2019-2020学年四川省成都市新都区高三(上)10月诊断数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、已知全集 UR,集合 Ax|0x2,Bx|x2x0,则图中的阴影部分表 示的集合为( ) A (,1(2,+) B (,0)(1,2) C1,2) D (1,2 2 (5 分)设,则( ) A1i B1+i C1i D1+i 3 (5 分)已知数列an为等差数列,Sn为其前 n 项和,2+a5a6+a3,则 2S7( ) A2 B7 C14 D28 4 (5 分)已知,则 sin2( ) A B C D 5(5 分) 已知函数 f (x) 满足: 对任意 x1、 x2 (0, +) 且 x1x2, 都有; 对定义域内的任意 x,都有 f(x)f(x)0,则符合上述条件的函数是( ) Af(x)

2、x2+|x|+1 B Cf(x)ln|x+1| Df(x)cosx 6 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3x)f(3+x) ,且函数 f(x)在(0,3) 上为单调递减函数,若,则下面结论正确的是( ) Af(a)f(b)f(c) Bf(c)f(a)f(b) Cf(c)f(b)f(a) Df(a)f(c)f(b) 7 (5 分)已知 a0,b0,若不等式恒成立,则 n 的最大值为( ) A9 B12 C16 D20 8 (5 分)函数 y3cosxe|x|的图象可能是( ) 第 2 页(共 22 页) A B C D 9 ( 5分 ) 在 由 正 数 组 成 的 等 比

3、数 列 an 中 , 若, 则 的值为( ) A B C D 10 (5 分)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图 1 是八卦模型图,其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH,其中|OA|1,则给出下列结论: ;|在向量上的投影 为 其中正确结论的个数为( ) A4 B3 C2 D1 11 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)且 f(x+2)f(x) 若 方程 f(x)kx20 有三个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是( ) A B C D 第 3 页(共 22 页) 12 (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,+)上递减,若不等式 2f(ax+lnx+1

4、) +f(axlnx1)3f(1)对 x1,3恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A2,e B,+) C,e D, 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分 )分 ) 13 (5 分)已知函数 f(x)lnx 与直线 yax 相切,则 a 的取值是 14 (5 分) 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题: “今有垣厚若干尺, 两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿 几何?”题意是: “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加 倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半

5、”如果一墙厚 10 尺,请问两只老鼠最少在 第 天相遇 15 (5 分)已知函数 f(x)2sin(x+) (0)满足,f()0,且 f(x) 在区间上单调,则 的值有 个 16 (5 分)已知函数 f(x)x22x+3a,g(x)若对x10,3,总x22,3, 使得 f(x1)g(x2)成立,则实数 a 的取值集合为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 个小题个小题,共,共 70 分 )分 ) 17 (10 分)已知数列an中,an+1an2 且 a1+a2+a39, (1)求an的通项公式; (2)求的前 n 项和 Sn 18 (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD

6、C90,CDAB,AB2,ADCD 1,将ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示 (1)求证:BC平面 ACD; (2)求二面角 DABC 的正弦值 19 (12 分)已知函数 第 4 页(共 22 页) (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若,b1,c,且 ab,试求角 B 和角 C 20 (12 分) 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定:机动车行经人行横道 时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线” , 中 华人民共和国道路交通安全

7、法第 90 条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分,罚款 50 元的处罚 ()交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人,调查驾驶员不“礼让 斑马线”行为与驾龄的关系,得到如表列联表:能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼 让斑马线”行为与驾龄有关? 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 ()如图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为 的折线图: 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程,并 预测该路口 7 月份的不“礼

8、让斑马线”违章驾驶员人数 附注:参考数据:, 第 5 页(共 22 页) 参考公式: , ,(其 中 na+b+c+d) P(K2k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 (12 分) 已知椭圆的左、 右焦点为 F1、 F2, 若圆 Q 方程,且圆心 Q 满足|QF1|+|QF2|2a ()求椭圆 C1的方程; ()过点 P(0,1)的直线 l1:ykx+1 交椭圆 C1于 A、B 两点,过 P 与 l1垂直的直 线 l2交圆 Q 于 C、D 两点,M

9、 为线段 CD 中点,若MAB 的面积为,求 k 的值 22 (12 分)已知函数 f(x)axlnx1(aR) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a0,令 g(x)f(tx+1)+,若 x1,x2是 g(x)的两个极值点,且 g(x1) +g(x2)0,求正实数 t 的取值范围 第 6 页(共 22 页) 2019-2020 学年四川省成都市新都区高三(上)学年四川省成都市新都区高三(上)10 月诊断数学试月诊断数学试 卷(理科)卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分。每小

10、题有且只有一个正确选项。 )分。每小题有且只有一个正确选项。 ) 1 (5 分)已知全集 UR,集合 Ax|0x2,Bx|x2x0,则图中的阴影部分表 示的集合为( ) A (,1(2,+) B (,0)(1,2) C1,2) D (1,2 【分析】先求出集合 B,再求集合 A 与集合 B 的交集即可 【解答】解:阴影部分表示的是 AB,集合 Bx|x0 或 x1, AB(1,2 故选:D 【点评】本题主要考查集合的交集运算,考查 Venn 图表示集合,考查识图能力,属于基 础题 2 (5 分)设,则( ) A1i B1+i C1i D1+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案

11、【解答】解:, 则i+11i 故选:C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题 3 (5 分)已知数列an为等差数列,Sn为其前 n 项和,2+a5a6+a3,则 2S7( ) A2 B7 C14 D28 【分析】由 2+a5a6+a3,求出 a4,进而可得 2S7的值 【解答】解:依题意,a6+a3a5+a42+a5, a42, 第 7 页(共 22 页) 2S7214a428, 故选:D 【点评】本题考查了等差中项的性质,考查了等差数列的前 n 项和,主要考查计算能力, 属于基础题 4 (5 分)已知,则 sin2( ) A B C D 【分析】由题意利用二

12、倍角的正弦公式,求得 sin2 的值 【解答】解:已知,平方可得 1+2sincos1+sin2, 则 sin2, 故选:A 【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用,属于基础题 5(5 分) 已知函数 f (x) 满足: 对任意 x1、 x2 (0, +) 且 x1x2, 都有; 对定义域内的任意 x,都有 f(x)f(x)0,则符合上述条件的函数是( ) Af(x)x2+|x|+1 B Cf(x)ln|x+1| Df(x)cosx 【分析】根据题意,分析可得 f(x)在(0,+)上为减函数,且是偶函数,据此分析 选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(

13、x)满足:对任意 x1、x2(0,+)且 x1x2,都有 ;对定义域内的任意 x,都有 f(x)f(x)0, 则 f(x)在(0,+)上为减函数,且是偶函数; 据此分析选项: 对于 A,f(x)x2+|x|+1,是偶函数,但在区间(0,+)为增函 数,不符合题意; 第 8 页(共 22 页) 对于 B,f(x)()|x|,为偶函数,且在区间(0,+)上为减函 数,符合题意; 对于 C,f(x)ln|x+1|,为非奇非偶函数,不符合题意; 对于 D,f(x)cosx,为余弦函数,是偶函数,但在区间(0,+)不是奇函数,不符 合题意; 故选:B 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定,注意分析

14、函数的奇偶性,属于基础题 6 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3x)f(3+x) ,且函数 f(x)在(0,3) 上为单调递减函数,若,则下面结论正确的是( ) Af(a)f(b)f(c) Bf(c)f(a)f(b) Cf(c)f(b)f(a) Df(a)f(c)f(b) 【分析】根据题意,分析可得函数 f(x)的图象关于直线 x3 对称,据此可得 f(c) f(2) ,又由 01log232,结合函数的单调性分析可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x)满足 f(3x)f(3+x) ,即函数 f(x)的图象关于 直线 x3 对称, 又由 celn44,则 f(c)f

15、(4)f(2) , 又由 01log232,且函数 f(x)在(0,3)上为单调递减函数, 则有 f(c)f(b)f(a) ; 故选:C 【点评】本题考查函数的单调性以及对称性的应用,注意分析函数的对称轴,属于基础 题 7 (5 分)已知 a0,b0,若不等式恒成立,则 n 的最大值为( ) A9 B12 C16 D20 【分析】不等式恒成立,n(a+3b) (+)的最小值,利用不等式 的基本性质求出即可 【解答】解:a0,b0,若不等式恒成立n(a+3b) (+)的最 第 9 页(共 22 页) 小值, a0,b0, (a+3b) (+)6+ 6+212,当且仅当 a3b 时取等号 n12,

16、即 n 的最大值为 12 故选:B 【点评】本题考查不等式恒成立,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键 8 (5 分)函数 y3cosxe|x|的图象可能是( ) A B C D 【分析】由题意,可根据 x0 时,函数值为 2,以及通过求导研究出函数在(0,+) 上是减函数,选出正确选项 【解答】解:函数 y3cosxe|x|是一个偶函数,且当 x0 时,函数值为 2,故可排除 C, 又当 x0 时,y3sinxex0,即函数在(0,+)上是减函数,由此排除 AD, 故选:B 【点评】本题考查函数图象的识别,识别方法主要是函数的性质以及特殊值这些特征, 此类题是高考的热点题,要注意总结解答规律

17、方法 9 ( 5分 ) 在 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 an 中 , 若, 则 的值为( ) A B C D 【分析】根据等比中项的性质,求出 a4,进而将+转化为 a4 第 10 页(共 22 页) 求解即可 【解答】解:依题意,所以 a4, sin sinsin2sin() 故选:D 【点评】本题考查了等比中项的性质,考查了对数运算和三角函数的求值,主要考查计 算能力,属于基础题 10 (5 分)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图 1 是八卦模型图,其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH,其中|OA|1,则给出下列结论: ;|在向量上的投影 为 其中正确结论的个数

18、为( ) A4 B3 C2 D1 【分析】直接利用向量的数量积的应用,向量的夹角的应用求出结果 【解答】解:图 2 中的正八边形 ABCDEFGH,其中|OA|1, 对于;故正确 对于,故错误 对于,所以| 不成立故错误 对于在向量上的投影为,故正确 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用,向量的夹角的应用,主要考查学 第 11 页(共 22 页) 生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 11 (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)且 f(x+2)f(x) 若 方程 f(x)kx20 有三个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是( ) A B C D 【分析】

19、作函数 f(x)与 g(x)kx+2 的图象,求直线 l,m, n,q 的斜率,从而求实数 k 的取值范围 【解答】解:作函数 f(x)与 g(x)kx+2 的图象如下, , 直线 g(x)kx+2 恒过点(0,2) , kl, km1, kn1, kq, 结合图象可知, 实数 k 的取值范围是, 故选:C 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及直线的斜率与应用,熟练作图是关键,属于 第 12 页(共 22 页) 中档题 12 (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,+)上递减,若不等式 2f(ax+lnx+1) +f(axlnx1)3f(1)对 x1,3恒成立,则实数 a 的取值

20、范围是( ) A2,e B,+) C,e D, 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性,可得 0axlnx2 对 x1,3恒成立即 a且 a对 x1,3恒成立求得相应的最大值和最小值,从而求得 a 的范 围 【解答】解:定义在 R 上的偶函数 f(x)在0,+)上递减,f(x)在(,0) 上单调递增, 若不等式 2f(ax+lnx+1)+f(axlnx1)3f(1)对 x1,3恒成立, 即 f(axlnx1)f(1)对 x1,3恒成立 1axlnx11 对 x1,3恒成立, 即 0axlnx2 对 x1,3恒成立, 即 a且 a对 x1,3恒成立 令 g(x),则 g(x),在1,e)上递增,

21、 (e,3上递减,g(x) max 令 h(x),h(x)0,在1,3上递减,h(x)min 综上所述,a, 故选:D 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用,函数的恒成立问题,体现了 转化的数学思想,属于中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分 )分 ) 13 (5 分)已知函数 f(x)lnx 与直线 yax 相切,则 a 的取值是 【分析】求出原函数的导函数,设出切点坐标,由切点处的导数等于 a 及切点处的函数 值相等列式求解 【解答】解:由 f(x)lnx,得 f(x), 第 13 页(共 22 页) 设切点

22、为 P(x0,lnx0) ,则, ,解得 x0e,a 故答案为: 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查计算能力,是中档题 14 (5 分) 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题: “今有垣厚若干尺, 两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿 几何?”题意是: “有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加 倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半 ”如果一墙厚 10 尺,请问两只老鼠最少在 第 4 天相遇 【分析】由题意,根据等比数列的前 n 项和,可将 n 天后两只老鼠打洞之和表示为 n 的 形式,由墙厚 10

23、 尺求出结果 【解答】解:依题意,n 天后两只老鼠打洞之和: Sn+2n+1, 墙厚 10 尺, 2n+110, 解得 n4 故答案为:4 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和,考查了指数不等式,主要考查计算能力,属 于基础题 15 (5 分)已知函数 f(x)2sin(x+) (0)满足,f()0,且 f(x) 在区间上单调,则 的值有 9 个 【分析】由 f(x)在区间上单调,可得,故,进一步 求出 范围即可 【解答】解:由,f()0 知,kN 第 14 页(共 22 页) 故,kN; 又f(x)在区间上单调, ,故, ,即, ,kN, k0,1,2,8 符合条件的 的值有 9 个 故

24、答案为:9 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了转化思想,属中档题 16 (5 分)已知函数 f(x)x22x+3a,g(x)若对x10,3,总x22,3, 使得 f(x1)g(x2)成立,则实数 a 的取值集合为 【分析】依题意,函数 f(x)在0,3的最大值小于等于函数 g(x)在2,3的最大值, 求出两函数在给定区间的最大值,建立不等式求解即可 【解答】解:由题意,函数 f(x)在0,3的最大值小于等于函数 g(x)在2,3的最大 值, 函数 g(x)在2,3上为减函数,故其最大值为 g(2)2, 函数 f(x)的对称轴为 x1,其在0,1上为减函数,在(1,3上为增函数,故其

25、最大 值为 f(x)3a+3, 则 3a+32,解得 故答案为: 【点评】本题考查不等式的恒成立问题,解题的关键在于把题干的文字语言转化为数学 符号语言,属于基础题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 个小题,共个小题,共 70 分 )分 ) 17 (10 分)已知数列an中,an+1an2 且 a1+a2+a39, (1)求an的通项公式; (2)求的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)由题意可得等差数列的公差为 2,运用等差数列的通项公式解方程可得首项 第 15 页(共 22 页) 为 1,进而得到所求通项公式; (2)运用数列的分组求和,结合等差数列和等比数列的求和公式,可得所

26、求和 【解答】解: (1)an+1an2,等差数列an的公差为 2, a1+a2+a3a1+(a1+2)+(a1+22)3a1+69,解得 a11, 因此 an1+2(n1)2n1; (2), 前 n 项和 Sn(1+3+5+2n1)+(2+4+2n) , 因此 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和 数列的分组求和,化简运算能力,属于基础题 18 (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,ADC90,CDAB,AB2,ADCD 1,将ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示 (1)求证:BC平面 AC

27、D; (2)求二面角 DABC 的正弦值 【分析】 (1)只需证明 ACBC,ODBC,即可得证; (2)易知DFO 为二面角 DABC 的平面角,进而得解 【解答】解: (1)证明:在图 1 中,由题意知,ACBC2, AC2+BC2AB2, ACBC, 取 AC 中点 O,连接 DO,则 DOAC,又平面 ADC平面 ABC, 且平面 ADC平面 ABCAC,DO平面 ACD,从而 OD平面 ABC, ODBC, 又 ACBC,ACODO, 第 16 页(共 22 页) BC平面 ACD; (2)过 D 作 DOAC 于 O,再过 O 作 OFAB 于 F,连接 DF,易知DFO 为二面角

28、 DABC 的平面角, 易知,即所求二面角的正弦值 为 【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法,考查逻辑推理能力及运算能 力,属于基础题 19 (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若,b1,c,且 ab,试求角 B 和角 C 【分析】 (1)将 f(x)解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函 数值化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数 的递增区间为2k,2k+,xZ 列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集即可 得到 f(x)的递增区间; (2)由

29、(1)确定的 f(x)解析式,及 f(),求出 sin(B)的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数,再由 b 与 c 的值,利用正弦 定理求出 sinC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数,由 a 大于 b 得到 A 大于 B,检验后即可得到满足题意 B 和 C 的度数 第 17 页(共 22 页) 【解答】 解: (1) f (x) cos (2x) cos2xsin2xcos2xsin (2x) , 令 2k2x2k+,xZ, 解得:kxk+,xZ, 则函数 f(x)的递增区间为k,k+,xZ; (2)f(B)sin(B),

30、sin(B), 0B, B, B,即 B, 又 b1,c, 由正弦定理,得:sinC, C 为三角形的内角, C或, 当 C时,A;当 C时,A(不合题意,舍去) , 则 B,C 【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值,两角和与 差的正弦函数公式,正弦函数的单调性,特殊角的三角函数值,正弦定理等知识的综合 应用,考查了转化思想,属于中档题 20 (12 分) 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定:机动车行经人行横道 时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线” , 中 华人民共和国道路交通安全法第 90 条规定:对不礼让行

31、人的驾驶员处以扣 3 分,罚款 50 元的处罚 ()交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人,调查驾驶员不“礼让 斑马线”行为与驾龄的关系,得到如表列联表:能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼 让斑马线”行为与驾龄有关? 第 18 页(共 22 页) 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 ()如图是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为 的折线图: 请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方程,并 预测该路口 7 月份的不“礼

32、让斑马线”违章驾驶员人数 附注:参考数据:, 参考公式: , ,(其 中 na+b+c+d) P(K2k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 (I)由列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论; (II)利用所给数据计算 、 ,求出回归系数,写出回归方程, 利用回归方程计算 x7 时的预测值即可 【解答】解: (I)由列联表中数据,计算 , 由此能判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关; 第 19 页(共 22 页) (II)

33、利用所给数据,计算 (1+2+3+4+5)3, 100; 8.5, 100(8.5)3125.5; y 与 x 之间的回归直线方程为; 当 x7 时, 即预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有 66 人 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的问题,也考查了线性回归方程计算问题,是 基础题 21 (12 分) 已知椭圆的左、 右焦点为 F1、 F2, 若圆 Q 方程,且圆心 Q 满足|QF1|+|QF2|2a ()求椭圆 C1的方程; ()过点 P(0,1)的直线 l1:ykx+1 交椭圆 C1于 A、B 两点,过 P 与 l1垂直的直 线 l2交圆 Q 于 C、D 两点,M 为线段

34、 CD 中点,若MAB 的面积为,求 k 的值 【分析】 ()由题意焦距及焦点在 x 轴的焦点坐标,和 Q 坐标即可求出,a,c 再 b2 a2c2,即可写出椭圆方程; ()设 l1的方程联立椭圆,设而不求的方法求出弦长 AB,再由题意直线 CD,联立圆, 设而不求求出 CD 的中点 M 坐标,再用点到直线的距离公式求出 M 到直线 AB 的距离, 由面积求出参数 k 的值 第 20 页(共 22 页) 【解答】解: ()由题意可知:, 2a|QF1|+|QF2|4a2,b2a2c22, 椭圆 C1的方程为; ()设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 消去 y,得(1+2k2)x2+

35、4kx20, 16k2+8 ( 2k2+1 ) 32k2+8 0 , , M 为线段 CD 中点,MQCD, 又l1l2,MQAB,SMABSQAB, 又点 Q 到 l1的距离, 此时, 圆心 Q 到 l2的距离,成立; 综上:即为所求 【点评】考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)axlnx1(aR) (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a0,令 g(x)f(tx+1)+,若 x1,x2是 g(x)的两个极值点,且 g(x1) +g(x2)0,求正实数 t 的取值范围 第 21 页(共 22 页) 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围

36、,求出函数的单调区间即可; (2)求出或,得到 x1为极小值点,x2为极大值点,求出 g(x1)+g (x2),令 u2t1,0t1 且,根据函数的单调性求 出 t 的具体范围即可 【解答】解: (1)x(0,+) , 当 a0 时,f(x)0,f(x) (0,+)上为减函数, 当 a0 时,时,f(x)0,f(x)为减函数, 时,f(x)0,f(x)为增函数, 综上所述,当 a0 时,f(x)减区间为(0,+) , 当 a0 时,f(x)减区间为,f(x)增区间为 (2), , 当 t1 时,g(x)0 恒成立, 故 g(x)在 x(0,+)上为减函数,不成立0t1, 令 g(x)0,得,

37、g(x)有两个极值点,g(x)0 有 2 个根, 故必有且, 得或, 且 x1为极小值点,x2为极大值点, g(x1)+g(x2) lnt2x1x2+t(x1+x2+1) , 第 22 页(共 22 页) 令 u2t1,0t1 且, 当时,1u0,时,0u1, 令(0t1 且) , 当1u0 时, h(u)在 u(1,0)上为增函数,h(u)h(1)40, 故当时,g(x1)+g(x2)0 成立, 当 0u1 时, h(u)在 u(0,1)上单调递增,h(u)h(1)0, 故当时,g(x1)+g(x2)0, 综上所述, 【点评】本题考查了函数的单调性最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化 思想,是一道综合题

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