1、4直角梯形 ABCD 如图放置，AB、CD 为水平线，BCAB，如果BCA67，从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的（ ） A俯角 67方向 B俯角 23方向 C仰角 67方向 D仰角 23方向 5已知 ， 为非零向量，如果 5 ，那么向量 与 的方向关系是（ ） A ，并且 和 方向一致 B ，并且 和 方向相反 C 和 方向互相垂直 D 和 之间夹角的正切值为 5 6如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形 是莱洛三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C2 D2 二、
2、填空题二、填空题 7已知 1：23：x，那么 x 8如果两个相似三角形的周长比为 1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 9如图，ABC 中C90，如果 CDAB 于 D，那么 AC 是 AD 和 的比例中项 10在ABC 中， 11点 A 和点 B 在同一平面上，如果从 A 观察 B，B 在 A 的北偏东 14方向，那么从 B 观 察 A，A 在 B 的 方向 12如图，在 ABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线，如果 ，那 么 （用 表示） 13如图，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE若 BE9， BC12，则 cosC 14若抛
3、物线 y（xm）2+（m+1）的顶点在第二象限，则 m 的取值范围为 15二次函数 yx2+x+的图象与 y 轴的交点坐标是 16如图，已知正方形 ABCD 的各个顶点 A、B、C、D 都在O 上，如果 P 是的中点， PD 与 AB 交于 E 点，那么 第 3 页（共 22 页） 17如图，点 C 是长度为 8 的线段 AB 上一动点，如果 ACBC，分别以 AC、BC 为边在线 段 AB 的同侧作等边ACD、BCE，联结 DE，当CDE 的面积为 3时，线段 AC 的 长度是 18如图，点 A 在直线 yx 上，如果把抛物线 yx2沿 OA 方向平移 5 个单位，那么平移 后的抛物线的表达
4、式为 三、解答题三、解答题 19计算：2 20已知：抛物线 yx22x+m 与 y 轴交于点 C（0，2） ，点 D 和点 C 关于抛物线对称轴 对称 （1）求此抛物线的解析式和点 D 的坐标； （2）如果点 M 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，求 MCD 的周长 第 4 页（共 22 页） 21某仓储中心有一个坡度为 i1：2 的斜坡 AB，顶部 A 处的高 AC 为 4 米，B、C 在同一 水平地面上，其横截面如图 （1）求该斜坡的坡面 AB 的长度； （2）现有一个侧面图为矩形 DEFG 的长方体货柜，其中长 DE2.5 米，高 EF2 米， 该货柜沿斜坡向下时，点 D 离 BC 所在
5、水平面的高度不断变化，求当 BF3.5 米时，点 D 离 BC 所在水平面的高度 DH 22如图，直线 l：yx，点 A1坐标为（1，0） ，过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B1， 以原点 O 为圆心，OB1为半径画弧交 x 轴于点 A2；再过点 A2作 x 的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2长为半径画弧交 x 轴于点 A3，按此做法进行下去 求： （1）点 B1的坐标和A1OB1的度数； （2）弦 A4B3的弦心距的长度 23如图，ABC 中，ABAC，AM 为 BC 边的中线，点 D 在边 AC 上，联结 BD 交 AM 于 第 5 页（共 22 页） 点
6、 F，延长 BD 至点 E，使得，联结 CE求证： （1）ECD2BAM； （2）BF 是 DF 和 EF 的比例中项 24在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 ya（x2+x1）的图象交于点 A（1，a） 和点 B（1，a） （1）求直线 AB 与 y 轴的交点坐标； （2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是 y 随着 x 的增大而增大，求 a 应满 足的条件以及 x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当 Q 在以 AB 为直径的圆上时，求 a 的值 25如图，OC 是ABC 中 AB 边的中线，ABC36，点 D 为 OC 上一点，如果 OD k OC，过 D
7、作 DECA 交于 BA 点 E，点 M 是 DE 的中点，将ODE 绕点 O 顺时针旋转 度（其中 0180）后，射线 OM 交直线 BC 于点 N （1）如果ABC 的面积为 26，求ODE 的面积（用 k 的代数式表示） ； （2）当 N 和 B 不重合时，请探究ONB 的度数 y 与旋转角 的度数之间的函数关系式； （3）写出当ONB 为等腰三角形时，旋转角 的度数 第 6 页（共 22 页） 2020 年上海市宝山区中考数学一模试卷年上海市宝山区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1符号 sinA 表示（ ） AA 的正弦 BA 的余弦 CA
8、 的正切 DA 的余切 【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案 【解答】解：符号 sinA 表示A 的正弦 故选：A 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握定义是解题关键 2如果 2a3b，那么（ ） A B C5 D1 【分析】直接利用已知变形进而得出答案 【解答】解：2a3b， 故选：B 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键 3二次函数 y12x2的图象的开口方向（ ） A向左 B向右 C向上 D向下 【分析】二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向 【解答】解：二次函数 y12x2中20， 图象开口向下， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的图
9、象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关 键 4直角梯形 ABCD 如图放置，AB、CD 为水平线，BCAB，如果BCA67，从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的（ ） 第 7 页（共 22 页） A俯角 67方向 B俯角 23方向 C仰角 67方向 D仰角 23方向 【分析】求出BAC23，即可得出答案 【解答】解：BCAB，BCA67， BAC90BCA23， 从低处 A 处看高处 C 处，那么点 C 在点 A 的仰角 23方向； 故选：D 【点评】本题考查了解直角三角形、仰角；熟记仰角定义，求出BAC23是解题的 关键 5已知 ， 为非零向量，如果 5 ，那么向
10、量 与 的方向关系是（ ） A ，并且 和 方向一致 B ，并且 和 方向相反 C 和 方向互相垂直 D 和 之间夹角的正切值为 5 【分析】根据平行向量的性质解决问题即可 【解答】解：知 ， 为非零向量，如果 5 ， ， 与 的方向相反， 故选：B 【点评】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 6如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形 是莱洛三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ） 第 8 页（共 22 页） A B C2 D2 【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成
11、，其面积三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC2，BACABCACB60， ADBC， BDCD1，ADBD， ABC 的面积为， S扇形BAC， 莱洛三角形的面积 S3222， 故选：D 【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形 的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键 二、填空题二、填空题 7已知 1：23：x，那么 x 6 【分析】直接利用比例的性质得出 x 的值 【解答】解：1：23：x， ， x6 故答案为：6 第 9
12、 页（共 22 页） 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键 8如果两个相似三角形的周长比为 1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 1：2 【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比 【解答】解：两个相似三角形的周长比为 1：2， 两个相似三角形的相似比为 1：2， 它们某一对对应边上的高之比为 1：2， 故答案为：1：2 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角 形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 9如图，ABC 中C90，如果 CDAB 于 D，那么 AC 是 AD 和 AB 的比例中项 【
13、分析】根据射影定理得到 AC2ADAB，得到答案 【解答】解：C90，CDAB， AC2ADAB， AC 是 AD 和 AB 的比例中项， 故答案为：AB 【点评】本题考查的是射影定理，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边 在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例 中项 10在ABC 中， 【分析】由在ABC 中，根据三角形法则即可求得+的值，则可求得答案 【解答】解：+ 故答案为： 【点评】此题考查了平面向量的知识解题的关键是注意三角形法则的应用 11点 A 和点 B 在同一平面上，如果从 A 观察 B，B 在 A 的北偏东 14方向，那么从 B 观
14、 察 A，A 在 B 的 南偏西 14 方向 第 10 页（共 22 页） 【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用平行线的性质即可求解 【解答】解：由题意可知，114， ACBD， 1214，根据方向角的概念可知， 由点 B 测点 A 的方向为南偏西 14方向 故答案为：南偏西 14 【点评】本题主要考查了方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找 准中心是解答此类题的关键 12如图，在 ABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线，如果 ，那 么 x （用 表示） 【分析】首先证明 AD2CD，推出 CDAC 即可解决问题 【解答】解：在 RtABC 中，C
15、90，A30， ABC60， BD 平分ABC， ABDCBD30， AABD， ADBD，DB2DC， AD2DC， 第 11 页（共 22 页） CDAC， ， 故答案为 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是证明 AD2CD，属于中考常考题型 13如图，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE若 BE9， BC12，则 cosC 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出 CEBE，再根据等腰三角形的性质可得出 CDBD，从而得出 CD：CE，即为 cosC 【解答】解：DE 是 BC 的垂直平分线， CEBE， CDBD， BE9，BC12， CD6
16、，CE9， cosC， 故答案为 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注 意掌握数形结合思想的应用 14 若抛物线 y （xm） 2+ （m+1） 的顶点在第二象限， 则 m 的取值范围为 1m0 【分析】求出函数的顶点坐标为（m，m+1） ，再由第二象限点的坐标特点的得到：m0， m+10 即可求解 【解答】解：y（xm）2+（m+1） ， 顶点为（m，m+1） ， 顶点在第二象限， 第 12 页（共 22 页） m0，m+10， 1m0， 故答案为1m0 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合平 面象限内点的坐标特点求
17、解是关键 15二次函数 yx2+x+的图象与 y 轴的交点坐标是 （0，） 【分析】根据图象与 y 轴的相交的特点可求出坐标 【解答】解：由图象与 y 轴相交则 x0，代入得：y， 与 y 轴交点坐标是（0，） ； 故答案为（0，） 【点评】 考查了二次函数图象上点的坐标特征， 图象与 y 轴的交点横坐标为 0， 是基础题 16如图，已知正方形 ABCD 的各个顶点 A、B、C、D 都在O 上，如果 P 是的中点， PD 与 AB 交于 E 点，那么 【分析】根据垂径定理，连接 OP 后有 OPAD，可构成比例线段求解 【解答】解：连接 OP，交 AB 于点 F，连接 AC 根据垂径定理的推论
18、，得 OPAB，AFBF 根据 90的圆周角所对的弦是直径，则 AC 为直径 设正方形的边长是 1，则 AC，圆的半径是 根据正方形的性质，得OAF45 所以 OF，PF OPAD， 故答案为 第 13 页（共 22 页） 【点评】此题综合运用了正方形的性质、垂径定理以及平行线分线段成比例定理 17如图，点 C 是长度为 8 的线段 AB 上一动点，如果 ACBC，分别以 AC、BC 为边在线 段 AB 的同侧作等边ACD、BCE，联结 DE，当CDE 的面积为 3时，线段 AC 的 长度是 2 【分析】作 DHEC 于 H设 ACx，则 BCEC8x利用三角形的面积公式构建 方程即可解决问题
19、 【解答】解：作 DHEC 于 H设 ACx，则 BCEC8x ACD，ECB 都是等边三角形， ACDECB60， DCE60， SDCEECCDsin603， （8x） x3， 解得 x2 或 6（舍弃） ， AC2， 故答案为 2 【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参 第 14 页（共 22 页） 数构建方程解决问题，属于中考常考题型 18如图，点 A 在直线 yx 上，如果把抛物线 yx2沿 OA 方向平移 5 个单位，那么平移 后的抛物线的表达式为 y（x4）2+3 【分析】过点 A 作 ABx 轴于 B，求出 OB、AB，然后写出点 A 的坐
20、标，再利用顶点式 解析式写出即可 【解答】解：如图，过点 A 作 ABx 轴于 B， 点 A 在直线 yx 上，OA5， OB4，AB3， 点 A 的坐标为（4，3） ， 平移后的抛物线解析式是 y（x4）2+3 故答案为 y（x4）2+3 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此 类题目，利用顶点的变化求解更简便 三、解答题三、解答题 19计算：2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则计算得出答案 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：原式 3+2 2+2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键 20已知：抛
21、物线 yx22x+m 与 y 轴交于点 C（0，2） ，点 D 和点 C 关于抛物线对称轴 对称 （1）求此抛物线的解析式和点 D 的坐标； （2）如果点 M 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，求 MCD 的周长 【分析】 （1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 m 值，进而可得出抛物线的解析 式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点 C 的坐标可 得出点 D 的坐标； （2）求得 M 点的坐标，然后根据勾股定理求得 MCMD，即可求得MCD 的周 长为：2+2 【解答】解： （1）抛物线 yx22x+m 与 y 轴交于点 C（0，2） ， m2， 此抛物线的解析
22、式为 yx22x2， 抛物线的解析式为 yx22x2（x1）23， 抛物线的对称轴为直线 x1 点 D 与 C 关于抛物线的对称轴对称， 点 D 的坐标为（2，2） （2）抛物线的对称轴为直线 x1 第 16 页（共 22 页） M（1，0） ， MCMD CD2， MCD 的周长为：2+2 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的周长， 解题的关键是： （1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出 m 值； （2）利用对称轴，求 出点 M 的坐标 21某仓储中心有一个坡度为 i1：2 的斜坡 AB，顶部 A 处的高 AC 为 4 米，B、C 在同一 水平地面上，其横
23、截面如图 （1）求该斜坡的坡面 AB 的长度； （2）现有一个侧面图为矩形 DEFG 的长方体货柜，其中长 DE2.5 米，高 EF2 米， 该货柜沿斜坡向下时，点 D 离 BC 所在水平面的高度不断变化，求当 BF3.5 米时，点 D 离 BC 所在水平面的高度 DH 【分析】 （1）根据坡度定义以及勾股定理解答即可； （2）证出GDMHBM，根据，得到 GM1m，利用勾股定理求出 DM 的长， 然后求出 BM5m，进而求出 MH，然后得到 DH 【解答】解： （1）坡度为 i1：2，AC4m， BC428m AB（米） ； （2）DGMBHM，DMGBMH， GDMHBM， ， DGEF2
24、m， 第 17 页（共 22 页） GM1m， DM，BMBF+FM3.5+（2.51）5m， 设 MHxm，则 BH2xm， x2+（2x）252， xm， DHm 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义和勾 股定理是解题的关键 22如图，直线 l：yx，点 A1坐标为（1，0） ，过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B1， 以原点 O 为圆心，OB1为半径画弧交 x 轴于点 A2；再过点 A2作 x 的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2长为半径画弧交 x 轴于点 A3，按此做法进行下去 求： （1）点 B1的坐标和A1OB1的度数；
25、 （2）弦 A4B3的弦心距的长度 【分析】 （1）求出 tanA1OB1的值，A1B1即可解决问题 （2）连接 A4B3，作 OHA4B3于 H求出 OH 即可 【解答】解： （1）直线的解析式 yx， tanA1OB1， A1OB160，OA11， A1B1，OA2OB12， B1（1，） （2）连接 A4B3，作 OHA4B3于 H 由题意 OA11，OA22，OA34，OA48， 第 18 页（共 22 页） OA4OB3，OHA4B3， A4OHA4OB330， OHOA4cos3084 【点评】本题考查垂径定理，规律型问题，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中
26、考常考题型 23如图，ABC 中，ABAC，AM 为 BC 边的中线，点 D 在边 AC 上，联结 BD 交 AM 于 点 F，延长 BD 至点 E，使得，联结 CE求证： （1）ECD2BAM； （2）BF 是 DF 和 EF 的比例中项 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得BAC2BAM，通过证明ADBCDE，可 得BACECD2BAM； （2）由等腰三角形的性质可得 BFCF，通过证明DCFCEF，可得，可 得结论 【解答】证明： （1）ABAC，AM 为 BC 边的中线， BAC2BAM， ，ADBCDE， ADBCDE， BACECD， 第 19 页（共 22 页） ECD2BAM
27、； （2）如图，连接 CF， ABAC，AM 为 BC 边的中线， AM 是 BC 的垂直平分线， BFCF，且 ABAC，AFAF， ABFACF（SSS） ABFACF， 由（1）可知：ADBCDE， ABFE， ACFE，且EFCDFC， DCFCEF， ，且 BFCF， BF2DFEF， BF 是 DF 和 EF 的比例中项 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形 的性质，证明DCFCEF 是本题的关键 24在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 ya（x2+x1）的图象交于点 A（1，a） 和点 B（1，a） （1）求直线 AB 与 y 轴的交
28、点坐标； （2）要使上述反比例函数和二次函数在某一区域都是 y 随着 x 的增大而增大，求 a 应满 足的条件以及 x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当 Q 在以 AB 为直径的圆上时，求 a 的值 【分析】 （1）由待定系数法可求直线 AB 解析式，即可求解； 第 20 页（共 22 页） （2）由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，可得 a0，又由二次函数 y a（x2+x1）的对称轴为 x，可得 x时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大； （3）先求点 Q 坐标，由 OQOA，可得方程，即可求 a 的值 【解答】解： （1）设直线 AB 的解析式为
29、：ykx+b， 由题意可得 b0，ka， 直线 AB 的解析式为：yax， 当 x0 时，y0， 直线 AB 与 y 轴的交点坐标（0，0） ； （2）反比例函数过点 A（1，a） ， 反比例函数解析式为：y， 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大， a0 二次函数 ya（x2+x1）a（x+）2a， 对称轴为：直线 x 要使二次函数 ya （x2+x1） 满足上述条件， 在 k0 的情况下， x 必须在对称轴的左边， 即 x时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大 综上所述，a0 且 x； （3）二次函数 ya（x2+x1）a（x+）2a， 顶点 Q（，a） ， Q 在以
30、 AB 为直径的圆上， OAOQ， （）2+（）212+a2， a 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数的性质等知识此 题综合性较强，难度适中，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应 第 21 页（共 22 页） 用 25如图，OC点 M 是 DE 的中点，将ODE 绕点 O 顺时针旋转 度（其中 0180）后，射线 OM 交直线 BC 于点 N （1）如果ABC 的面积为 26，求ODE 的面积（用 k 的代数式表示） ； （2）当 N 和 B 不重合时，请探究ONB 的度数 y 与旋转角 的度数之间的函数关系式； （3）写出当ONB 为等腰三角形时，
31、旋转角 的度数 【分析】 （1）通过证明ODEOCA，可得，即可求解； （2）通过证明OEMBAC，可得EOMABC36，分两种情况讨论可求解； （3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解 【解答】解： （1）OC 是ABC 中 AB 边的中线，ABC 的面积为 26， SOAC13， DEAC， ODEOCA，OEMOAC，中点， AB2AO，EMDE， ，且OEMOAC， 第 22 页（共 22 页） OEMBAC， EOMABC36， 如图 2，当 0144时， AONB+ONB， AOE+EOMB+ONB y 如图 3，当 144180时， BONEOMBOE36（180） NOB144， BNOABCNOB36（144）180； （3）当 0144时，若 OBON，则ABCBNO36， 若 OBBN，则ONB72， 若 ONBN，则ABCBON36， ONB180236108， 当 144180时， 若 OBBN，则NNOB18180， 162 【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰 三角形的性质等知识，证明OEMBAC 是本题的关键
