1、陕西省西安市曲江一中陕西省西安市曲江一中 2020 年年中考中考数学一模试题数学一模试题 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的绝对值是（ ） A2020 B2020 C D 2如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（ ） A B C D 3下列计算正确的是（ ） A （x8y） （xy）x2+8y2 B （a1）2a21 Cx（x2+x1）x3+x2x D （6xy+18x）x6y+18 4若正比例函数 ymx（m 是常数，m0）的图象经过点 A（m，4） ，且 y 的值随 x 值的增 大而减小，则 m 等于（ ） A2 B2 C4 D4 5如图，将三角板
2、的直角顶点放在直尺的一边上若165，则2 的度数为（ ） A15 B35 C25 D40 6在平面直角坐标系中，将直线 y3x 的图象向左平移 m 个单位，使其与直线 yx+6 的交点在第二象限，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm6 Dm6 7如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，ABAC5，AD3，BCCD则点 C 到 AB 的距离是（ ） A B C3 D2 8如图，矩形 ABCD 中，AB，BC3，AEBD 于 E，则 EC（ ） A B C D 9如图，ABC 内接于O，AC5，BC12，且A90+B，则点 O 到 AB 的距离 为（ ） A B C D4 1
3、0 二次函数 yx2+bx+c 的图象经过坐标原点 O 和点 A （7， 0） ， 直线 AB 交 y 轴于点 B （0， 7） ，动点 C（x，y）在直线 AB 上，且 1x7，过点 C 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D， 则 CD 的最值情况是（ ） A有最小值 9 B有最大值 9 C有最小值 8 D有最大值 8 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11将实数 0，2.7，1.4，0.14 用“”号连接起来应为 12任意五边形的内角和与外角和的差为 度 13如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的负半轴上，反比例函数 y （x0）的图象经过对角线 OB 的
4、中点 D 和顶点 C若菱形 OABC 的面积为 6，则 k 的值等于 14如图，线段 BC 和动点 A 构成ABC，BAC120，BC3，则ABC 周长的最大 值 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 15计算： 16先化简，再求值： （x+1）（2+） ，其中 x 17如右图，已知点 P 是线段 MN 外一点，请利用直尺和圆规画一点 Q，使得点 Q 到 M、 N 两点的距离相等，且点 Q 与点 M、P 在同一条直线上 （保留作图痕迹） 18如图，ABCF，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DEEF求证：ADECFE 19某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了
5、解学生对垃圾分 类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将 他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统 计表和条形统计图 等级 频数 频率 优秀 20 40% 良好 合格 10 m% 不合格 5 n% 请根据以上信息，解答下列问题：优秀良 （1）本次调查随机抽取了 名学生；表中 m ，n ； （2）补全条形统计图； （3）若全校有 2000 名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好” 等级的学生共有多少人 20图 1 是一种淋浴喷头，图 2 是图 1 的示意图，若用支架把喷头固定在点 A 处，手柄长 AB25c
6、m，AB 与墙壁 DD的夹角DAB37，喷出的水流 BC 与 AB 形成的夹角 ABC72，现在住户要求：当人站在 E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C 处，且 使 DE50cm，CE130cm问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin720.95，cos72 0.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82，tan350.70） 21甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图的折线 OPQ 和线段 EF，分别表示甲、乙两人与 A 地的距离 y甲、y乙与
7、他们所行时间 x（h）之间的函 数关系 （1）求线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式并注明自变量 x 的取值范围； （2）求 y乙与 x 的函数关系式以及乙到达 A 地所用的时间； （3）经过 小时，甲、乙两人相距 2km 22为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有： 我爱你，中国 ， 歌唱祖国 ， 我和我的祖国 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲） 比赛时，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八 （1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取 一张卡片，进行歌咏比赛 （1
8、）八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽 中不同歌曲的概率 23已知在 RtABC 中，C90；以斜边 AB 上的一点 O 为圆心作圆 O，与 AC、BC 分 别相切与点 D、E （1）求证：CDCE； （2）若 AC8，AB10；求 AD 的长 24已知二次函数 L 与 y 轴交于点 C（0，3） ，且过点（1，0） ， （3，0） （1）求二次函数 L 的解析式及顶点 H 的坐标 （2）已知 x 轴上的某点 M（t，0） ；若抛物线 L 关于点 M 对称的新抛物线为 L，且点 C、H 的对应点分别为 C，
9、H；试说明四边形 CHCH为平行四边形 （3） 若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时， 称这种平行四边形为 “和谐四边形” ； 在（2）的条件下，当平行四边形 CHCH为“和谐四边形”时，求 t 的值 25问题提出： （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD3，BADBCD90， ADC60，则四边形 ABCD 的面积为 ； 问题探究： （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，BADBCD90，ABC135，AB2， BC3，在 AD、CD 上分别找一点 E、F，使得BEF 的周长最小，并求出BEF 的最小 周长； 问题解决： （3） 如图 3， 在四边形 ABCD 中，
10、 ABBC2， CD10， ABC150， BCD90， 则在四边形 ABCD 中（包含其边沿）是否存在一点 E，使得AEC30，且使四边形 ABCE 的面积最大若存在，找出点 E 的位置，并求出四边形 ABCE 的最大面积；若不 存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 12020 的绝对值是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】根据绝对值的定义直接进行计算 【解答】解：根据绝对值的概念可知：|2020|2020， 故选：B 2如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（ ） A B C D 【分析】由平面图形的
11、折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【解答】解：由原正方体的特征可知，含有 4，6，8 的数字的三个面一定相交于一点， 而选项 B、C、D 中，经过折叠后与含有 4，6，8 的数字的三个面一定相交于一点不符 故选：A 3下列计算正确的是（ ） A （x8y） （xy）x2+8y2 B （a1）2a21 Cx（x2+x1）x3+x2x D （6xy+18x）x6y+18 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决 【解答】解：（x8y） （xy）x29xy+8y2，故选项 A 错误； （a1）2a22a+1，故选项 B 错误； x（x2+x1）x3x2+x，故选项 C 错误
12、； （6xy+18x）x6y+18，故选项 D 正确； 故选：D 4若正比例函数 ymx（m 是常数，m0）的图象经过点 A（m，4） ，且 y 的值随 x 值的增 大而减小，则 m 等于（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】利用待定系数法求出 m，再结合函数的性质即可解决问题 【解答】解：ymx（m 是常数，m0）的图象经过点 A（m，4） ， m24， m2， y 的值随 x 值的增大而减小， m0， m2， 故选：B 5如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上若165，则2 的度数为（ ） A15 B35 C25 D40 【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由余角的定义即可得出
13、结论 【解答】解：直尺的两边互相平行，165， 365， 2906525 故选：C 6在平面直角坐标系中，将直线 y3x 的图象向左平移 m 个单位，使其与直线 yx+6 的交点在第二象限，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm6 Dm6 【分析】 将直线 y3x 的图象向左平移 m 个单位可得： y3 （x+m） ， 求出直线 y3 （x+m） ， 与直线 yx+6 的交点，再由此点在第二象限可得出 m 的取值范围 【解答】解：将直线 y3x 的图象向左平移 m 个单位可得：y3（x+m） ， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为（，） ， 交点在第二象限， ， 解得：m
14、2 故选：A 7如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，ABAC5，AD3，BCCD则点 C 到 AB 的距离是（ ） A B C3 D2 【分析】在 AB 上截取 AEAD3，连接 CE，过 C 作 CFAB 于 F 点，根据 SAS 定理 得出ADCAEC，故可得出 CECD，再由垂直平分线的性质求出 AF 的长，根据勾 股定理即可得出结论 【解答】解：在 AB 上截取 AEAD3，连接 CE，过 C 作 CFAB 于 F 点 AC 平分BAD， BACDAC 在ADC 与AEC 中， ， ADCAEC（SAS） ， CECD CDCB， CECB CFBE， CF 垂直平分 B
15、E AB5， BE2， EF1， AF4， 在 RtACF 中， CF2AC2AF252429， CF3 故选：C 8如图，矩形 ABCD 中，AB，BC3，AEBD 于 E，则 EC（ ） A B C D 【分析】作 EFBC 于 F，构造 RtCFE 中和 RtBEF，由已知条件 AB，BC3， 可求得ADB30，所以 RtCFE 和 RtBEF 都可解，从而求出 BE，BF 的长，再求 出 CF 的长，在 RtCFE 中利用勾股定理可求出 EC 的长 【解答】解：作 EFBC 于 F， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC3，ABCD，BAD90 tanADB， ADB30， ABE60
16、， 在 RtABE 中 cosABE， BE， 在 RtBEF 中，cosFBE， BF， EF， CF3， 在 RtCFE 中，CE 故选：D 9如图，ABC 内接于O，AC5，BC12，且A90+B，则点 O 到 AB 的距离 为（ ） A B C D4 【分析】作直径 CD，连 BD，过 O 作 OMAB 于 M，过 B 作 BNCD 于 N，如图，利 用圆周角定理得到CBD90，再证明 CDAB 得到BDCABC，所以 BDAC 5然后利用勾股定理计算出 CD，再利用面积法求出 BN 即可 【解答】解：作直径 CD，连 BD，过 O 作 OMAB 于 M，过 B 作 BNCD 于 N，
17、如图， 则CBD90， A90+ABC， AABD， ABD+DA+D180， CDAB， BCDABC， ， BDAC5 OMBN， 在 RtABD 中，CD13， BNCDBCBD， BN， OM， 即点 O 到 AB 的距离为 故选：B 10 二次函数 yx2+bx+c 的图象经过坐标原点 O 和点 A （7， 0） ， 直线 AB 交 y 轴于点 B （0， 7） ，动点 C（x，y）在直线 AB 上，且 1x7，过点 C 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D， 则 CD 的最值情况是（ ） A有最小值 9 B有最大值 9 C有最小值 8 D有最大值 8 【分析】根据待定系数法求得抛物线的
18、解析式好我在想 AB 的解析式，设 C（x，x7） ， 则 D（x，x27x） ，根据图象的位置即可得出 CD（x4）2+9，根据二次函数的性质 即可求得 【解答】解：二次函数 yx2+bx+c 的图象经过坐标原点 O 和点 A（7，0） ， ，解得， 二次函数为 yx27x， A（7，0） ，B（0，7） ， 直线 AB 为：yx7， 设 C（x，x7） ，则 D（x，x27x） ， CDx7（x27x）x2+8x7（x4）2+9， 1x7 范围内，有最大值 9， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11将实数 0，2.7，1.4，0.14 用“”号连接起来应为 1.400
19、.14 2.7 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值 大的反而小，据此判断即可 【解答】解：将实数 0，2.7，1.4，0.14 用“”号连接起来应为1.4 00.142.7 故答案为：1.400.142.7 12任意五边形的内角和与外角和的差为 180 度 【分析】利用多边形的内角和公式求出五边形的内角和，再结合其外角和为 360 度，即 可解决问题 【解答】解：任意五边形的内角和是 180（52）540 度； 任意五边形的外角和都是 360 度； 所以任意五边形的内角和与外角和的差为 540360180 度 故答案为：180 13如图，在平面直
20、角坐标系中，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的负半轴上，反比例函数 y （x0）的图象经过对角线 OB 的中点 D 和顶点 C若菱形 OABC 的面积为 6，则 k 的值等于 2 【分析】根据题意，可以设出点 C 和点 A 的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的 性质即可求得 k 的值，本题得以解决 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，0） ，点 C 的坐标为（c，） ， 则a6，点 D 的坐标为（，） ， ， 解得，k2， 故答案为2 14如图，线段 BC 和动点 A 构成ABC，BAC120，BC3，则ABC 周长的最大 值 3+2 【分析】延长 BA 到 D，使 ADAC，连接
21、CD，作BCD 的外接圆O，当 BD 的长度 最大时，ABC 周长最大，而 BD 为O 的直径时，BD 最大设O 的半径为 r，连接 OB，OC，过点 O 作 OEBC 于点 E，根据垂径定理得出 BE 的长，再用正弦函数得出 OB 的长度，则 BD 的最大值可得，从而ABC 周长的最大值可得 【解答】解：延长 BA 到 D，使 ADAC，连接 CD，作BCD 的外接圆O， ADAC， ABC 的周长为：AB+BC+ACAB+BC+ADBD+BC BC3， 当 BD 的长度最大时，ABC 周长最大， 当点 A 与点 O 重合时，BD 为O 的直径，BD 最大 设O 的半径为 r，连接 OB，O
22、C，过点 O 作 OEBC 于点 E， BAC120， BOEAOB60 BC3，OEBC， BE， sin60， ， r， BD 的最大值为 2r2 ABC 周长的最大值为 3+2 故答案为：3+2 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 15计算： 【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值 【解答】解：原式11+3+4+3 11+3+4+ 7+ 16先化简，再求值： （x+1）（2+） ，其中 x 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式 子即可解答本题 【解答】解： （x+1）（2+
23、） （x+1） （x+1） ， 当 x时，原式 17如右图，已知点 P 是线段 MN 外一点，请利用直尺和圆规画一点 Q，使得点 Q 到 M、 N 两点的距离相等，且点 Q 与点 M、P 在同一条直线上 （保留作图痕迹） 【分析】作线段 MN 的垂直平分线与射线 PM 的交点即为所求作的点 【解答】解：作 MN 的垂直平分线 l， 连接并延长 PM 交 l 于点 Q 点 Q 即为所求作的点 18如图，ABCF，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DEEF求证：ADECFE 【分析】首先根据 ABCF 可得ADEF，再加上对顶角AEDCEF，和条件 DEEF 可利用 ASA 证明ADECFE 【
24、解答】解：ABCF， ADEF， 在ADE 和CFE 中， ， ADECFE（ASA） 19某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分 类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将 他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统 计表和条形统计图 等级 频数 频率 优秀 20 40% 良好 合格 10 m% 不合格 5 n% 请根据以上信息，解答下列问题：优秀良 （1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中 m 20 ，n 10 ； （2）补全条形统计图； （3）若全校有 2000 名学生，请你估计
25、该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好” 等级的学生共有多少人 【分析】 （1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数； （2）根据题意补全条形统计图即可得到结果； （3）全校 2000 名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论 【解答】 解： （1）本次调查随机抽取了 2040%50 名学生，20%，10%， m20，n10， 故答案为：50，20，10； （2）补全条形统计图如图所示； （3）20001400 人， 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 1400 人 20图 1 是一种淋浴喷头，图 2 是图 1 的示意图，若用支架
26、把喷头固定在点 A 处，手柄长 AB25cm，AB 与墙壁 DD的夹角DAB37，喷出的水流 BC 与 AB 形成的夹角 ABC72，现在住户要求：当人站在 E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的 C 处，且 使 DE50cm，CE130cm问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin720.95，cos72 0.31，tan723.08，sin350.57，cos350.82，tan350.70） 【分析】过 B 作 BGDD 于点 G，延长 EC、GB 交于点 F，根据锐角三角函数的定义 即可求出答案 【解答】解：
27、过点 B 作 BGDD 于点 G，延长 EC、GB 交于点 F， AB25，DE50， sin37，cos37， GB250.6015，GA250.8020， BF501535， ABC72，DAB37， GBA53， CBF55， BCF35， tan35， CF50， FE50+130180， GDFE180， AD18020160， 安装师傅应将支架固定在离地面 160cm 的位置 21甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图的折线 OPQ 和线段 EF，分别表示甲、乙两人与 A 地的距离 y甲、y乙与他们所行时间 x（h）之间的函 数关系 （1）
28、求线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式并注明自变量 x 的取值范围； （2）求 y乙与 x 的函数关系式以及乙到达 A 地所用的时间； （3）经过 或 小时，甲、乙两人相距 2km 【分析】 （1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法可以求得线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式； （2）利用待定系数法可以求得 y乙与 x 的函数关系式以及乙到达 A 地所用的时间； （3）根据（1）和（2）中的函数解析式，可以求得经过多少小时，甲、乙两人相距 2km 【解答】解： （1）设线段 OP 对应的 y甲与 x 的函数关系式为 y甲kx（k0） ， 12k，得 k18， 即线段 OP 对
29、应的 y甲与 x 的函数关系式为 y甲18x（0x） ； （2）设 y乙与 x 的函数关系式为 y乙ax+b， ，解得， 即 y乙与 x 的函数关系式为 y乙4.5x+12， 当 y乙0 时，4.5x+120，解得 x， 乙到达 A 地所用的时间小时； （3）|（4.5x+12）18x|2， 4.5x+1218x2 或 18x（4.5x+12）2， 解得，x或 x， 经过或小时，甲、乙两人相距 2km 故答案为：或 22为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有： 我爱你，中国 ， 歌唱祖国 ， 我和我的祖国 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲） 比赛时，将 A，B，C 这
30、三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八 （1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取 一张卡片，进行歌咏比赛 （1）八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽 中不同歌曲的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算 可得 【解答】解： （1）因为有 A，B，C3 种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是； 故答案为 （2）树状图如图所示：
31、 共有 9 种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 23已知在 RtABC 中，C90；以斜边 AB 上的一点 O 为圆心作圆 O，与 AC、BC 分 别相切与点 D、E （1）求证：CDCE； （2）若 AC8，AB10；求 AD 的长 【分析】 （1）连接 OD、OE，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形 OECD 为 正方形，根据正方形的性质证明结论； （2） 根据勾股定理求出 BC， 证明AODABC， 根据相似三角形的性质列出比例式， 计算即可 【解答】 （1）证明：连接 OD、OE， AC、BC 都与圆 O 相切， OEBC，ODAC，又C90， 四边形 OECD
32、为矩形， ODOE， 四边形 OECD 为正方形， CDCE； （2）解：设圆 O 的半径为 r， 在 RtABC 中，BC6， ODAC，C90，AA， AODABC， ，即， 解得，r， ADACCD8 24已知二次函数 L 与 y 轴交于点 C（0，3） ，且过点（1，0） ， （3，0） （1）求二次函数 L 的解析式及顶点 H 的坐标 （2）已知 x 轴上的某点 M（t，0） ；若抛物线 L 关于点 M 对称的新抛物线为 L，且点 C、H 的对应点分别为 C，H；试说明四边形 CHCH为平行四边形 （3） 若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时， 称这种平行四边形为 “和谐四边形”
33、 ； 在（2）的条件下，当平行四边形 CHCH为“和谐四边形”时，求 t 的值 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式，由配方法可求顶点坐标； （2）由中心对称的性质可得 CMCM，HMHM，可得结论； （3）分四种情况讨论，由两点距离公式和一次函数的性质可求解 【解答】解： （1）设二次函数 L 的解析式为：yax2+bx+c（a0） 由题意可得： 解得： 二次函数 L 的解析式为：yx24x+3， yx24x+3（x2）21， 顶点 H 的坐标（2，1） （2）若抛物线 L 关于点 M 对称的新抛物线为 L，且点 C、H 的对应点分别为 C， H； CMCM，HMHM， 四边形 CHCH
34、为平行四边形； （3）点 C（0，3） ，点 H（2，1） 直线 CH 解析式为：y2x+3； 若 CCCH 时，则 CC解析式为：yx+3， 当 y0 时，0t+3， t6； 若 HHCH 时，则 HH解析式为：yx2， 当 y0 时，0t2， t4 若抛物线 L 关于点 M 对称的新抛物线为 L，且点 C、H 的对应点分别为 C，H； 点 C（2t，3） ，点 H（2t2，1） 若 CHHH，则 HC2+HH2CH2， （2t20）2+（31）2+（2t22）2+（1+1）2（02）2+（3+1）2， t 若 CCCH，则 HC2+CC2CH2， （2t20）2+（31）2+（2t0）2+
35、（3+3）2（02）2+（3+1）2， 0，方程无解； 综上所述：t或 4 或6 25问题提出： （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD3，BADBCD90， ADC60，则四边形 ABCD 的面积为 3 ； 问题探究： （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，BADBCD90，ABC135，AB2， BC3，在 AD、CD 上分别找一点 E、F，使得BEF 的周长最小，并求出BEF 的最小 周长； 问题解决： （3） 如图 3， 在四边形 ABCD 中， ABBC2， CD10， ABC150， BCD90， 则在四边形 ABCD 中（包含其边沿）是否存在一点 E，使得A
36、EC30，且使四边形 ABCE 的面积最大若存在，找出点 E 的位置，并求出四边形 ABCE 的最大面积；若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意可证ABDCBD，可得ADBCDB30，可求 ABBC ，即可求四边形 ABCD 的面积； （2） 由轴对称的性质可得 BEEM， ABAM2， BFFN， BCCN3， 可得BEF 的周长BE+BF+EFNF+EF+EMMN，由勾股定理可求 MN 的长，即可得BEF 的最 小周长； （3）由圆的内接四边形性质可得AEC30，由矩形的性质可得 BCMN2，BN CM，CBN90，由勾股定理可得 CE4+2AE，由当点 E 在 AC 的垂直平分线
37、 上时，S四边形ABCE最大，即可求四边形 ABCE 的最大面积 【解答】解： （1）ABBC，ADCD3，BADBCD90 ABDCBD（SAS） ADBCDB，且ADC60 ADBCDB30，且BADBCD90 ABBC 四边形 ABCD 的面积233 故答案为：3 （2）如图，作点 B 关于 AD 的对称点 M，作点 B 关于 CD 的对称点 N，连接 MN，交 AD 于点 E，交 CD 于点 F，过点 M 作 MGBC，交 CB 的延长线于点 G， 点 B，点 M 关于 AD 对称 BEEM，ABAM2， BM4 点 B，点 N 关于 CD 对称 BFFN，BCCN3 BEF 的周长B
38、E+BF+EFNF+EF+EMMN ABC135， GBM45，且 GMBG， GBMGMB45 BGGM，且 BG2+GM2BM2， BG4GM， GNBG+BC+CN4+3+310， 在 RtGMN 中，MN2 BEF 的最小周长为 2 （3）作ABC 的外接圆，交 CD 于点 E，连接 AC，AE，过点 A 作 AMCD 于点 M，作 BNAM 于点 N， 四边形 ABCE 是圆内接四边形 ABC+AEC180 AEC30， BNAM，AMCD，BCD90， 四边形 BCMN 是矩形 BCMN2，BNCM，CBN90， ABC150， ABN60，且 BNAM BAN30， BNAB1，ANBN AM+2，CM1 AEC30，AMCE， AE2AM2+4，MEAM3+2 CECM+ME4+2AE 点 E 在 AC 垂直平分线上， S四边形ABCESABC+SACE，且 SABC是定值，AC 长度是定值，点 E 在ABC 的外接 圆上， 当点 E 在 AC 的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大 S四边形ABCES四边形ABCM+SAME1+8+4
