1、已知集合 A1，1，3，4，集合 Bx|x24x+30，则 AB（ ） A1，4 B1，1，4 C1，3，4 D （，1）（3，+） 2 （5 分）已知复数 z，则|z|（ ） A1 B C2 D3 3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异， 而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A简单的随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 4 （5 分）已知实数 0ab，则下列说法正确的是（ ） A Bac2bc2 Clnalnb D （
2、）a（）b 5 （5 分）已知命题 p：x2m+1，q：x25x+60，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ） Am Bm Cm1 Dm1 6 （5 分）若数列an为等差数列，且满足 3+a5a3+a8，Sn为数列an的前 n 项和，则 S11 （ ） A27 B33 C39 D44 7 （5 分）已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说 法正确的是（ ） A若 m，n，且 ，则 mn B若 m，n，且 m，n，则 C若 m，n，且 ，则 mn 第 2 页（共 21 页） D若 m，n，且 ，则 mn 8 （5 分）已知抛物线 y22
3、0x 的焦点与双曲线1（a0，b0）的一个焦点重 合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A B C D 9 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若 m，则实 数 m 的值为（ ） A B C1 D2 10 （5 分）已知实数 a0，b1 满足 a+b5，则+的最小值为（ ） A B C D 11 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三形
4、三边的数对（x，y）的个数 a；最后再根据统计数 a 估计 的值，那么可以估计 的值 约为（ ） A B C D 12 （5 分）已知 （2sin，cos） ， （cos，2cos） ，函数 f（x） 在区间0，上恰有 3 个极值点，则正实数 的取值范围为（ ） A，） B （， C，） D （，2 二、填空二、填空题：本题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）在ABC 中，若 a：b：c2：3：4，则最大内角的余弦值为 15 （5 分）已知直三棱
5、柱 ABCA1B1C1中，ABC，AB4，BCCC12，则异面 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 16 （5 分）已知函数 f（x）x3+x+a，x，e与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关 于 x 轴对称的点，则 a 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （12 分）某
6、企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本， 得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） 若用时不超过 40（分钟） ，则称这个工人为优秀 员工 （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）从样本数据用时不超过 50 分钟的工人中随机抽取 2 个，求至少有一个工人是优秀 员工的概率 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，PAPC5，点 M，N 分别是 AB，PC 的中点 （1）求证：MN平面 PAD； （2）若 cosPCD，DAB60，求三棱锥 PAD
7、N 的体积 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2，其前 n 项和为 Sn，且 S7 49，a3是 a1与 a13的等比中项，a1a2 （1）求数列an的通项公式 an； （2）已知数列bn满足 bn2，cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 20 （12 分）已知点 P（1，） ， （x1，y） ， （x+1，y） ，且| |+| |4，满足条件 的点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）是否存在过点（0，1）的直线 l，直线 l 与曲线 C
8、相交于 A，B 两点，直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 M， N 两点， 使得|PM|PN|？若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在， 请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1）ax+1a（aR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 bln（x+1）+exx10 对任意 x0 恒成立，求实数 b 的取值范围 (二二)选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在
9、直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普通方程； （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A，与曲线 C2交于不同于极点 的点 B，求线段 AB 的长 第 5 页（共 21 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23设函数 f（x）|x+a|+|x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2，求实数 a 的取值范围 第 6
10、页（共 21 页） 2019-2020 学年四川省蓉城名校联盟高三（下）第二次联考数学学年四川省蓉城名校联盟高三（下）第二次联考数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 A1，1，3，4，集合 Bx|x24x+30，则 AB（ ） A1，4 B1，1，4 C1，3，4 D （，1）（3，+） 【分析】求出集合 A，集合 B，由此能求出
11、AB 【解答】解：集合 A1，1，3，4， 集合 Bx|x24x+30x|x1 或 x3， AB1，4 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）已知复数 z，则|z|（ ） A1 B C2 D3 【分析】直接由商的模等于模的商求解 【解答】解：z， |z| 故选：C 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异， 而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法
12、中，最合理的抽样方法是（ ） A简单的随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样 第 7 页（共 21 页） 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男 女生视力情况差异不大 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理 故选：C 【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题 4 （5 分）已知实数 0ab，则下列说法正确的是（ ） A Bac2bc2 Clnalnb
13、 D （）a（）b 【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误 【解答】解：对于 A实数 0ab，（c0 不成立） ， 对于 Bc0 不成立 对于 C利用对数函数的单调性即可得出 对于 D.，因此不成立 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 （5 分）已知命题 p：x2m+1，q：x25x+60，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ） Am Bm Cm1 Dm1 【分析】p 是 q 的必要不充分条件，推导出（2，3）（，2m+1） ，由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】解：命题 p：x
14、2m+1，q：x25x+60，即：2x3， p 是 q 的必要不充分条件， （2，3）（，2m+1） ， 2m+13，解得 m1 实数 m 的取值范围为 m1 第 8 页（共 21 页） 故选：D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查必要条件、充分条件、充要条件等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）若数列an为等差数列，且满足 3+a5a3+a8，Sn为数列an的前 n 项和，则 S11 （ ） A27 B33 C39 D44 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，且满足 3+a5a3+a8， a63 Sn为数列
15、an的前 n 项和，则 S1111a633 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 7 （5 分）已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说 法正确的是（ ） A若 m，n，且 ，则 mn B若 m，n，且 m，n，则 C若 m，n，且 ，则 mn D若 m，n，且 ，则 mn 【分析】根据空间线面位置关系，逐一判定即可 【解答】解：对于 A，当 m，n，且 ，则 m 与 n 的位置关系不定，故错； 对于 B，当 mn 时，不能判定 ，故错； 对于 C，若 m，n，且 ，则 m 与 n 的位置关系不
16、定，故错； 对于 D，由 m， 可得 m，又 n，则 mn 故正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，是中档题 8 （5 分）已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1（a0，b0）的一个焦点重 第 9 页（共 21 页） 合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段 长为，可得，借助于 c2a2+b2，求出 a，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：由抛物线 y220x，可得 2p20，则 p10，故其准线方程为
17、 x5， 抛物线 y220x 的准线过双曲线1（a0，b0）的左焦点， c5 抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段长为， ，又 c225a2+b2， a4，b3， 则双曲线的离心率为 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题 9 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若 m，则实 数 m 的值为（ ） A B C1 D2 【分析】依题意，又 B，P，N 三点共线，则， 解出即可求得实数 m 的值 【解答】解：依题意， 又 B，P，N 三点共线， ，解得 故选：B 第 10 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查平面向量基本定理的运用
18、，属于基础题 10 （5 分）已知实数 a0，b1 满足 a+b5，则+的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：因为 a0，b1 满足 a+b5， 则+（+）a+（b1）， ， 当且仅当时取等号， 故选：A 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题 11 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三形 三边的数对（
19、x，y）的个数 a；最后再根据统计数 a 估计 的值，那么可以估计 的值 约为（ ） A B C D 【分析】由不等式组中实数对（x，y）对应的平面区域， 分析两数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x，y）对应的区域面积， 利用几何概型公式列式求得 的解析式 【解答】解：根据题意知，m 名同学取 m 对都小于 l 的正实数对（x，y） ，即， 对应区域为边长为 1 的正方形，其面积为 1， 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边，则有， 其面积 S； 第 11 页（共 21 页） 则有， 解得 故选：D 【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，涉及几何概率的计算问题
20、，是基础题 12 （5 分）已知 （2sin，cos） ， （cos，2cos） ，函数 f（x） 在区间0，上恰有 3 个极值点，则正实数 的取值范围为（ ） A，） B （， C，） D （，2 【分析】化简函数 f（x）得，根据正弦函数的性质结合题意可 得，解出即可 【解答】解： ， 令，解得， 令，解得， 又函数 f（x）在区间恰有 3 个极值点， ，解得 故选：B 【点评】本题考查平面向量的数量积，三角恒等变换，正弦型函数的图象及性质，考查 逻辑推理以及运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13
21、 （5 分）实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合，即可得到 结论 【解答】解：作出可行域如图所示， 则当直线 z2x+y 过点 C 时直线的截距最大，z 取最大值 第 12 页（共 21 页） 由， C（，） ，z 取最大值：2+ 故答案为： 【点评】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算 等数学核心素养利用数形结合是解决本题的关键 14 （5 分）在ABC 中，若 a：b：c2：3：4，则最大内角的余弦值为 【分析】根据三边之比表示出 a，b，c，得到 c 对的角最大，利用余弦定理
22、即可求出 cosC 的值 【解答】解：根据题意得：a3k，b2k，c4k，且最大角为 C， cosC 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC，AB4，BCCC12，则异面 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 【分析】以 B 为原点，在平面 ABC 中，过点 B 作 BC 的垂线为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC，AB4，BCCC
23、12， 以 B 为原点，在平面 ABC 中，过点 B 作 BC 的垂线为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1为 z 轴，建 立空间直角坐标系， A（2，2，0） ，B1（0，0，2） ，B（0，0，0） ，C1（0，2，2） ， （2，2，2） ，（0，2，2） ， 设异面直线 AB1与 BC1所成角为 ， 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为： cos 故答案为： 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）x3+x+a，x，e与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关 于
24、 x 轴对称的点，则 a 的取值范围为 2，e32 【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程 a1x33lnx 在区间，e上有解，构 造函数 g（x）x33lnx，利用导数分析 g（x）的最大最小值，可得 g（x）的值域，进 而分析可得方程 a1x33lnx 在区间，e上有解，必有 1a1e33，解可得 a 的取值范围，即可得答案 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，若函数 f（x）x3+x+a（xe）与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关于 x 轴对称的点， 则方程x3+x+a3lnx+x+1 在区间，e上有解， 即方程 a1x33lnx 在区间，e上有解， 设函数 g（x
25、）x33lnx，其导数 g（x）3x2， 又由 x，e，可得：当x1 时，g（x）0，g（x）为减函数， 当 1xe 时，g（x）0，g（x）为增函数， 故函数 g（x）x33lnx 有最小值 g（1）1， 又由 g（）+3，g（e）e33；比较可得：g（）g（e） ， 故函数 g（x）x33lnx 有最大值 g（e）e33， 故函数 g（x）x33lnx 在区间，e上的值域为1，e33； 若方程 a+1x33lnx 在区间，e上有解， 必有 1a1e33，则有 2ae32， 即 a 的取值范围是2，e32； 故答案为：2，e32； 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已
26、知存在关于 x 轴对 称的点转化为方程方程 a1x33lnx 在区间，e上有解 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题每个试题考生都必须作答。第考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （12 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本， 得到如图所示的
27、茎叶图（单位：分钟） 若用时不超过 40（分钟） ，则称这个工人为优秀 员工 （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）从样本数据用时不超过 50 分钟的工人中随机抽取 2 个，求至少有一个工人是优秀 员工的概率 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （1）由茎叶图能求出中位数和众数 （2）设不超过 50 的工人为 a，b，c，d，e，f，g，其中 a，b，c 为优秀员工，从这 7 名 工人中随机抽取 2 人，利用列举法能求出至少有一个工人是优秀员工的概率 【解答】解： （1）由茎叶图得： 中位数为 43，众数为 47 （2）设不超过 50 的工人为 a，b，c，d，e，f，g， 其中 a
28、，b，c 为优秀员工， 从这 7 名工人中随机抽取 2 人的基本事件有 21 个，分别为： a，b，a，c，a，d，a，e，a，f，a，g，b，c，b，d，b，e，b，f， b，g， c，d，c，e，c，f，c，g，d，e，d，f，d，g，e，f，e，g，f，g， 其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有 15 个， 至少有一个工人是优秀员工的概率 P 【点评】本题考查中位数、众数、概率的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，PAPC5，点 M，N 分别是 AB，PC 的
29、中点 （1）求证：MN平面 PAD； （2）若 cosPCD，DAB60，求三棱锥 PADN 的体积 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （1）取 PD 的中点 H，连接 NH，AH，证明四边形 AMNH 为平行四边形，则 MN AH，再由线面平行的判定可得 MN平面 PAD； （2）求解三角形得 PDDC，同理 PDAD，得到 PD平面 ABCD，结合 MN平面 PAD，由 VPADNVNPADVMPADVPADM求解三棱锥 PADN 的体积 【解答】 （1）证明：取 PD 的中点 H，连接 NH，AH， N 是 PC 的中点，NHDC，NH， 又 AMDC，AM，NHAM 且 NHAM
30、， 四边形 AMNH 为平行四边形，则 MNAH， 又 MN平面 PAD，AH平面 PAD， MN平面 PAD； （2）解：PC5，DC4，cosPCD， ，则 PC2PD2+DC2， PDDC，同理 PDAD， 又 ADDCD，PD平面 ABCD， 又 MN平面 PAD，VPADNVNPADVMPADVPADM， 又DAB60， 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面体的体积，是中档题 19 （12 分）已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2，其前 n 项和为 Sn，且 S7 49，a3是 a1与 a13的等比中项，a
31、1a2 （1）求数列an的通项公式 an； 第 17 页（共 21 页） （2）已知数列bn满足 bn2，cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 【分析】 （1）由任意 nN*都有 2an+1an+an+2可得数列an是等差数列，再利用等差数 列的通项公式和前 n 项和公式即可求解； （ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 利 用 错 位 相 减 法 求 得 ，由1000 得，22n+21000，解得 n4，所以满足条 件的最小的正整数 n 的值为 4 【解答】解： （1）任意 nN*都有 2an+1an+an+2， 数列an是等差数列， S7
32、49，7a449，a47， 又a3是 a1与 a13的等比中项，a1a2，设数列an的公差为 d，且 d0， 则（7d）2（73d） （7+9d） ，解得 d2， a173d1， an1+2（n1）2n1； （2）由题意可知， ， ， 得：， ， 4n+122n+2， 由1000 得，22n+21000， 2n+210， n4， 满足条件的最小的正整数 n 的值为 4 【点评】本题主要考查了等差数列的性质，考查了错位相减法数列求和，是中档题 20 （12 分）已知点 P（1，） ， （x1，y） ， （x+1，y） ，且| |+| |4，满足条件 第 18 页（共 21 页） 的点 Q（x，y
33、）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）是否存在过点（0，1）的直线 l，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 M， N 两点， 使得|PM|PN|？若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）设 F1（1，0） ，F2（1，0） ，由向量的模和两点的距离公式，结合椭圆的 定义可得 c1，a2，求得 b，进而得到所求曲线的方程； （2）假设存在这样的直线符合题意讨论直线 l 的斜率不存在，检验不成立；当直线 l 的斜率存在时，设方程为 ykx1，A（x1，kx11） ，B（x2，kx21） ，由|PM|P
34、N|， 可得 kPA+kPB0，运用直线的斜率公式，化简整理，再联立直线方程和椭圆方程，运用 韦达定理，解 k 的方程，可得所求斜率，可判断存在直线 l 【解答】解： （1）设 F1（1，0） ，F2（1，0） ， 由 （x1，y） ， （x+1，y） ，| |+| |4， 可得+4，即为|QF1|+|QF2|4， 由 4|F1F2|，可得 Q 的轨迹是以 F1（1，0） ，F2（1，0）为焦点，且 2a4 的椭圆， 由 c1，a2，可得 b，可得曲线 C 的方程为+1； （2）假设存在过点（0，1）的直线 l 符合题意 当直线 l 的斜率不存在，设方程为 x0，可得 M，N 为短轴的两个端点
35、， |PM|PN|不成立； 当直线 l 的斜率存在时，设方程为 ykx1，A（x1，kx11） ，B（x2，kx21） ， 由|PM|PN|，可得 kPM+kPN0，即 kPA+kPB0， 可得+0，化为 2kx1x2（k+） （x1+x2）+50， 由可得（3+4k2）x28kx80， 由（0，1）在椭圆内，可得直线 l 与椭圆相交， x1+x2，x1x2， 第 19 页（共 21 页） 则 2k（）（k+） （）+50， 化为16k8k（k+）+5（3+4k2）0，即为 4k212k+50，解得 k或 k， 所以存在直线 l 符合题意，且方程为 yx1 或 yx1 【点评】本题考查椭圆的定
36、义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达 定理，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1）ax+1a（aR） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 bln（x+1）+exx10 对任意 x0 恒成立，求实数 b 的取值范围 【分析】 （1）求导，分类讨论即可得到单调性情况； （2）令 g（x）bln（x+1）+exx1，问题等价于对任意 x0，g（x）0 等价于 g（x） g（0） ，分 b0 及 b0 两种情况讨论即可得出结论 【解答】解： （1）f（x）的定义域为（1，+） ， 当 a0 时，a（x+1
37、）+10，故函数 f（x）在（1，+）单调递增； 当 a0 时，时，f（x）0，当时，f（x）0，故函数 f（x） 在单调递增，在单调递增； （2）令 g（x）bln（x+1）+exx1，则 g（0）0， 对任意 x0，g（x）0 等价于 g（x）g（0） ， ， 当 b0 时，g（0）0，则存在 m0，使 x（0，m）使，g（x）0， g（x）在（0，m）上是减函数， x（0，m）时，g（x）g（0） ，与条件不符， 当 b0 时，由 x0，可知 x+11，故， g（x）0， g（x）在（0，+）上是增函数， x0 时，g（x）g（0） ，即 g（x）0， ； 综上，实数 b 的取值范围为0
38、，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思 第 20 页（共 21 页） 想，属于中档题 (二二)选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的普
39、通方程； （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A，与曲线 C2交于不同于极点 的点 B，求线段 AB 的长 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用极径的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数，转换为直角坐标方 程为 x2+（y2）24 曲线 C2的极坐标方程为 4cos转换为直角坐标方程为（x2）2+y24 （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A， 所以，解得 12 与曲线 C2交于不同于极点的点 B， 所以，解得， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和
40、直角坐标方程之间的转换，极 径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23设函数 f（x）|x+a|+|x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2，求实数 a 的取值范围 第 21 页（共 21 页） 【分析】 （1）原不等式即为|x+1|+|x1|4，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求 并集，可得所求解集； （2）由题意可得 f（x）min2，运用绝对值不等式的性质可得 f（x）的最小值，由绝对 值不等式的解法可得所求范围 【解答】解： （1）当 a1 时，不等式 f（x）4 即为|x+1|+|x1|4， 可得或或， 解得 x2 或 x或 x2， 则原不等式的解集为（，22，+） ； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2， 即为 f（x）min2， 由|x+a|+|x1|x+ax+1|a+1|，当（x+a） （x1）0 取得等号， 则 f（x）min|a+1|，由|a+1|2，可得 a1 或 a3， 则 a 的取值范围是（，31，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和 转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题
