1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|x0，则 AB（ ） A1，2 B（1，2 C（0，2 D（2，+） 2已知复数 z 满足 z（1+i）1i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 3已知 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 4已知某企业 2020 年 4 月之前的过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如表： 月份 11 12 1 2 3 广告投入（x 万元） 8.2 7.8 8 7.9 8.1
2、利润（y 万元） 92 89 89 87 93 由此所得回归方程为 ，若 2020 年 4 月广告投入 9 万元，可估计所获利润约 为（ ） A100 万元 B101 万元 C102 万元 D103 万元 5设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a64+a4，则 S9（ ） A18 B24 C48 D36 6人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，3040 分贝是较理想的 安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果 突然暴露在高达 150 分贝
3、的噪声环境中， 听觉器官会发生急剧外伤， 引起鼓膜破裂出血， 双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过 90 分贝，一般地，如果强度为 x 的声音对应的等级为 f（x）dB，则有 f（x）10lg ，则 90dB 的声音与 50dB 的声音强度之比为（ ） A10 B100 C1000 D10000 7函数 ytan2x 图象的对称中心坐标为（ ） A（2k，0），kZ B（k，0），kZ C ， ， D ， ， 8 已知二项式 的展开式中， 二项式系数之和等于 64， 则展开式中常数项等于 （ ） A240 B120 C48 D36 9已知函数 f（x） ， ， ，若 f（x）的最小
4、值为 f（1），则实数 a 的值不 可能是（ ） A1 B2 C3 D4 10 已知三棱锥 ABCD 中， 侧面 ABC底面 BCD， ABC 是边长为 3 的正三角形， BCD 是直角三角形，且BCD90，CD2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A4 B C12 D 11已知过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长 线交抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|2，|FB|1，则|AB|（ ） A3 B4 C6 D6 12已知 f（x） 恰有一个极值点为 1，则 t 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 二、填空题：本题共 4 小
5、题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 x，y 满足约束条件 ，则 2xy 的最小值是 14 古代中国， 建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美， 方形和圆形的应用比比皆是， 在唐、 宋时期的单檐建筑中较多存在 ： 1 的比例关系， 这是当时工匠们着意设计的常见比例， 今天，A4 纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近 ：1，我们称 这种满足了 ：1 的矩形为“优美”矩形现有一长方体 ABCDA1B1C1D1，AD12 ， AC2 ，AC 12 ，则此长方体的表面六个矩形中， “优美”矩形的个数为 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，2Snan+1+1，则 Sn
6、 16 已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1、 F2， 点 P 是 C1与 C2的一个公共点， PF1F2 是一个以 PF1为底的等腰三角形， |PF1|4， C1的离心率为 ， 则 C 2的离心率为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共 60 分 17已知 （2cosx，sinx）， （cosx， cosx），且 f（x） （1）求 f（x）在 ， 上的值域； （2）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长，若 ，且
7、a 2，b+c4，求ABC 的面积 18已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，D 是 BC 的中点 （1）求证：A1B平面 ADC1； （2）求锐二面角 DAC1C 的余弦值 19某工厂计划建设至少 3 个，至多 5 个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品 A 的未来需求经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品 A 的月需求量 均在 50 万件及以上，其中需求量在 50100 万件的频率为 0.5，需求量在 100200 万件 的频率为 0.3，不低于 200 万件的频率为 0.2用调查样本来估计总体，频率作为相应段 的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品 A
8、的需求相互独立 （1）求在未来某连续 4 个月中，本地区至少有 2 个月对商品 A 的月需求量低于 100 万件 的概率 （2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常 生产的车间数受商品 A 的需求量 x 的限制，并有如表关系： 商品 A 的月需求量 x （万件） 50x100 100x200 x200 车间最多正常运行个 数 3 4 5 若一个车间正常运行，则该车间月净利润为 1500 万元，而一个车间未正常生产，则该车 间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系： 商品 A 的月需求量 x（万件） 50x100 100x200 未正常生产的一个车
9、间的月维 护费（万元） 500 600 试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品 A 的月利润为最大 20已知椭圆 C： 1（ab0）过点 ， ，F1（0，1），F2（0，1）是两 个焦点以椭圆 C 的上顶点 M 为圆心作半径为 r（r0）的圆， （1）求椭圆 C 的方程； （2）存在过原点的直线 l，与圆 M 分别交于 A，B 两点，与椭圆 C 分别交于 G，H 两点 （点 H 在线段 AB 上），使得 ，求圆 M 半径 r 的取值范围 21已知函数 f（x）ax+1+lnx （1）g（x）af（x） ，求函数 g（x）的单调区间： （2）对于任意 x0，不等式 f（x）xex恒成
10、立，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 1，以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 若将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 倍，得曲线 C2 （1）写出直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程； （2）设点 P（1，0），直线 l 与曲线 C2的两个交点分别为 A，B，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）ln（|x1|x+2|m）
11、 （1）当 m2 时，求函数 yf（x）的定义域； （2）已知函数 f（x）的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|x0，则 AB（ ） A1，2 B（1，2 C（0，2 D（2，+） 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x2，Bx|x0， AB（0，2 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 2已知复数 z 满足 z（1+i）1i（i
12、为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由 z（1+i）1i，得 z z 的虚部为1 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Ccab Dbca 【分析】可以得出 ， ，从而可得出 a，b，c 的大小关系 解：log0.32log0.310， ， abc 故选：A 【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力， 属于基础题 4已知某企业 2020 年 4 月之前的
13、过去 5 个月产品广告投入与利润额依次统计如表： 月份 11 12 1 2 3 广告投入（x 万元） 8.2 7.8 8 7.9 8.1 利润（y 万元） 92 89 89 87 93 由此所得回归方程为 ，若 2020 年 4 月广告投入 9 万元，可估计所获利润约 为（ ） A100 万元 B101 万元 C102 万元 D103 万元 【分析】 先通过表格中的数据算出样本中心点 ， ， 再将其代入回归方程求出 a 的值， 从而得到回归直线方程，然后把 x9 代入，求出 的值即可得解 解：由表格中的数据可知， ， ， （8，90）在回归方程上，90128+a，解得 a6， 回归方程为 ，
14、把 x9 代入回归方程得， 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程的性质，考查学生的运算能力，属于基础题 5设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3+a64+a4，则 S9（ ） A18 B24 C48 D36 【分析】设等差数列an的公差为 d，由 a3+a64+a4找出首项 a1与公差 d 的关系式求出 a5，再代入前 n 项和的关系式求出 S9 解：设等差数列an的公差为 d，由 a3+a64+a4可得 a1+2d+a1+5d4+a1+3d，整理得： a1+4d4a5， 所以 S9 9a536 故选：D 【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的求法，属于基础题 6人们通常以分贝
15、（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，3040 分贝是较理想的 安静环境，超过 50 分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果 突然暴露在高达 150 分贝的噪声环境中， 听觉器官会发生急剧外伤， 引起鼓膜破裂出血， 双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过 90 分贝，一般地，如果强度为 x 的声音对应的等级为 f（x）dB，则有 f（x）10lg ，则 90dB 的声音与 50dB 的声音强度之比为（ ） A10 B100 C1000 D10000 【分析】本题根据题干中给
16、出的表达式分别计算出 90dB 的声音与 50dB 的声音对应的声 音强度，然后相比即可计算出结果，得到正确选项 解：由题意，可知 当声音强度的等级为 90dB 时，有 10lg 90， 即 lg 9， 则 109， 此时对应的强度 x1091012103， 当声音强度的等级为 50dB 时，有 10lg 50， 即 lg 5， 则 105， 此时对应的强度 x1051012107， 90dB 的声音与 50dB 的声音强度之比为 10 3（7）10410000 故选：D 【点评】 本题主要考查已知函数值求对应的 x 的值， 函数在实际生活的应用， 以及指数、 对数的运算，考查了转化思想，以及
17、逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 7函数 ytan2x 图象的对称中心坐标为（ ） A（2k，0），kZ B（k，0），kZ C ， ， D ， ， 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用求出结果 解：由于函数 ytanX 的对称中心为（ ， ）（kZ）， 令 2x ，解得 x ， 故函数 ytan2x 的对称中心为（ ， ）（kZ）， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：正切函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8 已知二项式 的展开式中， 二项式系数之和等于 64， 则展开式中常数项等于 （ ） A240 B120 C48 D36
18、【分析】先根据二项式系数的性质求出 n 的值，再利用通项公式求得展开式中常数项 解：二项式 的展开式中，二项式系数之和等于 2n64，则 n6， 故展开式的通项公式为 Tr+1 26r ，令 3 0，求得 r2， 可得展开式中常数项等于 24240， 故选：A 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用， 二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属于基础题 9已知函数 f（x） ， ， ，若 f（x）的最小值为 f（1），则实数 a 的值不 可能是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题意，直接将 a1 代入，计算函数的最小值为 f（2），不合题意，由此即 可得出正确选项 解：当 a1
19、时， ， ， ， 则当 x1 时，f（x）（x1）2+77f（1）； 当 x1 时， ，当 x2 时取等号； 综上，函数的最小值为 f（2），不合题意； 结合单项选择的特征可知，实数 a 的值不可能为 1 故选：A 【点评】本题考查分段函数最值的求法，作为选择题，采用代值判断的方法能够快速解 决问题，是考试中的一项有效方法，应合理运用，本题属于基础题 10 已知三棱锥 ABCD 中， 侧面 ABC底面 BCD， ABC 是边长为 3 的正三角形， BCD 是直角三角形，且BCD90，CD2，则此三棱锥外接球的体积等于（ ） A4 B C12 D 【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特
20、征求出三棱锥外接球的半径，再 计算三棱锥外接球的体积 解：三棱锥 ABCD 中，侧面 ABC底面 BCD，把该三棱锥放入长方体中，如图所示； 且 AM AB ； 设三棱锥外接球的球心为 O，则 AG AM ，OG CD1， 所以三棱锥外接球的半径为 ROA 2， 所以三棱锥外接球的体积为 V 故选：B 【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是 中档题 11已知过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长 线交抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|2，|FB|1，则|AB|（ ） A3 B4 C6 D6 【分析】设
21、 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N，通过三角形相似，求解 AF，即可求 解 解：设 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N， 过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，线段 AB 的延长线交 抛物线的准线 l 于点 C，若|BC|2，|FB|1，BNCAMC， 可得： ，可得 AFAM3， ABAF+FB4， 故选：B 【点评】 本题考查抛物线的定义及其应用， 抛物线的几何性质， 过焦点的弦的弦长关系， 平面几何知识，转化化归的思想方法，属中档题 12已知 f（x） 恰有一个极值点为 1，则 t 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【分析】先
22、求导数，验证 x1 是极值点，然后从导函数中分离出 x1，再说明剩余的部 分没有变号根即可 解：由已知得 显然 x1 是 f（x）的变号零点，即为原函数的极值点，所以只需 ex2t（x+2）0 在 （0，+）上恒成立即可 即 （x0）恒成立 令 g（x） （x0）， ， 故 g（x）是增函数，又因为当 x0 时， ， 所以 g（x） ，所以 ，即 即为所求 故选：D 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，最值，以及解决不等式恒成立问题同时 考查学生利用函数思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 x，y 满足约束条件
23、 ，则 2xy 的最小值是 2 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可 解：画出约束条件的可行域如图：由 解得 A（1，0）， 约束区域的端点的坐标 A（1，0）， z2xy 经过可行域的 A 时，截距最大，表达式的值最小，代入可知当 x1，y0 时 z 的最小值为2 故答案为：2 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 14 古代中国， 建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美， 方形和圆形的应用比比皆是， 在唐、 宋时期的单檐建筑中较多存在 ： 1
24、 的比例关系， 这是当时工匠们着意设计的常见比例， 今天，A4 纸之所以流行的重要原因之一，就是它的长与宽的比无限接近 ：1，我们称 这种满足了 ：1 的矩形为“优美”矩形现有一长方体 ABCDA1B1C1D1，AD12 ， AC2 ，AC 12 ，则此长方体的表面六个矩形中， “优美”矩形的个数为 4 个 【分析】作出长方体，根据所给数据求得该长方体每条棱长，算出相应长方形长宽比即 可 解：如图， 在题中所述的正方体中，CC1 2 AA1BB1 DD1， 则 AD 4BCB1C1A1D1， AB 2CDA1B1C1D1， 则可得 BB1：AB2 ：2 ：1，BC：BB14：2 ：1，而 BB
25、1：AB2：1， 故属于“优美”矩形的为矩形 ABB1A1，DCC1D1，BCC1B1，ADD1A1，共 4 个 故答案为：4 个 【点评】本题考查合情推理能力，数形结合能力，考查学生阅读理解能力，属于中档题 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，2Snan+1+1，则 Sn （3 n1+1） 【分析】通过数列的递推关系式，转化求解数列是等比数列，然后求解即可 解：数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，2Snan+1+1，2Sn1an+1，（n2） 所以 2anan+1an，即 3anan+1，（n2） 所以数列an是从第二项起， 以 1 为首项， 3 为公比的等比数列 2
26、S1a2+1， 可得 a21， n2 时：Sn 1 （3 n1+1） Sn ， ， ， 所以 Sn （3 n1+1） 故答案为： （3 n1+1） 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力， 是中档题，易错题 16 已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的焦点 F1、 F2， 点 P 是 C1与 C2的一个公共点， PF1F2 是一个以 PF1为底的等腰三角形，|PF1|4，C1的离心率为 ，则 C 2的离心率为 3 【分析】利用离心率的定义，及 C1的离心率 e1 ，|PF1|4，|F1F2|PF2|，可求得|PF2| 3，再利用双曲线的离心率 e2 ，可得结论
27、 解：由题意知 C1的离心率 e1 ， 又|PF1|4，|F1F2|PF2|， |PF2|3 双曲线的离心率 e2 3 故答案为：3 【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属 于中档题 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共 60 分 17已知 （2cosx，sinx）， （cosx， cosx），且 f（x） （1）求 f（x）在 ， 上的值域； （2）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长，
28、若 ，且 a 2，b+c4，求ABC 的面积 【分析】（1）由平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，根 据正弦函数的单调性即可求解 （2）结合（1）可得 f（ ）1+2sin（A ）3，进而可得 A，由余弦定理可得 bc4， 代入三角形面积公式计算可得答案 解：（1） （2cosx，sinx）， （cosx， cosx）， f（x） 2cos 2x+2 sinxcosxcos2x sin2x+12sin（2x ）+1， x ， ，2x ， ， sin（2x ） ，1， f（x）2sin（2x ）+10，3 （2）由（1）可知 f（x）1+2sin（2x ）， 故 f（ ）
29、1+2sin（A ）3，解得 sin（A ）1， 因为 A（0，），A （ ， ）， 故可得 A ，解得 A ， 由余弦定理可得 22b2+c22bccosA， 化简可得 4b2+c2bc（b+c）23bc163bc， 解得 bc4，故ABC 的面积 S bcsinA 4 【点评】本题考查三角函数的性质和余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用， 涉及平面向量数量积的运算，考查了函数思想和转化思想，属于基础题 18已知正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，D 是 BC 的中点 （1）求证：A1B平面 ADC1； （2）求锐二面角 DAC1C 的余弦值 【分析】（1）连结 A1C，设
30、A1CAC1M，则 M 是 A1C 的中点，推导出 A1BMD，由 此能证明 A1B平面 ADC1 （2）取 AB 的中点 O，A1B1的中点 O1，连结 OO1和 OC，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角 DAC1C 的 余弦值 解：（1）证明：连结 A1C，设 A1CAC1M，则 M 是 A1C 的中点， 连结 DM，则 DM 是A1BC 的中位线，A1BMD， A1B平面 ADC1，DM平面 ADC1， A1B平面 ADC1 （2）解：取 AB 的中点 O，A1B1的中点 O1，连结 OO1和 OC， 由题意
31、得 OB，OC，OO1两两垂直， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（1，0，0），D（ ， ，0），C（0， ，0），C1（0， ，2）， （ ， ，0）， （1， ，2）， （1， ，0）， 设平面 DAC1的一个法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1， ，1）， 设平面 ACC1的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 b1，得 （ ，1，0）， 设锐二面角 DAC1C 的平面角为 ， 则锐二面角 DAC1C 的余弦值为： cos 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的
32、位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是中档题 19某工厂计划建设至少 3 个，至多 5 个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品 A 的未来需求经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品 A 的月需求量 均在 50 万件及以上，其中需求量在 50100 万件的频率为 0.5，需求量在 100200 万件 的频率为 0.3，不低于 200 万件的频率为 0.2用调查样本来估计总体，频率作为相应段 的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品 A 的需求相互独立 （1）求在未来某连续 4 个月中，本地区至少有 2 个月对商品 A 的月需求量低于 100 万件 的概率 （2
33、）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常 生产的车间数受商品 A 的需求量 x 的限制，并有如表关系： 商品 A 的月需求量 x （万件） 50x100 100x200 x200 车间最多正常运行个 数 3 4 5 若一个车间正常运行，则该车间月净利润为 1500 万元，而一个车间未正常生产，则该车 间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系： 商品 A 的月需求量 x（万件） 50x100 100x200 未正常生产的一个车间的月维 护费（万元） 500 600 试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品 A 的月利润为最大 【分析】 （1
34、） 在未来的 4 个月中， 至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件， 分三种情况， 分别为有 2 个月、 3 个月和 4 个月的月需求量低于 100 万件， 然后根据独立重复事件的概 率逐一求出每种情况对应的概率，最后相加即可得解； （2）设车间的净利润为 Y，然后分别计算出建设 3 个车间、4 个车间和 5 个车间的净利 润的数学期望，并比较大小，取最大者即可 解：（1）在未来的 4 个月中，至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件，分三种情况： 有 2 个月的月需求量低于 100 万件，概率为 ； 有 3 个月的月需求量低于 100 万件，概率为 ； 有 4 个月的月需求量低于
35、100 万件，概率为 故至少有 2 个月的月需求量低于 100 万件的概率为 （2）设车间的净利润为 Y， 当建设 3 个车间时，由于需求量在 50 万件以上，此时净利润的分布列为： Y 4500 P 1 则 E（Y）450014500（万元）； 当建设 4 个车间时，若需求量满足 50x100，则有 3 个车间运行，会有 1 个车间闲 置，此时的净利润 Y150035004000， 若需求量满足 x100，则 4 个车间运行，此时的净利润 Y150046000，所以 Y 的分 布列为： Y 4000 6000 P 0.5 0.5 则 E（Y）40000.5+60000.55000（万元）；
36、当建设 5 个车间时，若需求量满足 50x100，则有 3 个车间运行，会有 2 个车间闲 置，此时的净利润 Y1500350023500， 若需求量满足 100x200，则有 4 个车间运行，会有 1 个车间闲置，此时的净利润 Y 1500460015400， 若需求量满足 x200，则 5 个车间运行，此时的净利润 Y150057500，所以 Y 的分 布列为： Y 3500 5400 7500 P 0.5 0.3 0.2 则 E（Y）35000.5+54000.3+75000.24870（万元） 综上所述，要使该工厂商品 A 的月利润最大，应建设 4 个生产线车间 【点评】本题考查独立重
37、复事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望及期望的 实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题 20已知椭圆 C： 1（ab0）过点 ， ，F1（0，1），F2（0，1）是两 个焦点以椭圆 C 的上顶点 M 为圆心作半径为 r（r0）的圆， （1）求椭圆 C 的方程； （2）存在过原点的直线 l，与圆 M 分别交于 A，B 两点，与椭圆 C 分别交于 G，H 两点 （点 H 在线段 AB 上），使得 ，求圆 M 半径 r 的取值范围 【分析】 （1）由椭圆过的点的坐标，及焦点坐标和 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值， 进而求出椭圆的方程； （2）分直线 l 的斜率存在和不
38、存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线 l 的方 程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|GH|，由勾股定理求出直线与圆 M 的弦长|AB|，由 可得|AG|BH|，即|AB|GH|，可得 r 的表达式，再由单调性 可得 r 的取值范围，当斜率不存在时，求出 r 的值，综上所述可得 r 的取值范围 解：（1）由题意可得 c1 且 1，a2b2+c2， 解得：a22，b21， 所以椭圆的方程为： x 21； （2）当直线斜率不存在时，圆 M 过原点，符合题意，r ， 当直线的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与椭圆的方程
39、， 整理可得 （2+k 2 ） x 220， x 1+x20， x1x2 ， 所以弦长|GH| |x1x2| ， 点 M（0， ）到直线 l 的距离 d ，所以|AB|2 ， 因为 ，点 H 在线段 AB 上， 所以点 G 在线段 AB 的延长线上，只需|AG|BH|，即|AB|GH|， 所以 4（r 2 ）， 所以 r2 2 ， 因为 k4+3k2+22，所以 0 1， 所以 r2（2，3，即 r（2， 综上所述：圆 M 半径 r 的取值范围 ， 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，考查向量线段转化为线段相等， 属于中档题 21已知函数 f（x）ax+1+lnx （1）g（x）a
40、f（x） ，求函数 g（x）的单调区间： （2）对于任意 x0，不等式 f（x）xex恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）表示出 g（x），并求导，然后分 a1，a1，0a1 及 a0 讨论即可 得出结果； （2）问题等价于 a 恒成立，设 F（x） ，x（0，+），利用 导数求其最小值即可 解：（1）g（x）af（x） alnx x 2（a+1）x+a，x（0，+ ） g（x） x（a+1） （i）a1 时，可得函数 f（x）的增区间为（0，1），（a，+），减区间为（1，a） （ii）a1 时，可得函数 f（x）的增区间为（0，+） （iii）0a1 时，可得函数 f（x）的增区
41、间为（0，a）， （1，+），减区间为（a，1） （iiii）a0 时，可得函数 f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）； （2）对于任意 x0，不等式 f（x）xex恒成立，等价于：对于任意 x0，不等式 a 恒成立 设 F（x） ，x（0，+）F（x） 设 h（x）x2ex+lnx，则 h（x）（x2+2x）ex 0，在 x（0，+）上恒成立 函数 h（x）在 x（0，+）上单调递增 又h（ ） 10，h（1）e0， 存在 x0（ ，1），使得 h（x 0）0，即 F（x0）0在（0，x0）上，F（x0） 0，F（x）单调递减在（x0，+）上，F（x0）0，F（x）单调递增 F（
42、x）F（x0），这里又由 lnx0，有 ， 设 （x）xex，则 ， ， 在（0，+）上，（x）0，（x）单调递增，故 ，即 ， F（x）F（x0） 1 故 a1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类 讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 一、选择题 22已知平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 1，以原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 若将曲线 C1上 的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 倍，得曲线 C2 （1）写出直线 l 和曲线 C2的直角坐标方程； （
43、2）设点 P（1，0），直线 l 与曲线 C2的两个交点分别为 A，B，求 的值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 解： （1）直线 l 的极坐标方程为 整理得 ， 转换为直角坐标方程为 将曲线 C1上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的 倍，即 代入曲线 C1的方程为 1，得到 x 2+y24 （2） 直线 l 经过点 P （1， 0） 且直线的倾斜角为 60， 则直线的参数方程为 （t 为参数），代入 x2+y24， 整理得 t2+t30， 所以 ， 故： 【点评】本题
44、考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一 元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）ln（|x1|x+2|m） （1）当 m2 时，求函数 yf（x）的定义域； （2）已知函数 f（x）的定义域为 R，求实数 m 的取值范围 【分析】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可； （2）函数 f（x）的定义域为 R，转化为 m|x+2|x1|在 x（，+）上恒成立； 只要 m|x+2|x1|min即可 解：（1）当 m2 时，解|x1|x+2|2， 当 x2 时，得 1x（x2）2，即 32 恒成立；x2； 当2x1 时，得 1x（x+2）2，即 x ；2x ； 当 x1 时，得 x1（x+2）2，即32 不成立； 综上可得，x ； 定义域为x|x （2）由已知|x1|x+2|m0， 即 m|x+2|x1|在 x（，+）上恒成立； 又因为|x+2|x1|（|x1|x+2|）|（x1）（x+2）|3； m3 【点评】本题考查了函数定义域求法和恒成立问题，以及解含绝对值的不等式，属于基 础题
