1、设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|y，则 A（RB）（ ） Ax|0x2 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|1x2 2 （5 分）复数 z 满足： （zi） （1i）2，则 z（ ） A12i B1+2i C12i D1+2i 3 （5 分）已知数列an各项都是正数，且满足，a516，a764， 则数列an的前 3 项的和等于（ ） A7 B15 C31 D63 4 （5 分）古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图） ：分别以等腰直角三 角形 ABC 的三边为直径作半圆，则在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的概率 为（ ） A B C D 5 （5 分） （1x+
2、2x2） （1+x）4的展开式中含 x3的项的系数为（ ） A8 B6 C8 D6 6 （5 分）已知函数 f（x）exlnxex+alnx 的图象在点 T（1，f（1） ）处的切线经过坐标原 点，则 a（ ） Ae Be Cee 1 De 1 7 （5 分）函数 f（x）， （0|x|6）的图象大致形状为（ ） A B 第 2 页（共 24 页） C D 8 （5 分）如图，几何体 A1B1C1ABC 是一个三棱台，在 A1，B1，C1，A，B，C6 个顶点 中取 3 个点确定平面 ， 平面 A1B1C1m， 且 mAB， 则所取的这 3 个点可以是 （ ） AA，B1，C BA1，B，C1
3、 CA，B，C1 DA，B1，C1 9 （5 分）某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填 入的条件为（ ） An2020？ Bn2020？ Cn2020？ Dn2020？ 10 （5 分）双曲线 C：x2y24 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点， 若|PO|PF|，则PFO 的外接圆方程是（ ） Ax2+y22x0 Bx2+y2+x0 Cx2+y2x+y0 Dx2+y22x2y0 11 （5 分）已知函数 f（x）3x+3 x+log 3（3|x|1） ，则（ ） Af（）f（）f（） 第 3 页（共 24 页） Bf（）f（） Cf（）f（） Df（
4、）f（） 12 （5 分）已知函数 f（x）cos（x） （0） ，x1，x2，x30，且x0， 都有 f（x1）f（x）f（x2） ，满足 f（x3）0 的实数 x3有且只有 3 个，给出下述四个 结论： 满足题目条件的实数 x1有且只有 1 个；满足题目条件的实数 x2有且只有 1 个； f（x）在（0，）上单调递增； 的取值范围是） 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）如图，在平行四边形 OACB 中，E，F 分别为 AC 和 BC 上的点，且， ，若m+n，其中 m，nR，则 m+
5、n 的值为 14 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，a10，3a55a3，则 15 （5 分）设 F1，F2为椭圆 C：+y21 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若 MF1F2为直角三角形，则 M 的坐标为 16 （5 分）学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为在圆锥底部 挖去一个正方体后的剩余部分 （正方体四个顶点在圆锥母线上， 四个顶点在圆锥底面上） ， 圆锥底面直径为 10cm，高为 10cm打印所用原料密度为 0.9g/cm3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为 g（ 取 3.14） 第 4 页（共 24 页） 三、解答题：解答
6、应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组 织居民给活动打分 （分数为整数， 满分为 100 分） ， 从中随机抽取一个容量为 120 的样本， 发现所有数据均在40，100内现将这些分数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直 方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，回答下列问题： （1）算出第三组60，70）的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数 （每组数据以区间的 中点值为代表） 18 （12 分）A
7、BC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tan（asin+2bcos） acos （1）求 B； （2）若 b6，求ABC 面积的取值范围 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，ABCD 是边长为 1 的正方形， 且 SA1，点 M 是 SD 的中点 （1）求证：SCAM； （2）求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）2x3ax2+b （1）若 f（x）在1，1是单调函数，求 a 的值； （2）若对 x0，1，f（x）1 恒成立，求 f（）的取值范围 21 （12 分
8、）已知曲线的焦点是 F，AB 是曲线 C 上不同两点，且存在实数 使 得，曲线 C 在点 A，B 处的两条切线相交于点 D （1）求点 D 的轨迹方程； （2）点 E 在 y 轴上，以 EF 为直径的圆与 AB 的另一交点恰好是 AB 的中点当 2 时， 求四边形 ADBE 的面积 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则做所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则做所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系下，方程 2sin2 的图形为如图所示的“幸运四叶草”又称为玫 瑰线 （1）当玫瑰线时，求以极点为圆心
9、的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； （2）求曲线上的点 M 与玫瑰线上的点 N 的距离的最小值及取得最小 值时点 M，N 的极坐标（不必写详细解题过程） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23若关于 x 的不等式|x+m|n 的解集为6，2 （1）求实数 m，n 的值 （2）若实数 y，z 满足，求证： 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年四川省天府名校高三（上）第一次质检数学试卷学年四川省天府名校高三（上）第一次质检数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出
10、的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|y，则 A（RB）（ ） Ax|0x2 Bx|0x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集、补集的运算即可 【解答】解：Ax|0x2，Bx|x210x|x1，或 x1， RBx|1x1，A（RB）x|0x1 故选：B 【点评】考查描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，以及交集和补集的运算 2 （5 分）复数 z 满足： （zi） （1i）2，则 z（ ） A12i B1+2i C12i D1+2i 【分析】
11、把已知的等式变形，然后利用复数代数形式乘除运算求解 【解答】解：由（zi） （1i）2，得 zi， z1+2i 故选：D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分）已知数列an各项都是正数，且满足，a516，a764， 则数列an的前 3 项的和等于（ ） A7 B15 C31 D63 【分析】直接利用等比中项的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的各项，最后 求出结果 【解答】解：数列an各项都是正数，且满足， 则an为等比数列， 第 7 页（共 24 页） 由 a516，a764 得 q2，a11 则求出前三项依次是 1，2，4， 故前三项的和等于 1+2+47
12、故选：A 【点评】本题考查的知识要点：等比中项的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 4 （5 分）古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图） ：分别以等腰直角三 角形 ABC 的三边为直径作半圆，则在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的概率 为（ ） A B C D 【分析】设 ABBCa，则 BC，利用几何概型能求出在整个图形内任意取一点， 该点落在阴影部分的概率 【解答】解：设 ABBCa，则 BC， 分别以等腰直角三角形 ABC 的三边为直径作半圆， 则在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的概率： P 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，
13、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 5 （5 分） （1x+2x2） （1+x）4的展开式中含 x3的项的系数为（ ） A8 B6 C8 D6 【分析】由（1+x）4的展开式的通项为 Tr+1，分别计算 r3，r2，r1 时， 展开式的系数即可得解 【解答】解：由（1+x）4的展开式的通项为 Tr+1可得： （1x+2x2） （1+x）4的展 第 8 页（共 24 页） 开式中含 x3的项的系数为6， 故选：D 【点评】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项公式，重点考查了分类讨论的数 学思想方法，属中档题 6 （5 分）已知函数 f（x）exlnxex+alnx 的图象在
14、点 T（1，f（1） ）处的切线经过坐标原 点，则 a（ ） Ae Be Cee 1 De 1 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得关于 a 的方程，解方程即可得 到 a 的值 【解答】解：f（x）的导数为 f（x）exlnxex+ex+， f（1）a，f（1）e， 曲线 yf（x）在点 P（1，f（1） ）处的切线斜率为 ka， 故切线方程是：y+ea（x1） ， 将（0，0）代入上式得：ae； 故选：A 【点评】本题考查导数知识的运用，考查切线的方程，主要考查学生分析解决问题的能 力，属于中档题 7 （5 分）函数 f（x）， （0|x|6）的图象大致形状为（ ） A B C
15、 D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，且在 x0 时，f（x）0，据此分析选项 即可得答案 【解答】解：根据题意，f（x），有 f（x）（） f（x） ，即函数 f（x）是奇函数，据此排除 C、D， 第 9 页（共 24 页） 当 x0 时，2x2 x0，此时 f（x）0，据此排除 A； 故选：B 【点评】本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题 8 （5 分）如图，几何体 A1B1C1ABC 是一个三棱台，在 A1，B1，C1，A，B，C6 个顶点 中取 3 个点确定平面 ， 平面 A1B1C1m， 且 mAB， 则所取的这 3 个点可以是 （ ） AA，B1，C
16、BA1，B，C1 CA，B，C1 DA，B1，C1 【分析】根据空间中的线面平行关系，画出图形即可得出结论 【解答】解：过 C1作 C1DAB，C1DA1B1， 连结 AC1，过 B 作 BDAC1，交 C1D 于点 D， 则平面 ABDC1即为所作的平面 ， 则 平面 A1B1C1mC1D，且 mAB， 所取的这 3 个点可以是 A、B、C1 故选：C 【点评】本题考查了空间中线面平行的应用问题，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）某程序框图如图所示，其中，若输出的，则判断框内应填 入的条件为（ ） 第 10 页（共 24 页） An
17、2020？ Bn2020？ Cn2020？ Dn2020？ 【分析】根据已知可得，则 Sg（1）+g（2）+g（3） +g（n），所以 n2019，再由判断框可得 n 条件 【解答】解：由题得，则 Sg（1）+g（2）+g（3）+ g（n）， 因为 S，故 n2019，由于判断框为否时输出，故 n2020， 故选：A 【点评】本题考查程序框图，属于基础题 10 （5 分）双曲线 C：x2y24 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点， 若|PO|PF|，则PFO 的外接圆方程是（ ） Ax2+y22x0 Bx2+y2+x0 Cx2+y2x+y0 Dx2+y22x2y0
18、【分析】求出 P 点坐标可得POF 是等腰直角三角形，于是外接圆的圆心为 OF 的中点， 从而得出外接圆方程 【解答】解：双曲线的右焦点坐标为 F（2，0） ，渐近线方程为 yx， |PO|PF|，故 P 为线段 OF 的中垂线与双曲线渐近线的交点， 不妨设 P 在第一象限，则 P（，） ，|PO|PF|2， |PO|2+|PF|2|OF|2，故 POPF， 第 11 页（共 24 页） PFO 的外接圆是以 OF 为直径的圆，此圆的方程为（x）2+y22 即 x2+y22x0 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，圆的一般方程，属于基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）3x+3
19、x+log 3（3|x|1） ，则（ ） Af（）f（）f（） Bf（）f（） Cf（）f（） Df（）f（） 【分析】由已知可得函数 f（x）为偶函数，且当 x0 时单调递增，根据偶函数的定义及 单调性即可比较大小 【解答】解：f（x）3x+3 x+log 3（3|x|1） ， f（x）3x+3 x+log 3（3| x|1）f（x） ，即函数 f（x）为偶函数， 当 x0 时，t3x1，而 f（x）3x+3 x+log 3（3x1）t+ +og3（t1） ， 根据对勾函数的单调性可证 yt+在（1，+）单调递增，ylog3（t1）在（1，+） 单调递增， 当 x0 时 f（x）单调递增，
20、故 x0 时，f（x）单调递减， 0， 而 f（）f（）f（）f（log54）f（） 故选：C 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断及利用偶函数对称区间上单调性比较函数值 的大小 12 （5 分）已知函数 f（x）cos（x） （0） ，x1，x2，x30，且x0， 都有 f（x1）f（x）f（x2） ，满足 f（x3）0 的实数 x3有且只有 3 个，给出下述四个 结论： 满足题目条件的实数 x1有且只有 1 个；满足题目条件的实数 x2有且只有 1 个； f（x）在（0，）上单调递增； 的取值范围是） 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】
21、由 f（x）0，解方程，讨论 k1，0，1，2，由题意可得 的取值范围，可 判断；由 x（0，） ，可得 x的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断； 再由题意可得 f（x）的极大值为 f（x2） ，极小值为 f（x1） ，结合余弦函数的图象可判断 、 【解答】解：函数 f（x）cos（x） （0） ，x1，x2，x30， 满足 f（x3）0 的实数 x3有且只有 3 个， 由 cos（x）0，可得 xk+，kZ， 由 k0 可得 x；k1 可得 x；k1 可得 x；k2 可得 x， 由 x30，可得，且， 解得；故正确； 由 x（0，） ，可得 x（，） ， 由，可得（，） ， 由 ycosx
22、 在（，0）递增，可得 f（x）在（0，）上单调递增，故正确； 由x0，都有 f（x1）f（x）f（x2） ， 可得 f（x）的极大值为 f（x2） ，极小值为 f（x1） ， 由 ycosx 的图象可得 f（x）在0，的极大值有两个，极小值一个， 故正确，错误 第 13 页（共 24 页） 其中正确的为 故选：D 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力， 属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）如图，在平行四边形 OACB 中，E，F 分别为 AC 和 BC 上的点，且， ，若m+n，其中
23、m，nR，则 m+n 的值为 【 分 析 】 根 据 题 意 分 别 用、表 示 出， 再 根 据可 得 【解答】解：由题可知：； ； 所以， 又因为，代入得， 所以 m+n 故答案为： 【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题 14 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，a10，3a55a3，则 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可得，a1d，然后再代入等差数列 的求和公式即可求解 【解答】解：等差数列an中，a10，3a55a3， 3（a1+4d）5（a1+2d） ， 整理可得，a1d， 第 14 页（共 24 页） snnd+， 则 故答案为： 【点评】本题主
24、要考查了等差差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 15 （5 分）设 F1，F2为椭圆 C：+y21 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若 MF1F2为直角三角形，则 M 的坐标为 （，）或（，） 【分析】通过MF1F2为直角三角形，判断直角顶点的位置，通过求解圆的方程与椭圆 方程的方程组，推出然后求解 M 的坐标以及利用焦点的横坐标代入椭圆方程求解即可 【解答】解：设 F1，F2为椭圆 C：+y21 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 若MF1F2为直角三角形，M 为三角形的直角顶点时，M 在以原点为圆心、为半径的 圆上， 可得，因为 M 在第一象限，所以 M
25、的横坐标与纵坐标都大于 0， 解得 x，y 所以 M（，） 点 F2为直角三角形的直角顶点时，椭圆的右焦点 F2（，0） ，此时 M（，） 故答案为： （，）或（，） 【点评】本题考查圆的方程与椭圆方程的交点的求法，考查转化思想以及计算能力 16 （5 分）学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为在圆锥底部 挖去一个正方体后的剩余部分 （正方体四个顶点在圆锥母线上， 四个顶点在圆锥底面上） ， 圆锥底面直径为 10cm，高为 10cm打印所用原料密度为 0.9g/cm3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为 358.5 g（ 取 3.14） 第 15 页（共 24
26、 页） 【分析】 设被挖去的正方体的棱长为 xcm 圆锥底面半径为 r， 圆锥底面直径 r10 5cm，高 h10cm，则，求出 x5，由此不考虑打印损耗，能求出制 作该模型所需原料的质量 【解答】解：设被挖去的正方体的棱长为 xcm圆锥底面半径为 r， 则圆锥底面直径 r105cm，高 h10cm 则，即， 解得 x5， 打印所用原料密度为 0.9g/cm3， 取 3.14， 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为： mV0.9（）0.953358.5（g） 故答案为：358.5 【点评】本题考查圆锥、正方体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算
27、求解能力，是中档题 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组 织居民给活动打分 （分数为整数， 满分为 100 分） ， 从中随机抽取一个容量为 120 的样本， 发现所有数据均在40，100内现将这些分数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直 方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，回答下列问题： （1）算出第三组60，70）的频数，并补全频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数 （每组数据以区间的
28、中点值为代表） 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于 1， 可求出分数在60，70）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可； （2）根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，x中位数将所有的 小长方形的面积均分；同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组 的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分 【解答】解： （1）因为各组的频率之和等于 1，所以分数在60，70）内的频率为： f110（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）0.15， 所以第三组60，70）的频数
29、为 1200.1518（人） ，完整的频率分布直方图如图， （2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点， 从图中可看出众数的估计值为 75 分； 因为（0.05+0.15+0.15）100.350.5， （0.05+0.15+0.15+0.3）100.5， 所以中位数位于70，80）上， 所以中位数的估计值为：70+75； 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为： 45（100.005）+55（100.015）+65（100.015） +75（100.03）+85（100.025）+95（100.01）73.5（分） 所以，样本的众数为 75 分，平均数为 73.5 分 【点
30、评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查 运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识本题属于中档题 第 17 页（共 24 页） 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tan（asin+2bcos） acos （1）求 B； （2）若 b6，求ABC 面积的取值范围 【分析】 （1）根据 tan（asin+2bcos）acos，化简可得 bsinAacos（A+C） ，进 一步得到 tanB1，然后求出 B 的值； （2）根据余弦定理可得 b2a2+c22accosB，再结合基本不等式求出 ac 的范围，进
31、一步 求出ABC 面积的取值范围 【解答】解： （1）tan（asin+2bcos）acos， ， bsinAacos（）asin，sinBsinAsinAsin sinA0，2sincossin，又 0B，cos， B； （2）由余弦定理，有 b2a2+c22accosB2ac2accosB， ac12，当且仅当 ac 时取等号， ，又 SABC0， ABC 面积的取值范围为 【点评】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式和基本不等式，考查了转化思 想和方程思想，属中档题 19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，ABCD 是边长为 1 的正方形， 且 SA1
32、，点 M 是 SD 的中点 （1）求证：SCAM； （2）求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小 第 18 页（共 24 页） 【分析】 （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AS 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 SCAM （2）求出平面 SAB 的法向量和平面 SCD 的法向量，利用向量法能求出平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小 【解答】解： （1）证明：在四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD， ABCD 是边长为 1 的正方形，且 SA1，点 M 是 SD 的中点 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，A
33、S 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 S（0，0，1） ，C（1，1，0） ，A（0，0，0） ，M（0，） ， （1，1，1） ，（0，） ， 0， SCAM 解： （2）平面 SAB 的法向量 （0，1，0） ， D（0，1，0） ，（1，1，1） ，（0，1，1） ， 设平面 SCD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （0，1，1） ， 设平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角为 ， 则 cos，45 平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的大小为 45 第 19 页（共 24 页） 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面
34、间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）2x3ax2+b （1）若 f（x）在1，1是单调函数，求 a 的值； （2）若对 x0，1，f（x）1 恒成立，求 f（）的取值范围 【分析】 （1）f（x）2x3ax2+b，所以 f（x）6x22ax，又 f（0）0，f（x）开口 向上的函数，f（x）0 恒成立，所以 a0； （2）分三种情况当 a0 时，当 0a3 时，当 a3 时，当 a0 时，均得 在 x0，1上 f（x）1 恒成立，作出可行域，设 f（）a+bz， 找到 z 的最大值，最小值，即可 【解答】解： （1）f（x）2x3ax2+b，
35、 f（x）6x22ax； f（0）0，f（x）开口向上的函数， f（x）0 恒成立， a0； （2）f（x）6x22ax； 当 a0 时， f （x） 2x3+b 在0， 1单调递增； 在 x0， 1上 f （x） 1 恒成立， 当 0a3 时，0，f（x）在0， 上单调递减，在，1上单调递增，在 x0， 1上 f（x）1 恒成立， 第 20 页（共 24 页） 当 a3 时，1，f（x）在0，上单调递减，则在0，1上单调递减，在 x0， 1上 f（x）1 恒成立， 当 a0 时，f（x）在0，+）上单调递增，则在0，1上单调递增，在 x0，1上 f （x）1 恒成立， 整 合 ， 在x0 ，
36、 1 上f （ x ） 1恒 成 立 ， 在平面直角坐标系 aOb 中作出不等式组，表示的平面区域（可行域）如下图： 设 f（）a+bz， 则 b+z，当直线 b+（+z） ，经过点 A 时，截距 z最大，此时 z 最 大， 由，解得最优解 A（2，1） ， 则 f（）max+1， 当直线 b+（+z）向 y 轴负方向无限平移时，截距 z，此时 z， f（）的取值范围是（， 【点评】本题考查导数的综合应用，线性规划，属于中档题 21 （12 分）已知曲线的焦点是 F，AB 是曲线 C 上不同两点，且存在实数 使 第 21 页（共 24 页） 得，曲线 C 在点 A，B 处的两条切线相交于点 D
37、 （1）求点 D 的轨迹方程； （2）点 E 在 y 轴上，以 EF 为直径的圆与 AB 的另一交点恰好是 AB 的中点当 2 时， 求四边形 ADBE 的面积 【分析】 （1）求得抛物线的焦点 F，由题意可设直线 AB 的方程为，与 x22y 联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得切线的斜率，可得切线方程，求得交 点，可得所求轨迹方程； （2）运用向量共线坐标表示，结合韦达定理，可得 k，|AB|，AB 的中点坐标，点 G 在以 点 EF 为直径的圆周上，则 EGGF，求得 E 的坐标，E 到 AB 的距离，以及ABE 的面 积，同样求得ABD 的面积，即可得到所求面积 【解答】解：
38、（1）曲线就是抛物线 x22y，它的焦点坐标为 存在实数 使得， 则 A，B，F 三点共线 当直线斜率不存在时不符合题意； 当直线 l 斜率存在时；设直线 AB 的方程为，与 x22y 联立消去 y， 整理得 x22kx10，判别式4（k2+1）0 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1，x2就是方程 x22kx10 的两实根，x1+x22k，x1x21 的导数为 yx，切线斜率， 则曲线 C 在点处的切线方程是，即 同理得曲线 C 在点 B 处的切线方程是 联立即可求解两切线交点D的坐 标， 已知 x1x2，x1x21， 第 22 页（共 24 页） 所以，上式化简为（表示水
39、平直线，不必求 x） ， 所以两切线交点 D 的装迹方程是； （ 2 ） 已 知 2 ， 在（ 1 ） 的 解 答 的 基 础 上， x14k，x22k，代入 x1x21 中，解得， 注意到对称性，求四边形 ADBE 面积，只需取即可 设 AB 中点为 G（x0，y0） ， 则， 已知点 G 在以点 EF 为直径的圆周上，则 EGGF， 设 E（0，t） ，由 EGGF，得，解得，则 将直线 AB 的方程化为， 则点 E 到 AB 的距离 所以 在（1）的解答中，联立消去 y 解得， 则两切线交点坐标为2 时， 此时，点 D 的坐标为 D 到 AB 的距离 所以 又已知 D，E 在 AB 两侧
40、， 第 23 页（共 24 页） 所以 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定 理和弦长公式，考查导数的运用：求切线方程，考查向量共线的坐标表示，以及化简运 算能力，属于难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则做所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则做所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系下，方程 2sin2 的图形为如图所示的“幸运四叶草”又称为玫 瑰线 （1）当玫瑰线时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标； （2）求曲线上的点 M 与玫瑰线上的
41、点 N 的距离的最小值及取得最小 值时点 M，N 的极坐标（不必写详细解题过程） 【分析】 （1）先求出以极点为圆心的单位圆的极坐标方程，与玫瑰线方程联立即可求出 交点的极坐标； （2） ）|MN|，此时点 M（2，） ，点 N（2，） 【解答】解： （1）玫瑰线方程为：2sin2，以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为： 1， 2sin21，sin2， 第 24 页（共 24 页） 又，02， 2或，或， 交点的极坐标为（1，）或（1，） ； （2）|MN|，此时点 M（2，） ，点 N（2，） 【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23
42、若关于 x 的不等式|x+m|n 的解集为6，2 （1）求实数 m，n 的值 （2）若实数 y，z 满足，求证： 【分析】 （1）根据不等式|x+m|n 的解集为6，2，可得，解方程组得 m， n 的值； （2）由条件可得|2y+z|+|2y8z|1，再由绝对值三角不等式得|2y+z|+|2y8z|9z|，从而 证明|z| 【解答】解： （1）由|x+m|n，得nmxnm 因为不等式|x+m|n 的解集为6，2， 所以，所以， 所以实数 m，n 的值分别为 2，4； （2）证明：由（1）知 m2，n4， 因为|my+z|，|ynz|， 所以|2y+z|，|y4z|，所以|2y+z|+|2y8z|1 因为|2y+z|+|2y8z|（2y+z）（2y8z）|9z|， 所以|9z|1，所以|z| 【点评】本题考查了由不等式的解集求参数的值和绝对值三角不等式，考查了方程思想 和转化思想，属中档题
