1、函数 y+lnx 的定义域为（ ） Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x0 3 （5 分）M|+，kZ，N|+，kZ，则有（ ） AMN BMN CMN DMN 4 （5 分）函数 f（x）3x+1 的零点位于区间（ ） A （0，） B （1，2） C （3，2） D （，0） 5 （5 分）设是两个不共线的向量，若，则 （ ） AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 6 （5 分）已知 f（x）Asin（x+） （A0，0，|） ，其部分图象如图所示，则 f （x）的解析式为（ ） Af（x）3sin（x+） Bf（x）
2、3sin（x） Cf（x）3sin（x+） Df（x）3sin（x） 7 （5 分）2017 年 12 月 15 日，成都七中举行了第 39 届教育研讨会在听课环节中，设第 一节课进入学报二厅听课的人数为 a， 第二节课进入学报二厅听课的人数比第一节增加了 10%，而第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了 10%，设第三节课进入学 报二厅听课的人数为 b，则（ ） Aab Bab 第 2 页（共 25 页） Cab Da，b 无法比较大小 8 （5 分） 直角坐标系内， 终边过点 P （sin2， cos2） ， 则终边与 重合的角可表示成 （ ） A2+2k，kZ B+2+k，kZ
3、C2+2k，kz D2+2k，kZ 9 （ 5分 ） 已 知 函 数y f （ x ）， 若 对 其 定 义 域 内 任 意x1和x2均 有 ， 则 称 函 数f （ x ） 为 “ 凸 函 数 ”； 若 均 有 ，则称 f（x）函数为“凹函数” 下列函数中是“凹函数” 的是（ ） A Byx 2 Cylog2x D 10 （5 分）f（x）logsin（2x）的单增区间是（ ） Ak，k+）kZ Bk+，k+）kZ Ck，k）kZ D+k，k+）kZ 11 （5 分）已知函数 yf（x）的图象与函数 yax（a0 且 a1）的图象关于直线 yx 对称，记 g（x）f（x）f（x）+f（2）1
4、，若 yg（x）在区间，2上是增函数， 则实数 a 的取值范围是（ ） A2，+） B （0，1）（1，2） C，1） D （0， 12（5 分） 已知平面向量 ， ， 满足|1，|2，|3， 则以下说法正确的有 （ ） 个 6；对于平面内任一向量，有且只有一对实数 1，2使 ； 若 01，且，则|的范围为； 设，且|在 t0处取得最小值，当 第 3 页（共 25 页） 时，则 ， （，） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）已知幂函数 f（x）xa的图象经过点（9，3） ，则 a 14 （5 分）已知等边三角形 ABC
5、的边长为 2，设 ， ， ，则 + + 15 （5 分）设 f（x）为奇函数，且在（，0）上递减，f（2）0，则 xf（x）0 的 解集为 16 （5 分）已知函数，有下列说法： 函数 f（x）对任意 x1，x20，+） ，都有|f（x1）f（x2）|2 成立； 函数 f（x）在上单调递减； 函数 yf（x）log2x+1 在（0，+）上有 3 个零点； 若函数 f （x） 的值域为m， n， 设 S 是中所有有理数的集合， 若简分数 （其中 p，q 为互质的整数） ，定义函数，则在 S 中根的个数为 5； 其中正确的序号是 （填写所有正确结论的番号） 三、解答题（三、解答题（17 题题 10
6、 分，分，18-22 题均为题均为 12 分，共分，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程分，解答应写出文字说明，证明过程 或推演步骤）或推演步骤） 17 （10 分）求解下列各题 （）已知 Mx|y，xR，Ny|ylg（x2+1） ，xR，求（RM）N （）已知 xx 1 ，求 x3x 3 的值 18 （12 分）已知函数 （1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）指出 f（x）的振幅、初相、并求出对称中心 第 4 页（共 25 页） 19 （12 分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是 y1、y2万元，它们与投入资金 x 万元的关 系分别为，y2bx， （其中 m，a，b
7、 都为常数） ，函数 y1，y2对应的曲线 C1、C2如图所示 （1）求函数 y1、y2的解析式； （2）若该商场一共投资 4 万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值 20 （12 分）设函数，其中 a0 （1）当 a2 时，用定义证明 f（x）在区间（0，+）上是单调减函数； （2）若，G（x）g（x）f（x） ，若 G（x）0 恒成立， 求 a 的取值范围 21（12 分） 设， （1）若且 x（0，） ，求 x 的值； （2）若，若存在使得 f（x）0，求 的取值范围 22 （12 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足：对任意实数 x，y，都有 f（x+y）f（x） f（
8、y） ；对任意 x0，都有 f（x）1 （1）求 f（0） ，并证明 f（x）是 R 上的单调增函数； 第 5 页（共 25 页） （2）若|f（|x2a+1|）f（|xa|+1）|f（|xa|+1）f（|x2a+1|）对 xR 恒成立， 求实数 a 的取值范围； （3）已知 g（x），方程 g（x）+2+|g（x）2|2mx 4f（0）有三个根 x1x2x3，若 x3x22（x2x1） ，求实数 m 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年四川省成都七中高三（下）第五次段考数学试卷学年四川省成都七中高三（下）第五次段考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每
9、小题一、选择题（每小题 5 分共分共 60 分，每小题给出的四个选分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）计算：21g2+1g25（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解 【解答】解：21g2+1g25lg4+lg25lg1002 故选：B 【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 2 （5 分）函数 y+lnx 的定义域为（ ） Ax|0x1 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x0 【分析】由对数式的真数大于 0，根式内部的代数式大于等于 0
10、联立不等式组求解 【解答】解：由，解得 0x1 函数 y+lnx 的定义域为x|0x1 故选：B 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题 3 （5 分）M|+，kZ，N|+，kZ，则有（ ） AMN BMN CMN DMN 【分析】对集合 M，N 化简，显然 N 集合 的元素是奇数倍，M 是整数倍，得出结 论 【解答】 解： M|+， kZ， N|+， kZ， 显然 N 集合的元素是奇数倍，M 是整数倍， 所以 N 是 M 的真子集， 故选：C 【点评】考查集合的化简，集合与集合的关系，中档题 第 7 页（共 25 页） 4 （5 分）函数 f（x）3x+1 的零点位于区间（ ） A
11、（0，） B （1，2） C （3，2） D （，0） 【分析】判断函数的连续性，通过零点判定定理求解即可 【解答】解：函数 f（x）3x+1，函数是连续单调递增函数， f（）2+11+0，f（0）11+110， f（） f（0）0， 根据函数的零点的判定定理可得： 函数 f（x）3x+1，的零点所在的区间是 （，0） ， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题 5 （5 分）设是两个不共线的向量，若，则 （ ） AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 【分析】由已知可得：+2 +2，即可得出结论 【
12、解答】解：+8 +4 +2 2 +22， A，B，D 三点共线 故选：B 【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知 f（x）Asin（x+） （A0，0，|） ，其部分图象如图所示，则 f （x）的解析式为（ ） 第 8 页（共 25 页） Af（x）3sin（x+） Bf（x）3sin（x） Cf（x）3sin（x+） Df（x）3sin（x） 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值， 可得函数的解析式 【解答】解：由 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象 可得 A3， ， 再根据五点法作图
13、可得 +0，f（x）3sin（x） ， 故选：D 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的 顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，属于基础题 7 （5 分）2017 年 12 月 15 日，成都七中举行了第 39 届教育研讨会在听课环节中，设第 一节课进入学报二厅听课的人数为 a， 第二节课进入学报二厅听课的人数比第一节增加了 10%，而第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了 10%，设第三节课进入学 报二厅听课的人数为 b，则（ ） Aab Bab Cab Da，b 无法比较大小 【分析】第二节课进入学报二厅听课的人数等于 a
14、 加上增加的人数，第三节课进入学报 二厅听课的人数等于第二节课进入学报二厅听课的人数减去第二节课进入学报二厅听课 的人数乘以 0.1，计算出结果后可得答案 【解答】解：因为第一节进入学报二厅听课的人数为 a，第二节比第一节增加了 10%， 则第二节进入学报二厅听课的人数为 a+0.1a1.1a， 而第三节又比第二节减少了 10%， 所以第三节进入学报二厅听课的人数为 1.1a1.1a0.10.99a 所以 b0.99a 则 ab 故选：C 【点评】本题考查两数大小的判断，考查增长率、增加了和减少了的含义等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 第 9 页（共 25 页） 8 （5 分） 直角坐
15、标系内， 终边过点 P （sin2， cos2） ， 则终边与 重合的角可表示成 （ ） A2+2k，kZ B+2+k，kZ C2+2k，kz D2+2k，kZ 【分析】由 P（sin2，cos2） ，即为（cos（2） ，sin（2） ） ，即可求出 【解答】解： 终边过点 P（sin2，cos2） ，即为（cos（2） ，sin（2） ） 终边与 重合的角可表示成2+2k，kZ， 故选：A 【点评】本题考查了终边相同的角和诱导公式，属基础题 9 （ 5分 ） 已 知 函 数y f （ x ）， 若 对 其 定 义 域 内 任 意x1和x2均 有 ， 则 称 函 数f （ x ） 为 “ 凸
16、 函 数 ”； 若 均 有 ，则称 f（x）函数为“凹函数” 下列函数中是“凹函数” 的是（ ） A Byx 2 Cylog2x D 【分析】作出函数的图象，结合凹函数的定义即可得解，其中画 D 选项的函数图象时， 可以先用分离常数法将函数化简为 【解答】解：画出选项中函数的图象，其中对于 D 项，有， 图中黑色线表示 A 项中的函数图象，绿色线表示 B 项中的函数图象，红色线表示 C 项中 的图象，蓝色线表示 D 项中的图象，结合函数的图象和凹函数的定义可知，只有 B 选项 符合题意 第 10 页（共 25 页） 故选：B 【点评】本题考查函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象是解题的
17、关键，考 查学生的作图能力和分析能力，属于基础题 10 （5 分）f（x）logsin（2x）的单增区间是（ ） Ak，k+）kZ Bk+，k+）kZ Ck，k）kZ D+k，k+）kZ 【分析】由外层函数 y为减函数，把求 f（x）logsin（2x）的单增区 间转化为求函数 tsin（2x）sin（2x）的大于 0 的减区间，再由正弦型复 合函数的单调性求解得答案 【解答】解：外层函数 y为减函数， 要求函数 f（x）logsin（2x）的单增区间， 只要求函数 tsin（2x）sin（2x）的大于 0 的减区间， 由，解得xk，kZ f（x）logsin（2x）的单增区间是k，k+）kZ
18、 故选：A 【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调 第 11 页（共 25 页） 性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之 间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减” ，是中档题 11 （5 分）已知函数 yf（x）的图象与函数 yax（a0 且 a1）的图象关于直线 yx 对称，记 g（x）f（x）f（x）+f（2）1，若 yg（x）在区间，2上是增函数， 则实数 a 的取值范围是（ ） A2，+） B （0，1）（1，2） C，1） D （0， 【分析】函数 yf（x）的图象与函数 yax（a0 且 a1）的图象关于直
19、线 yx 对称， 可得 f（x）logax（x0） g（x）logax（logax+loga21），对 a 分类 讨论，利用二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性即可得出 【解答】解：函数 yf（x）的图象与函数 yax（a0 且 a1）的图象关于直线 yx 对称， f（x）logax（x0） g（x）f（x）f（x）+f（2）1logax（logax+loga21） 当 a1 时，ylogax 在区间，2上是增函数，logax 由于 yg（x）在区间，2上是增函数，loga21，解得 0 a，应舍去 当 0a1 时，ylogax 在区间，2上是减函数，logax 由于 yg（x）在区间
20、，2上是增函数，loga2，loga21，解得 0a 第 12 页（共 25 页） 综上可得：0a 故选：D 【点评】本题考查了反函数的性质、二次函数、对数函数的单调性、复合函数的单调性， 考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 12（5 分） 已知平面向量 ， ， 满足|1，|2，|3， 则以下说法正确的有 （ ） 个 6；对于平面内任一向量，有且只有一对实数 1，2使 ； 若 01，且，则|的范围为； 设，且|在 t0处取得最小值，当 时，则 ， （，） A1 B2 C3 D4 【分析】在中，当同向时，6；在中，由平面向量基本 定理得：当不共线时，对于平面内任一向量，
21、有且只有一对实数 1，2使 ；在中，设（2，0） ，（0，3） ，（cos，sin） ，mj |（cos2，sin3+3）| ，它表示圆 x2+y21 与线段 3x+2y60（0x 2） 上的点之间的距离， 推导出|的范围为， 4； 在中， 21cos2cos，（1t）t，从而（1t） 2 +t22t（1t）（5+4cos）t2+（24cos）t+1，由二次函数知取最小 值时，t0，当时， ， （，） 【解答】解：由平面向量 ， ， 满足|1，|2，|3，知： 在中，当同向时，6，故正确； 在中，由平面向量基本定理得： 第 13 页（共 25 页） 当不共线时， 对于平面内任一向量 ， 有且只
22、有一对实数 1， 2使， 故错误； 在中，平面向量 ， ， 满足|1，|2，|3，01，且， 可设 （2，0） ， （0，3） ， （cos，sin） ， |（cos2，sin3+3）| ， 它表示圆 x2+y21 与线段 3x+2y60（0x2）上的点之间的距离， 如图：|的最大值为|OB|+13+14，最小值为 d11 ， |的范围为，4，故错误； 设 ， ，且|在 t0处取得最小值， 由题意可得21cos2cos，（1t）t， （1t）2+t22t（1t）（1t）2+4t24t（1t）cos （5+4cos）t2+（24cos）t+1， 由二次函数知，当上式取最小值时，t0， 由题意可得
23、 0，解得cos0， ， 当时， ， （，） ，故正确 故选：B 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查命题真假的判断，考查平面向量基本定理、向量的模、二次函数等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分共分共 20 分）分） 13 （5 分）已知幂函数 f（x）xa的图象经过点（9，3） ，则 a 【分析】直接利用点满足函数的解析式求出 a 即可 【解答】解：幂函数 f（x）xa的图象经过点（9，3） ， 所以 39a，a 故答案为： 【点评】本题考查幂函数的解析式的应用，考查计算能力 14 （5 分）已知等边三角形 ABC 的边长为 2，设
24、 ， ， ，则 + + 6 【分析】利用平面向量的数量积公式解答；注意向量的夹角与三角形内角的关系 【解答】解：由已知得到120， 所以 + + 322cos1206； 故答案为：6 【点评】本题考查了平面向量的数量积公式，注意向量的夹角与三角形内角的关系，容 易出错 15 （5 分）设 f（x）为奇函数，且在（，0）上递减，f（2）0，则 xf（x）0 的 解集为 （，2）（2，+） 第 15 页（共 25 页） 【分析】易判断 f（x）在（，0）上的单调性及 f（x）图象所过特殊点，作出 f（x） 的草图，根据图象可解不等式 【解答】解：f（x）在 R 上是奇函数，且 f（x）在（，0）上
25、递减， f（x）在（0，+）上递减， 由 f（2）0，得 f（2）f（2）0， 即 f（2）0， 由 f（0）f（0） ，得 f（0）0， 作出 f（x）的草图，如图所示： 由图象，得 xf（x）0或， 解得 x2 或 x2， xf（x）0 的解集为： （，2）（2，+） 故答案为： （，2）（2，+） 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数 的草图是解题关键 16 （5 分）已知函数，有下列说法： 函数 f（x）对任意 x1，x20，+） ，都有|f（x1）f（x2）|2 成立； 函数 f（x）在上单调递减； 函数 yf（x）log2x+1 在（0，+）
26、上有 3 个零点； 若函数 f （x） 的值域为m， n， 设 S 是中所有有理数的集合， 若简分数 （其中 p，q 为互质的整数） ，定义函数，则在 S 中根的个数为 5； 第 16 页（共 25 页） 其中正确的序号是 （填写所有正确结论的番号） 【分析】画出函数图象，结合函数图象，以及函数性质，对选项进行逐一分析； 【解答】解：根据函数解析式，画出函数的图象如下图所示： 第 17 页（共 25 页） 对于，因为 f（x）max1，f（x）min1，故|f（x1）f（x2）|2 成立，则|f（x1） f（x2）|2 不成立，故不正确； 对于，在0，2内，函数在，单调递减，根据图象可知，函数
27、的单调区间为2n ，2n，nN+，故正确； 对于，在同一直角坐标系中画出 f（x）和 ylog2x1 的图象； 第 18 页（共 25 页） 由图可知，两函数有 3 个交点，故 yf（x）log2x+1 有三个零点，故正确； 对于，由图可知，m1，n1，故 S（0，） ，根据题意可得， 解得 p24，q15，又因为，且 p、q 均为整数，故 p 是小于 24 且是 3 的倍数， 同时还满足的自然数，故由此得 p、q 的取值如下：p3、q1，p9、q5，p 第 19 页（共 25 页） 12、q7，p18、q11、p21，q13，合计五种可能，故在 S 中根的个 数为 5，故正确； 故答案为：
28、【点评】本题综合考查函数的性质，涉及函数单调性、值域、单调区间的求解，函数零 点问题，正弦型函数的图象，属综合性困难题 三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，分，18-22 题均为题均为 12 分，共分，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程分，解答应写出文字说明，证明过程 或推演步骤）或推演步骤） 17 （10 分）求解下列各题 （）已知 Mx|y，xR，Ny|ylg（x2+1） ，xR，求（RM）N （）已知 xx 1 ，求 x3x 3 的值 【分析】 （）集合 M 表示函数 y的定义域，N 表示函数 ylg（x2+1） ，xR 的 值域，分别计算出 M，N 即可得到所求； （
29、）根据幂运算的性质及立方差平方差公式计算即可 【解答】解： （）依题意，由 x240 得，x2 或 x2，所以 Mx|x2 或 x 2， xR， x2+11， ylg（x2+1）0，即 Ny|y0， （RM）Nx|2x2y|y0x|0x2 （）xx 1 ， x22+x 2 ，即 x2+x 2 ， x3x 3（xx1） （x2+1+x2）（ ） （） 【点评】本题考查了集合的运算，函数的定义域值域，考查幂运，主要考查计算能力， 属于基础题 18 （12 分）已知函数 （1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）指出 f（x）的振幅、初相、并求出对称中心 第 20 页（共 25 页）
30、 【分析】 （1）直接利用列表描点连线求出函数的图象 （1）直接利用函数的关系式的性质求出结果 【解答】解： （1）列表 x 0 2 y 3 6 3 0 3 （2）振幅 A3，初相 ， 由，得 x2k（kZ） ， 即（2k，3） （kZ） ，为对称中心； 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力，属于基础题型 19 （12 分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是 y1、y2万元，它们与投入资金 x 万元的关 系分别为，y2bx， （其中 m，a，b 都为常数） ，函数 y1，y2对应的曲线 C1、C2如图所示 （1）求函数 y1、y2的解析
31、式； （2）若该商场一共投资 4 万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值 第 21 页（共 25 页） 【分析】 （1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于 m，a 的方程组，解出 m，a 的值，即可得到函数 y1、y2的解析式； （2）对甲种商品投资 x（万元） ，对乙种商品投资（4x） （万元） ，根据公式可得甲、乙 两种商品的总利润 y（万元）关于 x 的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结 合函数的定义域，即可求得总利润 y 的最大值 【解答】解： （1）由题意，解得， （4 分） 又由题意得，（x0）（7 分） （不写定义域扣一分） （2）设销售甲商品
32、投入资金 x 万元，则乙投入（4x）万元 由（1）得， （0x4）（10 分） 令， 则有， 当 t2 即 x3 时，y 取最大值 1 答：该商场所获利润的最大值为 1 万元（14 分） （不答扣一分） 【点评】本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知 识解决实际问题，属于基础题 20 （12 分）设函数，其中 a0 （1）当 a2 时，用定义证明 f（x）在区间（0，+）上是单调减函数； （2）若，G（x）g（x）f（x） ，若 G（x）0 恒成立， 求 a 的取值范围 第 22 页（共 25 页） 【分析】 （1）求得 f（x）2x，运用单调性的定义，注意作差、
33、变形（结合分 子有理化和因式分解）和定符号、下结论等步骤； （2）由题意可得 G（x）0 恒成立，即 axx0 恒成立，运用参数分离和函数的 性质可得不等式右边的范围，进而得到 a 的范围 【解答】解： （1）证明：当 a2 时，f（x）2x， 设 0x1x2， 则 f （x1） f （x2） 2x1+2x2 （） +2（x2x1） 2（x1x2）（x1x2） （2） ， 0x1x2，x1x20，1， 20， f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） f（x）在区间（0，+）上是单调减函数 （2）G（x）axx（x0） ，由 G（x）0 恒成立， axx0 恒成立，即 axx+恒成立，
34、x0， a1+恒成立，1+1， a1 【点评】本题考查函数的单调性的判断和证明，以及不等式恒成立问题解法，注意运用 定义法和参数分离，考查运算能力和推理能力，属于中档题 21（12 分） 设， （1）若且 x（0，） ，求 x 的值； （2）若，若存在使得 f（x）0，求 的取值范围 【分析】 （1）直接由垂直得到数量积为 0 结合角的范围即可求解； 第 23 页（共 25 页） （2）先根据数量积得到 f（x）的表达式，令 tsin（2x） ，再结合角的范围把问题 转化为t2+（）t+10 有解；分离变量即可求解 【解答】解： （1）由得0，则 1sin2（2x）+sin（2x）0， 解得
35、sin（2x）（舍去 sin（2x）2） ， 故 sin（2x）， 由 x（0，） ，知 2x（，） ， 故必 2x或， 解得 x或 （2）， f（x）1sin2（2x）+sin（2x）+sin（2x） ； 令 tsin（2x） ， 转化为 yt2+（）t+1 由可得 2x（，） ， 故 t（，1 条件变为t2+（）t+10 有解 分离变量得 t， 易知右边是 t 的增函数， 故当 t（，1时得 t的值域是（.0， 从而所求 的范围是（， 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力以 及转化思想，属于中档题 22 （12 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满
36、足：对任意实数 x，y，都有 f（x+y）f（x） f（y） ；对任意 x0，都有 f（x）1 （1）求 f（0） ，并证明 f（x）是 R 上的单调增函数； 第 24 页（共 25 页） （2）若|f（|x2a+1|）f（|xa|+1）|f（|xa|+1）f（|x2a+1|）对 xR 恒成立， 求实数 a 的取值范围； （3）已知 g（x），方程 g（x）+2+|g（x）2|2mx 4f（0）有三个根 x1x2x3，若 x3x22（x2x1） ，求实数 m 【分析】 （1）令 x0，y1，则代入条件，可求得 f（0）1，利用单调性的定义， 设 x1x2，作差 f（x1）f（x2） ，化积后判
37、断其符号，即可证明 f（x）是 R 上的单调增 函数； （2）由条件|f（|x2a+1|）f（|xa|+1）|f（|xa|+1）f（|x2a+1|）恒成立；可化 为 f （|xa|+1） f （|x2a+1|） |x2a+1|xa|+1， 利用绝对值值不等式可得|x2a+1| |xa|a1|，故只需|a1|1解之即可 （3）设 G（x）2，maxg（x） ，G（x）g（x）+G（x）+|g（x）G（x） |，依题意 2maxg（x） ，G（x）2mx+4，分别研究 g（x），G（x） ， 得2xmx+2x（1x） ，0m22，结合 x1x2x3，可得 x1，x2，x30，又 x3x22（x2x
38、1） ，即可求得 m， 【解答】解： （1）令 x0，y1，则代入条件， 得：f（1）f（0） f（1）又 f（1）0，则 f（0）1， 设 x1x2，则 f（x1）f（x2） f（x1）f（x2x1+x1） f（x1）f（x2x1） f（x1） f（x1）1f（x2x1）， 因为任意 x0，都有 f（x）1，则 1f（x2x1）0， 令 yx，则 f（0）f（x） f（x）1 且 x0，都有 f（x）10， 故 f（x）0， 则对任意 xR 都有 f（x）0， 第 25 页（共 25 页） 则 f（x1）0，所以 f（x1）f（x2）0， 所以：f（x）是 R 上的单调增函数； （2）由条件
39、|f（|x2a+1|）f（|xa|+1）|f（|xa|+1）f（|x2a+1|）恒成立； 可化为 f（|xa|+1）f（|x2a+1|） ， 即：|x2a+1|xa|+1， 即：|x2a+1|xa|1，对 xR 恒成立 因：|x2a+1|xa|a1|，故只需|a1|1解得 0a2 （3）设 G（x）2，显然1x1， maxg（x） ，G（x）g（x）+G（x）+|g（x）G（x）|， 方程 g（x）+2+|g（x）2|2mx4f（0）|等价于 2maxg（x） ，G（x） 2mx+4， 即：maxg（x） ，G（x）mx+2， g（x），且 G（x）可改写为：G（x）， 由2x21x，又当 x0，1时，x212， maxg（x） ，G（x）， 于是2xmx+2x（1x） ，0m22， 由 2mx+2x0 或 x， x1x2x3，x1，x2，x30， 由已知条件 x3x22（x2x1） ，2x13x2，即 m2+3m20m， 又 0m22，m 【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的判断与证明，考查等价转换思 想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题
