1、已知集合 A1，1，3，4，集合 Bx|x24x+30，则 AB（ ） A1，4 B1，1，4 C1，3，4 D （，1）（3，+） 2 （5 分）已知复数 z，则|z|（ ） A1 B C2 D3 3 （5 分）已知实数 0ab，则下列说法正确的是（ ） A Bac2bc2 Clnalnb D （）a（）b 4 （5 分）已知命题 p：x2m+1，q：x25x+60，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ） Am Bm Cm1 Dm1 5 （5 分）若数列an为等差数列，且满足 3+a5a3+a8，Sn为数列an的前 n 项和，则 S11 （ ） A27 B33 C3
2、9 D44 6 （5 分）已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说 法正确的是（ ） A若 m，n，且 ，则 mn B若 m，n，且 m，n，则 C若 m，n，且 ，则 mn D若 m，n，且 ，则 mn 7 （5 分）已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1（a0，b0）的一个焦点重 合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 8 （5 分）如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若 m，则实 数 m 的值为（ ） A B C1 D2 9 （5 分）已知实数 a0，b1 满足 a+b
3、5，则+的最小值为（ ） A B C D 10 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，5，6的所有三个元素的子集记为 B1，B2，B3， Bn，nN*记 bi为集合 Bi中的最大元素，则 b1+b2+b3+bn（ ） A45 B105 C150 D210 11 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三形 三边的数对（x，y）的个数 a；最后再根据统计数 a 估计 的值，那么可以估计 的值 约
4、为（ ） A B C D 12 （5 分）已知 （2sin，cos） ， （cos，2cos） ，函数 f（x） 在区间0，上恰有 3 个极值点，则正实数 的取值范围为（ ） A，） B （， C，） D （，2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为 14 （5 分） 成都市某次高三统考， 成绩 X 经统计分析， 近似服从正态分布 XN （100， 2） ， 且 P（86X100）0.15，若该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大 第 3 页（共
5、 22 页） 于 114 分的人数为 15 （5 分）已知函数 f（x）x3+x+a，x，e与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关 于 x 轴对称的点，则 a 的取值范围为 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，ADBC5，E，F 分 别是 AD，BC 的中点则下述结论： 四面体 ABCD 的体积为 20； 异面直线 AC，BD 所成角的正弦值为； 四面体 ABCD 外接球的表面积为 50； 若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体，由此 得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 6 其中正确的有 （填写所有正确结论的编号） 三、解
6、答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （12 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本， 得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） 若用时不超过 40（分钟） ，则称这个工人为优秀 员工 （1）求
7、这个样本数据的中位数和众数； （2）以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查 4 名工人，求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，PAPC5，点 M，N 分别是 AB，PC 的中点 （1）求证：MN平面 PAD； 第 4 页（共 22 页） （2）若 cosPCD，DAB60，求直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值 19 （12 分）已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2，其前 n 项和为 Sn，且 S7 49，a3是 a1与 a13的等比中项，
8、a1a2 （1）求数列an的通项公式 an； （2）已知数列bn满足 bn2，cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 20 （12 分）已知点 P（1，） ， （x1，y） ， （x+1，y） ，且| |+| |4，满足条件 的点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）是否存在过点（0，1）的直线 l，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 M， N 两点， 使得|PM|PN|？若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在， 请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）
9、ln（x+1）ax1a（aR） （1）若 f（x）0 对任意 x1 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）求证：ln（x+1）+xex 1x+10 (二二)选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos （1）求曲线 C1的极坐标方
10、程和曲线 C2的普通方程； （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A，与曲线 C2交于不同于极点 第 5 页（共 22 页） 的点 B，求线段 AB 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23设函数 f（x）|x+a|+|x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年四川省蓉城名校联盟高三（下）第二次联考数学学年四川省蓉城名校联盟高三（下）第二次联考数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
11、、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 A1，1，3，4，集合 Bx|x24x+30，则 AB（ ） A1，4 B1，1，4 C1，3，4 D （，1）（3，+） 【分析】求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 A1，1，3，4， 集合 Bx|x24x+30x|x1 或 x3， AB1，4 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2
12、（5 分）已知复数 z，则|z|（ ） A1 B C2 D3 【分析】直接由商的模等于模的商求解 【解答】解：z， |z| 故选：C 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3 （5 分）已知实数 0ab，则下列说法正确的是（ ） A Bac2bc2 Clnalnb D （）a（）b 【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：对于 A实数 0ab，（c0 不成立） ， 对于 Bc0 不成立 对于 C利用对数函数的单调性即可得出 对于 D.，因此不成立 故选：C 【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了
13、推理能力与计算能力， 属于基础题 4 （5 分）已知命题 p：x2m+1，q：x25x+60，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ） Am Bm Cm1 Dm1 【分析】p 是 q 的必要不充分条件，推导出（2，3）（，2m+1） ，由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】解：命题 p：x2m+1，q：x25x+60，即：2x3， p 是 q 的必要不充分条件， （2，3）（，2m+1） ， 2m+13，解得 m1 实数 m 的取值范围为 m1 故选：D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查必要条件、充分条件、充要条件等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 5
14、 （5 分）若数列an为等差数列，且满足 3+a5a3+a8，Sn为数列an的前 n 项和，则 S11 （ ） A27 B33 C39 D44 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，且满足 3+a5a3+a8， a63 Sn为数列an的前 n 项和，则 S1111a633 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 第 8 页（共 22 页） 力，属于基础题 6 （5 分）已知 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是空间中两条不同的直线，则下列说 法正确的是（ ） A若 m，n，且 ，则 mn
15、 B若 m，n，且 m，n，则 C若 m，n，且 ，则 mn D若 m，n，且 ，则 mn 【分析】根据空间线面位置关系，逐一判定即可 【解答】解：对于 A，当 m，n，且 ，则 m 与 n 的位置关系不定，故错； 对于 B，当 mn 时，不能判定 ，故错； 对于 C，若 m，n，且 ，则 m 与 n 的位置关系不定，故错； 对于 D，由 m， 可得 m，又 n，则 mn 故正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，是中档题 7 （5 分）已知抛物线 y220x 的焦点与双曲线1（a0，b0）的一个焦点重 合，且抛物线的准线被双曲线截得
16、的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段 长为，可得，借助于 c2a2+b2，求出 a，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：由抛物线 y220x，可得 2p20，则 p10，故其准线方程为 x5， 抛物线 y220x 的准线过双曲线1（a0，b0）的左焦点， c5 抛物线 y220x 的准线被双曲线截得的线段长为， ，又 c225a2+b2， a4，b3， 第 9 页（共 22 页） 则双曲线的离心率为 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题 8 （5 分）
17、如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若 m，则实 数 m 的值为（ ） A B C1 D2 【分析】依题意，又 B，P，N 三点共线，则， 解出即可求得实数 m 的值 【解答】解：依题意， 又 B，P，N 三点共线， ，解得 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量基本定理的运用，属于基础题 9 （5 分）已知实数 a0，b1 满足 a+b5，则+的最小值为（ ） A B C D 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：因为 a0，b1 满足 a+b5， 则+（+）a+（b1）， ， 当且仅当时取等号， 故选：A 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性
18、质，属于基础题 10 （5 分）已知集合 A1，2，3，4，5，6的所有三个元素的子集记为 B1，B2，B3， 第 10 页（共 22 页） Bn，nN*记 bi为集合 Bi中的最大元素，则 b1+b2+b3+bn（ ） A45 B105 C150 D210 【分析】集合 M 含有 3 个元素的子集共有，所以 k20由此利用分类讨论思想能求 出 b1+b2+b3+b4+b5的值 【解答】解：集合 M 含有 3 个元素的子集共有20，所以 k20 在集合 Bi（i1，2，3，k）中： 最大元素为 3 的集合有1 个； 最大元素为 4 的集合有3； 最大元素为 5 的集合有6； 最大元素为 6 的
19、集合有10； 所以 b1+b2+b3+b4+b531+43+56+610105 故选：B 【点评】本题考查集合中 k 个元素的和的求法，考查集合的子集等基础知识，考查函数 与方程思想，考查函数与方程思想，数列求和，是中档题 11 （5 分）关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验 和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请全校 m 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对（x，y） ；再统计两数能与 1 构成钝角三形 三边的数对（x，y）的个数 a；最后再根据统计数 a 估计 的值，那么可以估计 的值 约为（ ） A B C D 【分析
20、】由不等式组中实数对（x，y）对应的平面区域， 分析两数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边的数对（x，y）对应的区域面积， 利用几何概型公式列式求得 的解析式 【解答】解：根据题意知，m 名同学取 m 对都小于 l 的正实数对（x，y） ，即， 对应区域为边长为 1 的正方形，其面积为 1， 第 11 页（共 22 页） 若两个正实数 x、y 能与 1 构成钝角三角形三边，则有， 其面积 S； 则有， 解得 故选：D 【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，涉及几何概率的计算问题，是基础题 12 （5 分）已知 （2sin，cos） ， （cos，2cos） ，函数 f（x） 在区间0
21、，上恰有 3 个极值点，则正实数 的取值范围为（ ） A，） B （， C，） D （，2 【分析】化简函数 f（x）得，根据正弦函数的性质结合题意可 得，解出即可 【解答】解： ， 令，解得， 令，解得， 又函数 f（x）在区间恰有 3 个极值点， ，解得 故选：B 【点评】本题考查平面向量的数量积，三角恒等变换，正弦型函数的图象及性质，考查 逻辑推理以及运算求解能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 12 页（共 22 页） 13 （5 分）实数 x，y 满足，则 z2x+y 的最大值为 【分析】作出不等式
22、组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合，即可得到 结论 【解答】解：作出可行域如图所示， 则当直线 z2x+y 过点 C 时直线的截距最大，z 取最大值 由， C（，） ，z 取最大值：2+ 故答案为： 【点评】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算 等数学核心素养利用数形结合是解决本题的关键 14 （5 分） 成都市某次高三统考， 成绩 X 经统计分析， 近似服从正态分布 XN （100， 2） ， 且 P（86X100）0.15，若该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大 于 114 分的人数为 2800 【分析】直接利用正态
23、分布的关系式求出概率的值，进一步利用比例的关系的应用求出 结果 【解答】解：根据正态分布 XN（100，2） ，且 P（86X100）0.15， 故 P（100X114）0.15， 第 13 页（共 22 页） 所以 P（X114） 故该市有 8000 人参考， 则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为 80000.35 2800 故答案为：2800 【点评】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 15 （5 分）已知函数 f（x）x3+x+a，x，e与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关 于 x 轴对称的点，则 a 的
24、取值范围为 2，e32 【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程 a1x33lnx 在区间，e上有解，构 造函数 g（x）x33lnx，利用导数分析 g（x）的最大最小值，可得 g（x）的值域，进 而分析可得方程 a1x33lnx 在区间，e上有解，必有 1a1e33，解可得 a 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，若函数 f（x）x3+x+a（xe）与 g（x）3lnxx1 的图象上存在关于 x 轴对称的点， 则方程x3+x+a3lnx+x+1 在区间，e上有解， 即方程 a1x33lnx 在区间，e上有解， 设函数 g（x）x33lnx，其导数 g（x）3x2， 又由 x，e，可
25、得：当x1 时，g（x）0，g（x）为减函数， 当 1xe 时，g（x）0，g（x）为增函数， 故函数 g（x）x33lnx 有最小值 g（1）1， 又由 g（）+3，g（e）e33；比较可得：g（）g（e） ， 故函数 g（x）x33lnx 有最大值 g（e）e33， 故函数 g（x）x33lnx 在区间，e上的值域为1，e33； 若方程 a+1x33lnx 在区间，e上有解， 必有 1a1e33，则有 2ae32， 即 a 的取值范围是2，e32； 第 14 页（共 22 页） 故答案为：2，e32； 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于 x 轴对 称的点
26、转化为方程方程 a1x33lnx 在区间，e上有解 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，ADBC5，E，F 分 别是 AD，BC 的中点则下述结论： 四面体 ABCD 的体积为 20； 异面直线 AC，BD 所成角的正弦值为； 四面体 ABCD 外接球的表面积为 50； 若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体，由此 得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 6 其中正确的有 （填写所有正确结论的编号） 【分析】补成长，宽，高分别为 3，4，5 的长方体，在长方体中可解决 【解答】解：补成长，宽，高分别为 3，4，5 的长方体，在长
27、方体中： ，四面体 ABCD 的体积为 V345420，故正确 ，异面直线 AC，BD 所成角的正弦值等价于边长为 5，3 的矩形的对角线夹角正弦值， 可得正弦值为，故错； ，四面体 ABCD 外接球就是长方体的外接球，半径 R，其表面 积为 50，故正确； ，由于 EF，故截面为平行四边形 MNKL，可得 KL+KN5， 设异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ，则 sinsinHFBsinLKN，算得 sin， S四边形MNKLNKKLsinNKL（）26故正确 故答案为： 第 15 页（共 22 页） 【点评】本题考查空间图形中点、线、面的位置关系，截面面积的最大值等，用了割补 法，中档
28、题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写岀文字说明、分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。第证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。(一一)必考题：共必考题：共 60 分。分。 17 （12 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本， 得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） 若用时不超过 40（分钟） ，则称这个工人为优秀 员工
29、 （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查 4 名工人，求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 【分析】 （1）根据茎叶图，求出即可； （2）被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x0，1，2，3，4，任取一名优秀员工的概率 为，故 xB（4，） ，求出分布列和数学期望 【解答】解： （1）中位数为 43，众数为 47； （2）被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x0，1，2，3，4， 任取一名优秀员工的概率为，故 xB（4，） ， 第 16 页（共 22 页） P（xk），k0，1，2，3，4， x 的分布列如
30、下： x 0 1 2 3 4 P 故 E（x） 【点评】本题考查茎叶图，考查二项分布求分布列和数学期望，基础题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，PAPC5，点 M，N 分别是 AB，PC 的中点 （1）求证：MN平面 PAD； （2）若 cosPCD，DAB60，求直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值 【分析】 （1）取 PD 的中点 H，连接 NH，AH，利用三角形中位线定理、平行四边形的 判定与性质定理即可得出 MNAH，再利用线面平行的判定定理即可证明结论 （2）利用已知条件、勾股定理的逆定理，线面垂直的判定定理性质定理可得：P
31、D平 面 ABCD，ACBD，建立空间直角坐标系 Oxyz设平面 PAD 的法向量为 （x，y， z） ，则 0，可得 ，即可得出 sin|cos， | 【解答】 （1）证明：取 PD 的中点 H，连接 NH，AH N 是 PC 的中点，NHDC，又 AMDC， NHAM，四边形 AMNH 是平行四边形 MNAH，又 MN平面 PAD，AH平面 PAD， MN平面 PAD 第 17 页（共 22 页） （2）解：PC5，DC4，cosPCD，PD3，PC2PD2+CD2，PDDC， 同理可得：PDAD，又 ADCDD，PD平面 ABCD 连接 AC，BD，设 ACBDO，则 ACBD，建立空间
32、直角坐标系 Oxyz A（2，0，0） ，C（2，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，2，3） ，N（， 1，） ，（3，1，） ，（2，2，0） ，（0，0，3） 设平面 PAD 的法向量为 （x，y，z） ， 则 0，则2x2y0，3z0，取 （1，0） sin|cos， | 直线 AN 与平面 PAD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、平行四边形的判定与性质定理，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）已知数列an满足对任意 nN*都有 2an+1an+an+2，其前 n 项和为 Sn，且 S7 49，a3是 a1与 a13的等比中项，a1a
33、2 （1）求数列an的通项公式 an； （2）已知数列bn满足 bn2，cnanbn，设数列cn的前 n 项和为 Tn，求 大于 1000 的最小的正整数 n 的值 【分析】 （1）由任意 nN*都有 2an+1an+an+2可得数列an是等差数列，再利用等差数 列的通项公式和前 n 项和公式即可求解； （ 2 ） 由 题 意 可 知 ， 利 用 错 位 相 减 法 求 得 第 18 页（共 22 页） ，由1000 得，22n+21000，解得 n4，所以满足条 件的最小的正整数 n 的值为 4 【解答】解： （1）任意 nN*都有 2an+1an+an+2， 数列an是等差数列， S749
34、，7a449，a47， 又a3是 a1与 a13的等比中项，a1a2，设数列an的公差为 d，且 d0， 则（7d）2（73d） （7+9d） ，解得 d2， a173d1， an1+2（n1）2n1； （2）由题意可知， ， ， 得：， ， 4n+122n+2， 由1000 得，22n+21000， 2n+210， n4， 满足条件的最小的正整数 n 的值为 4 【点评】本题主要考查了等差数列的性质，考查了错位相减法数列求和，是中档题 20 （12 分）已知点 P（1，） ， （x1，y） ， （x+1，y） ，且| |+| |4，满足条件 的点 Q（x，y）的轨迹为曲线 C （1）求曲线
35、C 的方程； （2）是否存在过点（0，1）的直线 l，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 M， N 两点， 使得|PM|PN|？若存在， 求出直线 l 的方程； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）设 F1（1，0） ，F2（1，0） ，由向量的模和两点的距离公式，结合椭圆的 第 19 页（共 22 页） 定义可得 c1，a2，求得 b，进而得到所求曲线的方程； （2）假设存在这样的直线符合题意讨论直线 l 的斜率不存在，检验不成立；当直线 l 的斜率存在时，设方程为 ykx1，A（x1，kx11） ，B（x2，kx21） ，由|PM|PN|
36、， 可得 kPA+kPB0，运用直线的斜率公式，化简整理，再联立直线方程和椭圆方程，运用 韦达定理，解 k 的方程，可得所求斜率，可判断存在直线 l 【解答】解： （1）设 F1（1，0） ，F2（1，0） ， 由 （x1，y） ， （x+1，y） ，| |+| |4， 可得+4，即为|QF1|+|QF2|4， 由 4|F1F2|，可得 Q 的轨迹是以 F1（1，0） ，F2（1，0）为焦点，且 2a4 的椭圆， 由 c1，a2，可得 b，可得曲线 C 的方程为+1； （2）假设存在过点（0，1）的直线 l 符合题意 当直线 l 的斜率不存在，设方程为 x0，可得 M，N 为短轴的两个端点，
37、|PM|PN|不成立； 当直线 l 的斜率存在时，设方程为 ykx1，A（x1，kx11） ，B（x2，kx21） ， 由|PM|PN|，可得 kPM+kPN0，即 kPA+kPB0， 可得+0，化为 2kx1x2（k+） （x1+x2）+50， 由可得（3+4k2）x28kx80， 由（0，1）在椭圆内，可得直线 l 与椭圆相交， x1+x2，x1x2， 则 2k（）（k+） （）+50， 化为16k8k（k+）+5（3+4k2）0，即为 4k212k+50，解得 k或 k， 所以存在直线 l 符合题意，且方程为 yx1 或 yx1 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆
38、方程联立，运用韦达 定理，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ln（x+1）ax1a（aR） 第 20 页（共 22 页） （1）若 f（x）0 对任意 x1 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）求证：ln（x+1）+xex 1x+10 【分析】 （1）分离变量可得对任意 x1 恒成立，构造新函数利用导 数即可求得实数 a 的取值范围； （2）由（1）知，ln（x+1）+x0，则问题转化证明ln（x+1）+x+xex 12x+10， 即证 h（x）xex 12x+1（x1）大于等于 0 即可 【解答】解： （1）问题等价于对任意
39、x1 恒成立， 令 tx+1（x1） ，则 t0， 令，则， g（t）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数， g（t）有最小值 g（1）1， a1； （2）由（1）知，ln（x+1）+x0，要证ln（x+1）+xex 1x+10，即证ln（x+1） +x+xex 12x+10， 令 h（x）xex 12x+1（x1） ，h（x）（x+1）ex12，h（x）（x+2）ex1 0， h（x）在（1，+）是增函数， 又 h（1）0， h（x）在（1，1）是减函数，在（1，+）是增函数， h（x）h（1）0，即 xex 12x+10， ln（x+1）+x+xex 12x+10，即得证 【点评
40、】本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查不等式的 证明，考查推理论证能力，属于中档题 (二二)选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一则按所做的第一 题计分。题计分。选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数，以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 C2的极坐 标方程为 4cos 第 21 页（共 22 页） （1）求曲线 C1的极坐标方程和曲线 C
41、2的普通方程； （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A，与曲线 C2交于不同于极点 的点 B，求线段 AB 的长 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用极径的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数，转换为直角坐标方 程为 x2+（y2）24 曲线 C2的极坐标方程为 4cos转换为直角坐标方程为（x2）2+y24 （2）设射线 OP：与曲线 C1交于不同于极点的点 A， 所以，解得 12 与曲线 C2交于不同于极点的点 B， 所以，解得， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标
42、方程和直角坐标方程之间的转换，极 径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23设函数 f（x）|x+a|+|x1|（aR） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）4 的解集； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）原不等式即为|x+1|+|x1|4，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求 并集，可得所求解集； （2）由题意可得 f（x）min2，运用绝对值不等式的性质可得 f（x）的最小值，由绝对 值不等式的解法可得所求范围 【解答】解： （1）当 a1 时，不等式 f（x）4 即为|x+1|+|x1|4， 可得或或， 第 22 页（共 22 页） 解得 x2 或 x或 x2， 则原不等式的解集为（，22，+） ； （2）若对任意 xR 都有 f（x）2， 即为 f（x）min2， 由|x+a|+|x1|x+ax+1|a+1|，当（x+a） （x1）0 取得等号， 则 f（x）min|a+1|，由|a+1|2，可得 a1 或 a3， 则 a 的取值范围是（，31，+） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和 转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题
