1、在ABC 中， “” ，是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）若，则 tan2（ ） A B C D 5 （5 分） 九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术 时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为 此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人 称 3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的 n 为（ ） （1.732，sin150.258，sin7.50.131） 第 2
2、页（共 24 页） A6 B12 C24 D48 6 （5 分） 公比为 2 的等比数列an的各项都是正数， 且 a3a1116， 则 （ ） A4 B5 C6 D7 7 （5 分）设 a0.40.5，b0.60.5，c0.60.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bbac Cabc Dcab 8 （5 分）已知正实数 a，b，c，d 满足 a+b1，c+d1，则的最小值是（ ） A10 B9 C4 D3 9 （5 分）给出下列四个命题，其中不正确的命题为 若 coscos，则 2k，kZ； 函数的图象关于直线对称； 函数 ycos（sinx） ，xR 为偶函数； 函数 ysin
3、|x|是周期函数 （ ） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosC2ccosBa，且 B 2C，则ABC 的形状是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 第 3 页（共 24 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）若方程 f（x）a 有三个不同的实数根，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （1，3） B （0，3） C （0，2） D （0，1） 12 （5 分）已知直线 ykx+b 与曲线 yln（2x）和曲线 yln（x+1）都相切，则 k（ ） Aln2 B C D 二、填空题： （本大题共二
4、、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）计算 14 （5 分）2019 年 3 月 10 日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三 号乙运载火箭托举“中星 6C”卫星成功发射升空这一刻，中国长征系列运载火箭的发 射次数刷新为“300” 长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了 37 年，第二个“百发” 用了不到 8 年，第三个“百发”用时仅 4 年多已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭 的最大速度 v（米/秒）和燃料的质量 M（千克） 、火箭（除燃料外）的质量 m（千克）的 函数关系式是当燃料质量是火箭质量的 倍时，火
5、箭的最大 速度可达 12000 米/秒 15 （5 分）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2正方形若 PA2，则OAB 的面积为 16 （5 分）对于一切实数 x，令x为不大于 x 的最大整数，则函数 f（x）x为高斯实数 或取实数，若，Sn为数列an的前 n 项和，则 S3n 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据
6、要求作答） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）某人在甲、乙两社区各经营一个小商品店，他记录了连续 25 天的营业额（单 位：拾元） ，结果用茎叶图表示如图 2 （1）根据茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论； （2）若从两店营业额超过 3300 元的天中随机抽取 3 天作进一步分析，设抽到甲店的天 数为 X，求 X 的分布列和均值 第 4 页（共 24 页） 18 （12 分）设函数 f（x）sinx，xR （1）已知 0，2） ，函数 f（x+）是偶函数，求 的值； （2）设，求 g（x）的单调递减区间 19 （
7、12 分）如图 3，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是CD的中点，以 AE 为折 痕将DAE 向上折起，点 D 变为 F，且平面 FAE平面 ABCE （1）求证：AFEB； （2）求二面角 ABFE 的大小 20 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+bx（其中 a，b 为常数且 a0）在 x1 处取得极值 （）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （）若 f（x）在闭区间1，e（其中 e 为自然对数的底数）上的最大值为 1，求实数 a 的值 21 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A（2，0） ，B（2，0）的连 线的斜率之积为 （1）求动点 M
8、 的轨迹 C 的方程； （2）设过点（1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线 x与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 24 页） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程
9、和直线 l 的直角坐标方程； （2） 设点P （1， m） ， 若直线l与曲线C相交于A， B两点， 能否求出m的值使得， 若能，求 m 的值；若不能请说明理由 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax1|（a0） （1）若不等式 f（x）2 的解集为 A，且 A（2，2） ，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年云南省玉溪一中高三（上）第二次月考数学试卷学年云南省玉溪一中高三（上）第二次月考数学试卷 （理科） （理科） （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参
10、考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Mx|4x2，Nx|x2x60，则 MN（ ） Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|2x2 Dx|2x3 【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出 【解答】解：Mx|4x2，Nx|x2x60x|2x3， MNx|2x2 故选：C 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题 2 （5 分）设复数 z1+i（i
11、是虚数单位） ，则复数 z+在复平面内所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把 z1+i 代入 z+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应点的坐 标得答案 【解答】解：z1+i， z+， 复数 z+在复平面内所对应的点的坐标为（） ，在第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）在ABC 中， “” ，是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】在ABC 中， “”C 为锐角，根据充要条件的定义，可
12、得答案 第 7 页（共 24 页） 【解答】解：在ABC 中， “”cosC0C 为锐角， 故， “” ，是“ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，充要条件，难度中档 4 （5 分）若，则 tan2（ ） A B C D 【分析】 由二倍角公式化简已知的式子并求 tan 的值， 再由二倍角的正切公式求出 tan2 的值 【解答】解：由题意得， 则，即，得 tan2， 所以 tan2， 故选：D 【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，属于基础题 5 （5 分） 九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章
13、算术 时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为 此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人 称 3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的 n 为（ ） （1.732，sin150.258，sin7.50.131） 第 8 页（共 24 页） A6 B12 C24 D48 【分析】列出循环过程中 s 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】解：模拟执行程序，可得： n3，S3sin120， 不满足条件 S3，执行循环体，n6，S6sin60， 不满足条件 S3，执行循环
14、体，n12，S12sin303， 不满足条件 S3，执行循环体，n24，S24sin15120.25883.1056， 满足条件 S3，退出循环，输出 n 的值为 24 故选：C 【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于 基础题 6 （5 分） 公比为 2 的等比数列an的各项都是正数， 且 a3a1116， 则 （ ） A4 B5 C6 D7 【分析】公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1116，根据通项公式可得： 21216，解得 a1，利用通项公式与对数运算性质即可得出 【解答】解：公比为 2 的等比数列an的各项都是正数，且 a3a1
15、116， 21216， 第 9 页（共 24 页） a12 4 a102 42925 则5 故选：B 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 7 （5 分）设 a0.40.5，b0.60.5，c0.60.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Bbac Cabc Dcab 【分析】根据指数函数的单调性得出 cb，而根据幂函数的单调性得出 ba，从而求出 a，b，c 之间的大小关系 【解答】解：根据指数函数的性质可得，y0.6x为减函数，且 0.50.3， 0.60.50.60.3，即 cb； 而 0.40.50.60.5， 故 cb
16、a 故选：C 【点评】本题考查利用指数函数的性质比较大小，属于基础题 8 （5 分）已知正实数 a，b，c，d 满足 a+b1，c+d1，则的最小值是（ ） A10 B9 C4 D3 【分析】利用基本不等式求得4，再利用基本不等式求得的最小值 【解答】解：a+b1，c+d1，ab，4，当且仅当 ab 时，取等号 则4+（c+d） （+）5+5+29， 当且仅当 ab时，且 c，d时，的最小值为 9， 故选：B 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形，是解题的关键和难点，属于中 档题 9 （5 分）给出下列四个命题，其中不正确的命题为 若 coscos，则 2k，kZ； 第 10 页（
17、共 24 页） 函数的图象关于直线对称； 函数 ycos（sinx） ，xR 为偶函数； 函数 ysin|x|是周期函数 （ ） A B C D 【分析】由 cos cos 得到 与 的关系判断；求出函数的对称 轴方程判断；利用偶函数的定义判断；画出函数 ysin|x|的图象判断 【解答】解：对于，若 cos cos ，则 2k 或 +2k，kZ，故错误； 对于，由 2x+k，得 x，kZ，若，则 kZ， 函数的图象不关于直线对称，故错误； 对于，由 cossin（x）cos（sinx）cos（sinx） ，得函数 ycos（sin x） （xR） 为偶函数，故正确； 对于，函数 ysin|x
18、|，其图象如图， 由图可知，函数不是周期函数，故错误 不正确的命题是 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，注意运用定 义法和图象，属中档题 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosC2ccosBa，且 B 2C，则ABC 的形状是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 【分析】 由正弦定理， 三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 sinBcosC3cosBsinC， 又利用二倍角的正弦函数公式，可得 2sinCcos2C3cosBsinC，结合 sinC0，化简解得 第 11 页
19、（共 24 页） cos2C 的值，结合 C 的范围可求 C，进而可求 B，利用三角形内角和定理可求 A 的值， 即可判断三角形的形状 【解答】解：2bcosC2ccosBa， 2sinBcosC2sinCcosBsinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， sinBcosC3cosBsinC， 又B2C， 可得：sinB2sinCcosC， 2sinCcos2C3cosBsinC， 由 sinC0，可得：2cos2C3cosB， 1+cos2C3cos2C，解得：cos2C， C（0，） ，2C（0，） ， 2C，可得 C，B2C，A（B+C），即ABC 的形状是直 角三角形
20、 故选：A 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，二倍角的正弦函数公式， 三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题 11 （5 分）已知函数 f（x）若方程 f（x）a 有三个不同的实数根，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （1，3） B （0，3） C （0，2） D （0，1） 【分析】结合方程 f（x）a 有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判 断问题，进而结合函数 f（x）的图象即可获得解答 【解答】解：由题意可知：函数 f（x）的图象如下： 第 12 页（共 24 页） 由关于 x 的方程 f（x）a0 有三个不同的实数
21、解， 可知函数 ya 与函数 yf（x）有三个不同的交点， 由图象易知：实数 a 的取值范围为（0，1） ， 故选：D 【点评】此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题在解答的过程当中充分体 现了问题转化的思想、数形结合的思想 12 （5 分）已知直线 ykx+b 与曲线 yln（2x）和曲线 yln（x+1）都相切，则 k（ ） Aln2 B C D 【分析】设切点（x1，kx1+b） ， （x2，kx2+b） ，分别表示出在这两点处的斜率和切线，找 到对应关系即可 【解答】解：设切点（x1，kx1+b） ， （x2，kx2+b） ， 由题意得 k，所以 x1x2+1，切线方程分别可以表
22、示为： y（xx1）+ln2x1x+ln2x11， y（xx2）+ln（x2+1）x+lnx1， 所以有 ln2x11lnx1，解得 ln2，即 kln2 故选：A 【点评】本题考查公切线的相关知识点，利用函数导数解决问题即可，属于基础题 第 13 页（共 24 页） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）计算 6 【分析】由定积分的定义，令 F（x）2x1，则 F（x）x2x，由公式求出积分值 【解答】解：由导数的运算法则知当 F（x）x2x 时，F（x）2x1 由定积分的定义 得 03（2x1）dx
23、F（3）F（0）936 故答案为 6 【点评】本题考点是定积分，此类题高中要求较低，能根据公式求值即可 14 （5 分）2019 年 3 月 10 日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三 号乙运载火箭托举“中星 6C”卫星成功发射升空这一刻，中国长征系列运载火箭的发 射次数刷新为“300” 长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了 37 年，第二个“百发” 用了不到 8 年，第三个“百发”用时仅 4 年多已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭 的最大速度 v（米/秒）和燃料的质量 M（千克） 、火箭（除燃料外）的质量 m（千克）的 函数关系式是当燃料质量是火箭质量的 e61 倍时，
24、火箭的最 大速度可达 12000 米/秒 【分析】当 V12000 时，2000ln（1+）12000，由此求出e61从而当燃料质 量是火箭质量的 e61 倍时，火箭的最大速度可达 12000 米/秒 【解答】解：在不考虑空气阻力的情况下， 火箭的最大速度 v（米/秒）和燃料的质量 M（千克） 、火箭（除燃料外）的质量 m（千克） 的函数关系式是 当 V12000 时，2000ln（1+）12000， ln（1+）6， 解得e61 当燃料质量是火箭质量的 e61 倍时，火箭的最大速度可达 12000 米/秒 故答案为：e61 【点评】本题考查火箭的最大速度可达 12000 米/秒时，燃料质量是
25、火箭质量的倍数的求 法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题 第 14 页（共 24 页） 15 （5 分）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2正方形若 PA2，则OAB 的面积为 【分析】可将 P，A，B，C，D 补全为长方体 ABCDABCD，让 P 与 A重合， 则该长方体的对角线 PC 即为球 O 的直径（球 O 为该长方体的外接球，于是可求得 PC 的长度，可判断OAB 为等边三角形，从而而求其面积 【解答】解：依题意，可将 P，A，B，C，D 补全为长方体 ABCDABCD，让 P 与 A
26、重合，则球 O 为该长方体的外接球，长方体的对角线 PC 即为球 O 的直径 ABCD 是边长为 2正方形，PA平面 ABCD，PA2， PC2AP2+AC224+2448， 2R4，ROP2， OAB 为边长是 2的等边三角形， SOAB22sin60 3 故答案为：3 【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用， “补形”是关键， 考查分析、转化与运算能力，属于中档题 16 （5 分）对于一切实数 x，令x为不大于 x 的最大整数，则函数 f（x）x为高斯实数 或取实数，若，Sn为数列an的前 n 项和，则 S3n 【分析】先根据所给的新定义推导数列的几项，从这几项中看出
27、数列的项的特点，找出 规律，得到最终结果为 S3n30+1+2+（n1）+n 【解答】解：f（x）x为高斯实数或取实数，若， ， ， ， ， ， 第 15 页（共 24 页） ， ， ， S3n30+1+2+（n1）+n（nN*） 故答案为： 【点评】本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的推导与归纳，同时又 是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第
28、22，23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）某人在甲、乙两社区各经营一个小商品店，他记录了连续 25 天的营业额（单 位：拾元） ，结果用茎叶图表示如图 2 （1）根据茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论； （2）若从两店营业额超过 3300 元的天中随机抽取 3 天作进一步分析，设抽到甲店的天 数为 X，求 X 的分布列和均值 【分析】 （1）由茎叶图可以得到如下结论：乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平 均数甲店营业额较乙店营业额更分散甲店营业额的中位数为 3070 元，乙店营
29、 业额的中位数为 3180 元乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附 近） 甲店营业额除一个特殊值（3520）外，也大致对称，其分布较均匀 （2）由茎叶图可知，两店营业额超过 3300 元的共有 10 天，其中，甲店有 4 天，乙店有 第 16 页（共 24 页） 6 天由题意得 X 可能的取值为 0，1，2，3，（k0，1，2，3） ，由 此能求出 X 的概率分布列和 X 的均值 E（X） 【解答】解： （1）由茎叶图可以得到如下结论： 乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数 甲店营业额较乙店营业额更分散 （或：乙店营业额较甲店营业额更集中（稳定） 甲店营业额分散程度比乙店营
30、业额的分 散程度更大） 甲店营业额的中位数为 3070 元，乙店营业额的中位数为 3180 元 乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近） 甲店营业额除一个特殊值（3520）外，也大致对称，其分布较均匀 （2）由茎叶图可知，两店营业额超过 3300 元的共有 10 天，其中，甲店有 4 天，乙店有 6 天 由题意得 X 可能的取值为 0，1，2，3， （k0，1，2，3） ， 于是，X 的概率分布列如下： X 0 1 2 3 P 故 X 的均值 E（X）0+1+2+3 【点评】本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考 查茎叶图的性质、概率性质等基础知识
31、，考查运算求解能力，是中档题 18 （12 分）设函数 f（x）sinx，xR （1）已知 0，2） ，函数 f（x+）是偶函数，求 的值； （2）设，求 g（x）的单调递减区间 【分析】 （1）由题意利用三角函数的奇偶性，两角和差的三角公式，求出 的值 （2）利用三角恒等变换化简 g（x）得解析式，再根据正弦函数的单调性，求出 g（x） 的单调递减区间 第 17 页（共 24 页） 【解答】解： （I）因为函数 f（x）sinx，xR，故 f（x+）sin（x+） ， 由于 f（x+）sin（x+）是偶函数，所以，对任意实数 x 都有 sin（x+）sin（x+） ， 即 sinxcos0，
32、cos0，或 （）g（x）+ + 1（cos2xsin2x）， 解不等式，kZ 可得：， 所以，g（x）的单调递减区间为，kZ 【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中 档题 19 （12 分）如图 3，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是CD的中点，以 AE 为折 痕将DAE 向上折起，点 D 变为 F，且平面 FAE平面 ABCE （1）求证：AFEB； （2）求二面角 ABFE 的大小 【分析】 （）推导出 EBAE，从而 EB平面 FAE，由此能证明 AFEB （）以 C 为原点，CE 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABCE
33、的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系，由此能求出二面角 ABFE 的大小 【解答】解： （）证明：AEBE2，AB4， AB2AE2+BE2，EBAE， 平面 FAE平面 ABCE，EB平面 FAE， AF平面 FAE，AFEB （）如图，以 C 为原点，CE 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABCE 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 第 18 页（共 24 页） 则 A（4，2，0） ，C（0，0，0） ，B（0，2，0） ，F（3，1，） ，E（2，0，0） ， （4，0，0） ，（3，1，） ，（2，2，0） 设 （x，y，z）为平面 ABF 的法向量， 则，取
34、z1，得 （0，1） ， 设 （x，y，z）为平面 BFE 的法向量， ，取 x1，得 （1，1，） ， 0， 二面角 ABFE 的大小为 90 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+bx（其中 a，b 为常数且 a0）在 x1 处取得极值 （）当 a1 时，求 f（x）的单调区间； （）若 f（x）在闭区间1，e（其中 e 为自然对数的底数）上的最大值为 1，求实数 a 的值 【分析】 （I）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据 x1
35、是 f（x）的 一个极值点 f（1）0，可构造关于 a，b 的方程，根据 a1 求出 b 值；可得函数导函 数的解析式，分析导函数值大于 0 和小于 0 时，x 的范围，可得函数 f（x）的单调区间； （II）对函数求导，写出函数的导函数等于 0 的 x 的值，列表表示出在各个区间上的导函 数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件 建立关于 a 的方程求得结果 第 19 页（共 24 页） 【解答】解： （I）因为 f（x）lnx+ax2+bx 所以 f（x）+2ax+b，（2 分） 因为函数 f（x）lnx+ax2+bx 在 x1 处取得极值 f（1）1+
36、2a+b0（3 分） 当 a1 时，b3，f（x）， f（x） ，f（x）随 x 的变化情况如下表： x （0，） （，1） 1 （1，+） f（x） + 0 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 （5 分） 所以 f（x）的单调递增区间为（0，） ， （1，+） 单调递减区间为（，1）（6 分） （II）因为 f（x）令 f（x）0，x11，x2（7 分） 因为 f（x）在 x1 处取得极值，所以 x2x11， 当 0 时，f（x）在1，e上单调递减， 所以 f（x）在区间1，e上的最大值为 f（1） ， 故 f（1）1，解得 a2（9 分） 当 a0，x20 当1 时，f（x）在1
37、，e上单调递增， 所以最大值 1 在 xe 处取得， 所以 f（e）lne+ae2（2a+1）e1，解得 a（11 分） 当 1e 时，f（x）在区间1，上单调递减，e上单调递增， 所以最大值 1 可能在 x1 或 xe 处取得 而 f（1）ln1+a（2a+1）0 所以 f（e）lne+ae2（2a+1）e1， 解得 a，与 1x2e 矛盾（12 分） 第 20 页（共 24 页） 当 x2e 时，f（x）在区间在1，e单调递减， 所以最大值 1 可能在 x1 处取得，而 f（1）ln1+a（2a+1）0，矛盾 综上所述，a或 a2（13 分） 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极
38、值，利用导数研究函数的单调性， 以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定 a，b 值，得到函数导 函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键属难题 21 （12 分）在平面直角坐标系中，动点 M 分别与两个定点 A（2，0） ，B（2，0）的连 线的斜率之积为 （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）设过点（1，0）的直线与轨迹 C 交于 P，Q 两点，判断直线 x与以线段 PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）设动点 M 的坐标为（x，y） ，由斜率之积为列式求动点 M 的轨迹 C 的 方程； （2）过点（1，0）的直线为 x 轴时，显然不合题意设
39、过点（1，0）的直线方程为 xmy1，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得 PQ 的中点坐标为 N （） 再由弦长公式求|PQ|求得点 N 到直线 x的距离为 d由 0，可得 d，即直线 x与以线段 PQ 为直 径的圆相离 【解答】解： （1）设动点 M 的坐标为（x，y） ， （x2） ，（x2） ， 整理得 动点 M 的轨迹 C 的方程（x2） ； （2）过点（1，0）的直线为 x 轴时，显然不合题意 第 21 页（共 24 页） 可设过点（1，0）的直线方程为 xmy1， 设直线 xmy1 与轨迹 C 的交点坐标为 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 由，得（m2+2）y
40、22my30 （2m）2+12（m2+2）0， 由韦达定理得， PQ 的中点坐标为 N（） |PQ| 点 N 到直线 x的距离为 d 0， 即 d， 直线 x与以线段 PQ 为直径的圆相离 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做如果多做，则按所做的第一题的第一题 计分计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 以 O
41、 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 第 22 页（共 24 页） （2） 设点P （1， m） ， 若直线l与曲线C相交于A， B两点， 能否求出m的值使得， 若能，求 m 的值；若不能请说明理由 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为曲线 C 的普通 方程为（x1）2+y21 直线 l 的极坐标方程为转换为直角坐标方程为 ，即 （
42、2）由于直线 l 过点 P（1，m） ，倾斜角为 30，故直线 l 的参数方程为（t 是参数） 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程并化 简得 t2+mt+m210 43m20 解得， ， 解得 m3 不满足 不存在 m，使直线与曲线相交 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|ax1|（a0） （1）若不等式 f（x）2 的解集为 A，且 A（2
43、，2） ，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）不等式 f（x）2 化为2ax12，求出不等式的解集 A，根据包含关 系求出 a 的取值范围； 第 23 页（共 24 页） （2）不等式化为|ax1|+|x+1|，设 g（x）|ax1|+|x+1|，a 0，分类讨论求出 g（x）的最小值，列不等式组求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）|ax1|（a0） ， 不等式 f（x）2 化为2ax12， 即1ax3， 解得x， 所以不等式的解集为 Ax|x； 又 A（2，2） ， 所以，解得 a， 所以实数 a 的取值范围是 a； （2）不等式，化为|ax1|+|x+1|， 设 g（x）|ax1|+|x+1|，a0， 则 g（x）； 所以当 x时，g（x）单调递增，最小值为 g（）1+，解得 a2； 当1x时，若 a1，则 g（x）单调递增，且 g（x）g（1）a+1，解得 1a； 若 a1，则 g（x）单调递减，且 g（x）g（）+1，解得 1a2； 当 x1 时，g（x）单调递减，最小值为 g（1）a+1，解得 a； 综上所述，不等式恒成立时实数 a 的取值范围是（，2） 【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了转化与分类讨论应用问题，是中 档题
