1、已知集合 A1，0，1，Bx|2x1，则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C0，1 D1，1 2 （5 分）若 z（3+4i）7+i，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 3 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战 略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发 生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 98 周年之际某中学组织了“长征英雄 事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生 中抽取一个容量为 45 的样本参加活动， 其中高三年级
2、抽了 12 人， 高二年级抽了 16 人， 则该校高一年级学生人数为（ ） A720 B960 C1020 D1680 4 （5 分） （1+x）3（12x）的展开式中含 x3项的系数为（ ） A5 B4 C6 D7 5 （5 分）函数 y的图象大致为（ ） A B 第 2 页（共 25 页） C D 6 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S927，则 a92a7（ ） A3 B3 C6 D6 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 AD1的中点，F 为 BD 的中点，则（ ） AEFC1D1 BEFAD1 CEF平面 BCC1B1 DEF平面 AB1C
3、1D 8 （5 分）已知函数 f（x）ex （asinx+bcosx） ，若 x0 是 f（x）的一个极小值点，且 a2+b2 2，则 a（ ） A1 B0 C1 D1 9 （5 分）执行如图所示的程序框图输出的 S 的值为（ ） A25 B24 C21 D9 10 （5 分）偶函数 f（x）在（，0上为减函数，若不等式 f（1ax）f（2+x2）对任 意的 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 第 3 页（共 25 页） 11 （5 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 A 为 C 上一点，以
4、 F 为圆心，FA 为半径的圆交 l 于 B，D 两点，若FBD30，ABD 的面积为 8，则 p（ ） A1 B C D2 12 （5 分） 若存在 x0 （0， 1） ， 满足 ln2a （x01） ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （） B） C （） D （ 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 ， 为单位向量，且 ， 的夹角为 60，则|2 | 14 （5 分）公比为 3 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a119，则 log3a9 15 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0
5、，b0）的左、右焦点，以 F2为圆心，|F1F2|为半径的圆交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，若|AB|F1F2|，则双 曲线 C 的离心率为 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 2 的等边三角形，若三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积 为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：选
6、考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科 班学生中随机抽取 60 人的成绩得到样本甲， 从文科班学生中随机抽取 n 人的成绩得到样 本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在70，80）的有 10 个 第 4 页（共 25 页） （1）求 n 和乙样本直方图中 a 的值； （2） 试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试 数学成绩的中位数（同组中的数据用该组区间中点值为代表） 18 （12 分）已知在ABC 中，ACB120，BC2AC （
7、1）求 tanA 的值； （2）若 AC1，ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，求 CD 的长 19 （12 分）图 1 是由正方形 ABCG，直角梯形 ABED，三角形 BCF 组成的一个平面图形， 其中 AB2DE2，BEBFCF，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 D，E，C，G 四点共面，且平面 ABD平面 DEC； （2）求图2中的二面角BCEA的大 小 20 （12 分）过 F（0，1）的直线 l 与抛物线 C：x24y 交于 A，B 两点，以 A，B 两点为切 点分别作抛物线 C 的切线 l1，l2设 l1与
8、 l2交于点 Q（x0，y0） （1）求 y0； （2）过 Q，F 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）ex+aln（x+1）ax+b，x0，1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在 a，b，使得函数 f（x）在区间0，1的最小值为1 且最大值为 1？若存 在，求出 a，b 的所有值；若不存在，请说明理由参考数据：ln20.693 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选
9、修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）如在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（3，） ，曲线 C 第 5 页（共 25 页） 的极坐标方程为 2+4sin0 （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l 的距离的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知正数 a，b，c 满足等式 a+b+c1证明： （1）+； （2）+ 第 6 页（共 25 页） 2019-202
10、0 学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷 （理科） （理科） （9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，Bx|2x1，则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C0，1 D1，1 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：A1，0，1，Bx|x0， AB1，0 故选：B
11、 【点评】考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算 2 （5 分）若 z（3+4i）7+i，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（3+4i）7+i，得 z 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3 （5 分） “二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战 略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发 生了许多可歌可泣的英雄故事在中国共产党建党 98 周年之际某中学组织了“长征英雄
12、事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该校高中学生 中抽取一个容量为 45 的样本参加活动， 其中高三年级抽了 12 人， 高二年级抽了 16 人， 则该校高一年级学生人数为（ ） A720 B960 C1020 D1680 【分析】设该校高一年级学生人数为 x 人，由此利用列举法得，由此 能求出该校高一年级学生人数 第 7 页（共 25 页） 【解答】解：设该校高一年级学生人数为 x 人， 由题意得：， 解得 x1020 故选：C 【点评】本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （5 分） （1+x）3
13、（12x）的展开式中含 x3项的系数为（ ） A5 B4 C6 D7 【分析】把（1+x）3按照二项式定理展开，可得结论 【解答】解：（1+x）3（12x）（1+3x+3x2+x3） （12x）的展开式中含 x3项的系 数为 165， 故选：A 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 5 （5 分）函数 y的图象大致为（ ） A B C 第 8 页（共 25 页） D 【分析】首先利用函数的奇偶性排除选项 D，再将原函数 f（x）的分子分母同乘 ex进行 化简，最后利用特殊值法即可判断 【解答】解：函数定义域为（，0）（0，+） ； 且 f（x）， 函数 f（x
14、）为偶函数，排除选项 D； 将 f（x）表达式的分子分母均乘以 ex，可得 f（x） 且当 x2 时，f（2），故选项 A，C 不成立 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题 6 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S927，则 a92a7（ ） A3 B3 C6 D6 【分析】利用等差数列an的前 n 项和公式推导出 a1+4d3，再由 a92a7a1+8d2 （a1+6d）a14d，能求出结果 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，S927， 9a1+27， 解得 a1+4d3， a92a7a1+8d2（a1+6d）a14d3
15、故选：A 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式、通项公式的应用，考查等差数列的性质等 基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 AD1的中点，F 为 BD 的中点，则（ ） AEFC1D1 BEFAD1 第 9 页（共 25 页） CEF平面 BCC1B1 DEF平面 AB1C1D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出结果 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C
16、1D1中棱长为 2， 则 E（1，0，1） ，F（1，1，0） ，C1（0，2，2） ，D1（0，0，2） ，A（2，0，0） ， 在 A 中，（0，1，1） ，（0，2，0） ， EF 与 C1D1不平行，故 A 错误； 在 B 中，（2，0，2） ，2， EF 与 AD1不垂直，故 B 错误； 在 C 中，平面 BCC1B1的法向量 （0，1，0） ， 1，EF 与平面 BCC1B1不平行，故 C 错误； 在 D 中，（2，0，0） ，（0，2，2） ， ，0，EFDA，EFDC1， DADC1D，EF平面 AB1C1D 故选：D 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题考查线面垂直的证
17、明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 8 （5 分）已知函数 f（x）ex （asinx+bcosx） ，若 x0 是 f（x）的一个极小值点，且 a2+b2 2，则 a（ ） A1 B0 C1 D1 【分析】先写出导函数 f（x） ，得 f（0）a+b0，又因为 a2+b22，所以或 ，分别代入解析式，检验哪个符合题意 【解答】解：f（x）exa（sinx+cosx）+b（cosxsinx）， f（0）a+b0， 又a2+b22， 或， 当 a1，b1 时，f（x）2exsinx， 在区间（，0）上 f（x）0，在区间（0，）上 f（x）0， x
18、0 是 f（x）极大值点，不符合题意 当 a1，b1 时，f（x）2exsinx， 在区间（，0）上 f（x）0，在区间（0，）上 f（x）0， x0 是 f（x）极小值点，符合题意 a1， 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的的极值，考查分析与运算能力，属于中档题 9 （5 分）执行如图所示的程序框图输出的 S 的值为（ ） 第 11 页（共 25 页） A25 B24 C21 D9 【分析】根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的 S 的值即可 【解答】解：初始值 S0，i9；第一步，S0+99，T9+9216，此时 ST，故 i927； 第二步：S9+
19、716，T16+7221，此时 ST，故 i725； 第三步：S16+521，T21+5224，此时 ST，故 i523； 第四步：S21+324，T24+3225，此时 ST，故 i321； 第五步：S24+125，T25+1224，此时 ST，故输出 S25； 故选：A 【点评】本题考查程序框图，难度较小，属于基础题 10 （5 分）偶函数 f（x）在（，0上为减函数，若不等式 f（1ax）f（2+x2）对任 意的 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】根据偶函数图象关于 y 轴对称，得 f（x）在（，0上是单
20、调减函数，且在（0， ）上单调增，由此结合 2+x2是正数，将原不等式转化为|ax1|2+x2恒成立，去绝对 值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数 a 的取值范围 【解答】解：f（x）是偶函数，图象关于 y 轴对称 f（x）在（，0的单调性与（0，）的单调性相反，可得 f（x）在（0，+）上 是增函数 不等式 f（ax1）f（2+x2）恒成立，等价于|ax1|2+x2恒成立 第 12 页（共 25 页） 即不等式2x2ax12+x2恒成立，的解集为 R， 结合一元二次方程根的判别式，得：a240 且（a）2120 解之得2a2 故选：D 【点评】本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论
21、关于 x 的不等式恒成立的问题，着重考 查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题 11 （5 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 A 为 C 上一点，以 F 为圆心，FA 为半径的圆交 l 于 B，D 两点，若FBD30，ABD 的面积为 8，则 p（ ） A1 B C D2 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出|FA|FB|2p，|BD|2p，由抛物线的定 义可得点 A 到准线 l 的距离，运用三角形的面积公式可得ABD 的面积，从而求出 p 的 值 【解答】解：如图所示，设 l 与 x 轴交于 H，且 F（，0） ，l：x， 因为FBD
22、30，在直角三角形 FBH 中， 可得|FB|2|FH|2p， 所以圆的半径为|FA|FB|FD|2p，|BD|2|BH|2p， 由抛物线的定义知，点 A 到准线 l 的距离为 d|FA|2p， 所以ABD 的面积为|BD|d2p2p8， 解得 p2 故选：D 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合思想应用，是 中档题 12 （5 分） 若存在 x0 （0， 1） ， 满足 ln2a （x01） ， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （） B） C （） D （ 【分析】设 h（x）ln，x（0，1） ，g（x）2a（x1） ，对 h
23、（x）求导数，利用 导数的几何意义列不等式求出 a 的取值范围 【解答】解：设 h（x）ln，x（0，1） ，则 h（x）是单调增函数，且 h（x）的值 域为（ln，0） ； 设 g（x）2a（x1） ，则 g（x）恒过定点（1，0） ， 又 h（x）ln（x+1）ln2， h（x），且 h（x）h（1）， 存在 x0（0，1） ，不等式 ln2a（x01）时， 第 14 页（共 25 页） 即x（0，1） ，不等式 ln2a（x1）不成立， 由此得2a，解得 a， 所以 a 的取值范围是 a 故选：A 【点评】本题主要考查对数函数与不等式的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单 调性问题，是
24、中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知 ， 为单位向量，且 ， 的夹角为 60，则|2 | 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求出 ，再根据求向量的模 的方法，求 出|2 | 【解答】解：已知 ， 为单位向量，且 ， 的夹角为 60，11cos60 ， 则|2 |， 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题 14 （5 分）公比为 3 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a119，则 log3a9 3 【分析】由公比为 3 的等比数列an的各项都是正数，且 a3
25、a119，求出 a13 5，从而 27，由此能求出 log3a9的值 【解答】解：公比为 3 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a119， （a19） （）9，且 a10， 解得 a13 5， 27， log3a9log3273 故答案为：3 【点评】本题考查等比数列的第 9 项的对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 第 15 页（共 25 页） 15 （5 分）已知 F1，F2分别为双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点，以 F2为圆心，|F1F2|为半径的圆交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，若|AB|F1F2|，则双 曲线 C 的离心率为 【分
26、析】设 F2（c，0） ，圆和双曲线关于 x 轴对称，可得 A 的纵坐标为c，再由等腰三 角形的性质和勾股定理，求得 A 的横坐标，将 A 的坐标代入双曲线方程，结合离心率公 式，解方程即可得到所求值 【解答】解：设 F2（c，0） ，由|AB|F1F2|2c，且圆和双曲线关于 x 轴对称， 可得 A 的纵坐标为c， 在等腰三角形 ABF2中，|AF2|BF2|2c，|AB|2c， 可得|F2H|c， 则 A 的横坐标为 c+c2c，即 A（2c，c） ， 代入双曲线的方程可得1， 由 e，b2c2a2，可得 4e21， 化为 4e48e2+10， 由 e1，可得 e2， 解得 e 故答案为：
27、 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称 性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题 16 （5 分）在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 2 的等边三角形，若三棱锥 PABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 20 【分析】取 AB 中点 E，连结 PE，DE，延长 CE，交ABC 外接圆于点 D，连结 PD， ABC 外接圆半径为 2，且 CE3，ED1，求出 PC，sinPCE，PD ，在直角PCD 中，由正弦定理得 2R 2，该球的半径 R，由此能求出
28、该球的表面积 【解答】解：由题意，如图所示，取 AB 中点 E，连结 PE，DE， 延长 CE，交ABC 外接圆于点 D，连结 PD， ABC 是边长为 2的等边三角形， ABC 外接圆半径为2，且 CE3，ED1， 平面 PAB平面 ABC，PAB 和ABC 均为边长为 2的等边三角形， 在直角PAB 中，PE平面 ABC，且 PECE3， 在直角PCE 中，PC，且 sinPCE， 在直角PED 中，PD， 在直角PCD 中，由正弦定理得 2R2， 该球的半径 R， 该球的表面积 S4R220 故答案为：20 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、
29、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科 班学生中随机抽取 60 人的成绩得到样本甲， 从文科班学生中随机抽取 n 人的成绩得到样 本乙，根据两个样本数据分别得到
30、如下直方图： 已知乙样本中数据在70，80）的有 10 个 （1）求 n 和乙样本直方图中 a 的值； （2） 试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试 数学成绩的中位数（同组中的数据用该组区间中点值为代表） 【分析】 （1）由频率分布直方图得乙样本中数据在70，80）的频率为 0.2，这个组学生 有 10 人，由此能求出 n，由乙样本数据直方图能求出 a （2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成 绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 第 18 页（共 25 页） 乙样
31、本中数据在70，80）的频率为 0.020100.2， 这个组学生有 10 人，则0.20， 解得 n50， 由乙样本数据直方图得： （0.006+0.016+0.020+0.040+a）101， 解得 a0.018 （2）甲样本数据的平均值估计值为： （550.005+650.010+750.020+850.045+950.020）1081.5， 乙样本数据直方图中前三组的频率之和为： （0.006+0.016+0.020）100.420.50， 前四组的频率之和为： （0.006+0.016+0.020+0.040）100.820.5， 乙样本数据的中位数在第 4 组，设中位数为 80+x
32、， 由（0.006+0.016+0.020）10+0.040x0.5， 解得 x2，中位数为 80+282 根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为 81.5， 文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为 82 【点评】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 18 （12 分）已知在ABC 中，ACB120，BC2AC （1）求 tanA 的值； （2）若 AC1，ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D，求 CD 的长 【分析】 （1） 由已知利用正弦定理， 三角形内角和定理可得 sinA2s
33、inB2sin （A） ， 利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求 tanA 的值 （2）由已知可求ACD60，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，cosA 的值，利 用两角和的正弦函数公式可求 sinADC 的值，根据正弦定理即可解得 CD 的值 【解答】解： （1）BC2AC， 由正弦定理，可得 sinA2sinB2sin（A） ， 第 19 页（共 25 页） sinAcosAsinA，可得 tanA， （2）CD 是角平分线， ACD60， 由 tanA，可得 sinA，cosA， sinADCsin（A+ACD）sinAcosACD+cosAsinACD， 由，可
34、得 CD 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角 三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题 19 （12 分）图 1 是由正方形 ABCG，直角梯形 ABED，三角形 BCF 组成的一个平面图形， 其中 AB2DE2，BEBFCF，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 D，E，C，G 四点共面，且平面 ABD平面 DEC； （2）求图2中的二面角BCEA的大 小 【分析】 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 ABD平面 DEC； （
35、2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角 BCEA 的大小 【解答】解： （1）证明：由正方形 ABCG 中 ABCG，直角梯形 ABED 中 DEAB， DECG 第 20 页（共 25 页） D，E，C，G 四点共面 AGAB，AGDE， ADDE，ADAGA，DE平面 ADG DG平面 ADG，DEDG 在直角梯形 ABED 中，AB2DE2，可得 AD， 同理直角梯形 GCED 中，可得 GD， AGBC2 AD2+DG2AG2，ADDG ADDE，DEDGD，AD平面 DEG， AD平面 ADB，平面 ADB平面 DEG 平面 ABD平面 DEC； （2）解：过点 D 作的垂线，垂
36、足为 O，过点 O 作 BC 的垂线，垂足为 H，则 OAOH， OAOD， 故以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ， B（1，2，0） ，C（1，2，0） ，D（0，0，1） ，E（0，1，1） 所以， 设平面 ACE 的法向量为 （x，y，z） ，由 设平面 BCE 的法向量为 （a，b，c） ，由 cos， 二面角 BCEA 的大小为 600 第 21 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查空间平面和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生 的计算能力 20 （12 分）过 F（0，1）的直线 l 与抛物线 C：x24y 交于 A，B
37、 两点，以 A，B 两点为切 点分别作抛物线 C 的切线 l1，l2设 l1与 l2交于点 Q（x0，y0） （1）求 y0； （2）过 Q，F 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值 【分析】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 的方程为 ykx+1，联立抛物线方程， 运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求 值； （2）求得，的坐标和数量积，可得 QFAB，即 MNAB，运用抛物线的弦长公 式可得|AB|，|MN|，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值 【解答】解： （1）设 A（x1，
38、y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 的方程为 ykx+1， 联立抛物线方程 x24y，可得 x24kx40， 即有 x1+x24k，x1x24， 由yx2的导数为yx， 可得l1的方程为yy1x1（xx1） ， 化为yx1x， 同理可得 l2的方程为 yx2x， 联立两直线方程解得 x02k，y01， 故 y01； 第 22 页（共 25 页） （2）由（，2） ，（x2x1，y2y1） ， +2（y2y1）+20， 可得 QFAB，即 MNAB， |AB|y1+y2+2k（x1+x2）+44k2+4， |MN|+4， 则四边形 AMBN 的面积 S|AB|MN|8（k2+1） （1+）8
39、（k2+2）8 （2+2）32， 当且仅当 k1 时，四边形 AMBN 的面积取得最小值 32 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用 韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基 本不等式的运用：求最值，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）ex+aln（x+1）ax+b，x0，1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在 a，b，使得函数 f（x）在区间0，1的最小值为1 且最大值为 1？若存 在，求出 a，b 的所有值；若不存在，请说明理由参考数据：ln20.693 【分析】 （1）先求导，再分
40、类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出， （2）对 a 分类讨论，利用（1）的结论即可得出 【解答】解： （1）f（x）xex+a（x+1）exa， 令 g（x）（x+1）exa，x0，1， g（x）（x+2）ex0， g（x）在0，1上单调递增， g（x）ming（0）1a，g（x）maxg（1）2ea， 若 a1 时，f（x）g（x）0 恒成立，即 f（x）在区间0，1上单调递增， 若 a2e 时，则 g（x）g（1）2ea0，则 f（x）0，则 f（x）在 区间0，1上单调递减， 若 1a2e，则 g（0）1a0，g（1）2ea0， 第 23 页（共 25 页） 又 g（x）在0，1
41、上单调递增， 结合零点存在性定理知，存在唯一的实数 x0（0，1） ，使得 g（x0）（x0+1）ea 0， 当 x0，x0）时，g（x）0，则 f（x）0，则 f（x）在0，x0）上单调递减， 当 xx0，1时，g（x）0，则 f（x）0，则 f（x）在x0，1上单调递增， 综上所述：若 a1 时，f（x）在区间0，1上单调递增， 若 a2e 时，f（x）在区间0，1上单调递减， 若 1a2e 时，存在唯一的实数 x0（0，1） ， （x0+1）ea，f（x）在0，x0）上单 调递减，在x0，1上单调递增 （2）由（1）可得： 若 a1，则 f（x）minf（0）b11，则 b0，而 f（x
42、）maxf（1）aln2 a+b1，解得 a1 满足题意， 若 a2e 时，则 f（x）maxf（0）b11，则 b2 时，而 f（x）minf（1）aln2 a+b1，解得 a9.7722e 满足题意， 若 1a2e 时，令 h（x）ln（x+1）x，x0，1， 则 h（x）0， h（x）在0，1上单调递减，h（x）h（0）0， 令 u（x）（x1）ex+h（x）+b，x0，1， 由（1）可知 u（x）u（1）ln21+b， 令 v（x）（x1）ex+ah（x）+b，x0，1， 由（1）可知 v（x）v（1）2e（ln21）+b， v（x）f（x）u（x） ， f（x）maxln21+b，f
43、（x）min2e（ln21）+b， f（x）maxf（x）min（2e1） （1ln2）1.3622， 综上：当 a且 b2，或当 a且 b2 时，使得 f（x）在区间0，1的最 小值为1 且最大值为 1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、 等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 第 24 页（共 25 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 2223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （1
44、0 分）如在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为（3，） ，曲线 C 的极坐标方程为 2+4sin0 （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l 的距离的最小值 【分析】 （1）直接把直线参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程，由已知结合 极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）化 P 为直角坐标，设出 Q 的坐标，由中点坐标公式求得 M 的坐标，再由点到直线 的距离公式写出距离，利用三角函数求最值 【解答】解： （1）由（t 为参数） ，消去参数 t， 可得直线 l 的普通方程为 xy50， 由 2+4sin0，且 2x2+y2，xcos，ysin， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2+4y0； （2）点 P 的极坐标为（3，） ，则点 P 的直角坐标为（3，3） ， 点 Q 为曲线 C 上的动点，设 Q（2cos，2sin2） ， 则 PQ 中点 M 为（，） ， 则点 M 到直线 l 的距离： d， 点
