1、已知集合 A1，2，3，Bx|（x+1） （x2）0，xZ，则 AB 等于（ ） A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2， 3 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i，则|z|（ ） A B C D2 3 （5 分）某教育局为了解 “跑团” 每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间 “跑团” 每月跑步的平均里程 （单位： 公里） 的数据， 绘制了下面的折线图 根 据折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月
2、的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 4 （5 分）已知二项式的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比 是 2：5，则 x3的系数为（ ） A14 B14 C240 D240 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） 第 2 页（共 25 页） A2 B C D 6（5分） 已知等比数列an满足a1+a26， a4+a548， 则数列an前10项的和为S10 （ ） A1022 B1023 C2046 D2047 7 （5 分）若函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线与直线 2xay+10 互相垂直， 则实数 a
3、等于（ ） A2 B1 C1 D2 8 （5 分）函数 f（x）（）cosx 的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位相同） ，记该几何体的体积为 V，则 V（ ） 第 3 页（共 25 页） A B243 C D729 10 （5 分）设 F 是双曲线的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为虚轴的一个端点，则 C 的离心率为（ ） A2 B C5 D 11 （5 分）设函数 f（x）ex+x2，g（x）lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）0，g （b）0，则（ ） Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b
4、） Df（b）g（a）0 12 （ 5 分 ） 已 知 定 义 域 为R的 函 数f （ x ） 对 任 意 实 数x ， y 满 足 ： ， 且， 并 且 当 给出如下结论： 函数 f（x）是偶函数； 函数 f（x）在上单调递增； 函数 f（x）是以 2 为周期的周期函数； 其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 若向量满足， 则 与 的夹角为 第 4 页（共 25 页） 14 （5 分）已知等差数列an的前 n 项为 Sn，且 a1+a514，S927，则使得 Sn取最小 值时
5、的 n 15 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，ABC 是边长为 6 的等边三角形， PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： （x1）2+（y2）216，若等腰直角 PAB 的斜边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC|的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （
6、一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年 下半年该市 100 名农民工（其中技术工、非技术工各 50 名）的月工资，得到这 100 名农 民工的月工资均在25，55（百元）内，且月工资收入在45，50） （百元）内的人数为 15， 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1）求 n 的值； （2）已知这 100 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 31 名，非技术工有 19 名 完成如下所示 22 列联表 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 月
7、工资高于平均数 50 总计 50 50 100 则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平 均数有关系？ 参考公式及数据：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 第 5 页（共 25 页） 18 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若，a3，求 b； （2）若，a2，求ABC 的周长的范围 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC2，D 为棱 CC1的中点，AB1 A1BO （1）证明：C
8、1O平面 ABD； （2）设二面角 DABC 的正切值为，ACBC，求异面直线 C1O 与 CE 所成角的余弦值 20 （12 分）已知函数在1，+）上为增函数，且 （0，） ， ， （其中 mR） （1）求 的值； （2）设，若存在 x01，e，使得 f（x0）g（x0）h（x0）成立，求 m 的取 值范围 第 6 页（共 25 页） 21 （12 分）已知 P（3，0） ，椭圆 C：的离心率为，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 长度的最大值为 4 （1）求 C 的方程； （2） 直线 l 与 x 轴的交点为 M， 当直线 l 变化 （l 不与 x 轴重合） 时， 若|MA|PB|
9、MB|PA|， 求点 M 的坐标 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，射线 l：与圆 C：2 交于点 A，椭圆的方程为： ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角标系 xOy （1）求点 A 的直角坐标和椭圆的参数方程； （2）若 B 为椭圆的下顶点，M 为椭圆上任意一点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b32证明：
10、（1） （a+b） （a5+b5）4； （2）a+b2 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年云南省大理州高三（上）学年云南省大理州高三（上）11 月月考数学试卷（理月月考数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，Bx|（x+1） （x2）0，xZ，则 AB 等于（ ） A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2
11、， 3 【分析】先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值 【解答】解：集合 A1，2，3， Bx|（x+1） （x2）0，xZ0，1， AB0，1，2，3 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运 用 2 （5 分）设复数 z 满足（1+i）z2i，则|z|（ ） A B C D2 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解：（1+i）z2i，（1i） （1+i）z2i（1i） ，zi+1 则|z| 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 3 （5 分）某教
12、育局为了解 “跑团” 每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间 “跑团” 每月跑步的平均里程 （单位： 公里） 的数据， 绘制了下面的折线图 根 据折线图，下列结论正确的是（ ） 第 8 页（共 25 页） A月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【分析】月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程 2 月、7 月、 8 月和 11 月减少；月跑步平均里程高峰期大致在
13、9、10 月；1 月至 5 月的月跑步平均里 程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【解答】解：由 2017 年 1 月至 2017 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位： 公里）的数据，绘制的折线图，知： 在 A 中，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故 A 错误； 在 B 中，月跑步平均里程 2 月、7 月、8 月和 11 月减少，故 B 错误； 在 C 中，月跑步平均里程高峰期大致在 9、10 月，故 C 错误； 在 D 中， 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月， 波动性更小， 变化比较平稳， 故 D 正确 故选：D 【
14、点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据 处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题 4 （5 分）已知二项式的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比 是 2：5，则 x3的系数为（ ） A14 B14 C240 D240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值，可得通项公式，在通项公式中， 令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，可得 x3的系数 第 9 页（共 25 页） 【解答】解：由二项式的展开式中的通项公式为 Tr+1 （1） r2nr ， 它第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2：5，求得 n6， 故通项公式为
15、 Tr+1 （1）r26 r 令 63，求得 r2，故 x3的系数为24240， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A2 B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k0，s1 第 10 页（共 25 页） 满足条件 k3，执行循环体，k1，s2 满足条件 k3，执行循环体，k2，s 满足条件 k3，执行循环体，k3，s
16、 不满足条件 k3，退出循环，输出 s 的值为 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 6（5分） 已知等比数列an满足a1+a26， a4+a548， 则数列an前10项的和为S10 （ ） A1022 B1023 C2046 D2047 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解： 设等比数列an的公比为 q， a1+a26， a4+a548， a1（1+q） 6， （1+q）48， 联立解得 a1q2 则数列an前 10 项的和为 S102046 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求
17、和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 7 （5 分）若函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线与直线 2xay+10 互相垂直， 则实数 a 等于（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】求出原函数的导函数，得到 f（0） ，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解 【解答】解：f（x）excosx，f（x）excosxexsinx， f（0）e0cos0e0sin01， 又函数 f（x）excosx 在点（0，f（0） ）处的切线与直线 2xay+10 互相垂直， 1，即 a2 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的 关系，
18、是基础题 第 11 页（共 25 页） 8 （5 分）函数 f（x）（）cosx 的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可 【解答】解：函数 f（x）（）cosx，当 x时，是函数的一个零点，属于排 除 A，B，当 x（0，1）时，cosx0， 0，函数 f（x）（）cosx0，函数的图象在 x 轴下方 排除 D 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中 档题 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位相同） ，记该几何体的体积为 V，则 V（ ） A B243 C D729 第 12 页（
19、共 25 页） 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥 PABCD，图中正方体的棱长为 9， 再由棱锥体积公式求解 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥 PABCD，图中正方体的棱长为 9， 则 故选：B 【点评】本题考查与三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 10 （5 分）设 F 是双曲线的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为虚轴的一个端点，则 C 的离心率为（ ） A2 B C5 D 【分析】利用双曲线的性质，求出 b，c，代入即可 【解答】解：令 yc，则 x2b， 则 b6，c29+3645，c3， 所以 e， 故选
20、：D 【点评】考查双曲线的性质，离心率的求法，基础题 11 （5 分）设函数 f（x）ex+x2，g（x）lnx+x23若实数 a，b 满足 f（a）0，g （b）0，则（ ） Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df（b）g（a）0 【分析】先判断函数 f（x） ，g（x）在 R 上的单调性，再利用 f（a）0，g（b）0 判 第 13 页（共 25 页） 断 a，b 的取值范围即可 【解答】解：由于 yex及 yx2 关于 x 是单调递增函数，函数 f（x）ex+x2 在 R 上单调递增， 分别作出 yex，y2x 的图象，f（0）1+020，f（1）e10，
21、f（a）0， 0a1 同理 g（x）lnx+x23 在 R+上单调递增，g（1）ln1+1320，g（） ，g（b）0， g（a）lna+a23g（1）ln1+1320， f（b）eb+b2f（1）e+12e10 g（a）0f（b） 故选：A 【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键 12 （ 5 分 ） 已 知 定 义 域 为R的 函 数f （ x ） 对 任 意 实 数x ， y 满 足 ： ， 且， 并 且 当 给出如下结论： 函数 f（x）是偶函数； 函数 f（x）在上单调递增； 函数 f（x）是以 2 为周期的周期函数； 其中正确的结论是（ ） A B C D 第
22、 14 页（共 25 页） 【分析】利用赋值法，对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】解：令 yx，可得f（0）cosx0，f（x）f（x） ， 函数 f（x）是奇函数，故不正确； 设x1x2，则当，f （）cos0， f（x1）f（x2） ，函数 f（x）在上单调递增，故正确； 令 y0，可得 f（x）2f（）cos，f（x+2）2f（） （cos） ，可得 f（x+2） f（x） ，函数 f（x）是以 2 为周期的周期函数，故正确； f（）f（）f（）1，不正确 故选：B 【点评】本题考查通过给恒等式中的未知数赋定值求函数值、求函数的性质，属于中档 题 二、填空题：本题共二、填
23、空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 若向量满足， 则 与 的夹角为 【分析】根据即可得出，从而可求出，这样根据向量 夹角的余弦公式即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角 【解答】解：， ， ， ， 又， 与 的夹角为 故答案为： 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考 第 15 页（共 25 页） 查了计算能力，属于基础题 14 （5 分）已知等差数列an的前 n 项为 Sn，且 a1+a514，S927，则使得 Sn取最小 值时的 n 6 【分析】由题意，可根据 a1+a514，S927 解出数列的
24、公差，从而求得数列的通项 公式，求出所有负项的个数，即可得出 Sn取最小值时，n 所取的值 【解答】解：设等差数列an的公差是 d， a1+a514，S927， 2a1+4d14，即 a1+2d7， S99（a1+4d）27，即 a1+4d3， 联立得到：a111，d2 故有 ana1+（n1）d2n13 令 an0，可解得 n，由此知，数列的前 6 项为负项 故 Sn取最小值时，n 等于 6 故答案为：6 【点评】本题考查等差数列的和与通项，研究等差数列的前 n 项和的最小值，常用的方 法是找出所有的负项，即可得到和的最小值，本题属于基础题，难度较低 15 （5 分）在三棱锥 PABC 中，
25、平面 PAB平面 ABC，ABC 是边长为 6 的等边三角形， PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 48 【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案 【解答】解：如图， 在等边三角形 ABC 中，取 AB 中点 F，设其中心为 O， 由 AB6，得 COCF2 PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， F 为PAB 的外心，则 O 为棱锥 PABC 的外接球球心， 则外接球半径 ROC2 该三棱锥外接球的表面积为 448 故答案为：48 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形
26、结合的解题思想方法， 考查计算能力，是中档题 16 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： （x1）2+（y2）216，若等腰直角 PAB 的斜边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC|的最大值为 【分析】 根据已知条件得出 CPAB 且平分 AB， 设ACP， 把|PC|的长用 表示出来， 再结合三角函数的性质即可求解 【解答】解：连接圆心 C 与 P，则 CPAB 且平分 AB，设交点为 D，设ACP， 则|CD|AC|cos，|AD|AC|sin， 等腰直角PAB 中，D 为斜边中点； 所以：|AD|DP|， |PC|CD|+|DP|4cos+4sin， 当时|PC|的长达到
27、最大值， 所以 故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及三角函数性质的应用，是中档题，解题时要 认真审题，注意圆的性质的合理运用 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 第 17 页（共 25 页） 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年 下半年
28、该市 100 名农民工（其中技术工、非技术工各 50 名）的月工资，得到这 100 名农 民工的月工资均在25，55（百元）内，且月工资收入在45，50） （百元）内的人数为 15， 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图： （1）求 n 的值； （2）已知这 100 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 31 名，非技术工有 19 名 完成如下所示 22 列联表 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 月工资高于平均数 50 总计 50 50 100 则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平 均数有关系？ 参考公式及数据：，其中 na+
29、b+c+d P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）根据题意，利用频率和为 1 列方程求出 n 的值； （2）根据题意填写列联表即可； 由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论 【解答】解： （1）月工资收入在45，50） （百元）内的人数为 15， 第 18 页（共 25 页） 月工资收入在45，50） （百元）内的频率为：； 由频率分布直方图得： （0.02+0.04+2n+0.01）5+0.151， 解得 n0.05； （2）根据题意得到列联表如下； 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 1
30、9 31 50 月工资高于平均数 31 19 50 总计 50 50 100 由表中数据，计算， 不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下， 认为是不是技术工与月工资是否高于平均 数有关 【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题 18 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若，a3，求 b； （2）若，a2，求ABC 的周长的范围 【分析】 （1）由已知利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式可求 sinB 的值， 进而根据正弦定理可求 b 的值 （2）法一：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 b+c4sin（B+）的
31、值，结合 B 的范围，利用正弦函数的性质可求其范围； 法二：由余弦定理，基本不等式可求 b+c4，利用三角形两边之和大于第三边可得 b+c 2，进而可得解ABC 的周长的范围 【解答】解： （1），a3， ， （2）由正弦定理得， 第 19 页（共 25 页） 可得， ， ，B+（，） ，可得 sin（B+）（，1， 2b+c4， ABC 的周长的范围（4，6 方法二：， ， bc（b+c）242bc，可得：3bc（b+c）24， ， （b+c）216b+c4，当且仅当 bc2 时，取“”号 b+c2， 2b+c4， ABC 的周长的范围（4，6 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变
32、换的应用，正弦函数的性质，余弦 定理，基本不等式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础 题 19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC2，D 为棱 CC1的中点，AB1 A1BO （1）证明：C1O平面 ABD； （2）设二面角 DABC 的正切值为，ACBC，求异面直线 C1O 与 CE 所成角的余弦值 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （1） 取 AB 的中点 F， 连接 OF， DF 推导出四边形 OFDC1为平行四边形， 则 C1O DF由此能证明 C1O平面 ABD （2）过 C 作 CHAB 于 H，连接 DH，则DHC 即为二面
33、角 DABC 的平面角，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 Cxyz，利用向量法能求出异面直线 C1O 与 CE 所成角的 余弦值 【解答】证明： （1）取 AB 的中点 F，连接 OF，DF， 侧面 ABB1A1为平行四边形，O 为 AB1的中点， ，又， 四边形 OFDC1为平行四边形，则 C1ODF C1O平面 ABD，DF平面 ABD，C1O平面 ABD 解： （2）过 C 作 CHAB 于 H，连接 DH， 则DHC 即为二面角 DABC 的平面角 ，CD1 以 C 为原点，建立空间直角坐标系 Cxyz，如图所示， 则 C1（0，0，2） ，B（0，2，0） ，D（0，0，1） ，A
34、1（2，0，2） ， 则 O（1，1，1） ， ， ， 第 21 页（共 25 页） 异面直线 C1O 与 CE 所成角的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中 线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是中档题 20 （12 分）已知函数在1，+）上为增函数，且 （0，） ， ， （其中 mR） （1）求 的值； （2）设，若存在 x01，e，使得 f（x0）g（x0）h（x0）成立，求 m 的取 值范围 【分析】 （1）把函数 g（x）在1，+）上为增函数转化为 g（x）0 在1，+）上恒 成立，再利用分
35、离参数法解决恒成立问题，求出参数的值 （2）构造函数 F（x） ，由题意可知只需 F（x）的最大值大于零，利用导数求出 F（x） 的最大值，即可求出 m 的取值范围 【解答】解： （1）由题意，在1，+）上恒成立，即 （0，） ，sin0故 sinx10 在1，+）上恒成立， sin在1，+）上恒成立， 第 22 页（共 25 页） ，又 sin1，只有 sin1， 又（0，） ， ； （2）构造 F（x）f（x）g（x）h（x） ， 当 m0 时，x1，e，所以在1，e上不存在一个 x0，使 得 f（x0）g（x0）h（x0）成立， 当 m0 时， 因为 x1，e，所以 2e2x0，mx2+
36、m0，所以（F（x） ）0 在 x1，e恒成立， 故 F（x）在1，e上单调递增， 所以，又 F（1）2e0，故只需， 解得， 故 m 的取值范围是 【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题 21 （12 分）已知 P（3，0） ，椭圆 C：的离心率为，直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 长度的最大值为 4 （1）求 C 的方程； （2） 直线 l 与 x 轴的交点为 M， 当直线 l 变化 （l 不与 x 轴重合） 时， 若|MA|PB|MB|PA|， 求点 M 的坐标 【分析】 （1）通过椭圆的离心率，以及长轴长求出 a，c，求解 b，然后推出椭圆标准方 程 （2）设 A（x1
37、，y1） ，B（x2，y2） ，l 的方程为 xky+m，代入椭圆方程并整理得（3k2+4） y2+6kmy+3m2120，利用韦达定理以及判别式，结合，由角平分定理或 正弦定理，推出 kPA+kPB0，转化求解即可 【解答】解： （1）椭圆 C：的离心率为， 第 23 页（共 25 页） 直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB 长度的最大值为 4， 可得 a2，c1，则 b，所以， （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，l 的方程为 xky+m，代入椭圆方程并整理得（3k2+4） y2+6kmy+3m2120， 由（6km）24（3k2+4） （3m212）0， 解得 m23
38、k2+4， 因为|MA|PB|MB|PA|，即，由角平分定理或正弦定理，即可得到MPA MPB，即OPAOPB，所以 kPAkPB，即 kPA+kPB0， 又，所以 y1（x2+3）+y2（x1+3）0， 即， 所以6k（4+3m）0，因为 k 为变量，所以， 所以点 M 的坐标为 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转 化思想以及计算能力，是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：
39、坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，射线 l：与圆 C：2 交于点 A，椭圆的方程为： ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角标系 xOy （1）求点 A 的直角坐标和椭圆的参数方程； （2）若 B 为椭圆的下顶点，M 为椭圆上任意一点，求的最大值 【分析】 （1）直接由射线和圆的极坐标方程联立即可求出点 A 的极坐标，再转化为直角 坐标；要求椭圆的参数方程，需要先将椭圆的极坐标方程转化为直角坐标方程 （2）可设点 M 的参数坐标，转化为三角函数求最值 第 24 页（共 25 页） 【解答】解： （1）射线 l：与圆 C：2 交于点， 点 A 的直角坐标； 椭圆的方程为
40、，直角坐标方程为， 参数方程为（ 为参数） （2）设， B（0，1） ， ， ） +5， 其中 sin， cos ， 当 sin（+）1 时，的最大值为 【点评】本题考查了求交点坐标，极坐标方程与直角坐标方程，参数方程之间的互化， 以及利用参数方程求最值的技巧，属于中低档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，a3+b32证明： （1） （a+b） （a5+b5）4； （2）a+b2 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b32 转化为ab，再由均值不等式可得：ab （）2，即可得到（a+b）32，问题得以证明 【解答】证明： （1）由柯西不等式得： （a+b） （a5+b5）（+） 2（a3+b3） 24， 当且仅当，即 ab1 时取等号， （2）a3+b32， （a+b） （a2ab+b2）2， （a+b）（a+b）23ab2， 第 25 页（共 25 页） （a+b）33ab（a+b）2， ab， 由均值不等式可得：ab（）2， （a+b）32， （a+b）32， a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
