1、已知集合 Ax|x3n+2，nZ，Bx|2x4，则 AB（ ） A B1，2 C1 D2 2 （5 分）复数 z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） A命题 B命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”的逆命题为真命题 C命题“若（x1）ex+10，则 x0”的逆否命题为： “若 x0，则（x1）ex+10” D “命题 pq 为真”是“命题 pq 为真”的充分不必要条件 4 （5 分）二项式的展开式中第 7 项是常数项，则 n 的值是（ ） A8 B9 C10 D11 5 （5 分）已知曲线 yax 1+
2、1（a0 且 a1）过定点（k，b） ，若 m+nb 且 m0，n0， 则的最小值为（ ） A B9 C5 D 6 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A16 B18 C48 D143 7 （5 分）函数图象的大致形状是（ ） A B C D 8 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A B C D2 9 （5 分）已知函数 f（x）
3、log2（x+2） ，若在1，5上随机取一个实数 x0，则 f（x0）1 的概率为（ ） 第 3 页（共 24 页） A B C D 10 （5 分）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m， 则 m 的范围是（ ） A （1，2） B （2，+） C3，+） D （3，+） 11 （5 分）设椭圆 C：1（ab0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线 与 C 交于 A， B 两点， F1A 与 y 轴相交于点 D， 若 BDF1A， 则椭圆 C 的离心率等于 （ ） A B C D 12 （5 分）已知函数，函数 g（x）x2，若函数 yf（x） g
4、（x）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （5，+） B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线 yx2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 14（5 分） 已知抛物线 y22px （p0） 的准线与圆 （x3） 2+y216 相切， 则 p 的值为 15 （5 分） 已知三棱锥 PABC 满足平面 PAB平面 ABC， ACBC， AB4， APB30， 则该三棱锥的外接球的表面积为 16 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 sinA：sinB：sinC
5、ln2： ln4：lnt，且，有下列结论： 2t8； ； t4，aln2 时，ABC 的面积为； 当时，ABC 为钝角三角线 其中正确的是 （填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 第 4 页（共 24 页） 共共 60 分分 17 （12 分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b22，b34，a
6、1b1，a6b5 （）求an的通项公式； （）设 cnan+bn，求数列cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2ccosA2ba （1）求角 C （2）若 D 是边 BC 的中点，求 AB 的长 19 （12 分）如图，在多而体 ABCDE 中，AE平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，BDCD，AE2 （1）证明：平面 EBD平面 BCD； （2）求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生 30 人，测试立
7、 定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm） ： 男生成绩在 175cm 以上 （包括 175cm） 定义为 “合格” ， 成绩在 175cm 以下 （不包括 175cm） 定义为“不合格” 女生成绩在 165cm 以上 （包括 165cm） 定义为 “合格” ， 成绩在 165cm 以下 （不包括 165cm） 定义为“不合格” （）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数； （）在五年一班的男生中任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩是合格的概率； （）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试，用 X 表示其中男生的人 数，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望 第 5 页（共
8、 24 页） 21 （12 分）已知函数， （1）讨论 f（x）在上的单调性 （2）当 a0 时，若 f（x）在上的最大值为 1，讨论：函数 f（x）在（0， ）内的零点个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为（其中 t 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 3sin （1
9、）求 C1和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P（0，2） ，直线 C1交曲线 C2于 M，N 两点，求|PM|2+|PN|2的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+ax+8，g（x）|x+1|+|x1| （1）当 a0 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年四川省遂宁市射洪中学等高三（上）第四次大联学年四川省遂宁市射洪中学等高三（上）第四次大联 考数学试考数学试卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
10、题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|x3n+2，nZ，Bx|2x4，则 AB（ ） A B1，2 C1 D2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x3n+2，nZ，Bx|2x4， AB1，2 故选：B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2 （5 分）复数 z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】
11、直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案 【解答】解：由 z， 得复数 z在复平面内对应的点的坐标为（1，1） ，位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）下列命题是真命题的是（ ） A命题 B命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”的逆命题为真命题 C命题“若（x1）ex+10，则 x0”的逆否命题为： “若 x0，则（x1）ex+10” D “命题 pq 为真”是“命题 pq 为真”的充分不必要条件 【分析】利用命题的否定判断 A，写出逆命题判断真假判断 B；逆否命题判断 C；充要条 第
12、7 页（共 24 页） 件判断 D 【解答】解：命题，不满足 命题的否定形式，A 不正确； 命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac”的逆命题为若 b2ac，则 a，b，c 成等比数 列，显然不正确； 命题“若（x1）ex+10，则 x0”的逆否命题为： “若 x0，则（x1）ex+10” ， 满足逆否命题的形式，正确； “命题 pq 为真”是“命题 pq 为真”的必要不充分条件，所以 D 不正确； 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及四种命题及真假判断，充要条件的判 断，属基础知识的考查 4 （5 分）二项式的展开式中第 7 项是常数项，则 n 的值是（ ） A8 B
13、9 C10 D11 【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：Tr+1（2x）n r（ ）r（1）r 2n r x，由题意有：当 r+17 即 r6 时，0，即 n9，得解 【解答】解：由二项式的展开式的通项为 Tr+1（2x）n r（ ）r （1）r2n r x， 由题意有： 当 r+17 即 r6 时，0， 即 n9， 故选：B 【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题 5 （5 分）已知曲线 yax 1+1（a0 且 a1）过定点（k，b） ，若 m+nb 且 m0，n0， 则的最小值为（ ） A B9 C5 D 【分析】令 x10，求出曲线 yax 1+1（a0 且 a1）
14、过定点为（1，2） ，所以 m+n 第 8 页（共 24 页） 2，再利用乘 1 法即可得到的最小值 【解答】解析：定点为（1，2）m+n2 当且仅当，即 m，n时取得最小值， 故选：A 【点评】本题考查了基本不等式，考查了指数型函数的性质，属于基础题 6 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值 的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为（ ） A16 B18 C48 D143 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值
15、，当 i1 时， 不满足条件 i0，跳出循环，输出 v 的值为 48 【解答】解：初始值 n3，x3，程序运行过程如下表所示： v1 i2，v13+25 i1，v53+116 i0，v163+048 i1，不满足条件，跳出循环，输出 v 的值为 48 第 9 页（共 24 页） 故选：C 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i， v 的值是解题的关键，属于基础题 7 （5 分）函数图象的大致形状是（ ） A B C D 【分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用 f（1）的值的符号是否对应进 行排除即可 【解答】解：sinx， 则 f（x）sin
16、（x） （sinx）sinxf（x） ， 则 f（x）是偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 B，D， 由 f（x）0，得 1ex0 或 sinx0， 得 xk，kZ，即当 x0 时，第一个零点为 ， 当 x1 时，f（1）sin10，排除 A， 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函 数值的对应性利用排除法是解决本题的关键 8 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） 第 10 页（共 24 页） A B C D2 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面 ABCD 为直角梯形，AD CD，PA底面
17、ABCD，PAADAB1，CD2求解三角形分别求出未知边长得答 案 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为四棱锥，底面 ABCD 为直角梯形，ADCD，PA底面 ABCD， PAADAB1，CD2 由图求得 PD，BC，PB，PC 则该几何体的最大边长为 故选：B 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 9 （5 分）已知函数 f（x）log2（x+2） ，若在1，5上随机取一个实数 x0，则 f（x0）1 的概率为（ ） A B C D 【分析】由 f（x0）1，结合对数不等式可求得 x0的范围，然后结合几何概率的求解公 式即可求解 ， 第
18、 11 页（共 24 页） 【解答】解：f（x）log2（x+2） ， 由 f（x0）1 可得 log2（x0+2）1 可得 x00， x01，5， P， 故选：B 【点评】本题主要考查了与长度有关的几何概率的求解，属于基础试题 10 （5 分）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 m， 则 m 的范围是（ ） A （1，2） B （2，+） C3，+） D （3，+） 【分析】 设三个角分别为A，+A， 由正弦定理可得 m， 利用两角和差的正弦公式化为 ，利用单调性求出它的值域 【解答】解：钝角三角形三内角 A、B、C 的度数成等差数列，则 B，A+C， 可设三个
19、角分别为A，+A 故 m 又 A，tanA令 ttanA，且 t， 则 m 在，上是增函数，m2，即 m2， 故选：B 【点评】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到 m ，是解题的关键和难点 第 12 页（共 24 页） 11 （5 分）设椭圆 C：1（ab0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线 与 C 交于 A， B 两点， F1A 与 y 轴相交于点 D， 若 BDF1A， 则椭圆 C 的离心率等于 （ ） A B C D 【分析】由题意可得 A，B 的坐标，且知点 D 为 F1A 的中点，再由 BDF1A，利用斜率 之积等于1 列式求解 【解
20、答】解：由题意可得，A（c，） ，B（c，） ， 则点 D 为 F1A 的中点，D（0，） ， 由 BDF1A，得， 即，整理得， ，解得 e 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题 12 （5 分）已知函数，函数 g（x）x2，若函数 yf（x） g（x）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A （5，+） B C D 【分析】当 x0 时，y2x与 g（x）x2有两个交点（2，4） ， （4，16） 要使函数 yf （x）g（x）有 4 个零点，只需：x0 时，ya|x+|与 g（x）x2有两个交点即 可，结合图象即可求解 【解答】解：当
21、x0 时，y2x与 g（x）x2有两个交点（2，4） ， （4，16） 要使函数 yf（x）g（x）有 4 个零点， 只需：x0 时，ya|x+|与 g（x）x2有两个交点即可（如图） 过点（，）作 g（x）x2（x0）的切线，设切点为（m，m2） 第 13 页（共 24 页） 切线方程为 ym22m（xm） ，把点（，）代入上式得 m， 切线斜率为 2m5 a （0+）0，解得 a， 实数 a 的取值范围为（5，） 故选：B 【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的零点与函数图象的关系，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
22、分 13 （5 分）曲线 yx2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为 3xy20 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方 程 【解答】解：yx2+lnx 的导数为 y2x+， 则在点（1，1）处的切线斜率为 k3， 即有在点（1，1）处的切线方程为 y13（x1） ， 即为 3xy20 故答案为：3xy20 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是 解题的关键 14（5 分） 已知抛物线 y22px （p0） 的准线与圆 （x3） 2+y216 相切， 则 p 的值为 2 【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为 x
23、，根据抛物线的准线与圆相切可 知 3+4 求得 p 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：抛物线 y22px（p0）的准线方程为 x， 因为抛物线 y22px（p0）的准线与圆（x3）2+y216 相切， 所以 3+4，p2； 故答案为：2 【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系属于基础题 15 （5 分） 已知三棱锥 PABC 满足平面 PAB平面 ABC， ACBC， AB4， APB30， 则该三棱锥的外接球的表面积为 64 【分析】 由题意知底面三角形的外接圆的圆心为斜边 AB 的中点， 过底面外接圆的圆心做 垂直于底面的垂线， 即球心在面 PAB 内， 既是三角
24、形 PAB 的外接圆的圆心， 在三角形 PAB 中，由正弦定理求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积 【解答】解：因为 ACBC，所以ABC 的外心为斜边 AB 的中点， 又因为平面 PAB平面 ABC，所以三棱锥 PABC 的外接球球心在平面 PAB 上， 即球心就是PAB 的外心，根据正弦定理，解得 R4， 所以外接球的表面积为 64 故答案为：64 【点评】考查考查面面垂直的外接球的半径的求法，及球的表面积公式，属于中档题 16 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 sinA：sinB：sinCln2： ln4：lnt，且，有下列结论： 2t8； ； t
25、4，aln2 时，ABC 的面积为； 当时，ABC 为钝角三角线 其中正确的是 （填写所有正确结论的编号） 【分析】根据题意，由正弦定理和余弦定理依次分析 4 个结论是否正确，综合即可得答 案 【解答】解：根据题意，依次分析 4 个结论： 对于，根据题意，若 sinA：sinB：sinCln2：ln4：lnt，则 a：b：cln2：ln4：lnt， 第 15 页（共 24 页） 故可设 akln2，bkln42kln2，cklnt，k0 则有 bacb+a，则 kln2c3kln2，变形可得 2t8，正确； 对于， 又， kln2c3kln2，即， 变形可得：；正确； 对于，当 t4，aln2
26、 时，则 bln4，clntln4，则有 bc2a， 此时ABC 的面积为，不正确； 对于，当时，此时 a：b：cln2：ln4：lnt，则有 a2+b2c20，故ABC 为钝角三角形 综合可得：四个结论中，正确； 故答案为： 【点评】本题考查三角形中的正弦、余弦定理的应用，涉及对数的运算性质，属于基础 题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题题，每个试题考生都必须作答第考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作
27、答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b22，b34，a1b1，a6b5 （）求an的通项公式； （）设 cnan+bn，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可 求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式； （）直接利用数列的分组求和求解 【解答】解： （）设等比数列的公比为 q，则 q， 第 16 页（共 24 页） b11，则 a1b11，a6b516， 等差数列公差 d an3n2； （）cnan+bn3n2+2n 1， 【点评】本题考查等差数列与
28、等比数列的通项公式及前 n 项和的求法，是基础的计算题 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2ccosA2ba （1）求角 C （2）若 D 是边 BC 的中点，求 AB 的长 【分析】 （1）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的 范围和特殊角的三角函数值求出角 C； （2）在ACD 中，由余弦定理可求 CD 的值，可求 BC 的值，进而在ABC 中，由余弦 定理可求 AB 的值 【解答】解： （1）2ccosA2ba， 由正弦意理得 2sinCcosA2sinBsinA， 2sinCcosA2sin（A+C）sinA， 2
29、sinCcosA2sinAcosC+2cosAsinCsinA， 2sinAcosCsinA， sinA0， ， C（0，） C （2）在ACD 中，由余弦定理得|AD|2|AC|2+|CD|22|AC|CD|cosC， 2125+|CD|25|CD|CD|25|CD|+40， |CD|1 或|CD|4， 当|CD|1 时，BC2， 第 17 页（共 24 页） ABC 中，由余弦定理得|AB|2|AC|2+|BC|22|AC|BC|cosC 19， ， 当|CD|4 时，|BC|8|AB|2|AC|2+|BC|22|AC|BC|cosC， |AB|7， ，即 AB 的值为，或 7 【点评】本
30、题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式在解三角形中的应用，考查 了分类讨论思想和转化思想，属于中档题 19 （12 分）如图，在多而体 ABCDE 中，AE平面 ABC，平面 BCD平面 ABC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，BDCD，AE2 （1）证明：平面 EBD平面 BCD； （2）求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）取 BC 中点 O，连结 AO，DO，推导出 DOBC，DO平面 ABC，从而 AE DO，进而四边形 AODE 是平行四边形，EDAO，推导出 AOBC，从而 AO平面 BCD，进而 ED平面 BCD，由此能证明平面 EBD平面
31、 BCD （2）推导出 AODO，DOBC，AOBC，分别以 OB，AO，OD 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余 弦值 【解答】证明： （1）取 BC 中点 O，连结 AO，DO， BDCD，DOBC，DO2， 第 18 页（共 24 页） DO平面 BCD，平面 DBC平面 ABCBC， 平面 BCD平面 ABC， DO平面 ABC， AE平面 ABC，AEDO， 又 DO2AE，四边形 AODE 是平行四边形，EDAO， ABC 是等边三角形，AOBC， AO平面 ABC，平面 BCD平面 ABCBC，平面 BC
32、D平面 ABC， AO平面 BCD，ED平面 BCD， ED平面 EBD，平面 EBD平面 BCD 解： （2）由（1）得 AO平面 BCD，AODO， 又 DOBC，AOBC， 分别以 OB，AO，OD 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0） ，B（1，0，0） ，D（0，0，2） ，E（0，2） ， 平面 ABC 的一个法向量为 （0，0，1） ， 设平面 BED 的一个法向量为 （x，y，z） ， （1，0，2） ，（1，2） ， 则，取 x2，得 （2，0，1） ， 设平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的平面角为 ， 则 cos 平面 BED 与平面
33、 ABC 所成锐二面角的余弦值为 第 19 页（共 24 页） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生 30 人，测试立 定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm） ： 男生成绩在 175cm 以上 （包括 175cm） 定义为 “合格” ， 成绩在 175cm 以下 （不包括 175cm） 定义为“不合格” 女生成绩在 165cm 以上 （包括 165cm） 定义为 “合格” ， 成绩在 165cm 以下 （不包括 165
34、cm） 定义为“不合格” （）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数； （）在五年一班的男生中任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩是合格的概率； （）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试，用 X 表示其中男生的人 数，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望 第 20 页（共 24 页） 【分析】 （I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数 （II）设“仅有两人的成绩合格”为事件 A， “有三人的成绩合格”为事件 B，至少有两 人的成绩是合格的概率：PP（A）+P（B） ，由此能求出至少有 2 人的成绩是合格的概 率 （III）因为女生共有 18 人，其中有 10
35、 人合格，依题意，X 的取值为 0，1，2，分别求出 相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 X 的数学期望 【 解 答 】 解 ： （ I ） 由 茎 叶 图 得 五 年 一 班 的 女 生 立 定 跳 远 成 绩 的 中 位 数 为 cm（2 分） （II）设“仅有两人的成绩合格”为事件 A， “有三人的成绩合格”为事件 B， 至少有两人的成绩是合格的概率：PP（A）+P（B） ， 又男生共 12 人，其中有 8 人合格，从而， （4 分） ，所以 （6 分） （III）因为女生共有 18 人，其中有 10 人合格， 依题意，X 的取值为 0，1，2 则， ， ， （每项 1 分） （10
36、 分） 因此，X 的分布列如下： X 0 1 2 P （人） （未化简不扣分） （12 分） （或是，因为 X 服从超几何分布，所以（人） 第 21 页（共 24 页） 【点评】本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 排列组合知识的合理运用 21 （12 分）已知函数， （1）讨论 f（x）在上的单调性 （2）当 a0 时，若 f（x）在上的最大值为 1，讨论：函数 f（x）在（0， ）内的零点个数 【分析】 （1）对 a 分大于零和小于零两种情况讨论，利用导数即可求出函数 f（x）在 上的单调性； （2）由（1）知 a0 时 f（x）的最大值为，从而求出 a2，
37、又因为 f（x）在上单调递增，且 f（0）10，所以 f（x） 在内有且仅有 1 个零点再讨论当 x时，函数 f（x）存在一个 极值点 x0，利用导数得到 f（x）在上无零点，f（x）在（x0，）内有且 仅有 1 个零点，所以函数 f（x）在（0，）内有 2 个零点 【解答】解： （1）f（x）a（sinx+xcosx） ， 当 a0，时，sinx0，cosx0， f（x）0，f（x）单调递减， 当时，sinx0，cosx0， f（x）0，f（x）单调递增， 综上得：当 a0，f（x）在单调递减；a0 时，f（x）在单调递增； （2）由（1）知 a0 时 f（x）的最大值为 由得 a2， f（
38、x）2xsinx1，又f（x）在上单调递增； 且 f（0）10， f（x）在内有且仅有 1 个零点 第 22 页（共 24 页） 当时， 令 g （x） f （x） 2 （sinx+xcosx） ， g （x） 2 （2cosxxsinx） 0， g （x） 在 内单调递减， 且，g（）20，存在，使得 g（x0）0， 当时，f（x）0，f（x）在单调递增， 时， f（x）在上无零点， 当 x（x0，）时，f（x）0，f（x）在（x0，）内单调递减， 又f（x0）0，f（）10， f（x）在（x0，）内有且仅有 1 个零点， 综上所求：函数 f（x）在（0，）内有 2 个零点 【点评】本题主要
39、考查了利用导数研究函数的单调性和零点，是中档题 （二）选（二）选考题：共考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参数方程为（其中 t 为参数） 以 坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 3sin （1）求 C1和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P（0，2） ，直线 C1交曲线 C2于 M，N 两点，求|PM|2+|PN|2
40、的值 【分析】 （1）直接把直线 C1的参数方程中的参数消去，可得 C1的普通方程；把 cos2 3sin 两边同时乘以 ，代入 xcos，ysin，得曲线 C2的直角坐标方程； （2）将直线 C1的参数方程代入 x23y，化为关于 t 的一元二次方程，利用 根与系数的关系结合参数 t 的几何意义求解|PM|2+|PN|2的值 第 23 页（共 24 页） 【解答】解： （1）直线 C1的参数方程为（其中 t 为参数） ， 消去 t 可得 由 cos23sin，得 2cos23sin， 代入 xcos，ysin，得曲线 C2的直角坐标方程为 x23y； （2）将直线 C1的参数方程代入 x23
41、y，得， 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 则，t1t218， 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数 方程中参数 t 的几何意义的应用，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x2+ax+8，g（x）|x+1|+|x1| （1）当 a0 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）将 g（x）写为分段函数的形式，然后根据 a0 时，f（x）g（x）可得 或或，解不等式组可得解集； （2）由不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，可得x2+ax+82 在1，1上恒 成立，然后求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）g（x）|x+1|+|x1|，当 a0 时，f（x）x2+8 f（x）g（x） ，或或， 1x2 或1x1 或2x1，2x2， 不等式的解集为2，2； 第 24 页（共 24 页） （2）由（1）知，当1x1 时，g（x）2 不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1， x2+ax+82 在1，1上恒成立，即 x2ax60 在1，1上恒成立， ，5a5， a 的取值范围为5，5 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想， 转化思想和数形结合思想，属中档题
