1、陕西省陕西省 2020 届高三年级第三次联考届高三年级第三次联考数学数学试卷（文科）试卷（文科） 一、选择题 1全集U R，集合 ln1Ax yx， 2 48By yxx，则 U AB（ ） A1,2 B1,2 C1,2 D1,2 2已知复数 5 1 i z i （i为虚数单位） ，则在复平面内z所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量2, 1a ，6,bx，且/a b，则ab（ ） A5 B2 5 C5 D4 4从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张 卡片上的数字不大于第二张卡片的概
2、率是（ ） A 1 10 B 3 10 C 3 5 D 2 5 5命题“存在xR， 2 10xx ”的否定是（ ） A不存在xR， 2 10xx B存在xR， 2 10xx C对任意的xR， 2 10xx D对任意的xR， 2 10xx 6设函数 2 log1,0 4 ,0 x xx f x x ，则 2 3log 3ff（ ） A9 B11 C13 D15 7设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A若a，b与所成的角相等，则/a b B若/a，/b，/ ，则/a b C若a，b，/a b，则/ D若a，b，则ab 8已知 , 4 4 ， 24 sin2 25 ，
3、则tan （ ） A 3 4 B 3 4 或 4 3 C 3 4 D 3 4 或 4 3 9抛物线 2 4yx的焦点为F，点3,2A，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF周长 的最小值为（ ） A4 B5 C42 2 D52 2 10若关于x的不等式 2 1cos2cos0 3 xx在R上恒成立，则实数a的最大值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 2 3 D1 11若函数 32 1yxxmx是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ） A 1 , 3 B 1 , 3 C 1 , 3 D 1 , 3 12 设 1 F、 2 F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左
4、、 右焦点，P为双曲线右支上一点， 若 12 90FPF， 2c ， 2 1 3 PF F S ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A2yx B2yx C 3 3 yx D3yx 二、填空题 13若x，y满足约束条件 240 10 220 xy xy xy ，则3zxy的最大值为_ 14 某商店为调查进店顾客的消费水平， 调整营销思路， 统计了一个月来进店的 2000 名顾客的消费金额 （单 位： 元） ， 并从中随机抽取了 100 名顾客的消费金额按0,50，50,100，100,150，150,200，200,250 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图已知a，b，c成等差数列，则该商店这一
5、个月来消费金额超 过 150 元的顾客数量约为_ 15甲船在岛B的正南处，6kmAB，甲船以每小时4km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以 每小时3km的速度向北偏东 60的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_km 16已知正方体 1111 ABCDABC D的梭长为 2，M为 1 CC的中点若AM 平面，且B平面，则 平面截正方体所得截面的周长为_ 三、解答题 （一）必考题 17如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD 平面PAB，1ADAPPB， 90APB，点E、F分别为BC、AP中点 （1）求证：/EF平面PCD； （2）求三棱锥DPEF的体积 18已知数列 n
6、 a满足 1 1a ， 1 431 nn aan ， * N nn ban n （1）证明：数列 n b为等比数列； （2）求数列 n a的前n项和 n S 19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响该公 司对近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具 有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值 x（万元） 2 4 5 3 6 y（单位：t） 25 4 45 3 6 （1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程； （2） 已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 2
7、0.051.85zyx， 根据 （1） 中的结果回答下列问题： 当年宣传费为 10 万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大 附 ： 问 归 方 程 ybxa中 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 1111 11 2 2 2 11 11 nn ii nn ii x ynxyxxyy b xnxxx ， a ybx 参考数据： 11 1 88.5 S i x y ， 2 1 1 90 S i x 20已知函数 lnf xxax， 2 g xxaR （1）求函数 f x的极值点； （2）若 f x
8、g x恒成立，求实数a的取值范围 21已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 3 2 e ， 0, 2是椭圆C上一点 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l的斜率为 1 2 ，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点2,1A 是 椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明 理由 （二）选考题 22选修 44：坐标系及参数方程 已知直线l的参数方程为 1 4 2 3 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系，曲线C的极坐标方程为2cos （1）求曲线C的直角坐标方程
9、与直线l的极坐标方程； （2）若直线 6 R与曲线C交于点A（不同于原点） ，与直线l交于点B求AB的值 23选修 45，不等式选讲 已知函数 221f xxx （1）解不等式 6f x ； （2）1,2x ，使得不等式 2 f xxa成立，求实数a的取值范围 陕西省陕西省 2020 届高三年级第三次联考文科数学参考答案届高三年级第三次联考文科数学参考答案 一、 1A（ 2 2 48242By yxxy yx，2 UB y y， ln11Ax yxx x，1,2 U AB 故应选 A ） 2A（ 51546 23 1112 iiii zi iii ，则在复平面内z所对应的点为2,3，在第一象限
10、 故应选 A ） 3B（由题得260x3x ， 4,2ab ， 2 2 422 5ab 故应选 B ） 4C（设第一张卡片上的数字为x，第二张卡片的数字为y，分别写着数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中 随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，共有5 525 种情况 当xy时，可能的情况如下表： x y 个数 1 1，2，3，4，5 5 2 2，3，4，5 4 3 3，4，5 3 4 4，5 2 5 5 1 5432 13 255 P xy 故应选 C ） 5D（原命题是特称命题，其否定是全称命题，否定结论，故只有 D 选项符合 故应选 D ） 6B（函数 2 log1,0 4 ,0
11、 x xx f x x ， 2 log 3 22 3log 3log 442911ff 故应选 D ） 7D（A 项中两直线a，b还可能相交或异面，错误； B 项中两直线a，b还可能相交或异面，错误； C 项两平面，还可能是相交平面，错误 故应选 D ） 8A（ 222 2sincos2tan24 sin22sincos sincostan125 ，解得 3 tan 4 或 4 3 , 4 4 ，tan1,1 ， 3 tan 4 故应选 A ） 9C（由抛物线为 2 4yx可得焦点坐标1,0F，准线方程为1x 由题可知求PAF周长的最小值即求PAPF的最小值 设点p在准线上的蛇影为点D则根据抛
12、物线的定义可知PFPD 因此求PAPF的最小值即求PAPD的最小值 根据平面几何知识，当P、A、D三点共线时，PAPD最小 所以 min 13 14 A PAPDx 又因为 22 3 1202 2AF ， 所以PAF周长的最小值为42 2 故应选 C ） 10B（ 22 22541 cos2cos12cos1coscoscos 33333 xaxxaxxax 2 54cos3 cosxax令costx，则 1 ,1t ，则问题转化为不等式 2 4350tat在 1,1 上恒 成立，即 350 4350 aa a ，解得 11 33 a，则实数a的最大值为 1 3 故应选 B ） 11C（ 2
13、32yxxm ，由题意 2 320xxm恒成立4 120m ， 1 3 m 故应选 C ） 12D（由题意可得 22 12 12 16 1 3 2 PFPF PF PF ， 2 12 4PFPF， 可得 12 22PFPFa，可得1a ， 22 213b ， 可得渐近线方程为3yx 故应选 D ） 二、 135（由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 目标函数3zxy，可化为直线3yxz ，当3yx z经过点A时，直线在y轴上的截距最大此 时目标函数取得最大值， 又由 10 220 xy xy ，解得3x ，4y ，即3, 4A，所以目标函数的最大值为3 3 45z ） 14600（
14、a，b，c，2bac， 又由频率分布直方图可得 1 10.0020.006500.012 50 abc ，0.001b 故消费金额超 过 150 元的频率为0.002500.3b故该商店这一个月来消费金额超过 150 元的顾客数量约为 2000 0.3600 ） 15 9 39 13 （假设经过x小时两船相距最近， 甲、 乙分别行至C，D 如图所示， 可知64BCx ，3BDx， 120CBD， 2 2222 1 2cos6492 643 2 CDBCBDBCBDCBDxxxx 2 133036xx 当 15 13 x 小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为 9 39 km 13 ） 163 2
15、2 5（显然在正方体中BD 平面 11 ACC A，所以BDAM， 取AC中点E，取AE中点O，则 1 tantanAOAAMC， 1 AOAM， 取 11 AC中点 1 E，取 11 AE中点 1 O过 1 O作 11 /PQ B D，分别交 11 AB， 11 AD于P，Q， 从而AM 平面BDQP，四边形BDQP为等腰梯形，周长为 2 2 2221 23 22 5 ） 三、 17 （1）证明：取PD中点G，连接GF，GC 在PAD中，有G，F分别为PD、AP中点， 1 / 2 GFAD， 在矩形ABCD中，E为BC中点， 1 / 2 CEAD，/GF EC， 四边形GFEC是平行四边形，
16、 /GC EF 而GC 平面PCD，EF 平面PCD， /EF平面PCD （2）AD 平面PAB 平面PAD 平面PAB，/BC平面PAD， 1ADAPPB，90APB， 2AB，APPB， 平面PAD平面PABPA， BP平面PAD， /BC平面PAD， 点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离 而 1111 1 2224 PDF SPFAD ， 1111 1 33412 D PEFB PDFPDF VVSBP ， 三棱锥DPEF的体积为 1 12 18证明： （1） nn ban， 11 1 nn ban 又 1 431 nn aan ， 11 1 nn nn ban ban 43
17、11 n n ann an 4 4 n n an an 又 11 1 1 12ba ， 数列 n b是首项为 2，公比为 4 的等比数列 （2）由（1）求解知， 1 2 4n n b ， 1 2 4n nn abnn ， * 21 12 2 1 4 12 2 1 4441 2341 1 423 nn nn n n Saaan 2 11 22 nn 19 （1）由题意 24536 4 5 x ， 2.54.5436 4 5 y ， 2 1 2 22 1 88.55 4 0.85 905 4 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 40.85 40.6aybx， 0.850.6yx
18、 （2）由（1）得 22 0.051.850.050.851.25zyxxx ， 当10x 时，0.85 100.69.1y， 2 0.05 100.85 10 1.252.25z 即当年宣传费为 10 万元时，年销售量为 9.1，年利润的预报值为 2.25 令 年 利 润 与 年 宣 传 费 的 比 值 为w， 则 1 . 2 5 0 . 0 50 . 8 50wxx x ， 1.251.25 0.050.850.050.85wxx xx 1.25 2 0.0580.850.35x x 当且仅当 1.25 0.05x x 即5x 时取最大值故该公司应该投入 5 万元宣传费，才能使得年利润与年
19、宣传费 的比值最大 20 （1） lnf xxax的定义域为0,， 1 fxa x ， 当0a时， 1 0fxa x ，所以 f x在0,上单调递增，无极值点， 当0a 时，解 1 0fxa x 得 1 0x a ，解 1 0fxa x 得 1 x a ，所以 f x在 1 0, a 上单 调递增，在 1 , a 上单调递减，所以函数 f x有极大值点 1 a ，无极小值点 （2）由条件可得 2 ln00xxaxx恒成立， 则当0x 时， ln x ax x 恒成立， 令 ln 0 x h xx x x ，则 2 2 1lnxx h x x ， 令 2 1ln0k xxx x ， 1 2kxx
20、 x ， 则当0x 时， 0kx，所以 k x在0,上为减函数 又 10k， 所以在0,1上， 0h x；在1,上， 0h x 所以 h x在0,1上为增函数；在1,上为减函数 所以 max 11h xh，所以1a 21 （1）由题意知2b， 又离心率 3 2 e ，所以 2 3 3 ac， 于是有 222 2 2 3 3 b ac abc ， 解得2 2a ，2b 所以椭圆C的方程为 22 1 82 xy ； （2）由于直线l的斜率为 1 2 可设直线l的方程为 1 2 yxt，代入椭圆 22 :48C xy，可得 22 2240xtxt 由于直线l交椭圆C于P、Q两点，所以 22 44 2
21、40tt， 整理解得22t 设点 11 ,P x y、 22 ,Q x y，由于点P与点E关于原点对称，故点 11 ,Exy，于是有 12 2xxt ， 2 12 24x xt 设直线AE与AQ的斜率分别为 AE k， AQ k，由于点 2,1A ， 则 21 21 11 22 AEAQ yy kk xx 1221 21 2121 22 xyxy xx ， 又 11 1 2 yxt， 22 1 2 yxt 于是有 122121122112 212124xyxyyyx yx yxx 2 211212121212 4424240xxx xtxtxxxx xt xxttt ， 故直线AE与AQ的斜率
22、之和为 0，即0 AEAQ kk 22 （1）2cos， 2 2 cos， 曲线C的直角坐标方程为 22 20xyx 直线l的参数方程为 1 4 2 3 2 xt yt （t为参数） 34 3xy 直线l的极坐标方程为3 cossin4 3 （2）将 6 代入曲线C的极坐标方程2cos得3， A点的极坐标为3, 6 将 6 代入直线l的极坐标方程得 31 4 3 22 ，解得4 3 B点的极坐标为4 3, 6 3 3AB 23 （1） 6f x 可化为2216xx 2 336 x x 或 12 56 x x 或 1 336 x x ， 分别解得23x或12x 或无解 所以不等式的解集为1,3 （2）由题意： 22 5f xxaaxx ，1,2x 设 2 5g xxx ，要想1,2x ， 2 f xxa成立，只需 maxag x， 2 119 24 g xx ， g x 在1,2上单调递增， max 27g xg， 7a ，a的取值范围为,7
