1、已知集合 Ax|x25x+60，BxZ|1x5，则 AB（ ） A2，3 B （1，5） C2，3 D2，3，4 2 （5 分）复数 z（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分） “a2”是“直线 ax+2y10 与 x+（a1）y+20 互相平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）二项式的展开式中第 7 项是常数项，则 n 的值是（ ） A8 B9 C10 D11 5（5 分） 已知角 的顶点在坐标原点， 始边与 x 轴正半轴重合， 终边经过点， 则 cos2（ ）
2、 A B C D 6 （5 分）已知 1，a1，a2，3 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则的值 为（ ） A2 B2 C2 D 7 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A2 B2 C6 D6 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积（单位：cm）为 （ ） 第 2 页（共 22 页） A32 B36 C40 D48 9 （5 分）阅读下面的程序框图，则输出的 S（ ） A14 B20 C30 D55 10 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，CD平面 ABC，RtABC 中两直角边 AB5，BC3， 该三棱锥
3、的外接球的表面积为 50，则三棱锥的体积为（ ） A10 B20 C30 D40 11 （5 分）如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中 ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC2，AC4，在ABC 内任取一点，则此点取自正方形 DEFC 内的概率为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D 12 （5 分） 已知 f （x） 是奇函数， 且对任意0 设 af （） ， bf （log37） ， cf（0.83） ，则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb 二、填空题： （本大二、填空题： （本大题共题共 4 小题，每小题小
4、题，每小题 5 分共分共 20 分分.） 13 （5 分）已知向量，且，则 x 14 （5 分）已知函数，若 f（a）2019，则 f（a） 15 （5 分）已知抛物线 y24x 与双曲线的一条渐近线的交点为 M，F 为抛物线的焦点，若|MF|3，则该双曲线的离心率为 16 （ 5 分 ） 在 锐 角 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 为a ， b ， c ， 若 且 b1，则 a+c 的取值范围为 三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知正项等比数列an满足 S3S112，2S2
5、+S114 （1）求数列an的通项公式； （2）记，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部 选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后 再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如表所示： 第 4 页（共 22 页） 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体
6、经营户 100 50 150 合计 140 60 200 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对 象的类别有关” ； （3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户 作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值 附：K2 P（K2k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABC 是边长为 2 的正三 角
7、形，AA13，D，E 分别为 AB，BC 的中点 （1）求证：CD平面 AA1B1B； （2）求二面角 BAEB1的余弦值 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为， 椭圆 C 上的一点 P 到 F1，F2的距离之和等于 4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设 P （3，0） ，过椭圆 C 的右焦点 F2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若满足 m 恒成立，求 m 的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）exax2+（2e）x1，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线 第 5 页（共 22 页） 方程为 y0 （1）求 a 的值； （2）证明：
8、当 x0 时，f（x）0 选做题：考生在第选做题：考生在第 22 题，题，23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清 题号， （本题满分题号， （本题满分 10 分）分） 22 （10 分）曲线 C 的极坐标方程为 4cos（+） ，直线 l 经过点 P（，1） ， 倾斜角 （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）若 M 为曲线 C 上的一个动点，当 M 到 l 的距离最大时，求点 M 的坐标 23已知函数 f（x）|x1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）x30 的解集； （2）设函数 g（x
9、）f（x）2|x+2|，若存在 x 使 g（x）22 成立，求实数 的取 值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年云南省曲靖市陆良县高三（上）第一次摸底数学学年云南省曲靖市陆良县高三（上）第一次摸底数学 试卷（理科） （试卷（理科） （9 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题小题.每小题每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ）一项是符合题目要求的 ） 1 （5 分）已知集合 Ax|x25x+60，BxZ|1x5，则
10、 AB（ ） A2，3 B （1，5） C2，3 D2，3，4 【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x3，B2，3，4； AB2，3 故选：C 【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的定 义 2 （5 分）复数 z（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 z 在复平面内对应的点的坐标，则 答案可求 【解答】解：z， 则复数 z（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为： （，） ，位于第二 象限 故选：B 【点评】本题考
11、查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义， 是基础题 3 （5 分） “a2”是“直线 ax+2y10 与 x+（a1）y+20 互相平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据直线平行的充要条件，求出直线 ax+2y10 与 x+（a1）y+20 互相平 第 7 页（共 22 页） 行时的 a 值，进而根据充要条件的定义，可得答案 【解答】解：若“直线 ax+2y10 与 x+（a1）y+20 互相平行” 则 a（a1）20， 解得：a1，或 a2， 故“a2”是“直线 ax+2y10 与 x+（a1）y+20 互
12、相平行”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题以充要条件为载体，考查直线的平行，难度中档 4 （5 分）二项式的展开式中第 7 项是常数项，则 n 的值是（ ） A8 B9 C10 D11 【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：Tr+1（2x）n r（ ）r（1）r 2n r x，由题意有：当 r+17 即 r6 时，0，即 n9，得解 【解答】解：由二项式的展开式的通项为 Tr+1（2x）n r（ ）r （1）r2n r x， 由题意有： 当 r+17 即 r6 时，0， 即 n9， 故选：B 【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题 5（5 分） 已知角 的顶点在坐标原
13、点， 始边与 x 轴正半轴重合， 终边经过点， 则 cos2（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果 【解答】 解： 角 的顶点在坐标原点， 始边与 x 轴正半轴重合， 终边经过点， 所以 cos，所以 cos22cos21 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，倍角公式的应用，主要考查学 第 8 页（共 22 页） 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 6 （5 分）已知 1，a1，a2，3 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，则的值 为（ ） A2 B2 C2 D 【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式
14、以及性质，转化求解即可 【解答】解：1，a1，a2，3 成等差数列，可得 a1+a24，1，b1，b2，b3，4 成等比数列， 可得 b224，1，b2，4 同号，所以 b22，2， 故选：A 【点评】本题主要考查数列性质与思维的严谨性是基本知识的考查 7 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为（ ） A2 B2 C6 D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】解：由 zx2y 得 yx， 作出 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分 ABC） ： 平移直线 yx， 由图象可知当直线 yx，过点 A 时， 直线 y
15、x的截距最大，此时 z 最小， ，解得 A（2，2） 代入目标函数 zx2y， 得 z2222， 目标函数 zx2y 的最小值是2 故选：A 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积（单位：cm）为 （ ） A32 B36 C40 D48 【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA底 面 ABC然后由直角三角形面积公式求解 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 10 页（共 22
16、页） 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA底面 ABC 则 BCPC 该几何体的表面积 S 故选：A 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 9 （5 分）阅读下面的程序框图，则输出的 S（ ） A14 B20 C30 D55 【分析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可 输出 s 的值 【解答】解：S10，i11； S21，i22； S35，i33； S414，i44； S530，i54 退出循环， 故选：C 【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果 进行判断结果，属于基础题 10 （
17、5 分）已知三棱锥 ABCD 中，CD平面 ABC，RtABC 中两直角边 AB5，BC3， 第 11 页（共 22 页） 该三棱锥的外接球的表面积为 50，则三棱锥的体积为（ ） A10 B20 C30 D40 【分析】由题意画出图形，把三棱锥 ABCD 补形为长方体，长方体过一个顶点的三条 棱长分别为 3，5，CD，由外接球的表面积求得正方体对角线长，然后求解 CD，则答案 可求 【解答】解：如图，CD面 ABC， CD平面 CDB，则平面 CDB平面 ABC， 又 ABBC，AB平面 BCD， 则把三棱锥 ABCD 补形为长方体，长方体过一个顶点的三条棱长分别为 3，5，CD， 设三棱锥
18、的外接球的半径为 R，则 4R250，则 R 长方体的对角线长为 5 由，得 CD4 三棱锥的体积为35410 故选：A 【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查“分割补形法” ，是中档题 11 （5 分）如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中 ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC2，AC4，在ABC 内任取一点，则此点取自正方形 DEFC 内的概率为（ ） 第 12 页（共 22 页） A B C D 【分析】根据几何概型，用面积比可得 【解答】解：tanB2，tanB2，EF2FB2（BCEF）2（2 EF） ，解得 EF，
19、SACBACBC424，SDEFC， 根据几何概型 P 故选：B 【点评】本题考查了几何概型，属中档题 12 （5 分） 已知 f （x） 是奇函数， 且对任意0 设 af （） ， bf （log37） ， cf（0.83） ，则（ ） Abac Bcab Ccba Dacb 【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数 f（x）在 R 上为增函数，又由 0.830log3log3log37，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）对于任意的 x1、x2，满足0，则函数 f （x）在 R 上为增函数， 又由0.830log3log3log37， 则 cab； 故选：B 【点评】本
20、题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，注意分析函数的单调性，属 于基础题 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分分.） 13 （5 分）已知向量，且，则 x 12 【分析】根据，可得 0，解得 x 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：， 12x0，解得 x12 故答案为：12 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 14 （5 分） 已知函数， 若 f （a） 2019， 则 f （a） 2019 【分析】判断 f（x）的奇偶性，再结合 f（a）2019，即可得到 f（a）的值
21、【解答】解：依题意，显然 f（x）的定义域为 R， 又 f（x）（x）3+3（x3） +3（x3） +3+3f（x） ， f（x）为 R 上的偶函数， 所以 f（a）f（a）2019 故答案为：2019 【点评】本题考查了函数的奇偶性的判断依据函数奇偶性的应用，属于基础题 15 （5 分）已知抛物线 y24x 与双曲线的一条渐近线的交点为 M，F 为抛物线的焦点，若|MF|3，则该双曲线的离心率为 【分析】设出 M，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出 a，c 关系，即可得到双 曲线的离心率 【解答】解：设 M（m，n） ，则由抛物线的定义可得|MF|m+13， m2，n242，n2， 将
22、点 M（2，2）代入双曲线的渐近线方程 yx， ，2， e 故答案为： 【点评】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 第 14 页（共 22 页） 16 （ 5 分 ） 在 锐 角 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 为a ， b ， c ， 若 且 b1，则 a+c 的取值范围为 （，2 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sinBsinCsinCcosB，结合 sinC0，可得 tanB， 由B为锐角， 可得B， 由正弦定理， 三角函数恒等变换的应用可求a+c2sin （A+） ， 由已知可求范围 A（，） ，利用正弦函数的图
23、象和性质可求其范围 【解答】解：， cosB（cosCsinC）cos（B+C）cosBcosCsinBsinC，可得：sinBsinC sinCcosB， sinC0， 可得：tanB， 由 B 为锐角，可得 B， 由正弦定理，b1， a+c（sinA+sinC）sinA+sin（A）（cosA+sinA） 2sin（A+） ， ，可得：A（，） ， A+（，） ，可得：sin（A+）（，1， a+c2sin（A+）（，2 故答案为： （，2 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理以及正弦函数的图象和性 质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题
24、 三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题： （解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知正项等比数列an满足 S3S112，2S2+S114 第 15 页（共 22 页） （1）求数列an的通项公式； （2）记，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）设正项等比数列an的公比为 q0根据 S3S112，2S2+S114利用 通项公式即可得出 （2）（） ，利用裂项 求和方法即可得出 【解答】解： （1）设正项等比数列an的公比为 q0 S3S112，2S2+S114 a1（q+q2）12，3a1+2a1q14， 联立解得：q2a1 an2n
25、 （2）（） 数列bn的前 n 项和 Tn（1+）（1） 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和方法、对数运算性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部 选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后 再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记由于种种情况可能 会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如表所示： 普查对象类别 顺
26、利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体经营户 100 50 150 第 16 页（共 22 页） 合计 140 60 200 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对 象的类别有关” ； （3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户 作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值 附：K2 P（K2k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 【分析】 （1）真假判断抽
27、样的方法即可 （2）利用联列表求出 k2，然后判断即可 （3）推出 X 可取 0，1，2，3，4求解概率，然后求解分布列，得到期望即可 【解答】解： （1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2 分） （2）将列联表中的数据代入公式计算得 K23.1752.706， 所以，有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” （6 分） （3）以频率作为概率，从该小区随机选择 1 家企事业单位作为普查对象，入户登记 顺利的概率为，随机选择 1 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 X 可取 0，1，2，3，4 P（X0）（）3， P（X1）（）3+C31（）2，
28、 P（X2）C31（）2+C32（）2， P（X3）C32（）2+（）3， P（X4）（）3 X 的分布列为： 第 17 页（共 22 页） X 0 1 2 3 4 P E（X）0+1+2+3+4（12 分） 【点评】本题考查离散型随机变量的期望以及分布列，独立检验思想的应用，考查计算 能力 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABC 是边长为 2 的正三 角形，AA13，D，E 分别为 AB，BC 的中点 （1）求证：CD平面 AA1B1B； （2）求二面角 BAEB1的余弦值 【分析】 （1）推导出 AA1CDCDAD由此能证明 CD平面 AA1B1
29、B （2）取 A1B1中点 F，连结 DF，则 DFAB由 CDAB，CDDF，建立空间直角坐 标系 Dxyz，利用向量法能求出二面角 BAEB1的余弦值 【解答】解： （1）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中，因为 AA1底面 ABC，CD平面 ABC， 所以 AA1CD又ABC 为等边三角形，D 为 AB 的中点，所以 CDAD 因为 ABAA1A，所以 CD平面 AA1B1B （2）解：取 A1B1中点 F，连结 DF，则因为 D，F 分别为 AB，A1B1的中点， 所以 DFAB由（1）知 CDAB，CDDF，如图建立空间直角坐标系 Dxyz， 由题意得 A（1，0，0） ，B（1，
30、0，0） ，C（0，0，） ，A1（1，3，0） ，B1（1，3， 0） ，C1（0，3，） ， D（0，0，0） ，E（） ，（） ，（2，3，0） ， 设平面 AB1E 的法向量 （x，y，z） ，（，0，） ，（2，3，0） ， 第 18 页（共 22 页） 则，令 x1，则 （1，） 平面 BAE 法向量（0，3，0） 因为 cos， 由题意知二面角 BAEB1为锐角，所以它的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2
31、，离心率为， 椭圆 C 上的一点 P 到 F1，F2的距离之和等于 4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设 P （3，0） ，过椭圆 C 的右焦点 F2的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若满足 m 恒成立，求 m 的最小值 【分析】 （1）根据椭圆的定义和性质即可求得椭圆的方程； （2）设出 A、B 两点的坐标，表示出，联立直线与椭圆的方程得韦达定理，然后 得出 m 的最小值 【解答】解： （1）设椭圆的焦距为 2c， 由题意可得，解得， 第 19 页（共 22 页） 椭圆 C 的标准方程为：； （2）由（1）可知， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 ， x1x2+y
32、1y23（x1+x2）+9， 当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 的方程为，得， 代入得，或，则， 当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线的方程为， 联立得， 由韦达定理得， ， 令 1+4k2，t1，则， ， 又因函数在1，+）上是减函数， ， 综上：m 的最小值为 5 【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查范围和最值问题，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exax2+（2e）x1，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线 方程为 y0 （1）求 a 的值； 第 20 页（共 22 页） （2）证明：当 x0 时，f（x）0 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，可得切
33、线的斜率和切点，解方程可得 a 的值； （2）求得 f（x）exx2+（2e）x1 的导数，令函数 （x）f（x） ，求得导数， 判断单调性，结合函数零点存在定理，即可得证 【解答】解： （1）f（x）exax2+（2e）x1 的导数为 f（x）ex2ax+2e， 曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y0， 可得 f（1）ea+2e10，且 f（1）e2a+2e0， 解得 a1； （2）证明：由（1）知 f（x）exx2+（2e）x1， f（x）ex2x+2e，令函数 （x）f（x） ，则 （x）ex2， 当 0xln2 时，（x）0，f（x）单调递减； 当 xln2 时，（x）0，f（
34、x）单调递增， 又 f（0）3e0，f（1）0，0ln21，f（ln2）0， 所以，存在 x0（0，1） ，使得 f（x）0， 当 x（0，x0）（1，+）时，f（x）0； 当 x（x0，1） ，f（x）0， 故 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 又 f（0）f（1）0， f（x）exx2（e2）x10， 当且仅当 x1 时取等号故当 x0 时，f（x）0 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查二次求导和构造函数法、 函数零点存在定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题 选做题：考生在第选做题：考生在第 22 题，题，23 题
35、中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清 题号， （本题满分题号， （本题满分 10 分）分） 22 （10 分）曲线 C 的极坐标方程为 4cos（+） ，直线 l 经过点 P（，1） ， 倾斜角 （1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）若 M 为曲线 C 上的一个动点，当 M 到 l 的距离最大时，求点 M 的坐标 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 第 21 页（共 22 页） 换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函
36、数的性质 的应用求出结果 【解答】解： （1）C 的极坐标方程为 4cos（+） ，转换为直角坐标方程为 ， 直线 l 经过点 P（，1） ，倾斜角 直线 l 的参数方程为：（t 为参数） （2）M 为曲线 C 上的一个动点，设 M（） ， 由题意知直线 l 的一般方程为 所 以 点 M 到 直 线 l 的 距 离 ， 当时，距离的最大值为 2，即， 点 M（） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 23已知函数 f（x）|x
37、1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）x30 的解集； （2）设函数 g（x）f（x）2|x+2|，若存在 x 使 g（x）22 成立，求实数 的取 值范围 【分析】 （1）对 f（x）去绝对值后写为分段函数的形式，然后根据 f（x）x30 分别 解不等式即可； （2）根据存在 x 使 g（x）22 成立，可得，再由绝对值三角 不等式求出 g（x）的最大值后，解不等式可得实数 的取值范围 第 22 页（共 22 页） 【解答】解： （1）f（x）|x1|+|x+2|， f（x）x30，或或， 1x2 或 0x1 或 x，0x2， 不等式的解集为0，2； （2）由存在 x 使 g（x）22 成立，得， 又 g（x）f（x）2|x+2|x1|x+2|3， 223，即 2230， 13， 的取值范围为1，3 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类 讨论思想，属中档题
