1、数学试题（第 1 页 共 30 页） 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查届福州市高中毕业班第三次质量检查 数 学 （ 理 科 ） 试 题 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页满分 150 分 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔在答 题卡上书写作答
2、在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 2. 已知集合 2 2 20 ,log2Ax xxBx yx，则 AB R A B2,2 C1,2 D2,1 3. 执行右面的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4 数学试题（第 2 页 共 30 页） 4. 某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%， 则患该种疾病且血
3、检呈阳性的概率为 A0.495% B0.940 5% C0.999 5% D0.99% 5. 函数 2 e2 x f xxx的图象大致为 A B C D 6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应 的条形图如下： 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大 7. 已知角的终边在直线3yx 上，则 2 sin2 1cos A 6 11 B 3 11 C 3 11 D 6 11 8. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由 3 行 3 列 9 个单元格构成玩该游
4、戏时，需要将数字1,2,3（各 3 个） 全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每 一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种 Ox y 1 1 O x y 1 1 y 1 O1 x O x y 1 1 数学试题（第 3 页 共 30 页） 9. 已知函数 sin0 6 f xx 图象上相邻两条对称轴的距离为 2 ，把 f x图 象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 3 个 单位长度，得到函数 g x的图象，则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D cosg xx
5、10. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab ）的焦距为 2，右顶点为A过原点与x轴不重合 的直线交C于,M N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的 方程为 A 22 1 43 xy B 22 1 65 xy C 22 1 98 xy D 22 1 3632 xy 11. 已知函数 1 lnf xxx x ，给出下列四个结论： 曲线 yf x在1x 处的切线方程为10xy ； f x恰有 2 个零点； f x既有最大值，又有最小值； 若 12 0x x 且 12 0f xf x，则 12 1x x 其中所有正确结论的序号是 A B C D 12. 三棱锥P
6、ABC中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分 别为 12,16,20，且底面面积为 24，则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A 4 3 B12 C16 3 D16 数学试题（第 4 页 共 30 页） 第第卷卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13. 已知向量1,2AB ，2,5CB ，,1tMN 若ACMN，则实数t 14. 正方体 1111 ABCDABC D中，P为 1 BC中点，Q为 1 A D中点，则异面直线DP与 1 C Q所 成
7、角的余弦值为 15. 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 2sincos1AB，则 c ba 的取值 范围为 16. 已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD，以,A D为焦点的双曲线经过,B C两 点若7CDAB，则的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答 （一）必考题：共 60 分 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S, n T， 1 2a ， 1 1b ，且 1
8、1 2 nn aaT （1）若数列 n a为等差数列，求 n S； （2）若 11 2 nn bbS ，证明：数列 nn ab和 nn ab均为等比数列 18. （本小题满分 12 分） 如图， 在多面体PABCD中， 平面ABCD 平面PAD， ADBC，90BAD，120PAD，1BC ， 2ABADPA （1）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值； （2）若E是棱PB的中点，求证：对于棱CD上任意一 点F，EF与PD都不平行 19. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4C yx，直线:2l xmy（0m）与C交于,A B两点，M为AB的 中点，O为坐标原点 （1）求直线O
9、M斜率的最大值； A D CB P 数学试题（第 5 页 共 30 页） （2）若点P在直线2x 上，且PAB为等边三角形，求点P的坐标 20. （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx （1）求函数 f x的单调区间； （2）设函数 f x有两个极值点 12 ,x x（ 12 xx） ，若 12 f xmx 恒成立，求实数m的 取值范围 21. （本小题满分 12 分） 某省2021年开始将全面实施新高考方案在6门选择性考试科目中，物理、历史这两 门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采用等级转换赋分，将 每科考生的原始分从高到低划分为A,B
10、,C,D,E共5个等级， 各等级人数所占比例分别为 15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分 该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的 原始分进行了等级转换赋分 （1）某校生物学科获得A等级的共有 10 名学生，其原始分及转换分如下表： 原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 转换分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物转换分不低于95分的人数为X， 求X的分布列和数学期望； （2）假设该省此次高一学生生物学
11、科原始分Y服从正态分布(75.8 36)N，若 2 ( ,)YN ，令 Y ，则(0,1)N，请解决下列问题： 若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估 计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数） 现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分 相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()Pk取得最大值 时k的值 附附：若(0,1)N，则(0.8)0.788P,(1.04)0.85P. 数学试题（第 6 页 共 30 页） （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目
12、计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 33 ,xkt yt （t为参数） ，直线 2 l的参数 方程为 33 ,xm ykm （m为参数） 设 1 l与 2 l的交点为P， 当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C （1）求 1 C的普通方程； （2）设Q为圆 2 2 2: 43Cxy上任意一点，求PQ的最大值 23. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知0,0ab， 222 4abc （1）当1c 时，求证： 33 9abab； （2）求 222 4
13、41 1abc 的最小值 2020 届福州市高中毕业班第三次质量检查 数学试题（第 7 页 共 30 页） 数 学 （ 理 科 ） 详 细 解 答 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1. 已知纯虚数z满足(1 i)2iza，则实数a等于 A2 B1 C1 D2 【命题意图】本小题考查复数的概念与运算等基础知识；考查运算求解能力；考查函 数与方程思想；考查数学运算等核心素养，体现基础性 【答案】A 【解析】解法一：设i(,zb bR且0),b 则(1 i) ii2i.bbba 因为aR，所以 2, , b ab 所以2a ，故选 A 解法二： 2i(2i)(1i)2
14、2 i 1i222 aaaa z 因为z为纯虚数,所以 20, 20, a a 解得2a ，故选 A. 2. 已知集合 2 2 20 ,log2Ax xxBx yx，则AB R A B2,2 C1,2 D2,1 【命题意图】本小题考查解一元二次不等式、函数的定义域，集合的交集、补集运算 等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算核心素养，体现基础性 【答案】D 【解答】依题意，21 ,2AxxBx x ，所以 B R 2x x，所以 AB R 2,1 3. 执行右面的程序框图，则输出的m A1 B2 C3 D4 【命题意图】本小题考查程序框图等基础知识；考查推理 论证能力；考查逻辑推理核心素养
15、，体现基础性 【答案】C 【解答】 该框图的功能为求小于 12 的正整数中 3 的倍数的 个数，故输出的m值应为 3，故选 C 数学试题（第 8 页 共 30 页） 4. 某种疾病的患病率为 0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为 99%， 则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A0.495% B0.940 5% C0.999 5% D0.99% 【命题意图】本小题考查条件概率等基础知识；考查推理证能力；考查统计与概率思 想；考查逻辑推理、数据处理等核心素养；体现基础性、综合性、应用性 【答案】A 【解答】 设事件 A “血检呈阳性” ， B “患该种疾病” 依题意知 P(B)0.0
16、05， P(A|B) 0.99， 由条件概率公式 P(A|B)PAB PB ， 得 P(AB)P(B) P(A|B)0.0050.99=0.004 95， 故选 A 5. 函数 2 e2 x f xxx的图象大致为 A B C D 【命题意图】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数 形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性 【答案】B 【解答】解法一：因为 e22,e2 xx fxxfx，令 e20 x fx，得 ln2x ，当ln2x时 0fx ， fx 为减函数；当ln2x时， 0fx ， fx 为增函数，而ln222ln222ln20 f ，所以原
17、函数存在两个极值点，故淘 汰选项 C 和 D将1x 代入原函数，求得 1e 1 20f ，淘汰选项 A，故选 B 解法二： 1e2 10f ， 淘汰选项 A， D； 当x 时， exf x 2x x， 淘汰选项 C故选 B 6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击 10 次四人测试成绩对应 的条形图如下： Ox y 1 1 O x y 1 1 y 1 O1 x O x y 1 1 数学试题（第 9 页 共 30 页） 以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确 的是 A平均数相同 B中位数相同 C众数不完全相同 D丁的方差最大 【命题意图】 本小题考查统计图表、 数字特征的概
18、念等基础知识； 考查运算求解能力； 考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素 养，体现基础性、应用性 【答案】D 【解析】 由图的对称性可知， 平均数都为5； 由图易知， 四组数据的众数不完全相同， 中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为 2222 1234 ,s s s s，则 22 2 1 450.5650.51s ， 222 2 2 450.3550.4650.30.6s ， 22222 2 3 350.3450.1550.2650.1750.32.6s ， 22222 2 4 250.1450.3550.2650.3850.12.4s ， 所
19、以丙的方差最大故选 D 7. 已知角的终边在直线3yx 上，则 2 sin2 1cos A 6 11 B 3 11 C 3 11 D 6 11 【命题意图】本小题考查三角函数的定义、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解 能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体 现基础性 【答案】A 【解析】解法一：依题意，tan3 ，所以原式 222 2sincos2tan6 sin2costan211 ， 数学试题（第 10 页 共 30 页） 故选 A 解法二：不妨在直线3yx 上取一点1, 3P，则 2 2 1310r ，所以 1 cos, 10 3 sin 10 ，所
20、以 6 sin22sincos 10 ，原式 6 6 10 1 11 1 10 ，故 选 A 8. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一 个简化版，由 3 行 3 列 9 个单元格构成玩该游戏时，需要 将数字1,2,3（各 3 个）全部填入单元格，每个单元格填一 个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不 同的填法有 A12 种 B24 种 C72 种 D216 种 【命题意图】本小题考查计数原理等基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考查 数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养，体现综合性和应用性 【答案】A 【解答】先填第一行，有 3 3 6A 种不同填法，
21、再填第二行第一列，有 2 种不同填法， 当该单元格填好后，其它单元格唯一确定根据分步乘法计数原理，共有6 212种 不同的填法故选 A 9. 已知函数 sin0 6 f xx 图象上相邻两条对称轴的距离为 2 ，把 f x图 象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 3 个 单位长度，得到函数 g x的图象，则 A cos4g xx B cos4g xx C cosg xx D cosg xx 【命题意图】本小题考查三角函数图象的变换、诱导公式等基础知识；考查运算求解 能力；考查数形结合思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性 【答案】D 【解析】依题
22、意， 2 T 2 ，所以T ，所以 2 ，解得 ，所以 f x 数学试题（第 11 页 共 30 页） sin 2 6 x 把 f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到曲 线sin 6 yx ，再把曲线sin 6 yx 向右平移 3 个单位长度，得到曲线 sin 63 yx ，即cosyx，故 cosg xx，故选 D 10. 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab ）的焦距为 2，右顶点为A过原点与x轴不重合 的直线交C于,M N两点， 线段AM的中点为B， 若直线BN经过C的右焦点， 则C的 方程为 A 22 1 43 xy B 22 1 65 xy C
23、 22 1 98 xy D 22 1 3632 xy 【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推 理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学运算、直观想象等核 心素养，体现基础性 【答案】C 【解析】 解法一： 设 00 ,M x y， 则 00 ,Nxy， 因为,0A a 且线段AM的中点为B，所以 00 , 22 axy B ，由, ,B F N三 点共线得FNFB， 依题意，1,0F， 故FN 00 1,xy 00 1, 22 axy FB 即 00 00 110 22 yax xy ，又 0 0y ，解得3a，所以 222 318b ，所以
24、椭圆C的标准方程为 22 1 98 xy ，故选 C 解法二：设 00 ,M x y，则 00 ,Nxy，依题意，,0A a，AONB和是AMN的中 线， 所以1,0F为AMN的重心， 故 00 1 3 xxa ， 解得3a ， 所以 222 318b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 98 xy 故选 C 11. 已知函数 1 lnf xxx x ，给出下列四个结论： 曲线 yf x在1x 处的切线方程为10xy ； 数学试题（第 12 页 共 30 页） f x恰有 2 个零点； f x既有最大值，又有最小值； 若 12 0x x 且 12 0f xf x，则 12 1x x 其中所有
25、正确结论的序号是 A B C D 【命题意图】本小题考查函数的图象性质、导数的应用等基础知识；考查运算求解能 力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学运算、直观想 象等核心素养，体现基础性、综合性 【答案】B 【解答】依题意， f x的定义域为,00, 当0x时， 2 22 111 1 xx fx xxx ，所以 11 f ，可知曲线在点1,0处 的切线方程为01yx，即10xy ，所以正确； 因为0x时， 2 2 13 24 0 x fx x ，所以 f x区间0,+上单调递减同理 可求 f x在区间,0上单调递减所以错误；又 10,10ff，所以正 确； 对于，若 1
26、2 0xx0,，由 12 0f xf x得 1222 2 1 lnf xf xxx x 2 1 ln x 22 2 111 1 f xx x ，即 1 2 1 f xf x 因为 f x在0,上为减函数，所以 1 2 1 x x ，即 12 1x x 同理可证当 12 0,0xx时，命题也成立故正确 综上，故选 B 12. 三棱锥PABC中，顶点P在底面ABC的投影为ABC的内心，三个侧面的面积分 别为 12,16,20，且底面面积为 24，则三棱锥PABC的内切球的表面积为 A 4 3 B12 C16 3 D16 【命题意图】本小题考查空间点、线、面位置关系，空间几何体的侧面积、体积等基 数
27、学试题（第 13 页 共 30 页） 本知识；考查空间想象能力、运算求解能力、论证推理能力；考查化归与转化思想； 考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、创新性 【答案】C 【解答】解法一：不妨设12,16,20, PBCPACPAB SSS 设P在底面ABC的投影为H， 分别作HDBC于点D，HEAB于点E，HFAC 于点F，则,PDBC,PEABPFAC依题意，H为ABC的内心，则 RtRtRtPDHPFHPEH ，故PDPFPE， 又 1 2 PBC SBC PD ， 1 2 PAC SAC PF ， 1 2 PAB SAB PE ， 所以:12:16:203:4:5 PBCPAC
28、PAB SSSBC AC AB ，所以90ACB 令3 ,4 ,5BCx ACx ABx. 所以 11 3424 22 ABC SBC ACxx ，解得2x ，所以6,8,10BCACAB. 设ABC内切圆半径为r，则 1 2 ABC BCACAB rS ，即 1 681024 2 r， 解得2r ，故2HD 由 1 12,6 2 PBC SBC PDBC ，得4PD ， 所以 22 2 3PHPDHD， 所以 11 242 316 3 33 P ABCABC VSPH ， 设三棱锥PABC的内切球的半径为R，则 1 3 P ABCPBCPACPABABC VSSSSR ，即 1 16 312
29、162024 3 R，解得 2 3 3 R ，所以三棱锥PABC的内切球的表面积为 2 16 4 3 R ，故选 C 解法二：不妨设12,16,20, PBCPACPAB SSS 设P在底面ABC的投影为H， 分别作HDBC于点D，HEAB于点E，HFAC 于点F，则,PDBC,PEABPFAC依题意，H为ABC的内心，则 RtRtRtPEHPFHPDH ， 故PDPFPE，且PEHPFHPDH，记为 数学试题（第 14 页 共 30 页） 所以cos HEHFHD PEPFPD ，故 cos HACHBCHAB PABPACPBC SSS SSS ， 所以 1 cos 2 BC PABPAC
30、PBC S SSS A ，所以 3 又 1 2 PBC SBC PD ， 1 2 PAC SAC PF ， 1 2 PAB SAB PE ， 所以:12:16:203:4:5 PBCPACPAB SSSBC AC AB ，所以90ACB 令3 ,4 ,5BCx ACx ABx. 所以 11 3424 22 ABC SBC ACxx ，解得2x ，所以6,8,10BCACAB. 设ABC内切圆半径为r，由直角三角形内切圆半径公式得 6810 2 2 r 由题意知三棱锥内切球的球心在PH上，设为点O由条件知点O也在PDH的角 平分线上， 所以内切球半径 2 3 tan30 3 Rr，所以三棱锥PA
31、BC的内切球的表面 积为 2 16 4 3 R ，故选 C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 已知向量1,2AB ，2,5CB ，,1tMN 若ACMN，则实数t 【命题意图】本小题考查平面向量坐标运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数 形结合思想、 函数与方程思想等； 考查数学运算、 直观想象等核心素养， 体现基础性 【答案】 1 3 【解析】 因为1,22,51, 3ACABCB ， 又因为,1tMN ，ACMN， 所以113t ，解得 1 3 t 14. 正方体 1111 ABCDABC D中，P为 1 BC中点，Q为 1 A D中点，则异面直线DP
32、与 1 C Q所 成角的余弦值为 数学试题（第 15 页 共 30 页） 【命题意图】 本小题考查空间直线与直线的位置关系等基本知识； 考查空间想象能力、 运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、数学运算等核 心素养，体现基础性 【答案】 2 3 【解答】解法一：连结 11 ,CB QB，因为四边形 11 BCC B为正方形，P为 1 BC中点，所以 11 1 2 B PBC因为 11/ ABCD，所以四边形 11 CDA B为平行四边形，所以 11 /BCAD， 又Q为 1 A D中点， 所以 1 /B PDQ， 所以四边形 1 DPBQ为平行四边形， 所以 1 BQD
33、P， 所以 11 BQC为异面直线DP与 1 C Q所成角或其补角设正方体的棱长为 2，在 1 RtBAQ中， 22 1111 246BQAQAB； 同理可求 1 6C Q 在 11 BC Q中， 222 1111 11 11 6642 cos 23266 BQCQBC CQB BQ CQ ， 故异面直线DP与 1 C Q所成角的余弦值为 2 3 解法二：如图，以D为原点，分别以 1 ,DA DC DD的方向为, ,x y z轴的正方向，建立 空间直角坐标系Dxyz设正方体的棱长为 2，则各点的坐标为0,0,0 ,1,2,1 ,DP 1,0,1Q，所以 1 1,2,1 ,1, 2, 1DPC
34、Q， 所以 1 cos,DP C Q 1 1 DP C Q DP C Q 14 1 66 2 3 所以异面直线DP与 1 C Q所成角的余弦值为 2 3 解法三：设正方体的棱长为 2， 1 ,DADCDDabc 则 111 222 DP bacabc， 1 111 222 C Q bacabc， 由 1 ,DA DC DD三条直线两两垂直得0a bb ca c， 所以 22 222222 1 111111 2224 224444 DP CQ abcabc， 1 0,2,2 ,C 数学试题（第 16 页 共 30 页） 222222 1 1111 6,6 4444 DPC Qabcabc， 所以
35、 1 cos,DP C Q 1 1 DP C Q DP C Q 4 66 2 3 所以异面直线DP与 1 C Q所成角的余弦值为 2 3 15. 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 2sincos1AB，则 c ba 的取值 范围为 【命题意图】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思 想、函数与方程思想、化归与转化思想等；考查数学运算、直观想象等核心素养，体 现基础性 【答案】2,3 【解析】在ABC中，因为 2 2sincos1AB，所以coscos2BA，所以2BA. 由正弦定理及题设得 sinsinsincos 2cossin 2
36、 sinsinsinsinsin 2sin ABcCAAAA baBABAAA 22 sin2cos12sincos 2sincossin AAAA AAA 2 4cos1 2cos1 2cos1 A A A ，由 02, 03 BA CA 得 0 3 A，故 1 cos1 2 A，所以 c ba 的取值范围为2,3 16. 已知梯形ABCD满足,45ABCDBAD，以,A D为焦点的双曲线经过,B C两 点若7CDAB，则的离心率为 【命题意图】本小题考查直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、 推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核 心素养，
37、体现基础性、综合性 【答案】 3 2 4 【解答】解法一：如图所示，以AD中点O为原点，以AD为x轴，建立直角坐标系 设点C关于点O对称的点为 C ，由对称性知，B,A, C 三点共线设的方程为 )00( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，)0 ,( cA , 11 ( ,)B x y , 22 (,)C xy， 则直线 BC 方程为cxy， 数学试题（第 17 页 共 30 页） 由 22 22 , 1 yxc xy ab 得 22224 ()20bayb cyb， 所以 42422 40b cbba ， 24 1212 2222 2 , b cb yyy y baba ， 由7C
38、DAB，所以 21 7yy， 因为 12 ,y y异号，所以 21 7yy ， 由 21 2 12 22 7, 2 , yy b c yy ba ，解得 )( 3 7 )( 3 22 2 2 22 2 1 ab cb y ab cb y ， 代入 22 4 21 ab b yy ，得)(97 222 abc， 因为 222 acb，所以 22 89ca ， 所以的离心率 3 2 4 c e a 解法二：如图所示，以AD中点O为原点，以AD为x轴，建立直角坐标系设的 方程为)00( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，)0 ,( cA 依题意， 设 ,B mmc， 则7 , 7Ccm m
39、， 2 2 22 2 2 22 1,(1) 749 1,(2) mcm ab cmm ab 由 1492得 22 2 3 3 77 ca b m cc ， 将 2 3 7 b m c 代入（1）得 4224 91780aa cc， 解得 22 98ac或 22 ac（舍去） ，所以的离心率 3 2 4 c e a 解法三：如图，连接,AC BD设该双曲线的焦距2ADc，实轴长为2a，则BD 数学试题（第 18 页 共 30 页） 2ABACCDa设ABm，则7CDm，2,27BDam ACam 依题意，45 ,135BADADC ， 在ABD中，由余弦定理及题设得 2 22 242 2ammc
40、mc， 在ACD中，由余弦定理及题设得 2 22 2749414 2ammcmc， 整理得 22 22,camac 22 272camac， 两式相除得 2 1 72 ac ac ，即6 28ac，故的离心率 3 2 4 c e a 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 n a和 n b的前n项和分别为 n S, n T， 1 2a ， 1 1b ，且 11 2 nn aaT （1）若数列 n a为等差数列，求 n S； （2）若 11 2 nn bbS ，证明：数列 nn ab和 nn ab均为等比数列 【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推理 论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性满分 12 分 【解答】 （1）由 11 2 nn aaT ，得 211 2aab， 又 1 2a ， 1 1b ，解得 2 4a . 1 分 因为数列 n a为等差数列，所以该数列的公差为 21 aa2， 2 分 所以 2 1 22 2 n n n Snnn 4 分 （2）当2n时， 11 2 nn aaT ， 因为 1nnn TTb ，所以 1 2 nnn aab ，即 1 2 nnn aab ， 5 分 同理可得： 1 2 nnn bba
