1、第 1 页 成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟 数 学(理科) 命题：巢中俊 审题：钟梁骏 张世永 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第卷(选择题)1 至 2 页,第卷 (非选择题)3 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项：注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无
2、效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第卷 (选择题,共 60 分) 一、 选择题： 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 2 1,0,1,2,3,4, |,ABy yxxA ,则AB (A)0,1,2 (B)0,1,4 (C) 1,0,1,2 (D) 1,0,1,4 2. 已知复数 1 1 i z ,则| z (A) 2 2 (B)1 (C)2 (D)2 3. 设函数( )f x为奇函数,当0x 时, 2 ( )2,f xx则( (1)ff (A)1 (B)2 (C)1 (D)2 4. 已知单位向量 12
3、 ,e e的夹角为 2 3 ,则 12 2ee (A)3 (B)7 (C)3 (D)7 5. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为3yx ,则双曲线的离心率是 (A)10 (B) 10 3 (C)10 (D)10 9 第 2 页 6. 在等比数列 n a中, 1 0,a 则“ 41 aa ”是“ 53 aa ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为 31 时,则图中判断框处应填入的是 (A)6?i (B)5?i (C)4?i (D)3?i 8. 已知, a b为两条不
4、同直线, 为三个不同平面,下列命题：若/,/则/ ； 若/ , / ,aa则/ ；若, 则；若,ab则/a b.其中 正确命题序号为 (A) (B) (C) (D) 9. 南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中,提出了一些新的垛积公式, 所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者 高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶 等差数列,其前 7 项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第 8 项为 (A)99 (B)131 (C)139 (D)141 10. 已知 log e,a ln, e b
5、 2 e ln, c 则 (A)abc (B)bca (C)bac (D)cba 11. 过正方形 1111 ABCDABC D的顶点A作直线l,使得l与直线 11 ,BC C D所成的角均为 60,则这样的直线l的条数为 (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 4 12. 已知P是椭圆 2 2 1 4 x y上一动点,( 2,1),(2,1)AB,则cos,PA PB的最大值是 (A) 62 4 (B) 17 17 (C) 177 6 (D) 14 14 第卷 (非选择题,共 90 分) 第 3 页 B A C F D E 0.005 频率 组距 得分 0.015 0.010 1008060
6、40 O 20 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. 13.已知数列 n a的前n项和为, n S且 11 1,1(2), nn aaSn 则 4 a 14. 已知实数, x y满足线性约束条件 1 1 7 x y xy ,则目标函数2zxy的最大值是 15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF,其中BCCDDEEFFA且.ABBC则 在圆内随机取一点,则此点取自六边形ABCDEF内的概率是 16. 若指数函数 x ya(0a 且1)a 与三次函数 3 yx的图象恰 好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题,共 70
7、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在ABC中,内角,A B C的对边分别为, , .a b c已知 2 . tansin ab AB (1)求角A的大小； (2)若7,2,ab求ABC的面积. 18.(本小题满分 12 分) 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校40个班级进行了一次突击班级卫 生量化打分检查(满分 100 分,最低分 20 分).根据检查结果：得分在80,100评定为“优”, 奖励 3 面小红旗；得分在60,80)评定为“良”,奖励 2 面小红旗；得分在40,60)评定为 “中”,奖励 1 面小红旗；得分在20,40)评
8、定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部分 频率分布直方图如下图： (1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打 分检查得分的中位数； (2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“优”、“良”、 “中”、“差”的班级中抽取 10 个班级,再从这 10 个班级中随机抽取 2 个班级进行抽样复 核,记抽样复核的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和为X,求X的分布列与数学期望()E X. 第 4 页 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥MABCD中,2,2 2.,2 3ABAMADMBMDABAD (1)证明：AB 平面ADM ； (2)若/CD AB且 2 3 CDAB,E为线
9、段BM上一点,且 2BEEM,求直线EC与平面BDM所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数( ),(e,). ln x fxx x 其中.Z (1)证明： 0 e ( ) 3e x fx x ； (2)记 2 101 ( )e( )( )( ).F xfxfxf x 若存在 * 0 ,1)()xn nnN使得对任意的 (e,)x都有 0 ( )()F xF x成立.求n的值.(其中e2.71828是自然对数的底数). 21.(本小题满分 12 分) 已知点P是抛物线 2 1 : 2 C yx上的一点,其焦点为点,F且抛物线C在点P处的切线l 交圆:O 22 1xy于不同的两
10、点,A B. (1)若点(2,2),P求|AB的值； (2)设点M为弦AB的中点,焦点F关于圆心O的对称点为, F 求|F M的取值范围. 请考生在第 22,23 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 23cos 3sin x y (为参数,0). 在以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线l的极坐标方程是 6 . (1)求曲线C的极坐标方程； (2)若射线l与曲线C相交于,A B两点,求| |OAOB
11、的值. 23.(本小题满分 10 分)选修45：不等式选讲 已知0,0,ab且24,ab函数( )2f xxaxb在R上的最小值为.m (1)求m的值； (2)若 22 ambtab恒成立,求实数t的最大值. 第 1 页 成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟 数 学(理科)参考答案及评分意见 第卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B； 2.A； 3.C； 4.D； 5.A； 6.A； 7.B； 8.C； 9.D； 10.B； 11.C； 12.A. 第卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.8； 14.15
12、； 15. 3 2 2 ； 16. 3 e (1,e ). 三、解答题(共 70 分) 17. 解：(1)由正弦定理知 sinsin ab AB ,又 2 , tansin ab AB 所以 2 . sintan aa AA 于是 1 cos, 2 A 因为0,A所以 . 3 A 6 分 (2)因为 7,2, 3 abA 由余弦定理得 2 22 722 2cos, 3 cc 即 2 230.cc又0,c 所以3.c 故ABC的面积为 113 3 sin2 3 sin. 2232 bcA 12 分 18.解： (1)得分20,40)的频率为0.005 200.1； 得分40,60)的频率为0.0
13、10 200.2； 得分80,100的频率为0.015 200.3； 所以得分60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4. 设班级得分的中位数为x分,于是 60 0.10.20.40.5 20 x ,解得70.x 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分. 5 分 (2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数 为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4 分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1. 由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.
14、211 214 4 1010 111111 13242 2 1 1 2 0 211 (1),(2),(3, 1 45945 ) C CCCC C P XP XP CC C X C CC 2 43 21111 23 1010 2 1 3 0 4 22 4 (4),(5),(6) 41 151515 . CCCC P XP XP X CCC CC 9 分 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 2 45 1 9 11 45 4 15 4 15 1 15 111441 45945151 217119 ()123456 515 . 455 E X 所以X的数学期望 19 (). 5 E X
15、12 分 第 2 页 19.解：(1)因为2ABAM,2 2MB ,所以 222. AMABMB于是.ABAM 又,ABAD且,AMADA AM平面,ADMAD 平面ADM, 所以AB 平面.ADM 5 分 (2)因为2,2 3AMADMD,所以120 .MAD如图所示,在平面ADM内过点A 作x轴垂直于AM,又由(1)知AB 平面ADM,于是分别以,AM AB所在直线为, y z轴建 立空间直角坐标系.Axyz 于是 4 ( 3, 1,0),( 3, 1, ),(0,0,2),(0,2,0). 3 DCBM 因为2BEEM,于是 4 2 (0, ). 3 3 E所以 7 2 ( 3, ),(
16、0,2, 2),( 3, 1, 2). 3 3 ECBMBD 设平面BDM的法向量为, n于是 0 0 BM n BD n 即 220 . 320 yz xyz 取1z 得( 3,1,1).n 设直线EC与平面BDM所成角为,则 4 1 3 sincos,. 54 5 5 3 EC n EC n EC n 所以直线EC与平面BDM所成角的正弦值为 1 . 5 12 分 20.解：(1)要证明 0 e ( ) 3e x fx x 即证明 3e ln,(e,). e x xx x 令 3e ( )ln,(e,). e x g xxx x 则 2 22 14e(e) ( )0. (e)(e) x g
17、 x xxx x 于是( )g x在(e,)单调递增,所以( )(e)0g xg即 3e ln,(e,). e x xx x 所以 0 e ( ). 3e x fx x 5 分 (2) 222 2 101 e1e ( )e( )( )( ),(e,). lnlnlnln xxx F xfxfxf xx xxxxxx 则 222222 22 (21) ln(e )(ln1)(e )ln(e ) ( ). ( ln )( ln ) xxxxxxxxxx F x xxxx 令 2222 ( )(e )ln(e ),(e,).h xxxxxx当(e,)x时,由(1)知 3e ln. e x x x 则
18、 22222 3e4e 1 ( )(e )(e )2(4e 1)2 (), e2 x h xxxxxxx x x (i)当 4e 1 ,) 2 x 时,于是( )0h x ,从而( )0.F x 故( )F x在 4e1 ,) 2 严格单调递增.其中 4e 1 5.93656 2 9 分 第 3 页 (ii)当(e,5x时, 则 2222222222 ( )(e )ln5(e )2(e )(e )3eh xxxxxxxxx 2 203e0.(用到了 22 3exx在(e,5单调递增与 2 e7) 于是( )0F x,故( )F x在(e,5严格单调递减. 11 分 综上所述,( )F x在(e
19、,5严格单调递减,在 4e1 ,) 2 严格单调递增. 因为 4e 1 6, 2 所以 0 5,6).x 所以5.n 12 分 21.解：设点 00 (,)P xy,其中 2 00 1 . 2 yx 因为,yx 所以切线l的斜率为 0, x于是切线 2 00 1 :. 2 l yx xx (1)因为(2,2),P于是切线:22.l yx故圆心O到切线l的距离为 2 . 5 d 于是 22 22 5 | 2 12 1 (). 55 ABd 5 分 (2)联立 22 2 00 1 1 2 xy yx xx 得 2234 000 1 (1)10. 4 xxx xx 设 1122 (,),(,),(
20、, ).A x yB xyM x y则 3 0 12 2 0 , 1 x xx x 3224 000 1 ()4(1)(1)0. 4 xxx 又 2 0 0,x 于是 2 0 022 2.x 于是 32 2 0012 00 22 00 1 ,. 22(1)22(1) xxxx xyx xx xx 又C的焦点 1 (0, ), 2 F于是 1 (0,). 2 F 故 32642 22 00000 22222 0000 1111 |()(). 2(1)2(1)24(1)21 xxxxx F M xxxx 9 分 令 2 0 1,tx则132 2.t 于是 2 13313 |3. 22 tt F M
21、t tt 因为 3 t t 在1, 3)单调递减,在( 3,32 2)单调递增. 又当1t 时, 1 | 2 F M；当3t 时, 2 33 | 2 F M ； 当32 2t 时, 2 211 |. 22 F M 所以|F M的取值范围为 2 33 2 21 ,). 22 12 分 22.解：(1)消去参数得 22 (2)3(0)xyy将cos ,sinxy代入得 第 4 页 22 (cos2)(sin )3,即 2 4cos10. 所以曲线C的极坐标方程为 2 4cos10(0). 3 5 分 (2)法 1：将 6 代入 2 4cos10(0) 3 得 2 2 310 , 设 12 (,),
22、(,), 66 AB则 12 1. 于是 12 | |1.OAOB 10分 法 2： 3 与曲线C相切于点,M | 2sin1, 3 OM 由切割线定理知 2 | | |1.OAOBOM 10 分 23.解：(1) 3, (,), 2 ( )2, , , 2 3, ( ,). a xabx a f xxaxbxabxb xabxb . 当(,) 2 a x 时,函数( )f x单调递减；当( ,)xb时,函数( )f x单调递增. 所以m只能在, 2 a b上取到.当, 2 a xb 时,函数( )f x单调递增. 所以 2 ()2. 222 aaab mfab 5 分 (2)因为 22 ambtab恒成立,且0,0ab, 所以 22 amb t ab 恒成立即 min a b mb t a . 由(1)知2m ,于是222 2. aa m bab mb a mb 当且仅当 2a ba b 时等号成立即4( 21)0,2(22)0.ab 所以2 2t ,故实数t的最大值为2 2. 10 分
