1、2020 年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）年广西南宁市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x30，xN，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A0，1，2 B0，1，2，3 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 2设复数 z 满足 z （1i）2+i，则 （ ） A B C1+3i D13i 3（12x）5的展开式中含 x3的系数为（ ） A80 B80 C10 D10 4 某学校为了解高三年级学生在线学习情况， 统计了 2020 年 2 月 18 日27 日 （共 10 天） 他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组
2、合图 根据组合图判断，下列结论正确的是（ ） A前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差 B 前 5 天在线学习人数的增长比例的极差大于后 5 天的在线学习人数的增长比例的极差 C这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大 D这 10 天学生在线学习人数在逐日增加 5已知各项不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a52a2，则 （ ） A4 B162 C9 D12 6若函数 ya|x|（a0，且 a1）的值域为y|0y1， 则函数 yloga|x|的图象是 （ ） A B C D 7椭圆 C： 的左、右焦点为 F1，F2，过 F1的直线 l 交 C 于
3、A，B 两点， 且ABF2的周长为 8，则 a 为（ ） A B2 C D4 8某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计 了如图所示的程序框图执行此程序框图，则输出的 a 的值为（ ） A13 B18 C23 D28 9如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 AC，A1B 的中点，则下列说法错误 的是（ ） AMN平面 ADD1A1 BMNAB C直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 45 D异面直线 MN 与 DD1所成角为 60 10已知双曲线 E： （a0，b0）的右焦点为 F，以 OF（O 为原点）为直径 的圆与双曲线 E 的两条渐
4、近线分别交于点 M，N（M，N 异于点 O）若MFN120， 则双曲线 E 的离心率为（ ） A4 B2 C D 11 已知函数 f （x） sin （x+）（0） 的图象经过点 ， ， 一条对称轴方程为 则函 数 f（x）的周期可以是（ ） A B C D 12 已知函数 ， ， ， 则当 k0 时， 函数 yff （x） 1 的零点个数为 （ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， ，向量 ， ，则 与 的夹角大小为 14 某部门从已参与报名的甲、 乙、 丙、 丁四人中选派 1 人去参加志愿者服务， 结果出来前， 甲、乙、丙
5、、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上 若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 15已知数列an中，a12，且对于任意正整数 m，n 都有 am+naman，则数列an的通项 公式是 16如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，沿 AE，EF，AF 把这个正方形 折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 G若四面体 AEFG 外接球 的表面积为 ，则正方形 ABCD 的边长为 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 172
6、1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 如图， 在平面四边形 ABCD 中， B120， AB2 BAC 的平分线与 BC 交于点 E， 且 （1）求BEA 及 AC； （2）若ADC60，求四边形 ABCD 周长的最大值 18红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关现收 集到一只红铃虫的产卵数 y（个）和温度 x（）的 8 组观测数据，制成图 1 所示的散点 图 现用两种模型yebx+a，ycx2+d 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残 差分析，进一
7、步得到图 2 所示的残差图 根据收集到的数据，计算得到如表值： 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 表中 zilnyi ； ； ； ； （1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选择的模型，求出 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01），并求 温度为 34时，产卵数 y 的预报值 （参考数据：e5.18178，e5.46235，e5.52250，e5.83340） 附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 19如图，在四棱锥 SABCD
8、中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ADDC，ADC 120，三角形 SAB 是等边三角形，平面 SAB平面 ABCD，E，F 分别为 AB，AD 的 中点 （1）求证：平面 SCD平面 SEF； （2）若 AB2，求直线 SF 与平面 SCD 所成角的正弦值 20已知函数 f（x）exa x，其中 e 是自然对数的底数 （1）若 ae，证明：f（x）0； （2）若 x0，+）时，都有 f（x）f（x），求实数 a 的取值范围 21已知抛物线 C：x22y，过点 A（1，1）且互相垂直的两条动直线 l1，l2与抛物线 C 分 别交于 P，Q 和 M，N （1）求四边形 MPNQ 面积的
9、取值范围； （2）记线段 PQ 和 MN 的中点分别为 E，F，求证：直线 EF 恒过定点 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： （t1为参数），曲线 C2： （t2为参数），且 tan1 tan21，点 P 为曲线 C1 与 C2的公共点 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2cossin+100，求动点 P 到直线 l 的距离的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 2
10、3已知 a，b，c 都为正实数，且 a+b+c3证明： （1） ； （2） 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x30，xN，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A0，1，2 B0，1，2，3 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 【分析】求出集合 A，由此能求出 AB 解：由集合 Ax|x30，xN0，1，2， 所以 AB0，1，2 故选：A 【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考 查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2设复数 z
11、 满足 z （1i）2+i，则 （ ） A B C1+3i D13i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解： ， 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3（12x）5的展开式中含 x3的系数为（ ） A80 B80 C10 D10 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令 x 的指数为 3，求出展开式中 x3的系数 解：（12x）5展开式的通项公式为 Tr+1 （2x）r， 令 r3，得（12x）5展开式中 x3的系数为 （2）380 故选：A 【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题 4 某学校为了解高三年
12、级学生在线学习情况， 统计了 2020 年 2 月 18 日27 日 （共 10 天） 他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图 根据组合图判断，下列结论正确的是（ ） A前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差 B 前 5 天在线学习人数的增长比例的极差大于后 5 天的在线学习人数的增长比例的极差 C这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大 D这 10 天学生在线学习人数在逐日增加 【分析】根据图象逐一进行分析即可 解： 对于 A， 由柱状图可得前 5 天学习人数的变化幅度明显比后 5 天的小， 故方差也小， 故 A 错误 对于 B
13、：前 5 天的增长比例极差约为 15%5%10%，后 5 天增长比例极差约为 40% 20%20%，故 B 错误； 对于 C：由折线图很明显，2324 的增长比例在下降，故 C 错误； 对于 D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故 D 正确， 故选：D 【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应 用意识 5已知各项不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a52a2，则 （ ） A4 B162 C9 D12 【分析】利用等差数列通项公式和前 n 项和公式即可得出 解：由题 故选：C 【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和公式等基础知识
14、，考查运算求解 等数学能力，属于基础题 6若函数 ya|x|（a0，且 a1）的值域为y|0y1， 则函数 yloga|x|的图象是 （ ） A B C D 【分析】 根据指数函数的图象和性质求出 0a1， 利用对数函数的图象和性质进行判断 即可 解：|x|0，若函数 ya|x|（a0，且 a1）的值域为y|0y1， 0a1， 当 x0 时，数 yloga|x|logax，为减函数， 当 x0 时，数 yloga|x|loga（x），为增函数，且函数是偶函数，关于 y 轴对称， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出 a 的取 值范围是解决本题的关键
15、7椭圆 C： 的左、右焦点为 F1，F2，过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点， 且ABF2的周长为 8，则 a 为（ ） A B2 C D4 【分析】由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|2a，|BF1|+|BF2|2a，即可得出答案 解：由椭圆 C： 的焦点在 x 轴上， 则椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2a ABF2的周长|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|84a解得 a2 故选：B 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能 力，属于基础题 8某同学在课外阅读中国古代数学名著
16、孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计 了如图所示的程序框图执行此程序框图，则输出的 a 的值为（ ） A13 B18 C23 D28 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，可得 n1，得 a8， 不满足 ，n2，得 a13， 不满足 ，n3，得 a18， 不满足 ，n4，得 a23， 此时，满足 ，退出循环，输出 a 的值为 23 故选：C 【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能 力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题 9如
17、图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 AC，A1B 的中点，则下列说法错误 的是（ ） AMN平面 ADD1A1 BMNAB C直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 45 D异面直线 MN 与 DD1所成角为 60 【分析】连结 BD，A1D，可得 MNA1D，得到 MN平面 ADD1A1，判定 A 正确； 证明 AB平面 ADD1A1，得 ABA1D，结合 MNA1D，得 MNAB，判断 B 正确； 求出直线 MN 与平面 ABCD 所成角判断 C 正确； 求出异面直线 MN 与 DD1所成角判断 D 错误 解：如图，连结 BD，A1D， 由 M，N 分别为 AC，A1
18、B 的中点，知 MNA1D， 而 MN平面 ADD1A1，A1D平面 ADD1A1， MN平面 ADD1A1，故 A 正确； 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB平面 ADD1A1，则 ABA1D， MNA1D，MNAB，故 B 正确； 直线 MN 与平面 ABCD 所成角等于 A1D 与平面 ABCD 所成角等于 45，故 C 正确； 而A1DD1为异面直线 MN 与 DD1所成角，应为 45，故 D 错误 故选：D 【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面 直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题 10已知双曲线 E： （a0
19、，b0）的右焦点为 F，以 OF（O 为原点）为直径 的圆与双曲线 E 的两条渐近线分别交于点 M，N（M，N 异于点 O）若MFN120， 则双曲线 E 的离心率为（ ） A4 B2 C D 【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出MOF30然后求解双曲线的离心率即 可 解：因为 OF 为直径，点 M 在圆上，所以 OMMF又MFN120， 由圆的对称性，有MFO60，所以MOF30 由渐近线斜率 ， 所以离心率为 故选：D 【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力； 考查数形结合等数学思想 11 已知函数 f （x） sin （x+）（0） 的图象经过点 ，
20、 ， 一条对称轴方程为 则函 数 f（x）的周期可以是（ ） A B C D 【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论 解：由 ， 则 ，kZ， 当 k0 时， 故选：B 【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数 f（x）sin（x+）图象 和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想 12 已知函数 ， ， ， 则当 k0 时， 函数 yff （x） 1 的零点个数为 （ ） A4 B3 C2 D1 【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数 解：在平面直角坐标系中作出函数 yf（x）（k0）的图象如图所示 令 ff（x）10，
21、得 ff（x）1，则 f（x）0 或 f（x）t（t1） 当 f（x）0 时，显然存在 2 个零点 ，x21； 当 f（x）t（t1）时，存在 1 个零点 x3故函数 yff（x）1 的零点个数为 3 故选：B 【点评】 本小题主要考查分段函数的图象， 函数的零点等基础知识； 考查逻辑推理能力， 分类讨论思想，数形结合思想，方程思想， 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 ， ，向量 ， ，则 与 的夹角大小为 150 【分析】根据向量 ， 的坐标即可得出 ， 和 的值，从而可得出 ， ，从而可得出 ， 夹角的大小 解： ， ，且 ， ， 与 的夹角为 15
22、0 故答案为：150 【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求 解能力，属于基础题 14 某部门从已参与报名的甲、 乙、 丙、 丁四人中选派 1 人去参加志愿者服务， 结果出来前， 甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上 若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 丁 【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可 解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙
23、错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁 【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础 题 15已知数列an中，a12，且对于任意正整数 m，n 都有 am+naman，则数列an的通项 公式是 【分析】利用数列的递推关系式，通过 m1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式 即可 解：数列an中，a12，且对于任意正整数 m，n 都有 am+naman， 令 m1，得 an+12an，则an是首项和公比均为 2 的等比数列，则 故答案为： 【点评】本小题主要考查数列以及前 n 项和等基本知
24、识，考查化归与转化等数学思想以 及推理论证、运算求解等数学能力 16如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，沿 AE，EF，AF 把这个正方形 折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 G若四面体 AEFG 外接球 的表面积为 ，则正方形 ABCD 的边长为 2 【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的 表面积 解：依题意，折叠后的四面体如图 1， 设正方形边长为 a，内切球半径为 r， 则 AGa， ； 记四面体内切球球心为 O，如图 2， 则 VAEFGVOEFG+VOAEF+VOAEG+VOAFG， 即 ， 即
25、， 所以 a8r； 又 ，即 ，所以 a2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础 知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力 三、 解答题： 共 70 分 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共 60 分 17 如图， 在平面四边形 ABCD 中， B120， AB2 BAC 的平分线与 BC 交于点 E， 且 （1）求BEA 及 AC； （2）若ADC60，求四边形 ABCD 周长的最大值 【分析】 （1）在ABE 中，由正弦定
26、理可求 sinAEB 的值，又AEBB，可求AEB 45，利用三角形的内角和定理可求BAE 的值，进而可求ACB 的值，可得 BC AB2，在ABC 中，根据余弦定理即可解得 AC 的值 （2）令 ADm，CDn，在ACD 中，根据余弦定理，基本不等式可求 ， 即可求解四边形 ABCD 周长的最大值 解：（1）在ABE 中，由正弦定理得： 又AEBB，则AEB45， 于是BAE1801204515， 所以BAC30，ACB1801203030 所以 BCAB2 在ABC 中，根据余弦定理得 AC222+22222cos12012， 所以 （2）令 ADm，CDn， 在ACD 中，根据余弦定理得
27、 ， 即有 ，即 ， 所以 ，当且仅当 时，“”成立 所以，四边形 ABCD 周长的最大值为 【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想 以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题 18红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关现收 集到一只红铃虫的产卵数 y（个）和温度 x（）的 8 组观测数据，制成图 1 所示的散点 图 现用两种模型yebx+a，ycx2+d 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残 差分析，进一步得到图 2 所示的残差图 根据收集到的数据，计算得到如表值： 25 2.89 64
28、6 168 422688 48.48 70308 表中 zilnyi ； ； ； ； （1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选择的模型，求出 y 关于 x 的回归方程（系数精确到 0.01），并求 温度为 34时，产卵数 y 的预报值 （参考数据：e5.18178，e5.46235，e5.52250，e5.83340） 附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【分析】 （1）由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比 模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更
29、高，回归方程的预报精度相应就会越高； （2）令 zlny，z 与温度 x 可以用线性回归方程来拟合，则 ，由已知数据求得 与 的值，可得产卵数 y 关于温度 x 的回归方程，取 x34 求得 y 值得结论 解：（1）应该选择模型 由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状 宽度窄， 所以模型的拟合精度更高， 回归方程的预报精度相应就会越高， 故选模型比较合适 （2）令 zlny，z 与温度 x 可以用线性回归方程来拟合， 则 ， 0.289， 4.34， 则 z 关于 x 的线性回归方程为 于是有 lny0.29x4.34， 产卵数 y 关于温度 x 的回归方程为
30、 当 x34 时，ye0.29344.34e5.52250（个） 在气温在 34时，一个红铃虫的产卵数的预报值为 250 个 【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概 括、数据处理等能力和应用意识，是中档题 19如图，在四棱锥 SABCD 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ADDC，ADC 120，三角形 SAB 是等边三角形，平面 SAB平面 ABCD，E，F 分别为 AB，AD 的 中点 （1）求证：平面 SCD平面 SEF； （2）若 AB2，求直线 SF 与平面 SCD 所成角的正弦值 【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得 SE
31、平面 ABCD，进一步得到 SE CD连接 BD，得 BDEF再证明 BDCD，结合 BDEF，得 CDEF再由直线 与平面垂直的判定可得 CD平面 SEF进一步得到平面 SCD平面 SEF； （2） 过 E 作 ENCD， 则 ES， EF， EN 两两垂直， 以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 求 出平面 SCD 的法向量与 的坐标， 由两向量所成角的余弦值可得直线 SF 与平面 SCD 所 成角的正弦值 【解答】（1）证明：平面 SAB平面 ABCD，平面 SAB平面 ABCDAB， SE平面 SAB，SEAB，SE平面 ABCD 又CD平面 ABCD，SECD 连接 BD，E，F 分
32、别为 AB，AD 的中点，BDEF ADDCAB，ABDADB 又BADADC120，ADB30， BDC90，得 BDCD 又BDEF，CDEF 又 SEEFE，CD平面 SEF 又CD平面 SCD，平面 SCD平面 SEF； （2）解：过 E 作 ENCD，则 ES，EF，EN 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系 在BDC 中，求得 ，CD2，BC4 则 E（0，0，0）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 SCD 的法向量为 ， ， ， 由 ，可取 ， ， 则 ， 故 SF 与平面 SCD 所成角的正弦值为 【点评】本题主要考查平
33、面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所 成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推 理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题 20已知函数 f（x）exa x，其中 e 是自然对数的底数 （1）若 ae，证明：f（x）0； （2）若 x0，+）时，都有 f（x）f（x），求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）若 ae，则 f（x）exe x，所以 f（x）exe，再利用导函数 f（x） 的正负性与函数 f（x）的单调性之间的联系即可得 f（x）的单调性，从而确定 f（x）min f（1），而 f（1）0，进而得证； （2）构造
34、函数 g（x）f（x）f（x）exex2ax，则原问题转化为 g（x）0 在 0，+）上恒成立，然后求导 g（x），令 h（x）g（x），再求导 h（x），从而可 确定 g（x）在0，+）上单调递增，由于 g（0）22a，于是分 a1 和 a1 两 种情形，讨论函数 g（x）的单调性，以便求证 g（x）min与 0 的关系 解：（1）若 ae，则 f（x）exe x，所以 f（x）exe， 当 x1 时，f（x）0； 当 x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减； 当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； 所以 f（x）在 x1 时取得极小值，也是最小值 所以 f（x）f（1）0
35、（2）令 g（x）f（x）f（x）exex2ax，则原问题转化为 g（x）0 在0，+ ）上恒成立 由 g（x）ex+ex2a，令 h（x）g（x），则 在0，+）上恒 成立，所以 g（x）在0，+）上单调递增， 又 g（0）22a， 当 a1 时，g（x）g（0）0，所以 g（x）在0，+）上单调递增， 所以 g（x）g（0）0，即 f（x）f（x），满足题意 当 a1 时，因为 g（x）在0，+）上单调递增，所以 g（x）ming（0）2 2a0， 所以存在 t（0，+），使得当 x（0，t）时，g（x）0，g（x）在（0，t）上单调 递减， 此时 g（x）g（0）0，这与 g（x）0 在
36、0，+）上恒成立矛盾 综上所述，a1， 故实数 a 的取值范围是（，1 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考 查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题 21已知抛物线 C：x22y，过点 A（1，1）且互相垂直的两条动直线 l1，l2与抛物线 C 分 别交于 P，Q 和 M，N （1）求四边形 MPNQ 面积的取值范围； （2）记线段 PQ 和 MN 的中点分别为 E，F，求证：直线 EF 恒过定点 【分析】 （1） 两直线 l1， l2的斜率一定存在， 且不等于 0 设 l1： yk （x1） +1 （k0） ， P（x1，y1）
37、，Q（x2，y2），则 l2： （k0）联立直线与抛物线方程， 利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形 MPNQ 面积的表达式，利用换元法结合二次函 数的求解最小值即可 （2）由（1）求出 PQ 中点 E 的坐标为（k，k2+1），同理点 F 的坐标为 ， 求 出直线 EF 的斜率，得到直线 EF 的方程，即可求解直线 EF 恒过的定点 解：（1）由题意可知两直线 l1，l2的斜率一定存在，且不等于 0 设 l1： yk （x1） +1 （k0） ， P （x1， y1） ， Q （x2， y2） ， 则 l 2： （k0） 因为联立直线 l1与抛物线的方程，有 ， 其中4k2+80，由韦达定理
38、，有 由上可得 ， 同理 ， 则四边形 MPNQ 面积 令 则 所以，当且仅当 t2，即 k1 时，S 取得最小值 12，且当 t+时，S+ 故四边形 MPNQ 面积的范围是12，+） （2）由（1）有 x1+x22k， ， 所以 PQ 中点 E 的坐标为（k，k2+1），同理点 F 的坐标为 ， 于是，直线 EF 的斜率为 ， 则直线 EF 的方程为： ， 所以直线 EF 恒过定点（0，2） 【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查 运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C
39、1： （t1为参数），曲线 C2： （t2为参数），且 tan1 tan21，点 P 为曲线 C1 与 C2的公共点 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2cossin+100，求动点 P 到直线 l 的距离的取值范围 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换， 进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解：（1）设点 P 的坐标为（x，y） 因为点 P 为曲线 C1与 C2的公共点， 所以点 P 同时
40、满足曲线 C1与 C2的方程 曲线 C1消去参数可得 ， 曲线 C2消去参数可得 由 tan1tan21，所以 所以点 P 的轨迹方程为 x2+y24（x2） （2）由已知，直线 l 的极坐标方程 2cossin+100， 根据 xcos，ysin 可化为直角坐标方程：2xy+100 因为 P 的轨迹为圆 x2+y24（去掉两点（2，0）， 圆心 O 到直线 l 的距离为 ， 所以点 P 到直线 l 的距离的取值范围为 ， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线距离公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修 4-5
41、：不等式选讲 23已知 a，b，c 都为正实数，且 a+b+c3证明： （1） ； （2） 【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证； （2）将 1 代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质， 即可得证 【解答】证明：（1） 2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）6（a+b+c）+927 （当且仅当 abc1 取“”） 所以 ； （2）由 a，b，c 都为正实数，且 a+b+c3，可得 （当且仅当 abc1 取“”） 则 【点评】 本题主要考查基本不等式、 不等式的证明方法、 含绝对值的不等式等基本知识， 考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题
