1、已知集合，则下列选项中不正确的是 （ ） AAB BABA CABB D （RB）AR 2 （5 分）已知复数 z 满足（3+4i）z1+i，则| |（ ） A B C D 3 （5 分）已知O 的半径为 3，圆心为 O，点 A 和点 B 在O 上，且 AB3，则 （ ） A4 B C5 D 4 （5 分）我国南宋时期数学家秦九韶（12021261）在他的著作数书九章中提出了他 的一种算法，后人为了纪念他，就叫秦九韶算法算法的程序框图如图，已知 f（x） 4x4+2x3+3.5x22.6x+1.7，用秦九韶算法求得 f（5）（ ） A2826.2 B2827.2 C2828.2 D2829.2
2、 5 （5 分）已知角 的终边落在直线 y2x 上，则 cos2（ ） A B C D 6 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，S312，且 a1，a2，a6成等比数列， 则 a9（ ） A4 B25 C4 或 25 D4 或 27 7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ） 第 2 页（共 24 页） A2+3 B2+2 C2+4+2 D3+3+2 8 （5 分）设，若 f（x）在上为增函数，则 的取 值范围是（ ） A， B， C （0， D （0， 9 （5 分）已知函数 f（x）2sinx+x+2，x2，2，f（x）的最大值为 M，最小值
3、为 m， 则 M+m（ ） A4 B C D2+1 10 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC2，在矩形 ABCD 中随机取一点 M， 则点 M 与 A，B 的距离都不小于 2 的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）若函数 f（x）lnxax 有 2 个零点 x1，x2，且 x1x2，则 a 的取值范围是（ ） A （，） B （0，） C （，1） D （1，e） 12 （ 5分 ） 双 曲 线的 离 心 率 为e1， 双 曲 线 ， n0） 的离心率为 e2， 双曲线 C1与双曲线 C2有相同的渐近线， 则的取值范围是（ ） 第 3 页（共 24 页） A，1 B （1，
4、C，2） D， 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若（13x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则 a1+a2+a3+a10 14 （5 分）已知数列an满足 a11，3an+1ananan+1，则通项 an 15 （5 分）已知点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px（p0）上，则过 Q 点与抛物线相切的切 线方程是 16 （5 分）如图，三棱锥 PABC 的四个顶点在同一球面上，AB 过球心 O，AB4且 PBC 是边长为 4 的等边三角形，M，N 分别为 PO，BC 上的动点且 PMCN，则三
5、棱锥 MOCN 体积的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （ 12 分 ） 在 ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 ，且2acosA （1）求角 A 的大小； （2）若 b4，c5，D 在 BC 上，AD 是BAC 的角平分线，求|AD| 18 （12 分）已知某校高一、高二、高三三个年级的数学教师人数分别为 24，16，16，采用 分层抽样的方法从中抽取了 14 人，调查他们对课件的使用情况，若抽出的这 14 人中， 有 8
6、人常使用课件，6 人不常使用，现从这 14 人随机抽取 3 人，进一步进行询问 （1）设事件 A 为“抽取的 3 人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件的老师” ，求 事件 A 发生的概率； （2）用 Z 表示抽取的 3 人中不常使用课件的人数，求随机变量 Z 的分布列及数学期望 19 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，ABC 为正三角形，DAC 为直角三角形且 DA DC，BECD 且 CD2BE （1）求证：ACBD； 第 4 页（共 24 页） （2）若 ABBD2，求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值 20 （12 分）已知点 M 为椭圆）上一点，F1，F2分别是椭
7、圆的左、右 焦点，F1MF260，MF1F2的面积为，椭圆的离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点任意作一条直线 l，与椭圆交于 A，B 两点，问 y 轴上是否存在定点 P，使得 PN 平分APB？若存在，求出 P 点，若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知 f（x）e2xax，g（x）lnx （1）求函数 f（x）的极值； （2）设 a0，F（x）f（x）ag（x）+ax+alna，求证：F（x）（2+ln2）a 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所
8、做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）如图的网格中的小正方边长等于一个单位长度，在网格中建立了如图的极坐标 系与直角坐标系（极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合） 曲线 M 的（分段）极坐 标方程是 （1）请在网格图中作出曲线 M（可以不写说明，直接作出图形） ； （2）倾斜角是锐角的直线 l 与曲线 M 相切并恰好有两个切点，求切线 l 的极坐标方程 第 5
9、 页（共 24 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|2x3| （1）解不等式 f（x）1； （2）若x0使，求 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年云南省曲靖一中高三（下）质检数学试卷（理科）学年云南省曲靖一中高三（下）质检数学试卷（理科） （六）（六） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知
10、集合，则下列选项中不正确的是 （ ） AAB BABA CABB D （RB）AR 【分析】求出集合 A，B，逐一验证即可 【解答】解：集合， 由 x22x30，得 A（1，3） ， 对集合 B，由 y1，得 B1，+） ， A 正确， AB（1，3）A，B 正确， ABB，C 正确， （RB）A（，1）（1，3） ，D 错误， 故选：D 【点评】考查集合的交并补运算，还考查了不等式的运算，基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足（3+4i）z1+i，则| |（ ） A B C D 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解：（3+4i）z1+i，（34i） （3+4i）z（
11、34i） （1+i） ，化为：25z7 i z 则| |z| 故选：C 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 3 （5 分）已知O 的半径为 3，圆心为 O，点 A 和点 B 在O 上，且 AB3，则 （ ） A4 B C5 D 【分析】先根据已知条件求得OAB60；再代入数量积求解即可 【解答】解：如图： O 的半径为 3，圆心为 O，点 A 和点 B 在O 上，且 AB3， 所以：AOB 为等边三角形； 故OAB60； 33cos60 故选：B 【点评】本题考查向量的数量积的应用以及三角形的有关问题，考查计算能力
12、 4 （5 分）我国南宋时期数学家秦九韶（12021261）在他的著作数书九章中提出了他 的一种算法，后人为了纪念他，就叫秦九韶算法算法的程序框图如图，已知 f（x） 4x4+2x3+3.5x22.6x+1.7，用秦九韶算法求得 f（5）（ ） A2826.2 B2827.2 C2828.2 D2829.2 【分析】直接利用秦九韶算法的应用求出结果 【解答】解：f（x）4x4+2x3+3.5x22.6x+1.7， （ （ （4x+2）x+3.5）x2.6）x+1.7， 所以 v04， v145+222， v2225+3.5113.5， 第 8 页（共 24 页） v3113.552.6564.
13、9， v4564.95+1.72826.2 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，秦九韶算法的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （5 分）已知角 的终边落在直线 y2x 上，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由直线的斜率公式直接求出 tan，设出直线上点的坐标，可求 cos，进而利用 二倍角公式可求 cos2 的值 【解答】解：角 终边在直线 y2x 上， 所以 tan2， 在直线 y2x 上取一个点 A（1，2） ，则 OA， 所以 cos，cos22cos212（）21 故选：D 【点评】本题考查终边相同的角，任意角的三角函数的
14、定义及二倍角公式的应用，考查 了计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知数列an为等差数列，Sn为其前 n 项和，S312，且 a1，a2，a6成等比数列， 则 a9（ ） A4 B25 C4 或 25 D4 或 27 【分析】设等差数列的公差为 d，应用等差数列的求和公式和通项公式、等比数列的中项 性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求值 【解答】解：数列an为公差为 d 的等差数列， S312，可得 3a1+3d12，即 a1+d4， a1，a2，a6成等比数列，可得 a1a6a22， 即 a1（a1+5d）（a1+d）2，化为 3a1dd2， 由可得或， 则 a9a1+8d4 或 25
15、， 故选：C 第 9 页（共 24 页） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，考查等比数列的中项性质， 考查方程思想和运算能力，属于基础题 7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ） A2+3 B2+2 C2+4+2 D3+3+2 【分析】根据三视图可得该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，根据三角形面积 公式求解 【解答】解：如图，根据三视图可得该几何体为三棱锥 DA1D1C1， A1D1C1的面积为， A1DC1的面积为 A1B1D、DB1C1是全等的直角三角形，面积为 所以该几何体的表面积为：2+2+4 故选：C 【点评】本题考查了三视图还原
16、几何体，并求表面积，属于中档题 8 （5 分）设，若 f（x）在上为增函数，则 的取 值范围是（ ） 第 10 页（共 24 页） A， B， C （0， D （0， 【分析】由题意利用正弦函数的单调增区间，可得 x， ，故有，由此求得 的取值范围 【解答】 解： 设， 在上， x， ， 由于 f（x）为增函数，即 ， 求得 0， 故选：D 【点评】本题主要考查正弦函数的单调增区间，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）2sinx+x+2，x2，2，f（x）的最大值为 M，最小值为 m， 则 M+m（ ） A4 B C D2+1 【分析】对函数 f（x）求导，令导函数为 0 求出函数的极
17、值点，进而判断原函数的单调 性，求出函数在 x2，2上的最大值最小值，即 M，m 的值，求出两者之和 【解答】解：函数 f（x）2sinx+x+2，x2，2，所以 f（x）2cosx+1，令 f（x） 0，x2，2，x，或 x，或 x，或 x， x2，和，2，f（x）0，f（x）单调递增， x（，）和（，） ，f（x）0，f（x）单调递减， 所以 x2，2，f（x）的最大值为 M，最小值为 m， f （2） 2+2， f （） 2+2， f （） 2 （） +2+2， 第 11 页（共 24 页） f （） 2+2+， f （） 2+2+2+， f（2）2+2 中最大值及最小值， 所以 M2+
18、2，m2+2，所以 M+m4， 故选：A 【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，及最值，属于中档题 10 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC2，在矩形 ABCD 中随机取一点 M， 则点 M 与 A，B 的距离都不小于 2 的概率为（ ） A B C D 【分析】首先求出阴影部分的面积，进一步求出概率值 【解答】解：根据题意2（） 所以 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：几何概型的应用，阴影部分的面积的求法和应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 11 （5 分）若函数 f（x）lnxax 有 2 个零点 x1，x2，且 x1x2，则 a 的取值范围是（
19、 ） A （，） B （0，） C （，1） D （1，e） 【分析】函数 f（x）lnxax 有 2 个零点，可得方程 lnxax 有两个不相等正实数根令 g（x）lnx，求出该函数过原点的切线的斜率，数形结合可得 a 的取值范围 【解答】解：由题意得 x1，x2是方程 lnxax 两个不相等正实数根 令 g（x）lnx，h（x）ax（x0） ， 设 ykx（k0）是 g（x）lnx 的切线，切点为（x0，y0） ， 第 12 页（共 24 页） 则 k，则过切点的切线方程为 ylnx0（xx0） ， 切线过 O（0，0） ，lnx01，得 x0e k 0a，综上可得 a 的取值范围是（0，
20、） 故选：B 【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法， 是中档题 12 （ 5分 ） 双 曲 线的 离 心 率 为e1， 双 曲 线 ， n0） 的离心率为 e2， 双曲线 C1与双曲线 C2有相同的渐近线， 则的取值范围是（ ） A，1 B （1， C，2） D， 【分析】求出双曲线的离心率，结合双曲线的渐近线方程，然后求解结果即可 【解答】解：双曲线的离心率为 e1， 双曲线，n0）的离心率为 e2， 双曲线 C1与双曲线 C2有相同的渐近线，可得，m， 第 13 页（共 24 页） 则+ ， 1， 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是
21、基本知识的考查，中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若（13x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则 a1+a2+a3+a10 1023 【分析】令 x0 求出 a0；再令 x1 即可求解 【解答】解：（13x）10a0+a1x+a2x2+a10x10， 令 x0 得：1a0； 令 x1 得：a0+a1+a2+a3+a10（13）101024； 由可得：a1+a2+a3+a10102411023； 故答案为：1023 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通
22、 过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题 14 （5 分）已知数列an满足 a11，3an+1ananan+1，则通项 an 【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用求出数列的通项公式 【解答】解：数列an满足 a11，3an+1ananan+1， 则：（常数） ， 所以数列an是以为首项，3 为公差的等差数列 所以， 整理得（首项符合通项） ， 故答案为： 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （5 分）已知点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px
23、（p0）上，则过 Q 点与抛物线相切的切 线方程是 y0yp（x+x0） 【分析】本题先设过抛物线 y22px（p0）上的点 Q（x0，y0）的切线的斜率为 k，然 后由点斜式写出切线方程，联立切线方程与抛物线方程，根据相切的关系可得0，代 入计算后可解出斜率 k 的值，然后根据点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px（p0）上，有 2px0，代入进一步化简得到 k 的值，然后代入已设的切线方程并化简整理可得过 Q 点 与抛物线相切的切线方程 【解答】解：由题意，设过抛物线 y22px（p0）上的点 Q（x0，y0）的切线的斜率为 k， 则由点斜式可得切线方程为 yy0k（xx0） 联立， 消
24、去 y，整理得 k2x22（k2x0ky0+p）x+（kx0y0）20 直线与抛物线相切，0， 即 4（k2x0ky0+p）24k2（kx0y0）20 整理，得 2x0k22y0k+p0 解得 k 点 Q（x0，y0）在抛物线 y22px（p0）上， 2px0，48px00，即 k 将 k代入切线方程，可得 yy0（xx0） 整理，得 2x0yy0（x+x0） 第 15 页（共 24 页） 2px0，x0，代入上式可得 y0yp（x+x0） 过 Q 点与抛物线相切的切线方程是 y0yp（x+x0） 故答案为：y0yp（x+x0） 【点评】本题主要考查抛物线的切线方程的推导方法，直接对抛物线方程
25、求导是不行的， 可从解析几何直线与曲线相切的角度去推导考查了转化思想，方程思想，逻辑推理能 力和数学运算能力本题属中档题 16 （5 分）如图，三棱锥 PABC 的四个顶点在同一球面上，AB 过球心 O，AB4且 PBC 是边长为 4 的等边三角形，M，N 分别为 PO，BC 上的动点且 PMCN，则三棱锥 MOCN 体积的最大值为 【分析】由已知证明 PO平面 ABC，BOC 也是等腰直角三角形，设 PMCNx，然 后利用体积公式及基本不等式求解 【解答】解：AB 过球心 O，AB4，OPOAOBOC， 又PBC 是边长为 4 的等边三角形， PO2+CO2PC2，PO2+BO2PB2，则
26、POCO，POBO PO平面 ABC，且BOC 也是等腰直角三角形， 设 PMCNx， 则2xsin （2x）x（2x） 当且仅当 x2，即 x时，上式取“” 三棱锥 MOCN 体积的最大值为 故答案为： 第 16 页（共 24 页） 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （ 12 分 ） 在 ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 ，且2acosA （1）求角 A 的
27、大小； （2）若 b4，c5，D 在 BC 上，AD 是BAC 的角平分线，求|AD| 【分析】 （1）由数量积及三角形的内角和 180可得 A 的值， （2）由（1）及余弦定理可得 a 边，cosC 的值，再由角平分线的性质可得 CD 的值，再 由余弦定理可得 AD 的值 【解答】 解：（1） 由题意可得 bcosC+ccosB2acosA， 由正弦定理可得； sinBcosC+sinCcosB 2sinAcosA，即 sin（B+C）2sinAcosA， 在三角形中可得 cosA，所以 A， （2）在三角形 ABC 中，由（1）得由余弦定理可得 BC ，cosC ， 由角平分线性质可得，所
28、以，BD+CD，所以 CD， 在三角形 ADC 中， 由余弦定理可得 AD2AC2+CD22ACCDcosC16+2 ， 解得|AD| 【点评】本题考查数量积的运算，角平分线的性质定理及余弦定理的应用，属于中档题 18 （12 分）已知某校高一、高二、高三三个年级的数学教师人数分别为 24，16，16，采用 分层抽样的方法从中抽取了 14 人，调查他们对课件的使用情况，若抽出的这 14 人中， 有 8 人常使用课件，6 人不常使用，现从这 14 人随机抽取 3 人，进一步进行询问 第 17 页（共 24 页） （1）设事件 A 为“抽取的 3 人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件的老师”
29、，求 事件 A 发生的概率； （2）用 Z 表示抽取的 3 人中不常使用课件的人数，求随机变量 Z 的分布列及数学期望 【分析】 （1）设事件 A 为“抽取的 3 人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件的老 师” ，求出 P（A）即可； （2）Z 表示抽取的 3 人中不常使用课件的人数，Z0，1，2，3，根据题意 Z（14，6， 3） ，P（Zk），k0，1，2，3，求出分布列和数学期望即可 【解答】解： （1）设事件 A 为“抽取的 3 人中，既有常使用课件的，又有不常使用课件 的老师” ， P（A）11； （2）Z 表示抽取的 3 人中不常使用课件的人数，Z0，1，2，3， 根据题意 Z
30、（14，6，3） ， P（Zk），k0，1，2，3， 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 E（X） 【点评】本题考查求事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定 Z 的可能 取值，求出相应的概率是关键，中档题 19 （12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，ABC 为正三角形，DAC 为直角三角形且 DA DC，BECD 且 CD2BE （1）求证：ACBD； （2）若 ABBD2，求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值 第 18 页（共 24 页） 【分析】 （1）取 AC 的中点 O，可证 ACOD，ACOB，进而可得 AC平面 OB
31、D，再 由线面垂直的性质可得 ACBD； （2）建立空间直角坐标系，求出直线 AD 的方向向量以及平面 ABE 的一个法向量，利用 向量公式即可求得正弦值 【解答】解： （1）证明：取 AC 的中点 O，连接 OD，OB， DADC， ACOD， 又ABC 为正三角形， ACOB， 而 OBODO，且都在平面 OBD 内， AC平面 OBD， 又 BD 在平面 OBD 内， ACBD； （2）在OBD 中，ABBD2，则， OD2+OB2BD2， ODOB， 而 ODAC，故可知 OD平面 ABC， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设平面 ABE 的一个法向量为， 则， 故可取， 第 1
32、9 页（共 24 页） 设直线 AD 与平面 ABE 所成角为 ，则 【点评】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理的运用，考查利用空间向量求解线 面角的正弦值，培养学生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 20 （12 分）已知点 M 为椭圆）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右 焦点，F1MF260，MF1F2的面积为，椭圆的离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点任意作一条直线 l，与椭圆交于 A，B 两点，问 y 轴上是否存在定点 P，使得 PN 平分APB？若存在，求出 P 点，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，|MF1|m，|MF2
33、|n，运用椭圆的定义和三 角形的面积公式和余弦定理，化简可得 b，再由离心率公式和 a，b，c 的关系解得 a，c， 可得椭圆方程； （2）假设 y 轴上存在定点 P（0，s） ，使得 PN 平分APB，可得 kAP+kBP0，由题意可 得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx+，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合 直线的斜率公式，化简整理，可得所求定点 【解答】解： （1）设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，|MF1|m，|MF2|n，可得 m+n2a， mnsin602，即 mn8， 又 m2+n22mncos604c2，即（m+n）22mnmn4c2， 即 4a24c24b
34、23mn24，可得 b， 由 e，即 a2c，又 b2a2c26， 解得 a2，c， 第 20 页（共 24 页） 则椭圆的方程为+1； （2）假设 y 轴上存在定点 P（0，s） ，使得 PN 平分APB，可得 kAP+kBP0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则+0， 由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx+， 联立椭圆方程 3x2+4y224，可得（3+4k2）x2+4kx230， 由 P 在椭圆内，可得0 恒成立，可得 x1+x2，x1x2， 又+0， 可得 x1（kx2+）+x2（kx1+）s（x1+x2）0， 即 2kx1x2+（s） （x1+x
35、2）0， 即 2k（）+（s） （）0，化为48k+4ks0，即 k（12s）0， 可得 s12，则存在定点 P（0，12） ，使得 PN 平分APB 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达 定理和直线的斜率公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 21 （12 分）已知 f（x）e2xax，g（x）lnx （1）求函数 f（x）的极值； （2）设 a0，F（x）f（x）ag（x）+ax+alna，求证：F（x）（2+ln2）a 【分析】 （1）f（x）2e2xa，可得 a0 时，f（x）0，f（x）在 R 上单调递增， f（x）无极值；a0 时，求解
36、导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，可得函数 单调性，从而求得 f（x）有极小值，无极大值； （2）F（x）f（x）ag（x）+ax+alnae2xalnx+alna 要证 F（x）（2+ln2）a，即 证 e2xalnx2a+aln令 h（x）e2xalnx，h（x），由单调性可得 h （x）存在零点 x0（0，a） ，当 x（0，x0）时，h（x）0，当 x（x0，+）时，h （x）0，h（x）有最小值为 h（x0）结合， 即，替换后利用基本不等式证明 第 21 页（共 24 页） 【解答】 （1）解：由 f（x）e2xax，得 f（x）2e2xa， 若 a0，则 f（x）0，f（x
37、）在 R 上单调递增，f（x）无极值； 若 a0，由 f（x）2e2xa0，得 x 当 x（，）时，f（x）0，当 x（，+）时，f（x）0， f（x）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增， f（x）有极小值为 f（），无极大值； （2）证明：F（x）f（x）ag（x）+ax+alnae2xaxalnx+ax+alnae2xalnx+alna 要证 F（x）（2+ln2）a，即证 e2xalnx+alna2a+aln2，也就是证 e2xalnx2a+aln 令 h（x）e2xalnx，h（x）， 由 y2e2x单调递增，y单调递增，可知 h（x）单调递增， 当 x0 时，h（x），当 xa
38、 时，h（a） h（x）存在零点 x0（0，a） ，当 x（0，x0）时，h（x）0，当 x（x0，+） 时，h（x）0 h（x）有最小值为 h（x0） 又，即， h（x0） 综上，F（x）（2+ln2）a 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值与最值，考 查数学转化思想方法，考查推理运算能力，属难题 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂
39、题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 22 页（共 24 页） 22 （10 分）如图的网格中的小正方边长等于一个单位长度，在网格中建立了如图的极坐标 系与直角坐标系（极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合） 曲线 M 的（分段）极坐 标方程是 （1）请在网格图中作出曲线 M（可以不写说明，直接作出图形） ； （2）倾斜角是锐角的直线 l 与曲线 M 相切并恰好有两个切点，求切线 l 的极坐标方程 【分析】 （1）直接由曲线的极坐标方程画出图形； （2）由题意结合图象求得
40、切线的直角坐标方程，再由直角坐标与极坐标的互化公式可得 切线 l 的极坐标方程 【解答】解： （1）作出曲线 M 的图形如图（一个半圆与两个四分之一圆） ； （2）直线 l 的倾斜角为锐角且与曲线 M 相切并恰好有两个切点， 图象如图， 第 23 页（共 24 页） 则直线 l 的倾斜角为，在 y 轴上的截距为 2+2 直线 l 的直角坐标方程为 yx+2+2，即 xy+2+2 则直线 l 的极坐标方程为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，考查数形 结合的解题思想方法，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|2x3
41、| （1）解不等式 f（x）1； （2）若x0使，求 a 的取值范围 【分析】 （1）f（x），分类讨论即可得出不等式的解集 （2）由（1）可得：f（x）min4若x0使，则 f（x）mina23a即 可得出 【解答】解： （1）f（x）， x时，41 不成立，舍去 x时，由 4x21，解得：x x时，41 成立，x 综上可得：不等式 f（x）1 的解集为： （， （2）由（1）可得：f（x）min4 若x0使，则 f（x）mina23a a23a4，即 a23a+40 解得：aR 第 24 页（共 24 页） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题
