1、2020 年上海市宝山区高考数学二模试卷年上海市宝山区高考数学二模试卷 一、填空题（共 12 小题） 1已知复数 z 满足 z（1+i2020）24i（其中，i 为虚数单位），则 z 2函数 yarcsin（x+1）的定义域是 3计算行列式的值，| | 4已知双曲线 ： ， 的实轴与虚轴长度相等，则 ： ， 的渐近线方程是 5已知无穷数 ， ，则数列an的各项和为 6一个圆锥的表面积为 ，母线长为 ，则其底面半径为 7某种微生物的日增长率 r，经过 n 天后其数量由 p0变化为 p，并且满足方程 ， 实验检测，这种微生物经过一周数量由 2.58 个单位增长到 14.86 个单位，则增长率 r
2、（精确到 1%） 8已知 的展开式的常数项为第 6 项，则常数项为 9某医院 ICU 从 3 名男医生和 2 名女医生中任选 2 位赴武汉抗疫，则选出的 2 位医生中至 少有 1 位女医生的概率是 10已知方程 x2+tx+10（t R）的两个虚根是 x1，x2，若 ，则 t 11已知 O 是坐标原点，点 A（1，1）若点 M（x，y）为平面区域 上的一个 动点，则 的取值范围是 12已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最小 值为 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13抛物线 y4x2的准线方程是（ ） Ax2 Bx1 Cy Dy 14若函数 f（x）si
3、nx+acosx 的图象关于直线 对称，则 a 的值为（ ） A1 B1 C D 15用数学归纳法证明1+35+（1） n（2n1）（1）nn，n N*成立那么， “当 n1 时，命题成立”是“对 n N*“时，命题成立”的（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 16已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x1，x2都有 ，则函数 （ ） A是偶函数，且在（0，+）上单调递减 B是偶函数，且在（0，+）上单调递增 C是奇函数，且单调递减 D是奇函数，且单调递增 三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分） 17如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1
4、中，ACB90，AB2AC2，D 是 AB 的中点 （1）若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 ，求三棱柱 ABCA1B1C1的高； （2）若 C1C2，求二面角 DB1C1A1的大小 18已知函数 f（x） ， ， ， ， ，它们的最小 正周期为 （1）若 yf（x）是奇函数，求 f（x）和 g（x）在0，上的公共递减区间 D； （2）若 h（x）f（x）+g（x）的一个零点为 x ，求 h（x）的最大值 19据相关数据统计，2019 年底全国已开通 5G 基站 13 万个，部分省市的政府工作报告将 “推进 5G 通信网络建设”列入 2020 年的重点工作，今年一月份全国共建基站 3 万个
5、（1）如果从 2 月份起，以后的每个月比上一个月多建设 2000 个，那么，今年底全国共 有基站多少万个（精确到 0.1 万个）； （2）如果计划今年新建基站 60 万个，到 2022 年底全国至少需要 800 万个，并且，今后 新建的数量每年比上一年以等比递增，问 2021 年和 2022 年至少各建多少万个才能完成 计划？（精确到 1 万个） 20已知直线 l：ykx+m 和椭圆 ： 相交于点 A（x1，y1），B（x2，y2） （1）当直线 l 过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线 l 的方程 （2）点 ， 在上，若 m0，求ABC 面积的最大值； （3）如果原点 O 到直线 l 的距离是
6、，证明：AOB 为直角三角形 21定义：an是无穷数列，若存在正整数 k 使得对任意 n N*，均有 an+kan（an+kan） 则称an是近似递增（减）数列，其中 k 叫近似递增（减）数列an的间隔数 （1）若 ，an是不是近似递增数列，并说明理由； （2）已知数列an的通项公式为 ，其前 n 项的和为 Sn，若 2 是近似递 增数列Sn的间隔数，求 a 的取值范围； （3）已知 ，证明an是近似递减数列，并且 4 是它的最小间隔数 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1已知复数 z 满足 z（1+i2020）24
7、i（其中，i 为虚数单位），则 z 12i 【分析】由 i 得乘方运算得：i20201，进而直接求出 z 解：i20201，1+i20202， 则由 z（1+i2020）24i 得 2z24i，即 z12i， 故答案是 12i 2函数 yarcsin（x+1）的定义域是 2，0 【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足1x+11，解出 x 的范围即可 解：要使 yarcsin（x+1）有意义，则1x+11， 解得2x0， 该函数的定义域为2，0 故答案为：2，0 3计算行列式的值，| | 2 【分析】根据| | ，计算| |即可 解：| | 03122 故答案为：2 4已知双曲线 ： ，
8、的实轴与虚轴长度相等，则 ： ， 的渐近线方程是 yx 【分析】利用已知条件求出 ab，然后求解渐近线方程即可 解：双曲线 ： ， 的实轴与虚轴长度相等，可得 ab， 则 ： ， 的渐近线方程是：yx 故答案为：yx 5已知无穷数 ， ，则数列an的各项和为 【分析】求出 a1和 d，由此可求出无穷等比数列各项的和 解：an2（ ） n，首项为 ，公比为 ， 数列an的各项和为 S ， 故答案为： 6一个圆锥的表面积为 ，母线长为 ，则其底面半径为 【分析】利用圆锥的表面积计算公式即可得出 解：如图所示，设底面半径为 r， 则 r2+r ， 解得 r ， 故答案为： 7某种微生物的日增长率 r
9、，经过 n 天后其数量由 p0变化为 p，并且满足方程 ， 实验检测， 这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位， 则增长率r 25% （精确到 1%） 【分析】由题意知，p02.58，p14.86，n7，代入 ，求解得答案 解：由题意知，p02.58，p14.86，n7， 代入 ，得 14.862.58 e7r， 5.76，则 7rln5.76，得 r 0.25 则增长率 r25% 故答案为：25% 8已知 的展开式的常数项为第 6 项，则常数项为 【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项 解：已知 的展开式的通项公式为 Tr+1 xn2r，令 n2
10、r0，求得 n2r 常数项为第 6 项，故有 r5，n2r10，则常数项为 ， 故答案为： 9某医院 ICU 从 3 名男医生和 2 名女医生中任选 2 位赴武汉抗疫，则选出的 2 位医生中至 少有 1 位女医生的概率是 【分析】基本事件总数 n 10，选出的 2 位医生中至少有 1 位女医生包含的基本事 件个数 m C 7，由此能求出选出的 2 位医生中至少有 1 位女医生的概率 解：某医院 ICU 从 3 名男医生和 2 名女医生中任选 2 位赴武汉抗疫， 基本事件总数 n 10， 选出的 2 位医生中至少有 1 位女医生包含的基本事件个数 m C 7， 则选出的 2 位医生中至少有 1
11、位女医生的概率是 p 故答案为： 10 已知方程 x2+tx+10 （t R） 的两个虚根是 x1， x2， 若 ， 则 t 2 【分析】根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，并且满足韦达定理，可直接表示 出 ，解方程求出 t 的值 解：由已知，设两个虚根为 x1，x2，则 x1+x2t，x1x21， ， 解得 经检验，t 符合题意 故答案为： 11已知 O 是坐标原点，点 A（1，1）若点 M（x，y）为平面区域 上的一个 动点，则 的取值范围是 0，2 【分析】先画出满足约束条件 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入 分析比较后，即可得到 的取值范围 解：满足约束条件 的平面区域如
12、下图所示： 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x1，y1 时， 11+110 当 x1，y2 时， 11+121 当 x0，y2 时， 10+122 故 和取值范围为0，2 故答案为：0，2 12已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最小 值为 4 【分析】 根据条件可设 ， ， ， ， ， ， 根据 ， 即可得出 ， ， ， ，然后根据 即可得出（nq） 212，从而 可求出 nq3，这样即可求出 的最小值 解： ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且 ， 4+（nq）216， （nq）212，（n+q）2（nq）2+4nq12+4n
13、q0，解得 nq3， ， 的最小值为4 故答案为：4 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13抛物线 y4x2的准线方程是（ ） Ax2 Bx1 Cy Dy 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程 解：由题意，抛物线的标准方程为 x2 y， p ，开口朝上， 准线方程为 y ； 故选：D 14若函数 f（x）sinx+acosx 的图象关于直线 对称，则 a 的值为（ ） A1 B1 C D 【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出 的值，利用正切函数 的性质进行转化求解即可 解：f（x）sinx+acosx （sinx cosx
14、）， 设 cos ，sin ，则 tana， 即 f（x） sin（x+）， f（x）的图象关于直线 对称， k ，k Z， 则 k ，k Z， atantan（k ）tan 1， 故选：A 15用数学归纳法证明1+35+（1） n（2n1）（1）nn，n N*成立那么， “当 n1 时，命题成立”是“对 n N*“时，命题成立”的（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】“当 n1 时，命题成立”是“对 n N*“时，命题成立”的归纳的基础，没有 它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对 n N*“时的命题成立反之成立 解：用数学归纳法证明1+35+（1）n（
15、2n1）（1）nn，n N*成立 那么，“当 n1 时，命题成立”是“对 n N*“时，命题成立”的归纳的基础，没有它 成立无法递推， 但是只有它成立，不能得出对 n N*“时的命题成立 由“对 n N*“时，命题成立”，显然包括 n1 成立 “当 n1 时，命题成立”是“对 n N*“时，命题成立”的必要不充分条件 故选：B 16已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 x1，x2都有 ，则函数 （ ） A是偶函数，且在（0，+）上单调递减 B是偶函数，且在（0，+）上单调递增 C是奇函数，且单调递减 D是奇函数，且单调递增 【分析】根据题意即可得出 在（0，+）上单调
16、递减，并可得出 g（x）是偶函数， 从而得出正确的选项 解：对任意两个不相等的正数 x1，x2都有 ， 函数 在（0，+）上单调递减， 又 f（x）是 R 上的奇函数， ， g（x）g（x）， g（x）是偶函数，且在（0，+）上单调递减 故选：A 三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分） 17如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，AB2AC2，D 是 AB 的中点 （1）若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 ，求三棱柱 ABCA1B1C1的高； （2）若 C1C2，求二面角 DB1C1A1的大小 【分析】（1）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高； （2）以 C 为坐标
17、原点，分别以 CA，CB，CC1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，分别求出平面 C1B1D 的法向量与平面 A1B1C1 的法向量，再由两法向量所成角的余 弦值求解二面角 DB1C1A1的大小 解：（1）由ACB90，AB2AC2，得 BC ， 由三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 ， 得 ， 解得 CC16 三棱柱 ABCA1B1C1的高为 6； （2）以 C 为坐标原点，分别以 CA，CB，CC1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系， 则 D（ ， ，0），B1（0， ，2），C1（0，0，2） ， ， ， ， ， 设平面 C1B1D 的法向量为 ， ， ， 由
18、 ，取 z1，得 ， ， 平面 A1B1C1 的法向量 ， ， 记二面角 DB1C1A1的大小为 ，则 cos 二面角 DB1C1A1的大小为 arccos 18已知函数 f（x） ， ， ， ， ，它们的最小 正周期为 （1）若 yf（x）是奇函数，求 f（x）和 g（x）在0，上的公共递减区间 D； （2）若 h（x）f（x）+g（x）的一个零点为 x ，求 h（x）的最大值 【分析】 （1）依题意，可得 2，0，进而得出函数 f（x）及函数 g（x）的解析式， 由此分别求出它们在0，上的单调递减区间，再取交集即可； （2） ，把点 ， 代入化简可得 ， 结合题意可得 ，进而求得 h（x）
19、的最大值 解：（1）由 ，得 2， 又 yf（x）是奇函数，故 0， 在0，上， 的递减区间是 ， ， 的递减区间 是 ， ， ， ； （ 2 ） ， 把 点 ， 代 入 得 ，即 ， ， ，得 ， ， 19据相关数据统计，2019 年底全国已开通 5G 基站 13 万个，部分省市的政府工作报告将 “推进 5G 通信网络建设”列入 2020 年的重点工作，今年一月份全国共建基站 3 万个 （1）如果从 2 月份起，以后的每个月比上一个月多建设 2000 个，那么，今年底全国共 有基站多少万个（精确到 0.1 万个）； （2）如果计划今年新建基站 60 万个，到 2022 年底全国至少需要 80
20、0 万个，并且，今后 新建的数量每年比上一年以等比递增，问 2021 年和 2022 年至少各建多少万个才能完成 计划？（精确到 1 万个） 【分析】（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为 0.2 万，首项为 3 万个， 取出 S12，加上 13 得答案； （2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，由题意列式求得 q，然后求解第二项与第 三项得答案 解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为 0.2 万，首项为 3 万个 则计划 2020 年新建基站数为 故 2020 年全国共有基站 13+49.262.2 万个； （2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为 q（q
21、0） 由 60+60q+60q280013，得 解得：q3（q0） 2021 年至少建 603180 万个，2022 年至少建 609540 万个才能完成计划 20已知直线 l：ykx+m 和椭圆 ： 相交于点 A（x1，y1），B（x2，y2） （1）当直线 l 过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线 l 的方程 （2）点 ， 在上，若 m0，求ABC 面积的最大值； （3）如果原点 O 到直线 l 的距离是 ，证明：AOB 为直角三角形 【分析】（1）求得椭圆的 a，b，c，可得左焦点和上顶点的坐标，由截距式方程可得所 求直线方程； （2）可得直线 ykx，联立椭圆方程可得 A，B 的长，由点到
22、直线的距离公式可得 C 到 AB 的距离，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值； （3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，结合向量垂直的 条件：数量积为 0，计算可得证明 解：（1）椭圆 ： 的 a2，bc ， 可得椭圆的左焦点（ ，0）和上顶点（0， ）， 则直线 l 的方程为 1，即为 yx ； （2） 由 m0 可得直线 l 的方程为 ykx， 联立椭圆方程 x2+2y24， 可得 x2 ， y 2 ， 则|AB|2 ，C 到 AB 的距离为 d ， 则ABC 面积为 2 2 ， 显然 k0 时，上式取得最大值，由 1， 当且仅当 k 时，上式取得最大值
23、1，则三角形 ABC 的面积的最大值为 2 ； （3）证明：联立 可得（1+2k 2）x2+4kmx+2m240， 由 A（x1，y1），B（x2，y2）可得 x1+x2 ，x 1x2 ， 由原点 O 到直线 l 的距离是 ， 可得 ，即为 3m24+4k2， 则 x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m） （1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 （1+k2） km （ ） +m 2 （2k2m2+2m244k24k2m2+m2+2k2m2） （3m 244k2）0， 可得 ， 则AOB 为直角三角形 21定义：an是无穷数列，若存在正整数 k 使得对任意 n 一、选择题
24、*，均有 an+kan（an+k an）则称an是近似递增（减）数列，其中 k 叫近似递增（减）数列a n的间隔数 （1）若 ，an是不是近似递增数列，并说明理由； （2）已知数列an的通项公式为 ，其前 n 项的和为 Sn，若 2 是近似递 增数列Sn的间隔数，求 a 的取值范围； （3）已知 ，证明an是近似递减数列，并且 4 是它的最小间隔数 【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列 （2）利用数列的 和 ， 进一步确定 a 的范围 （3）利用由 an+kan得： ，即 k2sin（n+k）sinn， 进一步利用赋值法的应用求出结果 解：（1）数列an是近似递增数列， 由
25、于 n+（1）n32（1）n0， 或 ， 即 an+3an，或 an+2an 所以：数列an是近似递增数列， （2）由题意得： ， 或 ， 即 恒成立 令 ，则 ， 即 a 的取值范围是（ ， ） （3）由 an+kan 得： ， 即 k2sin（n+k）sinn， 由于 n 和 k 为正整数，所以 sinn 和 sin（n+k）均取不到1 所以 k4 时，上式恒成立，即数列an是近似递减数列，4 是它的间隔数 当 k3 时，当 n5 时，2sin（5+3）sin53.93，故不等式成立 当 k2 时，当 n5 时，2sin（5+2）sin53.2332 故不等式不成立 当 k1 时，当 n5 时，2sin（5+1）sin51.361，故不等式不成立 所以 4 是它的最小间隔数
