 9a536 故选：D 【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题 6人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，3040 分贝是较理想的 安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严
16、重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果 突然暴露在高达 150 分贝的噪声环境中， 听觉器官会发生急剧外伤， 引起鼓膜破裂出血， 双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过 90 分贝，一般地，如果强度为 x 的声音对应的等级为 f（x）dB，则有 f（x）10lg ，则 90dB 的声音与 50dB 的声音强度之比为（ ） A10 B100 C1000 D10000 【分析】本题根据题干中给出的表达式分别计算出 90dB 的声音与 50dB 的声音对应的声 音强度，然后相比即可计算出结果，得到正确选项 解：由题意，可知 当声音强度的等级为 90dB 时，有 10lg 90
17、， 即 lg 9， 则 109， 此时对应的强度 x1091012103， 当声音强度的等级为 50dB 时，有 10lg 50， 即 lg 5， 则 105， 此时对应的强度 x1051012107， 90dB 的声音与 50dB 的声音强度之比为 10 3（7）10410000 故选：D 【点评】 本题主要考查已知函数值求对应的 x 的值， 函数在实际生活的应用， 以及指数、 对数的运算，考查了转化思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 7函数 ytan2x 图象的对称中心坐标为（ ） A（2k，0），kZ B（k，0），kZ C ， ， D ， ， 【分析】直接利用正切函数的图
18、象和性质的应用求出结果 解：由于函数 ytanX 的对称中心为（ ， ）（kZ）， 令 2x ，解得 x ， 故函数 ytan2x 的对称中心为（ ， ）（kZ）， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：正切函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8中国古代名著孙子算经中的“物不知数”问题： “今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七 除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图 中的“”处应填入（ ） A B C D 【分析】 由已知中的程序语句可知
19、该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值， 根据输出的 a 的条件可得答案 解：由题意，判断框内应该判断 a 的值是否同时能被三除余二，被七除余二， 即判断 是否为整数 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9已知函数 f（x） ， ， ，若 f（x）的最小值为 f（1），则实数 a 的值不 可能是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题意，直接将 a1 代入，计算函数的最小值为 f（2），不合题意，由此即 可得出正确选项 解：当 a1 时， ， ， ， 则当 x1 时，f（x）（x1）2+77f（1）； 当
20、 x1 时， ，当 x2 时取等号； 综上，函数的最小值为 f（2），不合题意； 结合单项选择的特征可知，实数 a 的值不可能为 1 故选：A 【点评】本题考查分段函数最值的求法，作为选择题，采用代值判断的方法能够快速解 决问题，是考试中的一项有效方法，应合理运用，本题属于基础题 10 已知三棱锥 ABCD 中， 侧面 ABC底面 BCD， ABC 是边长为 3 的正三角形， BCD 是直角三角形，且BCD90，CD2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A4 B C12 D 【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再 计算三棱锥外接球的体积 解：三棱锥 ABC
21、D 中，侧面 ABC底面 BCD，把该三棱锥放入长方体中，如图所示； 且 AM AB ； 设三棱锥外接球的球心为 O，则 AG AM ，OG CD1， 所以三棱锥外接球的半径为 ROA 2， 所以三棱锥外接球的体积为 V 故选：B 【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是 中档题 11已知过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长 线交抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|2，|FB|1，则|AB|（ ） A3 B4 C6 D6 【分析】设 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N，通过三角形相似，求解 AF，即
22、可求 解 解：设 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N， 过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长线交 抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|2，|FB|1，BNCAMC， 可得： ，可得 AFAM3， ABAF+FB4， 故选：B 【点评】 本题考查抛物线的定义及其应用， 抛物线的几何性质， 过焦点的弦的弦长关系， 平面几何知识，转化化归的思想方法，属中档题 12已知 f（x） 恰有一个极值点为 1，则 t 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】先求导数，验证 x1 是极值点，然后从导函数中分离出 x1，再说明剩余的部
23、 分没有变号根即可 解：由已知得 显然 x1 是 f（x）的变号零点，即为原函数的极值点，所以只需 ex2t（x+2）0 在 （0，+）上恒成立即可 即 （x0）恒成立 令 g（x） （x0）， ， 故 g（x）是增函数，又因为当 x0 时， ， 所以 g（x） ，所以 ，即 即为所求 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，最值，以及解决不等式恒成立问题同时 考查学生利用函数思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 x，y 满足约束条件 ，则 2xy 的最小值是 2 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用
24、几何意义求最值，z2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 解：画出约束条件的可行域如图：由 解得 A（1，0）， 约束区域的端点的坐标 A（1，0）， z2xy 经过可行域的 A 时，截距最大，表达式的值最小，代入可知当 x1，y0 时 z 的最小值为2 故答案为：2 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 14已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 l ，lm，则 m 【分析】 由 l， m 是
25、平面 外的两条不同直线， 利用线面平行的判定定理得若 l， lm， 则 m 解：由 l，m 是平面 外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若 l，lm，则 m 故答案为：若 l，lm，则 m 【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，2Snan+1+1，则 Sn （3 n1+1） 【分析】通过数列的递推关系式，转化求解数列是等比数列，然后求解即可 解：数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，2Snan+1+1，2Sn1an+1，（n2） 所以
26、 2anan+1an，即 3anan+1，（n2） 所以数列an是从第二项起， 以 1 为首项， 3 为公比的等比数列 2S1a2+1， 可得 a21， n2 时：Sn 1 （3 n1+1） Sn ， ， ， 所以 Sn （3 n1+1） 故答案为： （3 n1+1） 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力， 是中档题，易错题 16 已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1、 F2， 点 P 是 C1与 C2的一个公共点， PF1F2 是一个以 PF1为底的等腰三角形，|PF1|4，C1的离心率为 ，则 C 2的离心率为 3 【分析】利用离心率的定义，
27、及 C1的离心率 e1 ，|PF1|4，|F1F2|PF2|，可求得|PF2| 3，再利用双曲线的离心率 e2 ，可得结论 解：由题意知 C1的离心率 e1 ， 又|PF1|4，|F1F2|PF2|， |PF2|3 双曲线的离心率 e2 3 故答案为：3 【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属 于中档题 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共 60 分 17已知 （2cosx，sinx）， （cosx， cosx），且
28、f（x） （1）求 f（x）在 ， 上的值域； （2）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长，若 ，且 a 2，b+c4，求ABC 的面积 【分析】（1）由平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，根 据正弦函数的单调性即可求解 （2）结合（1）可得 f（ ）1+2sin（A ）3，进而可得 A，由余弦定理可得 bc4， 代入三角形面积公式计算可得答案 解：（1） （2cosx，sinx）， （cosx， cosx）， f（x） 2cos 2x+2 sinxcosxcos2x sin2x+12sin（2x ）+1， x ， ，2x ， ， sin（
29、2x ） ，1， f（x）2sin（2x ）+10，3 （2）由（1）可知 f（x）1+2sin（2x ）， 故 f（ ）1+2sin（A ）3，解得 sin（A ）1， 因为 A（0，），A （ ， ）， 故可得 A ，解得 A ， 由余弦定理可得 22b2+c22bccosA， 化简可得 4b2+c2bc（b+c）23bc163bc， 解得 bc4，故ABC 的面积 S bcsinA 4 【点评】本题考查三角函数的性质和余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用， 涉及平面向量数量积的运算，考查了函数思想和转化思想，属于基础题 18已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，D 是
30、BC 的中点 （1）求证：A1B平面 ADC1； （2）求三棱锥 C1A1AD 的体积 【分析】（1）连接 A1C，设 A1CAC1M，再连接 DM，可得 A1BDM，由直线与平 面平行的判定可得 A1B平面 ADC1； （2）过点 D 作 DHAC，垂足为 H，证明 DH平面 ACC1A1，求出 DH 再由等体 积法求三棱锥 C1A1AD 的体积 【解答】（1）证明：连接 A1C，设 A1CAC1M，则 M 是 A1C 的中点，再连接 DM， 则 DM 是三角形 A1BC 的中位线，A1BDM， 又A1B平面 ADC1，MD平面 ADC1，A1B平面 ADC1； （2）解：过点 D 作 DH
31、AC，垂足为 H， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， A1A平面 ABC，A1ADH， 又 DHAC，A1AACA，DH平面 ACC1A1， 且 DH 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等体积法求多面体的体积，是中档题 19环境问题是当今世界共同关注的问题，且多种多样，中国环境十大问题是指大气污染问 题、水环境污染问题、垃圾处理问题、土地荒漠化和沙灾问题、水土流失问题、旱灾和 水灾问题、生物多样性破坏问题、WTO 与环境问题、三峡库区的环境问题、持久性有机 物污染问题其中大气环境面临的形势非常严峻，大气污染物排放总量居高不下，我国 环保总局根据空气
32、污染指数 PM2.5 浓度，制定了空气质量标准（前者是空气污染指数， 后者是空气质量等级）： （1） （0，50优； （2） （50，100良； （3） （100，150轻度污染； （4） （150， 200中度污染； （5）（200，300重度污染； （6）（300，+）严重污 染 辽宁省某市政府为了改善空气质量，节能减排，从 2012 年开始考察了连续六年 12 月份 的空气污染指数，绘制了频率分布直方图（如图），经过分析研究，决定从 2018 年 12 月 1 日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆施行限号出行，请根据这段 材料回答以下两个问题： （1）若按分层抽样的方法，从空
33、气质量等级为优与良的天气中抽取 5 天，再从这 5 天中 随机抽取 2 天，求至少有一天空气质量是优的概率； （1）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的 12 月份共 60 天的空气质量进行统计，其结果如表： 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 12 28 11 6 2 1 根据限行前 6 年 180 天与限行后 60 天的数据，计算并填写 22 列联表，并回答是否有 95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前 限行后 总计 参考数据： P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.0
34、10 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 参考公式 K2 ，其中 na+b+c+d 【分析】（1）利用分层抽样空气质量优的天气被抽取 2 天，空气良的天气被抽取 3 天， 分别标记，再利用古典概型的概率公式即可算出结果； （2）根据题目所给的数据填写 22 列联表，计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格， 得出统计结论 解：（1）因为空气质量优与良的天气的概率之比为：0.004：0.0062：3， 按分层抽样从中抽取 5 天，则空气质量优的天气被抽取 2 天，记作：A1，A2， 空气良的天气被抽取 3 天，记作：B1，B2，B3， 从这 5 天中随机
35、抽取 2 天，所包含的基本事件有： （A1，A2）， （A1，B1）， （A1，B2）， （A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B 1，B2），（B1，B3），（B2， B3） 共 10 个， 记事件 A 为“至少有一天空气质量优”，则事件 A 所包含的基本事件有： （A1，A2）， （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A 2，B2），（A2，B3） 共 7 个， 故 P（A） ，即至少有一天空气质量优的概率为 ； （2）列联表如下： 空气质量优、良 空气质量污染 总计 限行前 90 90 180 限行后 40 20 60 总计 130
36、 110 240 由表中数据可得：K2 5.0353.841， 所以有 95%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概型的概率公式，也考查了计算 能力的应用问题，是基础题目 20已知椭圆 C： 1（ab0）过点 ， ，F1（0，1），F2（0，1）是两 个焦点以椭圆 C 的上顶点 M 为圆心作半径为 r（r0）的圆， （1）求椭圆 C 的方程； （2）存在过原点的直线 l，与圆 M 分别交于 A，B 两点，与椭圆 C 分别交于 G，H 两点 （点 H 在线段 AB 上），使得 ，求圆 M 半径 r 的取值范围 【分析】 （1）由椭圆过的点
37、的坐标，及焦点坐标和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值， 进而求出椭圆的方程； （2）分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线 l 的方 程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|GH|，由勾股定理求出直线与圆 M 的弦长|AB|，由 可得|AG|BH|，即|AB|GH|，可得 r 的表达式，再由单调性 可得 r 的取值范围，当斜率不存在时，求出 r 的值，综上所述可得 r 的取值范围 解：（1）由题意可得 c1 且 1，a2b2+c2， 解得：a22，b21， 所以椭圆的方程为： x 21； （2）当直线斜率不存在时，圆 M 过原点，符合题意，r
38、 ， 当直线的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与椭圆的方程 ， 整理可得 （2+k 2 ） x 220， x 1+x20， x1x2 ， 所以弦长|GH| |x1x2| ， 点 M（0， ）到直线 l 的距离 d ，所以|AB|2 ， 因为 ，点 H 在线段 AB 上， 所以点 G 在线段 AB 的延长线上，只需|AG|BH|，即|AB|GH|， 所以 4（r 2 ）， 所以 r2 2 ， 因为 k4+3k2+22，所以 0 1， 所以 r2（2，3，即 r（2， 综上所述：圆 M 半径 r 的取值范围 ， 【点评】本题考查求椭圆的方
39、程及直线与椭圆的综合，考查向量线段转化为线段相等， 属于中档题 21已知函数 f（x）lnx，g（x）ex （1）若 h（x）af（x） （a+1）x，a一、选择题，求函数 h（x）的单调区间； （2）不等式 对于 x0 恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）h（x）af（x） （a+1）xalnx （a+1）x，aR，x（0， +）h（x） x（a+1） 对 a 分类讨论即可得出单调性 （2）不等式 对于 x0 恒成立，即 m（e mx+1）2（x ） lnx，mx（emx+1）（x2+1）lnx2，即（emx+1）lnemx（x2+1）lnx2令 F（x）（x+1） lnx（x0）
40、，研究其单调性进而可得结论 解：（1）h（x）af（x） （a+1）xalnx （a+1）x，aR，x（0，+ ） h（x） x（a+1） （i）a1 时，可得函数 f（x）的增区间为（0，1），（a，+），减区间为（1，a） （ii）a1 时，可得函数 f（x）的增区间为（0，+） （iii）0a1 时，可得函数 f（x）的增区间为（0，a）， （1，+），减区间为（a，1） （iv）a0 时，可得函数 f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+） （2）不等式 对于 x0 恒成立，即 m（e mx+1）2（x ） lnx，mx（emx+1）（x2+1）lnx2，即（emx+1）lnem
41、x（x2+1）lnx2 令 F（x）（x+1）lnx（x0），F（x）1+lnx 令 G（x）1+lnx ，G（x） ， 可得：x1 时，函数 G（x）取得极小值，G（1）20 F（x）0， F（x）在（0，+）上单调递增， emxx2 两边取对数可得：mxlnx2，即 令 H（x） x（0，+） H（x） ，可得 xe 时，函数 H（x）取得极大值即最大值 H（x）F（e） 即 m 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类 讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多
42、做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 1，以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 若将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 倍，得曲线 C2 （1）写出直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程； （2）设点 P（1，0），直线 l 与曲线 C2的两个交点分别为 A，B，求 的值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解： （1）直线 l 的极坐标方程为
43、 整理得 ， 转换为直角坐标方程为 将曲线 C1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 倍，即 代入曲线 C1的方程为 1，得到 x 2+y24 （2） 直线 l 经过点 P （1， 0） 且直线的倾斜角为 60， 则直线的参数方程为 （t 为参数），代入 x2+y24， 整理得 t2+t30， 所以 ， 故： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一 元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）ln（|x1|x+2|m） （1）当 m2 时，求函
44、数 yf（x）的定义域； （2）已知函数 f（x）的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可； （2）函数 f（x）的定义域为 R，转化为 m|x+2|x1|在 x（，+）上恒成立； 只要 m|x+2|x1|min即可 解：（1）当 m2 时，解|x1|x+2|2， 当 x2 时，得 1x（x2）2，即 32 恒成立；x2； 当2x1 时，得 1x（x+2）2，即 x ；2x ； 当 x1 时，得 x1（x+2）2，即32 不成立； 综上可得，x ； 定义域为x|x （2）由已知|x1|x+2|m0， 即 m|x+2|x1|在 x（，+）上恒成立； 又因为|x+2|x1|（|x1|x+2|）|（x1）（x+2）|3； m3 【点评】本题考查了函数定义域求法和恒成立问题，以及解含绝对值的不等式，属于基 础题
