1、已知集合 A0，1，B0，1，2，则满足 ACB 的集合 C 的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 2 （3 分）已知 i 为虚数单位，复数 z2i+，则|z|（ ） A2 B C5 D25 3 （3 分）已知平面向量 ， 的夹角为，且| |1，| |2，则 2 + 与 的夹角是（ ） A B C D 4 （3 分）空气质量指数 AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应 如表所示： AQI 050 51100 101150 151200 201300 300 以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市 2018 年 12 月全月的
2、AQI 指数变化统计图： 根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A整体上看，这个月的空气质量越来越差 B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 C从 AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D从 AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 5 （3 分） （x）6的展开式中，常数项为（ ） 第 2 页（共 23 页） A60 B15 C15 D60 6 （3 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，a22， （Sn+1） （Sn+2+1）（Sn+1+1）2， 则 Sn（ ） A B2n+1 C2n1 D2n+1+1 7 （3 分）已知 f（x）是定义在 R 上
3、的奇函数，若 x1，x2R，则“x1+x20”是“f（x1） +f（x2）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示， 点（0，） ， （，0） ， （）在图象上，若 x1，x2（） ，x1x2，且 f（x1）f（x2） ，则 f（x1+x2）（ ） A3 B C0 D 9 （3 分）若直线 xmy+m0 与圆（x1）2+y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不 同的象限，则 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，2） C （1，0） D （2，0） 10
4、 （3 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，四面体 ABCD 各顶点坐标分别为 A（2，2，1） ， B（2，2，1） ，C（0，2，1） ，D（0，0，1） ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A16 B12 C4 D6 11 （3 分）设 P 是抛物线 C：y24x 上的动点，Q 是 C 的准线上的动点，直线 l 过 Q 且与 OQ（O 为坐标原点）垂直，则 P 到 l 的距离的最小值的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，1 C0，1 D （0，2 12 （3 分）已知函数 f（x）lnx+（a1）x+22a若不等式 f（x）0 的解集中整数的 个数为 3，则 a 的取值范围是（
5、） A （1ln3，0 B （1ln3，2ln2 第 3 页（共 23 页） C （1ln3，1ln2 D0，1ln2 二、填空题二、填空题 13 （3 分）中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九 日走 1260 里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该男子的第三日走的里数 为 14 （3 分）根据下列算法语句，当输入 x，yR 时，输出 s 的最大值为 15 （3 分）已知 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）|x23x|，则不等式 f（x 2）2 的解集为 16 （3 分）设 m，n 为平面 外两条直线，其在平面 内的射影分别是两
6、条直线 m1和 n1， 给出下列 4 个命题： m1n1mn； mnm1与 n1平行或重合； m1n1mn； mnm1n1其中所有假命题的序号是 三、解答题三、解答题 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sinA，sinB，sinC 成等差数列， 且 cosC （1）求的值； （2）若 c11，求ABC 的面积 18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 A，B 实验地分别用甲、乙方法 培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 50 株，对每株进行综合 评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为 80 及以上 的花苗为
7、优质花苗 （1）求图中 a 的值，并求综合评分的中位数 （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 A，B 两块试验地随机抽取 3 棵花苗，求 所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； （3）填写下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 第 4 页（共 23 页） 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计 附：下面的临界值表仅供参考 P （K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中
8、na+b+c+d ） 19如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，点 M 在 AD 上，且 AMAD将AED，DCF 分别沿 DE，DF 折叠使 A，C 点重合于点 P，如 图 2 所示 （1）试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系，并给出证明； （2）求二面角 MEFD 的余弦值 20已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F（，0） ，过点 F 且垂直于 x 轴 的直线与椭圆相交所得的弦长为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆内一点 P（0，t） ，斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，设直线 OM， 第 5 页（共
9、 23 页） ON（O 为坐标原点）的斜率分别为 k1，k2，若对任意 k，存在实数 ，使得 k1+k2k， 求实数 的取值范围 21已知函数 f（x）ex（xa）2+4 （1）若 f（x）在（，+）上单调递增，求 a 的取值范围； （2）若 x0，不等式 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 M 的 极坐标方程为 4cos （1）求 M 的普通方程； （2）将圆 M 平移使其圆心为 N（，0） ，设 P 是圆 N 上的动点，点 A 与 N 关于原点 O 对称，线段 PA 的垂直平分线与 PN 相交于点 Q，
10、求 Q 的轨迹的参数方程 23设 a0，b0，且 a+bab （1）若不等式|x|+|x2|a+b 恒成立，求实数 x 的取值范围 （2）是否存在实数 a，b，使得 4a+b8？并说明理由 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年四川省眉山市高三（上）期末数学试卷（理科）学年四川省眉山市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分）已知集合 A0，1，B0，1，2，则满足 ACB 的集合 C 的个数为（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】集合
11、A0，1，B0，1，2，利用列举法能求出满足 ACB 的集合 C 的 个数 【解答】解：集合 A0，1，B0，1，2， 满足 ACB 的集合 C 有： 2，0，2，1，2，0，1，2，共 4 个 故选：A 【点评】本题考查满足条件的集合个数的求法，考查并集定义等基础知识，是基础题 2 （3 分）已知 i 为虚数单位，复数 z2i+，则|z|（ ） A2 B C5 D25 【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数模长公式进行计算即可 【解答】解：i 为虚数单位，复数 z2i+2i+2i+34i， |z|5， 故选：C 【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数的四则运算法则进行化简以及结合
12、复 数的模长公式是解决本题的关键，比较基础 3 （3 分）已知平面向量 ， 的夹角为，且| |1，| |2，则 2 + 与 的夹角是（ ） A B C D 【分析】由已知可求，然后根据向量数量积的性质求出（）， ，代入向量的夹角公式可求 【解答】解：向量 ， 的夹角为，且| |1，| |2， 第 7 页（共 23 页） 11， （）6，2， 设 2 + 与 的夹角是 ， 则 cos， 0， 故选：D 【点评】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题 4 （3 分）空气质量指数 AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应 如表所示： AQI 050
13、 51100 101150 151200 201300 300 以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市 2018 年 12 月全月的 AQI 指数变化统计图： 根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A整体上看，这个月的空气质量越来越差 B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 C从 AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D从 AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【分析】从整体上看 AQI 指数变化图越来越低，空气质量越来越好，从数据的集中程度 第 8 页（共 23 页） 来看，后半个月比前半个月集中些，从数据大小来看，前半
14、个月数据大于后半个月数据 【解答】解：从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故 A，B 不正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半 个月的方差大于后半个月的方差，所以 C 正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月 平均值，故 D 不正确 故选：C 【点评】本题考查了函数的表示方法，属中档题 5 （3 分） （x）6的展开式中，常数项为（ ） A60 B15 C15 D60 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数 项 【解答
15、】解： （x）6的展开式的通项公式为 Tr+1 （2）rx6 3r，令 63r0， 求得 r2， 可得常数项460， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 6 （3 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，a22， （Sn+1） （Sn+2+1）（Sn+1+1）2， 则 Sn（ ） A B2n+1 C2n1 D2n+1+1 【分析】本题依题意可先根据等比中项的知识判断出数列Sn+1为等比数列，再得出数 列Sn+1的通项公式，即可得到 Sn的结果 【解答】解：由题意，可知： 根据（Sn+1） （Sn+2+1）（Sn+1+1
16、）2， 可知：数列Sn+1为等比数列 又S1a11， 第 9 页（共 23 页） S2a1+a21+23 S1+12， S2+14 故选：C 【点评】本题主要考查等比数列的判定以及等比数列通项公式的求法，本题要把 Sn+1 看 成一个整体去考虑，本题属中档题 7 （3 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若 x1，x2R，则“x1+x20”是“f（x1） +f（x2）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：函数 f（x）是奇函数， 若 x1+x20， 则 x1x2
17、， 则 f（x1）f（x2）f（x2） ， 即 f（x1）+f（x2）0 成立，即充分性成立， 若 f（x）0，满足 f（x）是奇函数，当 x1x22 时， 满足 f（x1）f（x2）0，此时满足 f（x1）+f（x2）0， 但 x1+x240，即必要性不成立， 故“x1+x20”是“f（x1）+f（x2）0”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题 的关键 8 （3 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示， 点（0，） ， （，0） ， （）在图象上，若 x1，x2（） ，x1x2，且 f（
18、x1）f（x2） ，则 f（x1+x2）（ ） 第 10 页（共 23 页） A3 B C0 D 【分析】根据条件求出 A， 和 的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进 行求解即可 【解答】 解： 由条件知函数的周期满足 T2 （） 224， 即4， 则 ， 由五点对应法得+0，即+0，得 ， 则 f（x）Asin（x） ， 则 f（0）Asin（）A，得 A3， 即 f（x）3sin（x） ， 在（）内的对称轴为 x， 若 x1，x2（） ，x1x2，且 f（x1）f（x2） ， 则 x1，x2关于 x对称， 则 x1+x22， 则 f（x1+x2）f（）3sin（）3sin3sin
19、， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利 用三角函数的对称性是解决本题的关键 9 （3 分）若直线 xmy+m0 与圆（x1）2+y21 相交，且两个交点位于坐标平面上不 同的象限，则 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，2） C （1，0） D （2，0） 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，进而可得圆与 x 轴的交点坐标为（0，0） ， （2， 第 11 页（共 23 页） 0） ，设交点（2，0）为 B，求出同时过点（0，1）与（2，0）的直线方程，结合直线与 圆的位置关系即可得答案 【解答】解：根据题意，圆（x1）2+y
20、21 的圆心为（1，0） ，半径 r1，与 x 轴的交 点为（0，0） ， （2，0） ， 设 B 为（2，0） ； 直线 xmy+m0 即 xm（y1）0，恒过经过点（0，1） ，设 A（0，1） ； 当直线经过点 A、B 时，即 m2， 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限， 必有2m0，即 m 的取值范围为（2，0） ； 故选：D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题 10 （3 分）在空间直角坐标系 Oxyz 中，四面体 ABCD 各顶点坐标分别为 A（2，2，1） ， B（2，2，1） ，C（0，2，1） ，D（0，0，1） ，则该四面
21、体外接球的表面积是（ ） A16 B12 C4 D6 【分析】利用各点坐标确定四面体 ABCD 各顶点恰是正方体的顶点，利用正方体外接球 的直径为其体对角线长可得解 【解答】解：通过各点的坐标可知， A，B，C，D 四点恰为棱长为 2 的正方体的四个顶点， 故此四面体与对应正方体由共同的外接球， 其半径为体对角线的一半：， 故其表面积为：12， 故选：B 第 12 页（共 23 页） 【点评】此题考查了长方体外接球的问题，难度不大 11 （3 分）设 P 是抛物线 C：y24x 上的动点，Q 是 C 的准线上的动点，直线 l 过 Q 且与 OQ（O 为坐标原点）垂直，则 P 到 l 的距离的最
22、小值的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，1 C0，1 D （0，2 【分析】设点 Q 的坐标为（1，t） ，可得直线 l 的方程为 xty+t2+10与直线 l 平行 且与抛物线相切的直线方程为 xty+t20即可得 P 到 l 的距离的最小值 【解答】解：抛物线 y24x 上的准线方程是 x1 设点 Q 的坐标为（1，t） 则直线 l 的方程为 xty+t2+10 设与直线 l 平行的直线方程为 xty+m0代入抛物线方程可得 y24ty+4m0， 由16t216m0，可得 mt2 故与直线 l 平行且与抛物线相切的直线方程为 xty+t20 则 P 到 l 的距离的最小值 d（0
23、，1 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题 12 （3 分）已知函数 f（x）lnx+（a1）x+22a若不等式 f（x）0 的解集中整数的 个数为 3，则 a 的取值范围是（ ） A （1ln3，0 B （1ln3，2ln2 C （1ln3，1ln2 D0，1ln2 【分析】 f （x） + （a1） ， 对 a 分类讨论， 当 a10 时， f （x） 0，可得 x时取得极大值即最大值0而 f（1）1a0，f（2） ln20，必须 f（3）0，f（4）0即可得出 【解答】解：f（x）+（a1） ， 当 a10 时，f（x）0，此时函数
24、 f（x）单调递增，不满足条件，舍去 当 a10 时，f（x）0，可得 x时取得极大值即最大值 第 13 页（共 23 页） ln（1a）+12a0 而 f（1）1a0，f（2）ln20，必须 f（3）ln3+a10，f（4）ln4+2a2 0 解得：1ln3a1ln2 a 的取值范围是（1ln3，1ln2 故选：C 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于难题 二、填空题二、填空题 13 （3 分）中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九 日走 1260 里，第一日，第四日，第七日所走之和为 390 里，则该
25、男子的第三日走的里数 为 120 【分析】由题意可得，每天走的路程是等差数列，结合已知条件及等差数列的通项公式 及求和公式可求首项及公差，即可求解 【解答】解：由题意可得，每天走的路程是等差数列， 且， 即 解得， 所以 a3a1+2d120 故答案为：120 【点评】本题主要考查等差数列的应用，根据等差数列建立条件关系求出公差是解决本 题的关键 14 （3 分）根据下列算法语句，当输入 x，yR 时，输出 s 的最大值为 2 第 14 页（共 23 页） 【分析】可将本题转化为，求 sx+y 的最大值问题用线性规划知识解决即 可 【解答】解：依题意， 不等式组表示的平面区域如图：sx+y，所
26、以 yx+s， 故当 yx+s 过直线 xy0 和直线 2x+y30 时，s 最大， 即过（1，1）时，s 最大，此时 s1+12 故填：2 【点评】将 s 的最大值转化为线性规划，是解决本题的关键 15 （3 分）已知 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）|x23x|，则不等式 f（x 2）2 的解集为 x|1x3 或 4x或x0 【分析】根据题意，由函数的解析式求出当 x0 时，不等式 f（x）2 的解集，结合函 数的奇偶性可得 f（x）2 的解集，据此由函数图象的性质分析可得 f（x2）2 的解 集，即可得答案 【解答】解：根据题意，当 x0 时，f（x）|x23x|，
27、第 15 页（共 23 页） 此时若有 f（x）2，即，解可得 0x1 或 2x，即此时 f （x）2 的解集为x|0x1 或 2x， 又由 f（x）为偶函数，则当 x0 时，f（x）2 的解集为x|1x0 或x 2， 综合可得：f（x）2 的解集为x|1x1 或 2x或x2； 对于 f（x2）2，则有1x21 或 2x2或x22 则不等式 f（x2）2 的解集x|1x3 或 4x或x0； 故答案为：x|1x3 或 4x或x0 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是分析 f（x）2 的解集 16 （3 分）设 m，n 为平面 外两条直线，其在平面 内的射影分别是两条直线 m1和 n
28、1， 给出下列 4 个命题： m1n1mn； mnm1与 n1平行或重合； m1n1mn； mnm1n1其中所有假命题的序号是 【分析】根据直线和射影之间的关系分别进行判断即可 【解答】解：两条异面直线在平面的射影可能平行，则两条直线不平行，故错误， 若 mn，则 m1与 n1平行或重合或是两个点，故错误 因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线 所成的角可以是锐角，故错误 两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个 点等其他情况，故错误 故假命题是， 故答案为： 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线和射影之间的关系，考
29、查学生的推理 能力 三、解答题三、解答题 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sinA，sinB，sinC 成等差数列， 且 cosC 第 16 页（共 23 页） （1）求的值； （2）若 c11，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知及正弦定理可得 2ba+c，然后结合余弦定理可得 cosC ，可求 a，b 的关系，由正弦定理可得的值； （2）由题意可得，可求 a，b，然后利用 sinC求出 sinC，代入 三角形的面积公式 SABCabsinC 即可计算得解 【解答】解： （1）由题意可得，2sinBsinA+sinC， 由正弦定理可得，2ba+c， c2b
30、a， cosC 由余弦定理可得， cosC， 整理可得， 10a9b， （2）当 c11 时，由，解可得 a9，b10， cosC， sinC， SABCabsinC91030 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式的简单应用， 熟练掌握定理及公式是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 A，B 实验地分别用甲、乙方法 培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 50 株，对每株进行综合 评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为 80 及以上 的花苗为优质花苗 （1
31、）求图中 a 的值，并求综合评分的中位数 （2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 A，B 两块试验地随机抽取 3 棵花苗，求 所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； （3）填写下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 第 17 页（共 23 页） 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计 附：下面的临界值表仅供参考 P （K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中 na+b+c
32、+d ） 【分析】 （1）利用频率和为 1 列方程求出 a 的值，再计算中位数； （2）由题意知 的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值； （3）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论 【解答】解： （1）因为（a+0.005+0.010+0.025+0.020）101， 解得 a0.040， 设 y 为评分的中位数， 则前三组的概率和为 0.40， 前四组的概率和为 0.80， 知 80y90， 所以 0.4+（y80）0.040.5，则 y82.5； （2）由（1）知，树高为优秀的概率为：0.4+0.20.6， 由题意知 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（0
33、）0.430.064， P（1）0.420.60.288， P（2）0.40.620.432， P（3）0.630.216， 第 18 页（共 23 页） 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以数学期望为 E（）30.61.8； （3）填写列联表如下， 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 30 50 乙培育法 40 10 50 合计 60 40 100 计算 K216.62.706， 所以有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关 【点评】本题考查了频率分布直方图应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题 和独立性检验问题，是中档
34、题 19如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，点 M 在 AD 上，且 AMAD将AED，DCF 分别沿 DE，DF 折叠使 A，C 点重合于点 P，如 图 2 所示 （1）试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系，并给出证明； （2）求二面角 MEFD 的余弦值 【分析】 （1）由折叠前后的图形证明 MNPB，由线面平行的判定可得 PB平面 MEF； （2）图 2 中的三角形 PDE 与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE 与 RtCDF，说明 PDPE，PDPF，可得 PD平面 PEF，则 PDEF，进一步得到 EF平面 PBD，
35、从 而可得MND 为二面角 MEFD 的平面角求解三角形得答案 【解答】解： （1）PB平面 MEF 证明如下：在图 1 中，连接 BD，交 EF 于 N，交 AC 于 O，则 BN， 第 19 页（共 23 页） 在图 2 中，连接 BD 交 EF 于 N，连接 MN， 在DPB 中，有 BN，PM，MNPB PB平面 MEF，MN平面 MEF，故 PB平面 MEF； （2）图 2 中的三角形 PDE 与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE 与 RtCDF， PDPE，PDPF， 又 PEPEP，PD平面 PEF，则 PDEF， 又 EFBD，EF平面 PBD， 则MND 为二面角
36、 MEFD 的平面角 可知 PMPN，则在 RtMND 中，PM1，PN，则 MN 在MND 中，MD3，DN，由余弦定理，得 cosMND 二面角 MEFD 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查二面角 的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是关键，是中档题 20已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F（，0） ，过点 F 且垂直于 x 轴 的直线与椭圆相交所得的弦长为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过椭圆内一点 P（0，t） ，斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，设直线 OM， ON（O 为坐标原点）的斜率分别为 k1，
37、k2，若对任意 k，存在实数 ，使得 k1+k2k， 求实数 的取值范围 【分析】 （1）利用2，以及 c，a2b2+c2，求出 a，b，即可求椭圆 D 的方程； （2）设出直线方程，利用直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，通过斜率转化求解 即可 第 20 页（共 23 页） 【解答】解： （1）椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F（，0） ，则 c， 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2， +1，解得 y， 2， 即 b2a， a2b2+c2a+2， 解得 a2， 椭圆的方程为+1， （2）设直线 l 的方程为 ykx+t 由，消元可得（2k2+1）x2+4ktx+2
38、t240， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x2， 而 k1+k2+2k+t（+2k+t2k+t ， 由 k1+k2k，得k， 因为此等式对任意的 k 都成立，所以，即 t22 由题意得点 P（0，t）在椭圆内，故 0t22，即 022， 解得 2， 故实数 的取值范围为2，） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属 于中档题 21已知函数 f（x）ex（xa）2+4 第 21 页（共 23 页） （1）若 f（x）在（，+）上单调递增，求 a 的取值范围； （2）若 x0，不等式 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 【
39、分析】 （1）求出函数的导数，问题转化为 axex在 R 恒成立，令 h（x）xex，求 出函数的导数，求出函数的单调性求出 a 的范围即可； （2）求出函数的导数，令 h（x）exx+a，求出 h（x）在0，+）递增，且 h（0） 1+a，通过讨论 a 的范围，求出 f（x）的最小值，确定 a 的范围即可 【解答】解： （1）f（x）ex（xa） ， 若 f（x）在（，+）上单调递增， 则 ex（xa）0 即 axex在 R 恒成立， 令 h（x）xex，则 h（x）1ex， 令 h（x）0，解得：x0， 令 h（x）0，解得：x0， 故 h（x）在（，0）递增，在（0，+）递减， 故 h（
40、x）maxh（0）1， 故 a1； （2）由 f（x）ex（xa）2+4，得 f（x）exx+a， 令 h（x）exx+a，则 h（x）ex10， 故 h（x）在0，+）递增，且 h（0）1+a， 当 a1 时，f（x）0，函数 f（x）递增， 由于 f（x）0 恒成立，则有 f（0）5a20，即a， 故1a满足条件， 当 a1 时，则存在 x0（0，+） ，使得 h（x0）0， 当 0xx0时，h（x）0，则 f（x）0，f（x）递减， 当 xx0时，h（x）0，则 f（x）0，f（x）递增， 故 f（x）minf（x0）+40， 又 x0满足 h（x0）x0+a0，即 x0a， 故+40，
41、则280， 即（4） （+2）0，得 0x0ln4， 第 22 页（共 23 页） 又 ax0，令 u（x）xex，则 u（x）1ex， 可知，当 0xln4 时，u（x）0，则 u（x）递减， 故 u（x）ln44， 此时 ln44a1，满足条件， 综上，a 的范围是ln44， 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考 查了推理能力与计算能力，属于难题 22在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 M 的 极坐标方程为 4cos （1）求 M 的普通方程； （2）将圆 M 平移使其圆心为 N（，0） ，设 P 是圆 N
42、 上的动点，点 A 与 N 关于原点 O 对称，线段 PA 的垂直平分线与 PN 相交于点 Q，求 Q 的轨迹的参数方程 【分析】 （1）将原参数方程两端同乘以 cos，sin，移项后再取平方和即可得到普通方 程 （2）作图后根据椭圆的定义容易得到普通方程，进而得到参数方程 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 将 原 参 数 方 程 两 端 同 乘 以cos ， sin得 ： ，即 2+2得（x2）2+y24，即 M 的普通方程为： （x2）2+y24， （2）依题意 Q 点坐标为（，0） ，A 点坐标为（，0） ，且圆的半径 r2 Q 在线段 PA 的垂直平分线上，|PQ|AQ| r|NP|N
43、Q|+|PQ|QN|+|QA|NA|1， 根据椭圆的定义，Q 的轨迹为，以 N，A 为焦点，以 2 为长轴长的椭圆即 a1，c， b， Q 的参数方程为： 第 23 页（共 23 页） 【点评】本题考查了圆的极坐标方程、椭圆的定义、椭圆的参数方程等知识，属于中档 题 23设 a0，b0，且 a+bab （1）若不等式|x|+|x2|a+b 恒成立，求实数 x 的取值范围 （2）是否存在实数 a，b，使得 4a+b8？并说明理由 【分析】 （1）先利用基本不等式求出 a+b 的最小值，再将恒成立转化为最小值成立然 后分段去绝对值解不等式，再相并可得； （2）联立方程组，因方程组无解，所以不存在 【解答】解： （1）a0，b0，a+b2，ab，a+b， a+b4，即 a+b 的最小值为 4，ab2 时取得最小值 不等式|x|+|x2|a+b 恒成立等价于|x|+|x2|4， 或或， 解得：1x3， 所以实数 x 的取值范围是1，3 （2）联立消去 b 得 4a211a+80，1211280，4a211a+80 无 解， 所以不存在实数 a，n 使得 4a+b8 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
