1、2020 年中考数学二模试卷年中考数学二模试卷 一、选择题（本题共 6 题） 1下列计算中，结果等于 a2m的是（ ） Aam+am Bam a2 C（am）m D（am）2 2下列等式成立的是（ ） A（）23 B3 C 3 D（ ）23 3如果关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，那么实数 m 的值可以 是（ ） A0 B1 C2 D3 4甲、乙、丙、丁四位同学本学期 5 次 50 米短跑成绩的平均数 （秒）及方差 S2（秒 2） 如表所示如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那 么应该选的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 7 7 7.5 7
2、.5 S2 2.1 1.9 2 1.8 A甲 B乙 C丙 D丁 5 四边形 ABCD 的两条对角线 AC、 BD 互相平分 添加下列条件， 一定能判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ） AABDBDC BABDBAC CABDCBD DABDBCA 6 如果线段AM和线段AN分别是ABC边BC上的中线和高， 那么下列判断正确的是 （ ） AAMAN BAMAN CAMAN DAMAN 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：9a3b3a2 8如果代数式在实数范围内有意义，那么实数 x 的取值范围是 9方程4 的解是 10二元一次方程 x+2y3 的正整数解是 1
3、1从分别写有数字 1，2，4 的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字 分别作为点 M 的横坐标和纵坐标，那么点 M 在双曲线 y上的概率是 12 如果函数 ykx （k0） 的图象经过第二、 四象限， 那么 y 的值随 x 的值增大而 （填 增大或减小） 13据国家统计局数据，2019 年全年国内生产总值接近 100 万亿，比 2018 年增长 6.1%假 设 2020 年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么 2020 年的全年国内生产总值将 达到 万亿 14已知平行四边形 ABCD，E 是边 AB 的中点设，那么 （结 果用 、 表示） 15某校计划为全体 1200 名学
4、生提供以下五种在线学习的方式：在线听课、在线答题、在 线讨论、在线答疑和在线阅读为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了你对哪 类在线学习方式最感兴趣的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图（如图）由这 个统计图可知，全校学生中最喜欢在线答疑的学生人数约为 人 16如图，一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60的方向，继续向东航 行 40 海里后到 B 处，测得灯塔 P 在北偏东 30的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 海里 17在矩形 ABCD 中，AB5，BC12如果分别以 A、C 为圆心的两圆外切，且圆 A 与直 线 BC 相交，点 D 在圆 A 外，那么圆 C 的半径
5、长 r 的取值范围是 18如图，在 RtABC 中，ACB90，B35，CD 是斜边 AB 上的中线，如果将 BCD沿CD所在直线翻折， 点B落在点E处， 联结AE， 那么CAE的度数是 度 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算： 20先化简，再求值：，其中 x 21已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0），与 y 轴 的正半轴交于点 B，与反比例函数 y（x0）的图象交于点 C，且 ABBC，点 C 的 纵坐标为 4 （1）求直线 AB 的表达式； （2）过点 B 作 BDx 轴，交反比例函数 y的图象于点 D，求线段 CD 的
6、长度 22如图 1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状（推 移过程中边的长度保持不变）已知矩形 ABCD，AB4cm，AD3cm，固定边 AB，推 边 AD，使得点 D 落在点 E 处，点 C 落在点 F 处 （1）如图 2，如果DAE30，求点 E 到边 AB 的距离； （2）如图 3，如果点 A、E、C 三点在同一直线上，求四边形 ABFE 的面积 23已知：如图，在梯形 ABCD 中，CDAB，DAB90，对角线 AC、BD 相交于点 E， ACBC，垂足为点 C，且 BC2CE CA （1）求证：ADDE； （2）过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 于点
7、 F，求证：CE2AE AF 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx 经过点 A（2，0）直线 yx2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）将抛物线 yx2+bx 向右平移，使平移后的抛物线经过点 B，求平移后抛物线的表达 式； （3） 将抛物线 yx2+bx 向下平移， 使平移后的抛物线交 y 轴于点 D， 交线段 BC 于点 P、 Q，（点 P 在点 Q 右侧），平移后抛物线的顶点为 M，如果 DPx 轴，求MCP 的正 弦值 25如图，已知半圆O 的直径 AB10，弦 CDAB，且 CD8，E 为弧 CD 的中
8、点，点 P 在弦 CD 上，联结 PE，过点 E 作 PE 的垂线交弦 CD 于点 G，交射线 OB 于点 F （1）当点 F 与点 B 重合时，求 CP 的长； （2）设 CPx，OFy，求 y 与 x 的函数关系式及定义域； （3）如果 GPGF，求EPF 的面积 参考答案 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1下列计算中，结果等于 a2m的是（ ） Aam+am Bam a2 C（am）m D（am）2 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别 计算得出答案 解：A、am+am2am，故此选项不合题意； B、am a2am+2
9、，故此选项不合题意； C、（am）m，故此选项不合题意； D、（am）2a2m，故此选项符合题意 故选：D 2下列等式成立的是（ ） A（）23 B3 C 3 D（ ）23 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可 解：（）23，A 正确； 3，B 错误； 3，C 错误； （）23，D 错误； 故选：A 3如果关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，那么实数 m 的值可以 是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】利用判别式的意义得到（2）24m0，解不等式得到 m 的范围，然后 对各选项进行判断 解：根据题意得（2）24m0， 解得 m1， 所以 m 可
10、以取 0 故选：A 4甲、乙、丙、丁四位同学本学期 5 次 50 米短跑成绩的平均数 （秒）及方差 S2（秒 2） 如表所示如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那 么应该选的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 7 7 7.5 7.5 S2 2.1 1.9 2 1.8 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越 大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 解：乙的平均分最好，方差最小，最稳定， 应选乙 故选：B 5 四边形 ABCD 的两条对角线 AC、 BD 互相平分 添加下列条件， 一定能判定
11、四边形 ABCD 为菱形的是（ ） AABDBDC BABDBAC CABDCBD DABDBCA 【分析】先由对角线 AC、BD 互相平分得出四边形 ABCD 是平行四边形，再按照平行四 边形基础上菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直 的平行四边形是菱形，逐个选项分析即可 解：如图所示，设四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 交于点 O， AC、BD 互相平分， 四边形 ABCD 是平行四边形 选项 A，由平行四边形的性质可知 ABDC，则ABDBDC，从而 A 不符合题意； 选项 B， ABDBAC， 则 AOBO， 再结合对角线 AC、 BD 互相平分，
12、可知 ACBD， 从而平行四边形 ABCD 是矩形，故 B 不符合题意； 选项 C，由平行四边形的性质可知 ADBC，从而ADBCBD， 当ABDCBD 时，ADBABD，故 ABAD， 由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C 符合题意； 选项 D，ABDBCA，得不出可以判定四边形 ABCD 为菱形的条件，故 D 不符合题 意 综上，只有选项 C 一定能判定四边形 ABCD 为菱形 故选：C 6 如果线段AM和线段AN分别是ABC边BC上的中线和高， 那么下列判断正确的是 （ ） AAMAN BAMAN CAMAN DAMAN 【分析】根据三角形的高的概念得到 ADBC，根据垂线段最短判断
13、 解：线段 AN 是ABC 边 BC 上的高， ADBC， 由垂线段最短可知，AMAN， 故选：B 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7计算：9a3b3a2 3ab 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案 解：原式3ab 故答案为：3ab 8如果代数式在实数范围内有意义，那么实数 x 的取值范围是 x3 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0 求解可得 解：根据题意知 3x0， 解得 x3， 故答案为：x3 9方程4 的解是 x15 【分析】将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可 解：原方程变形为：x+116， x15， x15 时，被开方数 x+1
14、160 方程的解为 x15 故答案为 x15 10二元一次方程 x+2y3 的正整数解是 【分析】把 y 看做已知数求出 x，即可确定出正整数解 解：方程 x+2y3， 变形得：x2y+3， 当 y1 时，x1， 则方程的正整数解为， 故答案为： 11从分别写有数字 1，2，4 的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字 分别作为点 M 的横坐标和纵坐标，那么点 M 在双曲线 y上的概率是 【分析】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点 M 在双曲线 y上的概率 解：列表如下： 1 2 4 1 （2，1） （4，1） 2 （1，2） （4，2） 4 （
15、1，4） （2，4） 所有可能的情况有 6 种； 落在双曲线 y上的点有：（1，4），（4，1）共 2 个， 则 P 12 如果函数ykx （k0） 的图象经过第二、 四象限， 那么y的值随x的值增大而 减小 （填 增大或减小） 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可 解：函数 ykx（k0）的图象经过第二、四象限，那么 y 的值随 x 的值增大而减小， 故答案为：减小 13据国家统计局数据，2019 年全年国内生产总值接近 100 万亿，比 2018 年增长 6.1%假 设 2020 年全年国内生产总值的年增长率保持不变，那么 2020 年的全年国内生产总值将 达到 106.1 万亿 【分
16、析】利用增长率的意义得到 2020 年全年国内生产总值 100（1+6.1%），然后进行 计算即可 解：根据题意得： 100（1+6.1%）106.1（万亿）， 答：2020 年的全年国内生产总值将达到 106.1 万亿； 故答案为：106.1 14 已知平行四边形 ABCD， E 是边 AB 的中点 设， 那么 + （结 果用 、 表示） 【分析】由三角形法则可知：+，只要求出，即可解决问题 解：如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC ， E 是 AB 的中点， AEAB， +， +， 故答案为： + 15某校计划为全体 1200 名学生提供以下五种在线学习的方式：在线
17、听课、在线答题、在 线讨论、在线答疑和在线阅读为了解学生需求，该校随机对部分学生进行了你对哪 类在线学习方式最感兴趣的调查，并根据调查结果绘制成扇形统计图（如图）由这 个统计图可知，全校学生中最喜欢在线答疑的学生人数约为 360 人 【分析】先根据各部分所占百分比之和为 1 求出 D 类型人数所占百分比，再乘以总人数 即可得 解： 最喜欢 在线答疑 的学生人数占被调查人数的百分比为 1 （20%+25%+15%+10%） 30%， 全校学生中最喜欢在线答疑的学生人数约为 120030%360（人）， 故答案为：360 16如图，一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60的方向
18、，继续向东航 行 40 海里后到 B 处，测得灯塔 P 在北偏东 30的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 40 海里 【分析】根据已知方向角得出PPAB30，进而得出对应边关系即可得出答案 解：如图所示：由题意可得，PAB30，DBP30， 故PBE60， 则PPAB30， 可得：ABBP40 海里 故答案为：40 17在矩形 ABCD 中，AB5，BC12如果分别以 A、C 为圆心的两圆外切，且圆 A 与直 线 BC 相交，点 D 在圆 A 外，那么圆 C 的半径长 r 的取值范围是 1r8 【分析】四边形 ABCD 是矩形，可得B90，ADBC12，AB5，根据勾股定理， 得 AC13，分
19、别以 A、C 为圆心的两圆外切，且圆 A 与直线 BC 相交，点 D 在圆 A 外， 根据圆与圆相切的性质即可求出 r 的取值范围 解：如图， 四边形 ABCD 是矩形， B90，ADBC12，AB5， 根据勾股定理，得 AC13， 分别以 A、C 为圆心的两圆外切，且圆 A 与直线 BC 相交， 1358， 点 D 在圆 A 外， 13121， 1r8， 所以圆 C 的半径长 r 的取值范围是 1r8 故答案为：1r8 18如图，在 RtABC 中，ACB90，B35，CD 是斜边 AB 上的中线，如果将 BCD沿CD所在直线翻折， 点B落在点E处， 联结AE， 那么CAE的度数是 125
20、度 【分析】依据折叠的性质即可得到DAE 的度数，再根据三角形内角和定理即可得到 BAC 的度数，进而得出CAE 的度数 解：如图所示，CD 是斜边 AB 上的中线， CDBDAD， BCDB35， BDC110， 由折叠可得，CDECDB110，DEDBAD， BDE3601102140， DAEBDE70， 又RtABC 中，BAC903555， CAE55+70125， 故答案为：125 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19计算： 【分析】 直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、 绝对值的性质分别化简得出答案 解：原式 2+1 1 20先化简，再求值：，其中 x 【分析
21、】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 解：原式 ， 当时，原式 21已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（2，0），与 y 轴 的正半轴交于点 B，与反比例函数 y（x0）的图象交于点 C，且 ABBC，点 C 的 纵坐标为 4 （1）求直线 AB 的表达式； （2）过点 B 作 BDx 轴，交反比例函数 y的图象于点 D，求线段 CD 的长度 【分析】（1）过点 C 作 CHx 轴，垂足为 H，如图，利用平行线分线段成比例得到 1，则 OHOA2，则点 C 的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线 AB 的解析式；
22、 （2） 把 C 点坐标代入 y中求出 m8， 再利用直线解析式确定点 B 的坐标为 （0， 2） ， 接着利用 BDx 轴得到点 D 纵坐标为 2，根据反比例解析式确定点 D 坐标，然后根据两 点间的距离公式计算 CD 的长 解：（1）过点 C 作 CHx 轴，垂足为 H，如图， 1， A（2，0）， AO2， OHOA2， 点 C 的纵坐标为 4， 点 C 的坐标为（2，4）， 设直线 AB 的表达式 ykx+b（k0）， 把 A（2，0），C（2，4）代入得，解得， 直线 AB 的表达式 yx+2； （2）反比例函数 y的图象过点 C（2，4）， m248， 直线 yx+2 与 y 轴的
23、正半轴交于点 B， 点 B 的坐标为（0，2）， BDx 轴， 点 D 纵坐标为 2， 当 y2 时，2，解得 x4， 点 D 坐标为（4，2）， CD2 22如图 1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状（推 移过程中边的长度保持不变）已知矩形 ABCD，AB4cm，AD3cm，固定边 AB，推 边 AD，使得点 D 落在点 E 处，点 C 落在点 F 处 （1）如图 2，如果DAE30，求点 E 到边 AB 的距离； （2）如图 3，如果点 A、E、C 三点在同一直线上，求四边形 ABFE 的面积 【分析】 （1）过点 E 作 EHAB 轴，垂足为 H，根据矩形
24、的性质得到DAB90，AD EH，根据平行线的性质得到DAEAEH，求得AEH30，解直角三角形即可 得到结论； （2）过点 E 作 EHAB，垂足为 H根据矩形的性质得到 ADBC得到 BC3cm根 据勾股定理得到cm，根据平行线分线段成比例定理得到cm，根 据四边形的性质得到 ADAEBF，ABDCEF求得四边形 ABCD 是平行四边形， 于是得到结论 解：（1）如图 2，过点 E 作 EHAB 轴，垂足为 H， 四边形 ABCD 是矩形， DAB90， ADEH， DAEAEH， DAE30，AEH30 在直角AEH 中，AHE90， EHAE cosAEH， ADAE3cm， cm，
25、即点 E 到边 AB 的距离是cm； （2）如图 3，过点 E 作 EHAB，垂足为 H 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AD3cm， BC3cm， 在直角ABC 中，ABC90，AB4cm， cm， EHBC， ， AEAD3 cm， ， cm， 推移过程中边的长度保持不变， ADAEBF，ABDCEF， 四边形 ABCD 是平行四边形， cm2 23已知：如图，在梯形 ABCD 中，CDAB，DAB90，对角线 AC、BD 相交于点 E， ACBC，垂足为点 C，且 BC2CE CA （1）求证：ADDE； （2）过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 于点 F，求证：CE2AE A
26、F 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到BCEACB，根据相似三角形的性质 得到CBECAB，根据等角的余角相等得到BECDAE，根据等腰三角形的判定 定理证明； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，得到，整理得到 CE2AE EF，根据等腰三角形的三线合一得到 AFEF，证明结论 【解答】证明：（1）BC2CE CA， ，又ECBBCA， BCEACB， CBECAB， ACBC，DAB90， BEC+CBE90，DAE+CAB90， BECDAE， BECDEA， DAEDEA， ADDE； （2）DFAC，ACBC， DFEBCA90， DFBC， ， DCAB， ， ， CE2
27、AE EF， ADDE，DFAC， AFEF， CE2AE AF 24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx 经过点 A（2，0）直线 yx2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）将抛物线 yx2+bx 向右平移，使平移后的抛物线经过点 B，求平移后抛物线的表达 式； （3） 将抛物线 yx2+bx 向下平移， 使平移后的抛物线交 y 轴于点 D， 交线段 BC 于点 P、 Q，（点 P 在点 Q 右侧），平移后抛物线的顶点为 M，如果 DPx 轴，求MCP 的正 弦值 【分析】 （1） 根据待定系数法即可求得抛物线的解
28、析式， 化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据图象上点的坐标特征求得 B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可； （3）设向下平移后的抛物线表达式是：yx22x+n，得点 D（0，n），即可求得 P（2， n），代入 yx2 求得 n1，即可求得平移后的解析式为 yx 22x2求得顶点 坐标，然后解直角三角形即可求得结论 解：（1）由题意，抛物线 yx2+bx 经过点 A（2，0）， 得 04+2b，解得 b2， 抛物线的表达式是 yx22x yx22x（x1）21， 它的顶点 C 的坐标是（1，1） （2）直线与 x 轴交于点 B， 点 B 的坐标是（4，0） 将抛物线 yx22x 向右平
29、移 2 个单位，使得点 A 与点 B 重合， 此时平移后的抛物线表达式是 y（x3）21 将抛物线 yx22x 向右平移 4 个单位，使得点 O 与点 B 重合， 此时平移后的抛物线表达式是 y（x5）21 （3）设向下平移后的抛物线表达式是：yx22x+n，得点 D（0，n） DPx 轴， 点 D、P 关于抛物线的对称轴直线 x1 对称， P（2，n） 点 P 在直线 BC 上， 平移后的抛物线表达式是：yx22x2 新抛物线的顶点 M 的坐标是（1，2） MCOB， MCPOBC 在 RtOBC 中， 由题意得：OC2， 即MCP 的正弦值是 25如图，已知半圆O 的直径 AB10，弦 C
30、DAB，且 CD8，E 为弧 CD 的中点，点 P 在弦 CD 上，联结 PE，过点 E 作 PE 的垂线交弦 CD 于点 G，交射线 OB 于点 F （1）当点 F 与点 B 重合时，求 CP 的长； （2）设 CPx，OFy，求 y 与 x 的函数关系式及定义域； （3）如果 GPGF，求EPF 的面积 【分析】（1）如图 1，连接 EO，交弦 CD 于点 H，根据垂径定理得 EOAB，由勾股定 理计算， 可得 EH 的长， 证明HPEHGE45， 则 PEGE 从 而可得结论； （2）如图 2，连接 OE，证明PEHEFO，列比例式可得结论； （3）如图 3，作 PQAB，分别计算 PE
31、 和 EF 的长，利用三角形面积公式可得结论 解：（1）连接 EO，交弦 CD 于点 H， E 为弧 CD 的中点， EOAB， CDAB， OHCD， CH， 连接 CO， AB10，CD8， CO5，CH4， ， EHEOOH2， 点 F 与点 B 重合， OBEHGE45， PEBE， HPEHGE45， PEGE， PHHG2， CPCHPH422； （2）如图 2，连接 OE，交 CD 于 H， PEH+OEF90，OFE+OEF90， PEHOFE， PHEEOF90， PEHEFO， ， EH2，FOy，PH4x，EO5， ， （3）如图 3，过点 P 作 PQAB，垂足为 Q， GPGF， GPFGFP， CDAB， GPFPFQ， PEEF， PQPE， 由（2）可知，PEHEFO， ， PQOH3， PE3， EH2， ， ， ，
