1、密云区密云区 2019-2020 学年第二学期高三第二次阶段性测试学年第二学期高三第二次阶段性测试 数学数学试卷试卷 2020.6 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中,选出符合题目选出符合题目 要求的一项要求的一项 1已知集合|0MxxR，NM，则在下列集合中符合条件的集合N可能是 A. 0,1 B. 2 |1x x C. 2 |0x x D. R 2在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为 A.sinyx B. cosyx C.|yx x D. ln|yx 3. 已知x y ，则下列
2、各不等式中一定成立的是 A 22 xy B 11 xy C 11 ( )( ) 33 xy D332 xy 4.已知函数( )yf x满足 (1)2 ( )f xf x，且(5)3 (3)4ff，则(4)f A16 B8 C4 D 2 5.已知双曲线 2 2 1(0) x ya a 的一条渐近线方程为20xy，则其离心率为 A. 5 2 B. 17 4 C. 3 2 D. 15 4 6.已知平面向量和ab，则“| |bab”是“ 1 ()0 2 ba a”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7已知圆 22 :(1)2C xy，若点 P 在
3、圆C上，并且点 P 到直线yx的距离为 2 2 ，则满足条 件的点 P 的个数为 A1 B2 C3 D4 8设函数 1 ( )sin() 2 f xx，xR，其中0，| 若 51 () 82 f ，( )0 8 f ，且 ( )f x的 最小正周期大于2，则 A 1 3 ， 24 B 2 3 ， 12 C 1 3 ， 24 D 2 3 ， 12 9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 A2 B2 C2 2 D2 3 10. 已知函数( )f x的定义域为 ，且满足下列三个条件： 对任意的 ，且 ，都有 ； ； 是偶函数； 若 ，(2020)cf，则 ， ， 的大小关系正确的是
4、 Aabc B C D 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11抛物线 2 ()ymx m为常数过点( 1,1)，则抛物线的焦点坐标为_. 12在 6 1 ()x x 的展开式中，常数项为_.（用数字作答） 13. 已知 n S是数列 n a的前n项和，且 2 11 (*) n Snn nN，则 1 a=_， n S的最小值为 _ 14. 在ABCV中，三边长分别为4a ，5b ，6c ，则ABCV的最大内角的余弦值为_， ABCV的面积为_ 15. 已知集合 22 ,Aa axyxyZZ给出如下四个结论： 2A，且3A； 如果
5、 |21,Bb bmmN*，那么BA； 如果 |22,Cc cnnN*，那么对于cC ，则有cA； 如果 1 aA， 2 aA，那么 12 a aA 其中，正确结论的序号是_ 第 9 题图 3 1 11 左视图 主视图 1 俯视图 2 三、解答题三、解答题: 本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分 14 分） 如图， 直三棱柱 111 ABCABC中， 1 1 2 ACBCAA，D是棱 1 AA的中点， 1 DCBD （）证明： 1 DCBC； （）求二面角 11 ABDC的大小 1
6、7.（本小题满分 15 分） 已知函数 （）求函数 的单调递增区间和最小正周期； （）若当 0, 2 x时，关于x的不等式( )f xm_，求实数 的取值范围 请选择和中的一个条件，补全问题（） ，并求解其中，有解；恒成立 注意：如果选择和两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分 18.（本小题满分 14 分） 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如图所示： （）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人” ，现从所有“健身达人”中随机抽 取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （）针对这些消费者，该健身机构
7、今年欲实施入会制规定：消费金额为 2000 元、2700 元和 3200 元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员预计去年消费金额在(0,1600、 (1600,3200、(3200,4800内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、 银卡会员和金卡 会员消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额 该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案： 方案 按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位 “幸运之星” 给予奖励 其 中，普通会员、 银卡会员和金卡会员中的“幸运之星” 每人分别奖励 500 元、600 元和元 方案 2
8、每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有 颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为 2，则可 获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3， 则可获得 300 元奖励金； 其他情况不给予奖励 如 果每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏； 每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏； 每位金卡会员 均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） C1 A B C A1 B1 第 16 题图 D (800,1600 40 30 20 10 0 0,800 (1600,2400 (2400,3200 (4000,4800 (
9、3200,4000 8 20 25 35 8 4 消费金额/元 人数 以方案 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 ：过点 3 (1,) 2 P，设它的左、右焦点分别为，左顶 点为，上顶点为，且满足 （）求椭圆C的标准方程和离心率； （）过点 6 (,0) 5 Q 作不与 轴垂直的直线交椭圆 于， （异于点）两点，试判断 的 大小是否为定值，并说明理由 20.（本小题满分 14 分） 已知函数( )ln ,f xxax aR （）当1a 时，求曲线( )f x在1x 处的切线方程； （）设函数 1 ( )( ) a h xf
10、 x x ，试判断函数( )h x是否存在最小值，若存在，求出最小值，若 不存在，请说明理由 （）当0x时，写出lnxx与 2 xx的大小关系 21.（本小题满分 14 分） 设 n 为正整数，集合 A= 12 |( , ,),0,1,1,2, nk t tttkn 对于集合 A 中的任意元素 12 (,) n x xx 和 12 (,) n y yy ，记 11112222 1 ( ,)(|)(|)(|) 2 nnnn Mxyxyxyxyxyxy + （）当 n=3 时，若 (0,1,1) ， (0,0,1) ，求 ( , )M 和 ( , )M 的值； （）当4n 时，对于A中的任意两个不
11、同的元素 , ， 证明： ( , )( , )( , )MMM （）给定不小于 2 的正整数 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同元素,， ( , )( , )( , )MMM 写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 密云区密云区 2019-2020 学年第二学期高三第二次阶段性测试学年第二学期高三第二次阶段性测试 数学试卷参考答案 2020.6 一、选择题：共一、选择题：共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5
12、6 7 8 9 10 答案 A B D B A C C B D D 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 1 (,0) 4 1220 1310；30 14 1 8 ； 15 7 4 15. 备注： （1）若小题有两问，第一问 3 分，第二问 2 分； （2）第 15 题答案为之一，3 分；为之二，4 分；为，5 分；其它答案 0 分 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题满分 14 分） （）证明：在直三棱柱 111 AB
13、CABC中，侧面 11 ACC A为矩形 因为 1 1 2 ACBCAA，D是棱 1 AA的中点， 所以ADC和 11 ADC均为等腰直角三角形 所以 o 11 45ADCADC 因此 o 1 90C DC，即 1 C DDC 因为 1 DCBD，BDDCD， 所以 1 DC 平面 BCD 因为BC 平面 BCD， 所以 1 DCBC （） 解： 因为 1 CC 平面ABC，AC 平面ABC，BC 平面ABC， 所以 1 CCAC， 1 CCBC 又因为 1 DCBC， 111 CCDCC， 所以BC 平面 11 ACC A 因为AC 平面 11 ACC A，所以BCAC 以C为原点建立空间直
14、角坐标系，如图所示 不妨设1AC ， 则(0,0,0)C，(1,0,0)A，(010)B ， ，(101)D ， ， 1(10 2) A ， ， 1(0,0,2) C， C1 A B C A1 B1 第 16 题图 D D C1 A B C A1 B1 第 16 题图 z x y 所以 1 (0,0, 1)AD ， 1 ( 1,1, 2)AB ， 1 (1,0, 1)C D ， 1 (0,1, 2)C B 设平面 1 ABD的法向量xyz， ，m， 由 1 1 0 0. AD AB ，m m 得 0 20. z xyz ， 令1x ，则(1,1,0)m 设平面 1 C BD的法向量xyz， ，
15、n， 由 1 1 0 0. C D C B ，n n 得 0 20. xz yz ， 令1x ，则(1,2,1)n 则有 1 1 1 20 13 cos,. | |226 m n m n mn 因为二面角 1 ABDC为锐角， 所以二面角 1 ABDC的大小为 6 17. （本小题满分 15 分） （）解：因为 22 ( )=2 3sin coscossinf xxxxx =3sin2cos2xx = 2sin(2) 6 x 所以函数( )f x的最小正周期T 因为函数sinyx的的单调增区间为 2 ,2 , 22 kkkZ， 所以 2 22 , 262 kxkkZ， 解得 , 36 kxkk
16、Z 所以函数数( )f x的的单调增区间为 , 36 kkkZ， （）解：若选择 由题意可知，不等式( )f xm有解，即 max ( )mf x 因为 0, 2 x，所以 7 2 666 x 故当 2 62 x=，即 6 x 时， ( )f x取得最大值，且最大值为 ( )2 6 f 所以2m 若选择 由题意可知，不等式( )f xm恒成立，即 min ( )mf x 因为 0, 2 x，所以 7 2 666 x 故当 7 2 66 x=，即 2 x 时， ( )f x取得最小值，且最小值为 ( )1 2 f 所以1m 18 （本小题满分 14 分） （）解：记“在抽取的 2 人中至少有 1
17、 位消费者在去年的消费超过 4000 元”为事件 A. 由图可知，去年消费金额在(3200,4000内的有 8 人，在(4000,4800内的有 4 人， 消费金额超过 3200 元的“健身达人”共有 8+4=12（人） ， 从这 12 人中抽取 2 人，共有 2 12 C种不同方法， 其中抽取的 2 人中至少含有 1 位消费者在去年的消费超过 4000 元，共有 112 844 C CC种不 同方法 所以，( )P A 112 844 2 12 19 = 33 C CC C （）解：方案 1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星” ， 则“幸运之星”中的普通
18、会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为 820 257 100 ， 2535 2515 100 ， 12 253 100 ， 按照方案 1 奖励的总金额为 1 7 500 15 6003 80014900 （元） 方案 2 设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金， 则的可能取值为 0，200，300 由题意，每摸球 1 次，摸到红球的概率为 1 2 1 5 2 5 C P C ， 所以 030121 33 323281 (0)( ) ( )( ) ( ) 5555125 PCC， 212 3 3236 (200)( ) ( ) 55125 PC， 303 3 328 (300)( ) ( ) 55
19、125 PC 所以的分布列为： 数学期望为 81368 020030076.8 125125125 E（元） ， 按照方案 2 奖励的总金额为 2 (2860 2 12 3) 76.814131.2 （元） ， 因为由 12 ，所以施行方案 2 投资较少 19 （本小题满分 14 分） （）解：根据题意得 22 22 222 13 1, 4 15 2 , 6 . ab abc abc 解得 2, 1, 3. a b c 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y，离心率 3 2 （）解：方法一 因为直线不与 轴垂直，所以直线的斜率不为 设直线的方程为： 6 5 xty， 联立方程 2 2 6
20、, 5 1. 4 xty x y 化简得 22 1264 (4)0 525 tyty 显然点 6 (,0) 5 Q 在椭圆C的内部，所以0 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 则 12 2 12 5(4) t yy t ， 12 2 64 25(4) y y t 又因为( 2,0)A ，所以 11 (2,)AMxy， 22 (2,)ANxy 所以 1212 (2)(2)AM ANxxy y B A M N Q x y 1212 2 1212 2 22 66 (2)(2) 55 416 (1)() 525 6441216 (1) () 25(4)55(4)25 tytxy y
21、 ty yt yy t tt tt =0 所以AMAN，即 o 90MAN是定值 方法二 （1）当直线垂直于x轴时 解得M与N的坐标为 64 (,) 55 由点( 2,0)A ，易证 o 90MAN （2）当直线斜率存在时 设直线的方程为： 6 (),0. 5 yk xk， 联立方程 2 2 6 (), 5 1. 4 yk x x y 化简得 2 222 484(3625) (1 4)0 525 k kxk x 显然点 6 (,0) 5 Q 在椭圆C的内部，所以0 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 则 2 12 2 48 5(1 4) k xx k ， 2 12 2 4(
22、3625) 25(1 4) k x x k 又因为( 2,0)A ，所以 11 (2,)AMxy， 22 (2,)ANxy 所以 1212 (2)(2)AM ANxxy y 1212 2 22 1212 222 22 22 66 (2)(2)() () 55 636 (1)(2)()4 525 4(3625)64836 (1)(2)4 25(14)55(14)25 xxk xk x k kx xkxx kkk kk kk =0 所以AMAN，即 o 90MAN是定值 20.（本小题满分 14 分） （）解：当1a 时，( )ln ,0f xxx x， 所以 1 ( )1,0fxx x ，因此(
23、1)0kf 又因为(1)1f，所以切点为(1,1) 所以切线方程为1y （）解： 1 ( )ln0 a h xxaxxa x R， 所以 22 1(1)(1) ( )10 aaxxa h xx xxx =， 因为0x，所以10x （1）当10a ，即a-1时 因为0x，所以(1)0xa，故( )0h x 此时函数( )h x在(0,)上单调递增 所以函数( )h x不存在最小值 （2）当1 0a ，即a-1时 令( )0h x ，因为0x，所以1xa ( )h x与( )h x在(0,)上的变化情况如下： x (0,1)a 1a (1,)a ( )h x 0 + ( )h x 极小值 所以当1
24、xa时，( )h x有极小值，也是最小值， 并且 min ( )(1)2ln(1)h xh aaaa 综上所述， 当a-1时，函数( )h x不存在最小值； 当1a时，函数( )h x有最小值2ln(1)aaa （）解：当0x时， 2 lnxxxx 21 （本小题满分 14 分） （）解：因为 (0,1,1) ， (0,0,1) ， 所以 1 ( , )(00 |00|)(1 1 |1 1|)(1 1 |1 1|)2 2 M ， 1 ( ,)(00 |00|)(10 |10|)(1 1 |1 1|)2 2 M （）证明：当4n 时，对于A中的任意两个不同的元素, ， 设 12341234 (
25、,)(,)x x x xy yyy，有 12341234 ( , )( ,)MxxxxMyyyy ， 对于任意的, ii x y，1,2,3,4i ， 当 ii xy时，有 11 (|)() 22 iiiiiiiii xyxyxyxyx， 当 ii xy时，有 11 (|)() 22 iiiiiiiii xyxyxyxyy 即 1 (|)max , 2 iiiiii xyxyx y 所以，有 11223344 ( ,)max ,max,max,max,Mx yxyxyxy 又因为,0,1 ii x y ， 所以max , iiii x yxy，1,2,3,4i ，当且仅当0 ii x y 时等
26、号成立 所以， 11223344 max ,max,max,max,x yxyxyxy 11223344 ()()()()xyxyxyxy 12341234 ()()xxxxyyyy， 即( , )( , )( , )MMM ，当且仅当0 ii x y （1,2,3,4i ）时等号成立 （）解：由（）问，可证，对于任意的 123123 ( ,)(,) nn x x xxy yyy， 若( , )( , )( , )MMM ，则0 ii x y ，1,2,3,in成立 所以，考虑设 012312 ( ,)|,0 nn Ax x xxxxx， 11231 ( ,)|1,0,1,2,3, ni Ax
27、 x xxxxin， 对于任意的2,3,kn， 123123121 ( ,)|( ,),0,1 knnkk Ax x xxx x xxA xxxx 所以 01n AAAA 假设满足条件的集合 B 中元素个数不少于2n ， 则至少存在两个元素在某个集合 k A（1,2,1kn）中， 不妨设为 123123 ( ,)(,) nn x x xxy yyy，则1 kk xy 与假设矛盾，所以满足条件的集合 B 中元素个数不多于1n 取 0 (0,0,0)e ； 对于1,2,1kn，取 123 ( ,) knk ex xxxA，且 1 0 kn xx ； nn eA 令 01 , n Be ee， 则集合B满足条件，且元素个数为1n 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合
