1、设集合 Ax|1x1，Bx|xx20，则 AB（ ） Ax|1x0 Bx|1x0 或 x1 Cx|0x1 Dx|0x1 2 （5 分）设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z13+i，则 z1z2（ ） A10 B10 C9+i D9i 3（5 分） 等差数列an前 n 项和为 Sn， 若 a4， a10是方程 x28x+10 的两根， 则 S13 （ ） A58 B54 C56 D52 4 （5 分）若向量与垂直，且，则 sin2 （ ） A B C D 5 （5 分）某高校调查了 320 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频 率分布直方图， 其中自习时间的范
2、围是17.5， 30， 样本数据分组为17.5， 20） ， 20， 22.5） ， 22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是（ ） A68 B72 C76 D80 6 （5 分）若双曲线的一个焦点为抛物线 y212x 的焦点，则 m（ ） A2 B8 C9 D64 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） 第 2 页（共 22 页） A3 B6 C10 D15 8 （5 分）已知命题 p：对任意 x0，总有 sinxx；命题 q：直线 l1：ax+2y+10，l2：x+ （a1）y10
3、，若 l1l2，则 a2 或 a1；则下列命题中是真命题的是（ ） Apq B （p）（q） C （p）q Dpq 9 （5 分）在区间0，2上任取两个数，则这两个数之和大于 3 的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数 f（x）cos（2x+） （0，|）的最小正周期为 ，将其图象 向右平移个单位后得函数 g（x）cos2x 的图象，则函数 f（x）的图象（ ） A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于点（）对称 D关于点（，0）对称 11 （5 分）甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同） ，记甲、乙两个几何体的体积 分别为 V1，V2，则（ ） 第 3 页（共
4、22 页） AV12V2 BV22V2 CV1V2163 DV1V2173 12 （5 分）已知 e 为自然对数的底数，设函数存在极大值点 x0，且 对于 a 的任意可能取值，恒有极大值 f（x0）0，则下列结论中正确的是（ ） A存在，使得 B存在，使得 Cb 的最大值为 e3 Db 的最大值为 2e2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知等比数列an中，a21，a58，则an的前 6 项和为 14 （5 分）已知随机变量 N（1，2） ，若 P（3）0.2，则 P（1） 15 （5 分）在的的展开式中，各项系数和与二项式系数
5、和之比为 32，则在 的展开式中 x2系数为 16 （5 分）已知圆 C：x2+y24x2y440，点 P 的坐标为（t，4） ，其中 t2，若过点 P 有且只有一条直线 l 被圆 C 截得的弦长为，则直线 l 的一般式方程是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cos2B+sin2B1，0 B， 第 4 页（共 22 页） （1）求 B （2）若|3，求ABC 面积的最大值 18 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质
6、量越好，记其质 量指标为 k，当 k85 时，产品为一级品；当 75k85 时，产品为二级品；当 70k 75 时，产品为三级品现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做实验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （以下均视频率 为概率） A 配方的频数分布表 B 配方的频数分布表 指标 值分 组 75， 80） 80， 85） 85， 90） 90， 95） 指标 值分 组 75， 80） 80， 85） 85， 90） 90， 95） 75， 80） 频数 10 30 40 20 频数 5 10 15 40 30 （1）若从 B 配方产品中
7、有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级 品”为事件 C，求事件 C 的概率 P（C） ； （2） 若两种新产品的利润率与质量指标值 k 满足如下关系： y（其 中t） ，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 19 （12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，ABCD 是正方形，CDEF 是梯形，EFCD，EF CD，DE平面 ABCD 且 DEDA，M、N 分别为棱 AE、BF 的中点 （1）求证：平面 DMN平面 ABFE； （2）求平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角的余弦值 第 5 页（共 22 页） 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab
8、0）的左、右焦点分别为 F1，F2，若椭圆经 过点 P（，1） ，且PF1F2的面积为 2 （）求椭圆 C 的标准方程 （）设斜率为 1 的直线 l 与以原点为圆心，半径为的圆交于 A，B 两点，与椭圆 C 交于 C，D 两点，且|CD|AB|（R） ，当 取得最小值时，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）xln（x+a）+1（a0） （1）当 a1 时，判断 f（x）的单调性； （2）证明：f（x）ex+cosx 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 4sin0以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面
9、直角坐标系，直线 l 过点 M（1，0） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|MA|+|MB| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2| （1）解不等 f（x）+f（x+1）5； （2）若|a|1 且 f（ab）|a|f（） ，证明：|b|2 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年四川省南充高中高三（下）第二次月考数学试卷学年四川省南充高中高三（下）第二次月考数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题
10、共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|1x1，Bx|xx20，则 AB（ ） Ax|1x0 Bx|1x0 或 x1 Cx|0x1 Dx|0x1 【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 Ax|1x1， Bx|xx20x|x（x1）0x|x0 或 x1， 则 ABx|1x0 故选：A 【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题 2 （5 分）设复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z13+i，则 z1z2（ ） A1
11、0 B10 C9+i D9i 【分析】由已知条件看求出 z2，然后代入 z1z2计算得答案 【解答】解：复数 z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z13+i， z23+i， 则 z1z2（3+i） （3+i）10 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3（5 分） 等差数列an前 n 项和为 Sn， 若 a4， a10是方程 x28x+10 的两根， 则 S13 （ ） A58 B54 C56 D52 【分析】可得 a4+a108，结合an为等差数列，即可求得结论 【解答】解：a4，a10是方程 x28x+10 的两根， a4+a108， a4+a102a78 第
12、 7 页（共 22 页） S1313a752， 故选：D 【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础 4 （5 分）若向量与垂直，且，则 sin2 （ ） A B C D 【分析】 根据平面向量的数量积列方程求出 sin， 再利用三角恒等变换计算 cos 和 sin2 【解答】解：向量与垂直， 则 3costan10， sin， ，cos； sin22sincos2（） 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换应用问题，是基础题 5 （5 分）某高校调查了 320 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频 率分布直方图， 其中自习时间的范围是
13、17.5， 30， 样本数据分组为17.5， 20） ， 20， 22.5） ， 22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是（ ） A68 B72 C76 D80 【分析】 由频率分布直方图求出每周的自习时间不足 22.5 小时的频率， 由此能求出这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数 【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足 22.5 小时的频率为： （0.02+0.07） 第 8 页（共 22 页） 2.50.225， 这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的
14、人数是：0.22532072 故选：B 【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、 数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题 6 （5 分）若双曲线的一个焦点为抛物线 y212x 的焦点，则 m（ ） A2 B8 C9 D64 【分析】由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标，即是双曲线的焦点坐标，再由 a，b，c 之间的关系求出 m 的值 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点坐标： （3，0）所以由题意可得 1+m9，解得 m8， 故选：B 【点评】考查圆锥曲线的性质，属于基础题 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A3 B6 C10 D1
15、5 【分析】根据程序框图判断，程序的运行功能是求 S12+2232+42，计算可得答案 【解答】解：由程序框图知，程序的运行功能是求 S12+2232+42 可得：当 i5 时，不满足条件 i5，程序运行终止，输出 S12+2232+4210 故选：C 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，解答此类问题的关键是判断程序框图的功能 8 （5 分）已知命题 p：对任意 x0，总有 sinxx；命题 q：直线 l1：ax+2y+10，l2：x+ （a1）y10，若 l1l2，则 a2 或 a1；则下列命题中是真命题的是（ ） Apq B （p）（q） C （p）q Dpq
16、 【分析】直接利用真值表和直线平行的充要条件的应用求出命题的真假，进一步求出结 果 【解答】解：命题 p：对任意 x0，总有 sinxx；为真命题 命题 q：直线 l1：ax+2y+10，l2：x+（a1）y10， 若 l1l2， 则：a（a1）20， 解得：a2 或 a1； 当 a2 时两直线重合 故命题 q 为假命题 故：pq 为真命题 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：真值表和直线平行的充要条件的应用，主要考查学生的 运算能力和转化能力，属于基础题型 9 （5 分）在区间0，2上任取两个数，则这两个数之和大于 3 的概率是（ ） A B C D 【分析】由题意，本题属于几何概型，首先
17、画出变量对应的区域，利用区域面积的比求 概率 【解答】解：如图，在区间0，2上随机取两个数为 x，y， 则不等式组，表示的平面区域为边长是 2 的正方形 OACE 区域，面积为 4 又 x+y3， 所以这两个数之和大于 3 的概率是： p 故选：A 第 10 页（共 22 页） 【点评】本题考查了几何概型的概率求法；主要明确几何概型对应变量对应的区域面积， 利用面积比求概率即可 10 （5 分）已知函数 f（x）cos（2x+） （0，|）的最小正周期为 ，将其图象 向右平移个单位后得函数 g（x）cos2x 的图象，则函数 f（x）的图象（ ） A关于直线 x对称 B关于直线 x对称 C关于
18、点（）对称 D关于点（，0）对称 【分析】求出函数 f（x）的解析式，结合函数的对称性分别进行判断即可 【解答】解：由题意得将 g（x）cos2x 的图象向左平移个单位后得到 f（x） ， 即 f（x）cos2（x+）cos（2x+） ， f （） cos （2+） cos1， f （） cos （2+） cos 1， f（）cos（2+）cos（）10， A，B，C 都不正确， f（）cos2（）+cos（）0， 则函数关于点（，0）对称， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合函数的对称性 分别进行判断是解决本题的关键 第 11 页（共 22 页） 11
19、 （5 分）甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同） ，记甲、乙两个几何体的体积 分别为 V1，V2，则（ ） AV12V2 BV22V2 CV1V2163 DV1V2173 【分析】几何体甲为正方体中挖去一个小棱柱，几何体乙为四棱锥，分别求出两几何体 的体积得出结论 【解答】解：几何体甲为棱长为 8 的正方体中去掉一点底面边长为 4，高为 6 的小正四棱 柱， V183426416 几何体乙为底面边长为 9，高为 9 的四棱锥， V2243 V1V2173 故选：D 【点评】本题考查了常见几何体的结构特征、三视图与体积计算，属于中档题 12 （5 分）已知 e 为自然对数的底数，设函数存
20、在极大值点 x0，且 对于 a 的任意可能取值，恒有极大值 f（x0）0，则下列结论中正确的是（ ） A存在，使得 B存在，使得 Cb 的最大值为 e3 第 12 页（共 22 页） Db 的最大值为 2e2 【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为 f（x）0 有解，转化为一元二次 方程，根据一元二次方程根与判别式之间的关系进行转化求解即可 【解答】解：函数的定义域为（0，+） ， 则函数的导数 f（x）xa+， 若函数 f（x）存在极大值点 x0， 则 f（x）0 有解，即 x2ax+b0 有两个不等的正根， 由 f（x）0 得 x1，x2， 分析易得 f（x）的极大值点为 x1x0
21、， a2， （b0） ， x1x0（0，） ， 则 f（x）极大值f（x0）xax0+blnx0x02x02b+blnx0+blnx0b， 设 g（x）blnxx2b，x（0，） ， f（x）的极大值恒小于 0 等价为 g（x）恒小于 0， g（x）x0， g（x）在（0，）上单调递增， 故 g（x）g（）bln0， 得 ln，即 be3， 故 b 的最大值为是 e3， 故选：C 【点评】本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关 系转化为一元二次方程根的与判别式之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难 度极大 第 13 页（共 22 页） 二、填空题：本大题共二、填
22、空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知等比数列an中，a21，a58，则an的前 6 项和为 【分析】根据题意，设等比数列an的公比为 q，结合题意可得 q38，解可得 q 的值，进而可得 a1的值，将其代入等比数列的前 n 项和公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 a21，a58，则有 q38，解可得 q2， 则 a1， 则an的前 6 项和 S6； 故答案为： 【点评】本题考查等比数列前 n 项和的计算，关键是求出an的首项与公比 14 （5 分）已知随机变量 N（1，2） ，若 P（3）0.2，则 P（1） 0.8
23、 【分析】根据随机变量 服从正态分布，知正态曲线的对称轴是 x1，且 P（3） 0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（1，2） ， 曲线关于 x1 对称， P（3）0.2，P（1）P（3） ， P（1）1P（3）10.20.8 故答案为：0.8 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个 基础题 15 （5 分）在的的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 32，则在 的展开式中 x2系数为 90 【分析】根据二项式系数的性质求得 n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得 x2的 系数 第 14 页（共 22 页
24、） 【解答】解：在的展开式中，各项系数和为 4n，二项式系和为 2n， 各项系数和与二项式系之比为 32，即2n32，n5， 在的展开式中，通项公式为 Tr+13rx 令 52，求得 r2，x2的系数为990， 故答案为：90 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 16 （5 分）已知圆 C：x2+y24x2y440，点 P 的坐标为（t，4） ，其中 t2，若过点 P 有且只有一条直线 l 被圆 C 截得的弦长为，则直线 l 的一般式方程是 4x+3y36 0 【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用点到直线的距离公式的应用和一
25、元二次方程根和系数关系的应用求出直线的斜率和 t 的值，最后确定直线的方程 【解答】解：圆 C：x2+y24x2y440， 转换为标准式为： （x2）2+（y1）249， 当点 P 为弦的中点时，过点 P 有且只有一条直线 l 被圆 C 截得的弦长为， 则：圆心到直线的距离 d， 则设直线的方程为 y4k（xt） ， 利用， 利用中点坐标公式和点到直线的距离公式， 解得：t6，k4， 所以直线的方程为：4x+3y360 故答案为：4x+3y360 【点评】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应 用，一元二次方程根和系数关系的应用 三、解答题：解答应写出文字说明、证
26、明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 15 页（共 22 页） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cos2B+sin2B1，0 B， （1）求 B （2）若|3，求ABC 面积的最大值 【分析】 （1）利用二倍角公式化简即可解出 B 的值 （2）使用余弦定理，结合基本不等式得出 ac 的最大值，代入计算即可 【解答】解： （1）cos2B+sin2B1， +sin（2B+）+1， 又 0B， sin（2B+）， B （2）|3， a2+c22accosB9b2， b3， cosB， a2+c29+ac2ac， a
27、c， SABCacsinB，即ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查二倍角公式的运用，余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查运算 求解能力及逻辑推理能力，属于中档题 18 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质 量指标为 k，当 k85 时，产品为一级品；当 75k85 时，产品为二级品；当 70k 75 时，产品为三级品现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做实验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （以下均视频率 第 16 页（共 22 页） 为概率） A 配方的频数分布表 B 配方的频数分布
28、表 指标 值分 组 75， 80） 80， 85） 85， 90） 90， 95） 指标 值分 组 75， 80） 80， 85） 85， 90） 90， 95） 75， 80） 频数 10 30 40 20 频数 5 10 15 40 30 （1）若从 B 配方产品中有放回地随机抽取 3 件，记“抽出的 B 配方产品中至少 1 件二级 品”为事件 C，求事件 C 的概率 P（C） ； （2） 若两种新产品的利润率与质量指标值 k 满足如下关系： y（其 中t） ，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？ 【分析】 （1）先求出 P（抽中二级品），由此能求出事件 C 的概率 P（C） （
29、2）分别求出 A 的分布列，E（A）和 B 的分布列 E（B） ，由此能求出从长期来看，投 资哪种配方的产品平均利润率较大 【解答】解： （1）P（抽中二级品），P（没抽中二级品）， P（C）1（）3 （2）A 的分布列为： y t 5t2 P 0.6 0.4 E（A）0.6t+2t2 B 的分布列为： y t 5t2 t2 P 0.7 0.25 0.05 E（B）0.7t+1.3t2 t， E（A）E（B）t（t）0， 第 17 页（共 22 页） E（A）较大，投资 A 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中 档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必
30、考题型之一 19 （12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，ABCD 是正方形，CDEF 是梯形，EFCD，EF CD，DE平面 ABCD 且 DEDA，M、N 分别为棱 AE、BF 的中点 （1）求证：平面 DMN平面 ABFE； （2）求平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角的余弦值 【分析】 （1）推导出 EFAB，MNAB，DEAB，ABAD，从而 AB平面 ADE，AB AE，进而 MNAE，由 DEDA，M 是 AE 中点，得 DMAE，从而 AE平面 DMN， 由此能证明平面 DMN平面 ABFE （2）由 DA，DC，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量
31、法能求出平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角的余弦值 【解答】证明： （1）EFCD，ABCD 是正方形，EFAB， M，N 分别为棱 AE，BF 的中点，MNAB， DE平面 ABCD，DEAB，ABAD，ADDED， AB平面 ADE，ABAE，从而 MNAE， DEDA，M 是 AE 中点，DMAE， MNDMM，AE平面 DMN， 又 AE平面 ABFE，平面 DMN平面 ABFE 解： （2）由已知，DA，DC，DE 两两垂直，如图， 建立空间直角坐标系 Dxyz， 设 AD2，则 A（2，0，0） ，E（0，0，2） ，B（2，2，0） ，C（0，2，0） ，F（0，1，2）
32、 ， （2，0，0） ，（0，1，2） ，设平面 BCF 的一个法向量为 （x，y，z） ， 第 18 页（共 22 页） 由，令 y2，得 （0，2，1） ， 由（1）可知 AE平面 DMN， 平面 DMN 的一个法向量为（2，0，2） ， 设平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角为 ， 则 cos|cos|， 所以，平面 DMN 和平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为
33、F1，F2，若椭圆经 过点 P（，1） ，且PF1F2的面积为 2 （）求椭圆 C 的标准方程 （）设斜率为 1 的直线 l 与以原点为圆心，半径为的圆交于 A，B 两点，与椭圆 C 交于 C，D 两点，且|CD|AB|（R） ，当 取得最小值时，求直线 l 的方程 【分析】 （I）根据三角形的面积公式，求得 c，由 a2b24，将 P 代入椭圆方程，即可 求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程； （）设直线 l 的方程，利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|，代入椭圆方程， 由0 和 dr，求得 m 的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得|CD|，根据 m 的取 值范围，即可求得 m
34、 的值，直线 l 的方程 【解答】解： （I）由PF1F2A 的面积 S2c12，则 c2，由 a2b24， 第 19 页（共 22 页） 将椭圆 C 过点 P（，1） ，则，解得：a2，b2， 椭圆的标准方程：； （）设直线 l 的方程为 yx+m，则原点到直线 l 的距离 d， 由弦长公式|AB|2， 则，整理得：3x2+4mx+2m280， 16m212（2m28）0，解得：2m2， 由直线和圆相交的条件可得 dr，即，则2m2， 综上可得 m 的取值范围为（2，2） ， 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x2， 由弦长公式 CD|， 由|CD|AB|，则
35、， 由2m2，则 04m24， 当 m0 时， 取得最小值为，此时直线 l 的方程为 yx 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式 的应用，考查计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）xln（x+a）+1（a0） （1）当 a1 时，判断 f（x）的单调性； （2）证明：f（x）ex+cosx 【分析】 （1）将 a1 代入，求导，可判断导函数大于 0 在（1，+）上恒成立，由此 得到单调性； （2）问题等价于证明 xlnxex+cosx1，分 0x1 及 x1 讨论即可 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）的定义域为（1，+） ，
36、 当 f（x）xln（x1）+1 得， 第 20 页（共 22 页） 设，则， 令 m（x）0x2，则当 x（1，2）时 m（x）0； 当 x（2，+）时，m（x）0，m（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+）上单调 递增， m（x）m（2）20， f（x）0， f（x）在（1，+）单调递增； （2）证明：f（x）的定义域为（a，+） ， a0，xa， x0，f（x）xln（x+a）+1xlnx+1， 要证明 f（x）ex+cosx， 只需证明 xlnxex+cosx1， （）当 0x1 时， ex+cosx10，xlnx0， 所以 xlnxex+cosx1 成立， （）当 x1 时，设 g
37、（x）ex+cosxxlnx1，则 g（x）exlnxsinx1， 设 h（x）g（x） ，则， x1， h（x）e110，即 h（x）在（1，+）上单调递增， h（x）h（1）esin110，即 g（x）0， g（x）在（1，+）上单调递增，g（x）g（1）e+cos110，即 xlnxex+cosx 1， 综上可知，a0 时，f（x）ex+cosx 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查导数在研究函数极值， 最值中的运用，考查逻辑推理能力及分类讨论思想，属于中档题 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 4s
38、in0以极点为原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线 l 过点 M（1，0） ，倾斜角为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； 第 21 页（共 22 页） （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|MA|+|MB| 【分析】 （1）根据极坐标和参数方程的定义进行求解即可 （2）设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，联立方程求出结合|MA|+|MB|t1|+|t2|进行计算即 可 【解答】解： （1）由 4sin0 得 4sin24sinx2+y24y0x2+（y2）2 4， 即曲线 C 的直角坐标方程为 x2+（y2）24， 直线 l 过
39、点 M（1，0） ，倾斜角为 直线 l 的参数方程为， （t 是参数） ， （2）设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，把直线的参数方程代入曲线方程得（1t） 2+（ t2）24， 整理得 t23t+10， 则 t1+t23，t1t21， t10，t20， 则|MA|+|MB|t1|+|t2|t1|+|t2|3 【点评】本题主要考查参数方程，极坐标方程的应用，根据相应的转换公式进行化简是 解决本题的关键 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2| （1）解不等 f（x）+f（x+1）5； （2）若|a|1 且 f（ab）|a|f（） ，证明：|b|2 【分析】
40、 （1）通过讨论 x 的范围，去掉绝对值号，解不等式即可； （2）求出 f（ab）和 f （） ，代入不等式，问题转化为|ab2|b2a|，平方证明即可 【解答】 （1）解：原不等式等价于|x2|+|x1|5， 当 x2 时，不等式可化为： （x2）+（x1）5， 解得：x4， 第 22 页（共 22 页） 当 1x2 时，不等式可化为（2x）+（x1）5，15，无解， x1 时，不等式可化为： （2x）+（1x）5，解得：x1， 综上，不等式的解集是x|x4 或 x1； （2）证明： |ab2|a|2| |ab2|b2a| （ab2）2（b2a）2 a2b2+4b24a20 （a21） （b24）0， |a|1， a210， b240， |b|2，证毕 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题
