1、若集合 A1，2，Bx|x23x+20，则 AB（ ） A1，2 B1，2 C （1，2） D 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z2i，则 的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 3 （5 分）函数 f（x）loga（x+b）的大致图象如图，则函数 g（x）axb 的图象可能是 （ ） A B C D 4 （5 分）若向量的夹角为，且，则向量与向量 的夹角为 （ ） A B C D 5 （5 分）已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 m 的最大值为（ ） A9 B12 C16 D10 6 （5 分）在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，
2、并 制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是 第 2 页（共 22 页） （ ） A人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于 20% B人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于 20% C人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于 20% D人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于 20% 7（5 分） 已知正项等比数列an满足 a31， a5与的等差中项为， 则 a1的值为 （ ） A4 B2 C D 8 （5 分）已知 sin（+），（0，） ，则（ ） A B C D 9 （5 分）三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面
3、，且 ABBC，ABBC4，AA16，若 该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A68 B32 C17 D164 10 （5 分）教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有 4 个国家可供选择，每名教师随 机选择一个国家，则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）设点 P 是椭圆（ab0）上异于长轴端点的任意一点，F1，F，2分别 是其左、右焦点，O 为中心，|PF1|PF2|+|OP|23b2，则此椭圆的离心率为（ ） 第 3 页（共 22 页） A B C D 12 （ 5分 ） 设f （ x ） 为 函 数f （ x ） 的 导
4、 函 数 ， 且 满 足 ，若 f（x）6xlnx+3 恒成立，则实数 b 的取值范围是（ ） A6+6ln6，+） B4+ln2，+） C5+ln5，+） D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）的展开式中 x2的系数是 14 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，D90，BAD120，AC2，AB 3，则 BC 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y2x 上在第一象限内的点，B（5，0） ， 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若0，则点 A 的横坐标为 16 （
5、5 分）已知函数 f（x）|log2|x1|，若 f（x）2 的四个根为 x1，x2，x3，x4，且 k x1+x2+x3+x4，则 f（k+1） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 第第 22.23 题为选考题）题为选考题） 17 （12 分）若数列an的前 n 和为 Sn，首项 a10 且 2Snan2+an（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2） 若 an0， 令， 数列bn的前 n 项和为 Tn， 若 Tnm 恒成立， mZ， 求 m 的最小值 18 （
6、12 分）某市在 2015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市 10000 名学生的成绩服从正态分布 N （120，25） ，现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分 析， 结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间现将结果按如下方式分为 6 组， 第一组85，95） ，第二组95，105） ，第六组135，145，得到如图所示的频率分布直 方图 （I）试估计该校数学的平均成绩； （）这 50 名学生中成绩在 125 分（含 125 分）以上的同学中任意抽取 3 人，该 3 人在 全市前 13 名的人数记为 X，求 X 的分布列和期望 附：若 XN（
7、，2） ，则 P（u3Xu+3）0.9974 第 4 页（共 22 页） 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB AD，ABCD，AB2AD2CD2，E 是 PB 上的点 （1）求证：平面 EACPBC； （2）若 E 是 PB 的中点，且二面角 PACE 的余弦值为，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 20 （12 分）已知抛物线 x22py，准线方程为 y+20，直线 l 过定点 T（0，t） （t0） ，且 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）求抛物线方程； （2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不
8、是，请说明理由； （3）当 t1 时，设，记|AB|f（） ，求 f（）的最小值及取最小值时对应的 21 （12 分）已知函数 f（x）exx2x （1）判断函数 f（x）在区间（，ln2）上的单调性； （2）若 x1ln2，x2ln2，且 f（x1）f（x2） ，证明： 选做题（请考生在第选做题（请考生在第 22、23 题中任选一题作答，在答题卡选答区域指定位置答题）题中任选一题作答，在答题卡选答区域指定位置答题）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 第 5 页（共 22 页） 以坐标原
9、点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 xOy 有 相同的长度单位，直线 l 的直角坐标方程为 （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）若曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0，与直线 l 在第三象限交于 A 点，直线 l 与 C1在第一象限的交点为 B，求|AB| 23已知函数 f（x）|x3|+|x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集 M； （2）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab| 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年云南省玉溪一中高三（下）第五次调研数学试卷学年云南省玉溪一中高三（下）第五次调研数学试卷 （理科） （理科） （4 月
10、份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）若集合 A1，2，Bx|x23x+20，则 AB（ ） A1，2 B1，2 C （1，2） D 【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 AB 【解答】解：集合 A1，2，Bx|x23x+201，2， AB1，2 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运 用
11、 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z2i，则 的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】由（1+i）z2i 求得 z，再求 和它的虚部 【解答】解：由（1+i）z2i，得 z1+i， 则 1i，它的虚部是1 故选：C 【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题 3 （5 分）函数 f（x）loga（x+b）的大致图象如图，则函数 g（x）axb 的图象可能是 （ ） 第 7 页（共 22 页） A B C D 【分析】由函数 f（x）loga（x+b）的图象可得 f（x）loga（x+b） ，从而可得 g（x） axb 的大致图象 【解答】解：由图象可得
12、 f（x）loga（x+b） ， 函数 g（x）axb 为减函数，当 x0 时，g（0）1b0 故选：D 【点评】本题考查指数函数的图象与性质，考查图象的平移变化，属于基础题 4 （5 分）若向量的夹角为，且，则向量与向量 的夹角为 （ ） A B C D 【分析】根据题意，设向量与向量 的夹角为 ，由数量积的计算公式计算 、 |和（） 的值，由数量积求夹角的公式可得 cos，结 合 的范围，分析可得答案 【解答】解：根据题意，设向量与向量 的夹角为 ， 若向量的夹角为，且，则 21cos1， 则|2 2+4 +4212，则| |2， （） 2+2 6， 则 cos， 第 8 页（共 22 页
13、） 又由 0， 则 ； 故选：A 【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式 5 （5 分）已知 a0，b0，若不等式恒成立，则 m 的最大值为（ ） A9 B12 C16 D10 【分析】由已知 a0，b0，不等式恒成立， 转化成新函数的最小值问题 【解答】解：由已知 a0，b0，不等式恒成立，所以 m（+） （a+4b）恒成立，转化成求 y（+） （a+4b）的最小值， y（+） （a+4b）8+16，所以 m16 故选：C 【点评】本题考查了基本不等式求最值，属于简单题 6 （5 分）在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并 制作成如图
14、所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是 （ ） A人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于 20% B人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于 20% 第 9 页（共 22 页） C人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于 20% D人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于 20% 【分析】根据散点图中的点的分布，可以判断两个变化是否具有相关关系，根据点的单 调性可以判断是正相关还是负相关，以及中位数 【解答】解：由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近，所以由此可以判断两个变 量具有相关关系，而且是正相关， 再由散点图中点的个数得到中
15、位数为最中间两数的平均数，则且脂肪含量的中位数小于 20%， 故选：B 【点评】本题主要考查利用散点图的判断变量相关关系已经线性相关性，比较基础 7（5 分） 已知正项等比数列an满足 a31， a5与的等差中项为， 则 a1的值为 （ ） A4 B2 C D 【分析】设等比数列的公比为 q，q0，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式， 计算即可得到所求首项 【解答】解：正项等比数列an公比设为 q（q0） ，满足 a31，a5与的等差中项 为， 可得 a1q21，a5+1，即 a1q4+a1q31， 可得 2q2+3q20， 解得 q2（舍去） ，q， 则 a14， 故选：A 【点评】本
16、题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能 力，属于基础题 8 （5 分）已知 sin（+），（0，） ，则（ ） A B C D 【分析】利用两角和差的正弦公式展开，结合同角三角函数关系求出 sincos，结合 切化弦进行化简求解即可 第 10 页（共 22 页） 【解答】解：sin（+），（0，） ， sin+cos， 则 sin+cos， 平方得 1+2sincos，得 2sincos0， 则 sin0，cos0，即 （0，） ， 则 sincos， 则， 故选：B 【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用两角和差的正弦公式以及同角三角 函数关系式进行转化是
17、解决本题的关键考查学生的计算能力 9 （5 分）三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且 ABBC，ABBC4，AA16，若 该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A68 B32 C17 D164 【分析】取 AC 的中点 E，A1C1的中点 F，EF 的中点 O，根据题意可得 O 为该球的球心， 进而可求得半径和面积 【解答】解：取 AC 的中点 E，A1C1的中点 F，EF 的中点 O， 依题意可得 OAOBOCOA1OB1OC1， 所以该球的表面积为 S球4R24（）268 故选：A 第 11 页（共 22 页） 【点评】本题考查了球的表面积，属中档题 10 （
18、5 分）教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有 4 个国家可供选择，每名教师随 机选择一个国家，则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n4364，恰有 2 名教师选择同一个国家包含的基本事件个数 m 36，由此能求出恰有 2 名教师选择同一个国家的概率 【解答】解：教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有 4 个国家可供选择，每名教 师随机选择一个国家， 基本事件总数 n4364， 恰有 2 名教师选择同一个国家包含的基本事件个数 m36， 恰有 2 名教师选择同一个国家的概率 p 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排
19、列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 11 （5 分）设点 P 是椭圆（ab0）上异于长轴端点的任意一点，F1，F，2分别 是其左、右焦点，O 为中心，|PF1|PF2|+|OP|23b2，则此椭圆的离心率为（ ） A B C D 【分析】设|PF1|m，|PF2|n，|OP|t，P 在椭圆上，且|F1F2|2c，运用三角形的余弦 定理，可得 m2+n22t2+2c2，结合双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，|OP|t，P 在椭圆上， 第 12 页（共 22 页） 且|F1F2|2c， 在PF1O 中，m2t2+c22tccosPO
20、F1， 在PF2O 中，n2t2+c22tccosPOF2， 由 cosPOF1+cosPOF10， +可得 m2+n22t2+2c2， 由题意可得 mn+t23b2， 由双曲线的定义可得 m+n2a， 可得 m2+n2+2mn4a2， 即有 2c2+6b24a2， 即为 c2+3a23c22a2，即 2c2a2， 即有 e 故选：C 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查双曲线的定义和三角形的余弦定理，以及 化简整理的运算能力，属于中档题 12 （ 5分 ） 设f （ x ） 为 函 数f （ x ） 的 导 函 数 ， 且 满 足 ，若 f（x）6xlnx+3 恒成立，则实数 b 的取值
21、范围是（ ） A6+6ln6，+） B4+ln2，+） C5+ln5，+） D 【分析】求函数的导数，结合 f（x）f（x+6） ，得到 f（x）关于 x3 对称，求 出 a 的值，利用不等式恒成立，利用参法分离法转化为求最值问题进行求解即可 【解答】解：函数的导数 f（x）x22ax+b， f（x）f（x+6） ，即函数 f（x）的图象关于 x3 对称，即对称轴为 x a3， 第 13 页（共 22 页） 则 f（x）x33x2+bx+3， 若 f（x）6xlnx+3 恒成立， 即x33x2+bx+36xlnx+3 在（0，+）上恒成立， 即x33x2+bx6xlnx，即x23x+b6lnx
22、， 即 b6lnxx2+3x， 设 g（x）6lnxx2+3x，x0， 则 g（x）x+3， x0， 由 g（x）0 得（x6）0d 得 0x6，此时 g（x）为增函数， 由 g（x）0 得（x6）0 得 x6，此时 g（x）为减函数，即当 x6 时，函数取 得极大值，同时也是最大值， 最大值为 g（6）6ln636+366+6ln6， 即 b6+6ln6， 即 b 的取值范围是6+6ln6，+） ， 故选：A 【点评】本题主要考查导数的综合应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法转化求 函数的最值是解决本题的关键考查学生的转化能力 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小
23、题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）的展开式中 x2的系数是 192 【分析】利用二项展开式的通项公式可得 r1，从而可得系数是 192 【解答】解：通项公式为 Tr+1C （2）6 r（ ）r（1）r（2）6 rC x3 r， 令 3r2 得 r1，所以展开式中 x2的系数是（1） （2）6 1C 192 故答案为：192 【点评】本题考查了二项式定理，属中档题 14 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，D90，BAD120，AC2，AB 第 14 页（共 22 页） 3，则 BC 【分析】如图所示，在ACD 中，D90，AC2，利用 sinCAD， 可得CAD，
24、可得BAC在ABC 中，再利用余弦定理即可得出 【解答】解：如图所示， 在ACD 中，D90，AC2， sinCAD，CAD 为锐角， CAD60 BAC60 在ABC 中， BC222+32223cos607 BC 故答案为： 【点评】本题考查了直角三角形的性质、数形结合方法、勾股定理余弦定理，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y2x 上在第一象限内的点，B（5，0） ， 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若0，则点 A 的横坐标为 3 【分析】设 A（a，2a） ，a0，求出 C 的坐标，得到圆 C 的方
25、程，联立直线方程与圆的 方程，求得 D 的坐标，结合0 求得 a 值得答案 【解答】解：设 A（a，2a） ，a0， B（5，0） ，C（，a） ， 则圆 C 的方程为（x5） （xa）+y（y2a）0 第 15 页（共 22 页） 联立，解得 D（1，2） 解得：a3 或 a1 又 a0，a3 即 A 的横坐标为 3 故答案为：3 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）|log2|x1|，若 f（x）2 的四个根为 x1，x2，x3，x4，且 k x1+x2+x3+x4，则 f（k+1） 2 【分析】检验可知 f（2x）|f（x
26、） ，从而可得 f（x）的图象关于 x1 对称，根据对称 性可 kx1+x2+x3+x4，代入即可求解 【解答】解：f（x）|log2|x1|， f（2x）|log2|2x1|log2|x1|f（x） ， f（x）的图象关于 x1 对称， 若 f（x）2 的四个根为 x1，x2，x3，x4， 根据对称性可知 k4x1+x2+x3+x4， 则 f（k+1）f（5）2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了函数零点的求解，解题的关键是灵活利用函数的对称性 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考
27、题，题为必考题， 第第 22.23 题为选考题）题为选考题） 17 （12 分）若数列an的前 n 和为 Sn，首项 a10 且 2Snan2+an（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2） 若 an0， 令， 数列bn的前 n 项和为 Tn， 若 Tnm 恒成立， mZ， 求 m 的最小值 【分析】 （1）运用数列的递推式和等比数列、等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）由 an0，可得 ann，运用裂项相消求和，结合不 等式恒成立思想可得所求最小值 第 16 页（共 22 页） 【解答】解： （1）当 n1 时，2a12S1a12+a1，则 a11， 当 n2 时，anSnSn
28、1 即（an+an1） （anan11）0，可得 anan1或 anan11， 则 an（1）n 1 或 ann； （ 2 ） 由an 0 ， 可 得an n ， ， 可得 m3， 又 mZ，mmin3 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的裂项相 消求和，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题 18 （12 分）某市在 2015 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市 10000 名学生的成绩服从正态分布 N （120，25） ，现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分 析， 结果这 50 名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间现
29、将结果按如下方式分为 6 组， 第一组85，95） ，第二组95，105） ，第六组135，145，得到如图所示的频率分布直 方图 （I）试估计该校数学的平均成绩； （）这 50 名学生中成绩在 125 分（含 125 分）以上的同学中任意抽取 3 人，该 3 人在 全市前 13 名的人数记为 X，求 X 的分布列和期望 附：若 XN（，2） ，则 P（u3Xu+3）0.9974 【分析】 （1）根据频率和为 1，求出成绩在120，130）的频率，再计算这组数据的平均 数； （2）根据正态分布的特征，计算 50 人中成绩在 135 以上（包括 135 分）的有 500.08 4 人，而在125
30、，145）的学生有 50（0.12+0.08）10，得出 X 的可能取值，计算对 第 17 页（共 22 页） 应的概率，列出 X 的分布列，计算期望值 【解答】 解：（1） 由频率分布直方图可知120， 130） 的频率为 1 （0.0110+0.02410+0.03 10+0.01610+0.00810）0.12 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为 900.1+1000.24+1100.3+120 0.16+1300.12+1400.08112 （2）由于根据正态分布：P（12035X120+35）0.9974 故 所以前 13 名的成绩全部在 135 分以上 根据频率分布直方图可知这
31、 50 人中成绩在 135 以上 （包括 135 分） 的有 500.084 人， 而在125，145）的学生有 50（0.12+0.08）10 所以 X 的取值为 0，1，2，3 所以 P（X0）， P（X1）， P（X2）， P（X3）； 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望值为 EX0+1+2+31.2 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查 了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB AD，ABCD，AB2AD2CD
32、2，E 是 PB 上的点 （1）求证：平面 EACPBC； 第 18 页（共 22 页） （2）若 E 是 PB 的中点，且二面角 PACE 的余弦值为，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 【分析】 （1）证明平面 EAC平面 PBC，只需证明 AC平面 PBC，即证 ACPC，AC BC； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面 PAC 的法向量 （1，1，0） ，面 EAC 的法向量 （a，a，2） ，利用二面角 PA CE 的余弦值 为，可求 a 的值，从而可求 （2，2，2） ，（1，1，2） ，即可求得直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 【解
33、答】 （1）证明：PC平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACPC， AB2，ADCD1，ACBC， AC2+BC2AB2，ACBC， 又 BCPCC，AC平面 PBC， AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC（4 分） （2）如图，以 C 为原点，取 AB 中点 F，、分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向，建 立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，A（1，1，0） ，B（1，1，0） 设 P（0，0，a） （a0） ，则 E（，） ，（6 分） （1，1，0） ，（0，0，a） ，（，） ， 取 （1，1，0） ，则 0， 为面 PAC 的法向量 设 （x，y，z）为面 EAC 的法向
34、量，则 0， 即取 xa，ya，z2，则 （a，a，2） ， 第 19 页（共 22 页） 依题意，|cos ， |，则 a2（10 分） 于是 （2，2，2） ，（1，1，2） 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 sin|cos， |， 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为（12 分） 【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向 量的方法研究线面角，属于中档题 20 （12 分）已知抛物线 x22py，准线方程为 y+20，直线 l 过定点 T（0，t） （t0） ，且 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点 （1）求抛物线方程； （
35、2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）当 t1 时，设，记|AB|f（） ，求 f（）的最小值及取最小值时对应的 【分析】 （1）根据抛物线的性质可得； （2）联立方程，根据韦达定理以及向量数量积可得； （3）根据向量知识以及弦长公式可得|AB|，再利用换元法变成二次函数求最值可得 【解答】解（1），p4，x28y （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，据题意知直线 l 的斜率存在，设 l：ykx+t（t0） 联 立 得x2 8kx 8t 0 ， x1+x2 8k ， x1x2 8t 第 20 页（共 22 页） 由于 T（0，t）为定点，故 t 为定值，
36、为定值 （3）T（0，1） ，x1x2， 1y1（y21） ，x1x2由（2）知 x1x28t， 且 0，又 x1+x2（1）x28k，（1）264k2 当 k0 时，1，； 当k 0时 ， 1 ， 符 合 上 式 ，令，则 t2， 当 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属难题 21 （12 分）已知函数 f（x）exx2x （1）判断函数 f（x）在区间（，ln2）上的单调性； （2）若 x1ln2，x2ln2，且 f（x1）f（x2） ，证明： 【分析】 （1）求函数的 导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可 （2）要证，即证 x1+x22ln2 成立，构造函数，求出函数的导
37、数，结合导数 与不等式的关系进行证明即可 【解答】解： （1）f（x）ex2x1，f（x）ex2， 当 xln2 时，f（x）0，f（x）在（，ln2）单调递减 又 f（ln2）eln22ln2112ln20， 令 f（x）0，得 x0 或 xx0（x0（ln2，+） ） f（x）在（，0）单调递增，在（0，ln2）单调递减 （2）要证，即证 x1+x22ln2 成立 当 xln2 时，2ln2xln2 第 21 页（共 22 页） 令（xln2） g（x）ex+4e x40，当且仅当 xln2 时，取等号， g（x）f（x）f（2ln2x）在（ln2，+）单调递增， 又g（ln2）0，当 x
38、ln2 时，g（x）g（ln2）0， 即 f（x）f（2ln2x） ， x2ln2，f（x2）f（2ln2x2） ， f（x1）f（x2） ，f（x1）f（2ln2x2） 而由 x2ln2 知 2ln2x2ln2， x1ln2 由（1）知 f（x）在（，ln2）单调递减 x12ln2x2x1+x22ln2， 即 【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性与导数之间的关系以及，构造 函数将不等式进行转化是解决本题的关键综合性较强，难度较大 选做题（请考生在第选做题（请考生在第 22、23 题中任选一题中任选一题作答，在答题卡选答区域指定位置答题）题作答，在答题卡选答区域指定位置答题）选修
39、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 xOy 有 相同的长度单位，直线 l 的直角坐标方程为 （1）求曲线 C1的极坐标方程； （2）若曲线 C2的极坐标方程为 +8cos0，与直线 l 在第三象限交于 A 点，直线 l 与 C1在第一象限的交点为 B，求|AB| 【分析】 （1）化参数方程为普通方程，再化直角坐标方程为极坐标方程； （2）化直线 l 的直角坐标方程为极坐标方程，分别代入曲线 C2与 C1的极坐标方程，求
40、 解 A，B的值，则|AB|可求 【解答】解： （1）由 C1的参数方程为，得， 则，即； 第 22 页（共 22 页） （2）由题意， 得， 由，得， 【点评】本题考查参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，考查计算能力， 是中档题 23已知函数 f（x）|x3|+|x2| （1）求不等式 f（x）3 的解集 M； （2）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab| 【分析】 （1）取绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， （2）当 a，bM 时， （a21） （b21）0，即 a2b2+1a2+b2，配方后，可证得结论 【解答】解： （1）， f（x）3， 或或，解得 1x4 Mx|1x4 证明： （2） （a+b）2（1+ab）2（a21） （1b2） ， a，b（1，4） ， 1b20，a210， （a+b）2（1+ab）2， |a+b|1+ab| 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运 算求解能力、考查化归与转化思想、是中档题
