2018-2019学年云南省玉溪一中高三(下)第五次调研数学试卷(理科)(4月份)含详细解答

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资源描述

1、若集合 A1,2,Bx|x23x+20,则 AB( ) A1,2 B1,2 C (1,2) D 2 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z2i,则 的虚部是( ) A1 Bi C1 Di 3 (5 分)函数 f(x)loga(x+b)的大致图象如图,则函数 g(x)axb 的图象可能是 ( ) A B C D 4 (5 分)若向量的夹角为,且,则向量与向量 的夹角为 ( ) A B C D 5 (5 分)已知 a0,b0,若不等式恒成立,则 m 的最大值为( ) A9 B12 C16 D10 6 (5 分)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,

2、并 制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图,下列结论中正确的是 第 2 页(共 22 页) ( ) A人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于 20% B人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于 20% C人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于 20% D人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于 20% 7(5 分) 已知正项等比数列an满足 a31, a5与的等差中项为, 则 a1的值为 ( ) A4 B2 C D 8 (5 分)已知 sin(+),(0,) ,则( ) A B C D 9 (5 分)三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面

3、,且 ABBC,ABBC4,AA16,若 该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A68 B32 C17 D164 10 (5 分)教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文,有 4 个国家可供选择,每名教师随 机选择一个国家,则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为( ) A B C D 11 (5 分)设点 P 是椭圆(ab0)上异于长轴端点的任意一点,F1,F,2分别 是其左、右焦点,O 为中心,|PF1|PF2|+|OP|23b2,则此椭圆的离心率为( ) 第 3 页(共 22 页) A B C D 12 ( 5分 ) 设f ( x ) 为 函 数f ( x ) 的 导

4、 函 数 , 且 满 足 ,若 f(x)6xlnx+3 恒成立,则实数 b 的取值范围是( ) A6+6ln6,+) B4+ln2,+) C5+ln5,+) D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)的展开式中 x2的系数是 14 (5 分)在平面四边形 ABCD 中,D90,BAD120,AC2,AB 3,则 BC 15 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y2x 上在第一象限内的点,B(5,0) , 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若0,则点 A 的横坐标为 16 (

5、5 分)已知函数 f(x)|log2|x1|,若 f(x)2 的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 k x1+x2+x3+x4,则 f(k+1) 三、解答题(共三、解答题(共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 第第 22.23 题为选考题)题为选考题) 17 (12 分)若数列an的前 n 和为 Sn,首项 a10 且 2Snan2+an(nN+) (1)求数列an的通项公式; (2) 若 an0, 令, 数列bn的前 n 项和为 Tn, 若 Tnm 恒成立, mZ, 求 m 的最小值 18 (

6、12 分)某市在 2015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市 10000 名学生的成绩服从正态分布 N (120,25) ,现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分 析, 结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间现将结果按如下方式分为 6 组, 第一组85,95) ,第二组95,105) ,第六组135,145,得到如图所示的频率分布直 方图 (I)试估计该校数学的平均成绩; ()这 50 名学生中成绩在 125 分(含 125 分)以上的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在 全市前 13 名的人数记为 X,求 X 的分布列和期望 附:若 XN(

7、,2) ,则 P(u3Xu+3)0.9974 第 4 页(共 22 页) 19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB AD,ABCD,AB2AD2CD2,E 是 PB 上的点 (1)求证:平面 EACPBC; (2)若 E 是 PB 的中点,且二面角 PACE 的余弦值为,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 20 (12 分)已知抛物线 x22py,准线方程为 y+20,直线 l 过定点 T(0,t) (t0) ,且 与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点 (1)求抛物线方程; (2)是否为定值,若是,求出这个定值;若不

8、是,请说明理由; (3)当 t1 时,设,记|AB|f() ,求 f()的最小值及取最小值时对应的 21 (12 分)已知函数 f(x)exx2x (1)判断函数 f(x)在区间(,ln2)上的单调性; (2)若 x1ln2,x2ln2,且 f(x1)f(x2) ,证明: 选做题(请考生在第选做题(请考生在第 22、23 题中任选一题作答,在答题卡选答区域指定位置答题)题中任选一题作答,在答题卡选答区域指定位置答题)选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(t 为参数) , 第 5 页(共 22 页) 以坐标原

9、点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系 xOy 有 相同的长度单位,直线 l 的直角坐标方程为 (1)求曲线 C1的极坐标方程; (2)若曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0,与直线 l 在第三象限交于 A 点,直线 l 与 C1在第一象限的交点为 B,求|AB| 23已知函数 f(x)|x3|+|x2| (1)求不等式 f(x)3 的解集 M; (2)证明:当 a,bM 时,|a+b|1+ab| 第 6 页(共 22 页) 2018-2019 学年云南省玉溪一中高三(下)第五次调研数学试卷学年云南省玉溪一中高三(下)第五次调研数学试卷 (理科) (理科) (4 月

10、份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1 (5 分)若集合 A1,2,Bx|x23x+20,则 AB( ) A1,2 B1,2 C (1,2) D 【分析】先分别求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 AB 【解答】解:集合 A1,2,Bx|x23x+201,2, AB1,2 故选:A 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运 用

11、 2 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z2i,则 的虚部是( ) A1 Bi C1 Di 【分析】由(1+i)z2i 求得 z,再求 和它的虚部 【解答】解:由(1+i)z2i,得 z1+i, 则 1i,它的虚部是1 故选:C 【点评】本题考查了复数的定义与运算问题,是基础题 3 (5 分)函数 f(x)loga(x+b)的大致图象如图,则函数 g(x)axb 的图象可能是 ( ) 第 7 页(共 22 页) A B C D 【分析】由函数 f(x)loga(x+b)的图象可得 f(x)loga(x+b) ,从而可得 g(x) axb 的大致图象 【解答】解:由图象可得

12、 f(x)loga(x+b) , 函数 g(x)axb 为减函数,当 x0 时,g(0)1b0 故选:D 【点评】本题考查指数函数的图象与性质,考查图象的平移变化,属于基础题 4 (5 分)若向量的夹角为,且,则向量与向量 的夹角为 ( ) A B C D 【分析】根据题意,设向量与向量 的夹角为 ,由数量积的计算公式计算 、 |和() 的值,由数量积求夹角的公式可得 cos,结 合 的范围,分析可得答案 【解答】解:根据题意,设向量与向量 的夹角为 , 若向量的夹角为,且,则 21cos1, 则|2 2+4 +4212,则| |2, () 2+2 6, 则 cos, 第 8 页(共 22 页

13、) 又由 0, 则 ; 故选:A 【点评】本题考查向量数量积的计算,关键是掌握向量数量积的计算公式 5 (5 分)已知 a0,b0,若不等式恒成立,则 m 的最大值为( ) A9 B12 C16 D10 【分析】由已知 a0,b0,不等式恒成立, 转化成新函数的最小值问题 【解答】解:由已知 a0,b0,不等式恒成立,所以 m(+) (a+4b)恒成立,转化成求 y(+) (a+4b)的最小值, y(+) (a+4b)8+16,所以 m16 故选:C 【点评】本题考查了基本不等式求最值,属于简单题 6 (5 分)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并 制作成如图

14、所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图,下列结论中正确的是 ( ) A人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于 20% B人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于 20% 第 9 页(共 22 页) C人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于 20% D人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数小于 20% 【分析】根据散点图中的点的分布,可以判断两个变化是否具有相关关系,根据点的单 调性可以判断是正相关还是负相关,以及中位数 【解答】解:由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近,所以由此可以判断两个变 量具有相关关系,而且是正相关, 再由散点图中点的个数得到中

15、位数为最中间两数的平均数,则且脂肪含量的中位数小于 20%, 故选:B 【点评】本题主要考查利用散点图的判断变量相关关系已经线性相关性,比较基础 7(5 分) 已知正项等比数列an满足 a31, a5与的等差中项为, 则 a1的值为 ( ) A4 B2 C D 【分析】设等比数列的公比为 q,q0,运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式, 计算即可得到所求首项 【解答】解:正项等比数列an公比设为 q(q0) ,满足 a31,a5与的等差中项 为, 可得 a1q21,a5+1,即 a1q4+a1q31, 可得 2q2+3q20, 解得 q2(舍去) ,q, 则 a14, 故选:A 【点评】本

16、题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,考查方程思想和运算能 力,属于基础题 8 (5 分)已知 sin(+),(0,) ,则( ) A B C D 【分析】利用两角和差的正弦公式展开,结合同角三角函数关系求出 sincos,结合 切化弦进行化简求解即可 第 10 页(共 22 页) 【解答】解:sin(+),(0,) , sin+cos, 则 sin+cos, 平方得 1+2sincos,得 2sincos0, 则 sin0,cos0,即 (0,) , 则 sincos, 则, 故选:B 【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值,利用两角和差的正弦公式以及同角三角 函数关系式进行转化是

17、解决本题的关键考查学生的计算能力 9 (5 分)三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,且 ABBC,ABBC4,AA16,若 该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A68 B32 C17 D164 【分析】取 AC 的中点 E,A1C1的中点 F,EF 的中点 O,根据题意可得 O 为该球的球心, 进而可求得半径和面积 【解答】解:取 AC 的中点 E,A1C1的中点 F,EF 的中点 O, 依题意可得 OAOBOCOA1OB1OC1, 所以该球的表面积为 S球4R24()268 故选:A 第 11 页(共 22 页) 【点评】本题考查了球的表面积,属中档题 10 (

18、5 分)教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文,有 4 个国家可供选择,每名教师随 机选择一个国家,则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为( ) A B C D 【分析】基本事件总数 n4364,恰有 2 名教师选择同一个国家包含的基本事件个数 m 36,由此能求出恰有 2 名教师选择同一个国家的概率 【解答】解:教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文,有 4 个国家可供选择,每名教 师随机选择一个国家, 基本事件总数 n4364, 恰有 2 名教师选择同一个国家包含的基本事件个数 m36, 恰有 2 名教师选择同一个国家的概率 p 故选:C 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排

19、列组合等基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 11 (5 分)设点 P 是椭圆(ab0)上异于长轴端点的任意一点,F1,F,2分别 是其左、右焦点,O 为中心,|PF1|PF2|+|OP|23b2,则此椭圆的离心率为( ) A B C D 【分析】设|PF1|m,|PF2|n,|OP|t,P 在椭圆上,且|F1F2|2c,运用三角形的余弦 定理,可得 m2+n22t2+2c2,结合双曲线的定义和离心率公式,计算即可得到所求值 【解答】解:设|PF1|m,|PF2|n,|OP|t,P 在椭圆上, 第 12 页(共 22 页) 且|F1F2|2c, 在PF1O 中,m2t2+c22tccosPO

20、F1, 在PF2O 中,n2t2+c22tccosPOF2, 由 cosPOF1+cosPOF10, +可得 m2+n22t2+2c2, 由题意可得 mn+t23b2, 由双曲线的定义可得 m+n2a, 可得 m2+n2+2mn4a2, 即有 2c2+6b24a2, 即为 c2+3a23c22a2,即 2c2a2, 即有 e 故选:C 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,考查双曲线的定义和三角形的余弦定理,以及 化简整理的运算能力,属于中档题 12 ( 5分 ) 设f ( x ) 为 函 数f ( x ) 的 导 函 数 , 且 满 足 ,若 f(x)6xlnx+3 恒成立,则实数 b 的取值

21、范围是( ) A6+6ln6,+) B4+ln2,+) C5+ln5,+) D 【分析】求函数的导数,结合 f(x)f(x+6) ,得到 f(x)关于 x3 对称,求 出 a 的值,利用不等式恒成立,利用参法分离法转化为求最值问题进行求解即可 【解答】解:函数的导数 f(x)x22ax+b, f(x)f(x+6) ,即函数 f(x)的图象关于 x3 对称,即对称轴为 x a3, 第 13 页(共 22 页) 则 f(x)x33x2+bx+3, 若 f(x)6xlnx+3 恒成立, 即x33x2+bx+36xlnx+3 在(0,+)上恒成立, 即x33x2+bx6xlnx,即x23x+b6lnx

22、, 即 b6lnxx2+3x, 设 g(x)6lnxx2+3x,x0, 则 g(x)x+3, x0, 由 g(x)0 得(x6)0d 得 0x6,此时 g(x)为增函数, 由 g(x)0 得(x6)0 得 x6,此时 g(x)为减函数,即当 x6 时,函数取 得极大值,同时也是最大值, 最大值为 g(6)6ln636+366+6ln6, 即 b6+6ln6, 即 b 的取值范围是6+6ln6,+) , 故选:A 【点评】本题主要考查导数的综合应用以及不等式恒成立问题,利用参数分离法转化求 函数的最值是解决本题的关键考查学生的转化能力 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小

23、题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)的展开式中 x2的系数是 192 【分析】利用二项展开式的通项公式可得 r1,从而可得系数是 192 【解答】解:通项公式为 Tr+1C (2)6 r( )r(1)r(2)6 rC x3 r, 令 3r2 得 r1,所以展开式中 x2的系数是(1) (2)6 1C 192 故答案为:192 【点评】本题考查了二项式定理,属中档题 14 (5 分)在平面四边形 ABCD 中,D90,BAD120,AC2,AB 第 14 页(共 22 页) 3,则 BC 【分析】如图所示,在ACD 中,D90,AC2,利用 sinCAD, 可得CAD,

24、可得BAC在ABC 中,再利用余弦定理即可得出 【解答】解:如图所示, 在ACD 中,D90,AC2, sinCAD,CAD 为锐角, CAD60 BAC60 在ABC 中, BC222+32223cos607 BC 故答案为: 【点评】本题考查了直角三角形的性质、数形结合方法、勾股定理余弦定理,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题 15 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y2x 上在第一象限内的点,B(5,0) , 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若0,则点 A 的横坐标为 3 【分析】设 A(a,2a) ,a0,求出 C 的坐标,得到圆 C 的方

25、程,联立直线方程与圆的 方程,求得 D 的坐标,结合0 求得 a 值得答案 【解答】解:设 A(a,2a) ,a0, B(5,0) ,C(,a) , 则圆 C 的方程为(x5) (xa)+y(y2a)0 第 15 页(共 22 页) 联立,解得 D(1,2) 解得:a3 或 a1 又 a0,a3 即 A 的横坐标为 3 故答案为:3 【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查圆的方程的求法,是中档题 16 (5 分)已知函数 f(x)|log2|x1|,若 f(x)2 的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 k x1+x2+x3+x4,则 f(k+1) 2 【分析】检验可知 f(2x)|f(x

26、) ,从而可得 f(x)的图象关于 x1 对称,根据对称 性可 kx1+x2+x3+x4,代入即可求解 【解答】解:f(x)|log2|x1|, f(2x)|log2|2x1|log2|x1|f(x) , f(x)的图象关于 x1 对称, 若 f(x)2 的四个根为 x1,x2,x3,x4, 根据对称性可知 k4x1+x2+x3+x4, 则 f(k+1)f(5)2, 故答案为:2 【点评】本题主要考查了函数零点的求解,解题的关键是灵活利用函数的对称性 三、解答题(共三、解答题(共 70 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考

27、题,题为必考题, 第第 22.23 题为选考题)题为选考题) 17 (12 分)若数列an的前 n 和为 Sn,首项 a10 且 2Snan2+an(nN+) (1)求数列an的通项公式; (2) 若 an0, 令, 数列bn的前 n 项和为 Tn, 若 Tnm 恒成立, mZ, 求 m 的最小值 【分析】 (1)运用数列的递推式和等比数列、等差数列的定义和通项公式,可得所求; (2)由 an0,可得 ann,运用裂项相消求和,结合不 等式恒成立思想可得所求最小值 第 16 页(共 22 页) 【解答】解: (1)当 n1 时,2a12S1a12+a1,则 a11, 当 n2 时,anSnSn

28、1 即(an+an1) (anan11)0,可得 anan1或 anan11, 则 an(1)n 1 或 ann; ( 2 ) 由an 0 , 可 得an n , , 可得 m3, 又 mZ,mmin3 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式,考查数列的裂项相 消求和,以及不等式恒成立问题的解法,属于中档题 18 (12 分)某市在 2015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市 10000 名学生的成绩服从正态分布 N (120,25) ,现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分 析, 结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间现

29、将结果按如下方式分为 6 组, 第一组85,95) ,第二组95,105) ,第六组135,145,得到如图所示的频率分布直 方图 (I)试估计该校数学的平均成绩; ()这 50 名学生中成绩在 125 分(含 125 分)以上的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在 全市前 13 名的人数记为 X,求 X 的分布列和期望 附:若 XN(,2) ,则 P(u3Xu+3)0.9974 【分析】 (1)根据频率和为 1,求出成绩在120,130)的频率,再计算这组数据的平均 数; (2)根据正态分布的特征,计算 50 人中成绩在 135 以上(包括 135 分)的有 500.08 4 人,而在125

30、,145)的学生有 50(0.12+0.08)10,得出 X 的可能取值,计算对 第 17 页(共 22 页) 应的概率,列出 X 的分布列,计算期望值 【解答】 解:(1) 由频率分布直方图可知120, 130) 的频率为 1 (0.0110+0.02410+0.03 10+0.01610+0.00810)0.12 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为 900.1+1000.24+1100.3+120 0.16+1300.12+1400.08112 (2)由于根据正态分布:P(12035X120+35)0.9974 故 所以前 13 名的成绩全部在 135 分以上 根据频率分布直方图可知这

31、 50 人中成绩在 135 以上 (包括 135 分) 的有 500.084 人, 而在125,145)的学生有 50(0.12+0.08)10 所以 X 的取值为 0,1,2,3 所以 P(X0), P(X1), P(X2), P(X3); 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望值为 EX0+1+2+31.2 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了正态分布的应用问题,考查 了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题,是综合性题目 19 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PC底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB AD,ABCD,AB2AD2CD

32、2,E 是 PB 上的点 (1)求证:平面 EACPBC; 第 18 页(共 22 页) (2)若 E 是 PB 的中点,且二面角 PACE 的余弦值为,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 【分析】 (1)证明平面 EAC平面 PBC,只需证明 AC平面 PBC,即证 ACPC,AC BC; (2)根据题意,建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出面 PAC 的法向量 (1,1,0) ,面 EAC 的法向量 (a,a,2) ,利用二面角 PA CE 的余弦值 为,可求 a 的值,从而可求 (2,2,2) ,(1,1,2) ,即可求得直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 【解

33、答】 (1)证明:PC平面 ABCD,AC平面 ABCD,ACPC, AB2,ADCD1,ACBC, AC2+BC2AB2,ACBC, 又 BCPCC,AC平面 PBC, AC平面 EAC,平面 EAC平面 PBC(4 分) (2)如图,以 C 为原点,取 AB 中点 F,、分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建 立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,1,0) 设 P(0,0,a) (a0) ,则 E(,) ,(6 分) (1,1,0) ,(0,0,a) ,(,) , 取 (1,1,0) ,则 0, 为面 PAC 的法向量 设 (x,y,z)为面 EAC 的法向

34、量,则 0, 即取 xa,ya,z2,则 (a,a,2) , 第 19 页(共 22 页) 依题意,|cos , |,则 a2(10 分) 于是 (2,2,2) ,(1,1,2) 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ,则 sin|cos, |, 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为(12 分) 【点评】本题考查面面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握面面垂直的判定,利用向 量的方法研究线面角,属于中档题 20 (12 分)已知抛物线 x22py,准线方程为 y+20,直线 l 过定点 T(0,t) (t0) ,且 与抛物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点 (1)求抛物线方程; (

35、2)是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由; (3)当 t1 时,设,记|AB|f() ,求 f()的最小值及取最小值时对应的 【分析】 (1)根据抛物线的性质可得; (2)联立方程,根据韦达定理以及向量数量积可得; (3)根据向量知识以及弦长公式可得|AB|,再利用换元法变成二次函数求最值可得 【解答】解(1),p4,x28y (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,据题意知直线 l 的斜率存在,设 l:ykx+t(t0) 联 立 得x2 8kx 8t 0 , x1+x2 8k , x1x2 8t 第 20 页(共 22 页) 由于 T(0,t)为定点,故 t 为定值,

36、为定值 (3)T(0,1) ,x1x2, 1y1(y21) ,x1x2由(2)知 x1x28t, 且 0,又 x1+x2(1)x28k,(1)264k2 当 k0 时,1,; 当k 0时 , 1 , 符 合 上 式 ,令,则 t2, 当 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合,属难题 21 (12 分)已知函数 f(x)exx2x (1)判断函数 f(x)在区间(,ln2)上的单调性; (2)若 x1ln2,x2ln2,且 f(x1)f(x2) ,证明: 【分析】 (1)求函数的 导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可 (2)要证,即证 x1+x22ln2 成立,构造函数,求出函数的导

37、数,结合导数 与不等式的关系进行证明即可 【解答】解: (1)f(x)ex2x1,f(x)ex2, 当 xln2 时,f(x)0,f(x)在(,ln2)单调递减 又 f(ln2)eln22ln2112ln20, 令 f(x)0,得 x0 或 xx0(x0(ln2,+) ) f(x)在(,0)单调递增,在(0,ln2)单调递减 (2)要证,即证 x1+x22ln2 成立 当 xln2 时,2ln2xln2 第 21 页(共 22 页) 令(xln2) g(x)ex+4e x40,当且仅当 xln2 时,取等号, g(x)f(x)f(2ln2x)在(ln2,+)单调递增, 又g(ln2)0,当 x

38、ln2 时,g(x)g(ln2)0, 即 f(x)f(2ln2x) , x2ln2,f(x2)f(2ln2x2) , f(x1)f(x2) ,f(x1)f(2ln2x2) 而由 x2ln2 知 2ln2x2ln2, x1ln2 由(1)知 f(x)在(,ln2)单调递减 x12ln2x2x1+x22ln2, 即 【点评】本题主要考查导数的综合应用,结合函数单调性与导数之间的关系以及,构造 函数将不等式进行转化是解决本题的关键综合性较强,难度较大 选做题(请考生在第选做题(请考生在第 22、23 题中任选一题中任选一题作答,在答题卡选答区域指定位置答题)题作答,在答题卡选答区域指定位置答题)选修

39、选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(t 为参数) , 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系 xOy 有 相同的长度单位,直线 l 的直角坐标方程为 (1)求曲线 C1的极坐标方程; (2)若曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0,与直线 l 在第三象限交于 A 点,直线 l 与 C1在第一象限的交点为 B,求|AB| 【分析】 (1)化参数方程为普通方程,再化直角坐标方程为极坐标方程; (2)化直线 l 的直角坐标方程为极坐标方程,分别代入曲线 C2与 C1的极坐标方程,求

40、 解 A,B的值,则|AB|可求 【解答】解: (1)由 C1的参数方程为,得, 则,即; 第 22 页(共 22 页) (2)由题意, 得, 由,得, 【点评】本题考查参数方程化普通方程,直角坐标方程化极坐标方程,考查计算能力, 是中档题 23已知函数 f(x)|x3|+|x2| (1)求不等式 f(x)3 的解集 M; (2)证明:当 a,bM 时,|a+b|1+ab| 【分析】 (1)取绝对值,化为分段函数,即可求出不等式的解集, (2)当 a,bM 时, (a21) (b21)0,即 a2b2+1a2+b2,配方后,可证得结论 【解答】解: (1), f(x)3, 或或,解得 1x4 Mx|1x4 证明: (2) (a+b)2(1+ab)2(a21) (1b2) , a,b(1,4) , 1b20,a210, (a+b)2(1+ab)2, |a+b|1+ab| 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,考查推理论证能力、运 算求解能力、考查化归与转化思想、是中档题

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