1、无锡市、常州市无锡市、常州市 2020 届高三届高三 5 月学情调查月学情调查 数学试题数学试题 一、填空题一、填空题：本题共本题共 14 小题小题，每小题每小题 5 分分，计计 70 分分不需写出解答过程不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位请把答案写在答题纸的指定位 置上置上 1已知集合0,1,2M ，集合0,2,4N ，则MN_ 2已知复数12zi （i 为虚数单位） ，则 2 z的值为_ 3袋中装有形状，大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2 只球， 则这 2 只球颜色不同的概率为_ 4某中学共有 1800 人，其中高二年级的人数为
2、600现用分层抽样的方法在全校抽取 n 人，其中高二年级 被抽取的人数为 21，则n _ 5执行如图所示的伪代码，输出的结果是_ 6若曲线 x f xmxen在 1,1f处的切线方程为yex，则mn_ 7在平面直角坐标系xOy中，已知点 A 是抛物线 2 4yx与双曲线 22 2 1(0) 4 xy b b 的一个交点若抛 物线的焦点为 F，且5FA，则双曲线的渐近线方程为_ 8已知 n a是等比数列， n S是其前 n 项和若 3 2a ， 126 4SS，则 9 a的值为_ 注意事项：注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题(第 1 题第 14 题)、解答题(第 15 题第 20 题)两
3、部分本试卷 满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 9已知直三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都是 a，点 P，Q 分别为棱 1 CC，BC 的中点，四面体 11 AB PQ的 体积为 3 2 ，则 a 的值为_ 10已知(0,) 2 且 3 cos2 5 ，则 tan 4 tan 4 _ 11若关于 x，y 的方程组： 1mxy xyn 在1,2x上有解，则 22 mn的最小值为_ 12已知正实数 a，b 满足22ab，则 41 ()()ab ab 的最小值为_
4、13 在平面直角坐标系xOy中， A， B 是圆 22 :40C xxy上两动点， 且2AB ， 点 P 坐标为(4, 3)， 则3|2|PBPA取值范围为_ 14已知函数 32 4,0 ( ) 2 ,0 xxb x f x x x ，若函数 1g xff x 恰有三个不同的零点，则实数 b 的取值范围是_ 二、解答题二、解答题：本答题共本答题共 6 分分，计计 90 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，请把答案写在请把答案写在 答题卡的指定区域内答题卡的指定区域内 15 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为
5、 a，b，c，已知 1 os 0 0 c 1 A ，2b，5c （1）求边 a 的值； （2）求cos BA的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中 （1）若AD 平面 PAB，PBPD，求证：平面PBD 平面 PAD； （2）若/ /ADBC，2ADBC，E 为 PA 的中点，求证：/ /BE平面 PCD 17 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点为 A，左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 1 2 ，P 是椭 圆上的一个动点 （不与左右顶点重合） ， 且 12 PFF的周长为 6 点 P 关于原点的对
6、称点为 Q， 直线 AP， 2 OF 交于点 M （1）求椭圆的方程； （2）若直线 2 PF与椭圆交于另一点 N，且 22 4 AF MAF N SS，求点 P 的坐标 18 （本小题满分 16 分） 如图，建筑公司是某单位委托，拟新建两栋办公楼 AB，CD（AC 为楼间距） ，两楼的楼高分别为ma， mb，其中ba由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC的中点M处，且满足两个设计要 求：90BMD，楼间距与两楼的楼高之和的比0.8,1 （1）求楼间距 AC（结果用 a，b 表示） ； （2）若45CBD，设 b k a ，用 k 表示，并判断是否能满足委托单位的设计要求？ 19 （本
7、小题满分 16 分 已知函数 2 ( ) 1 x e f x axbx ，其中0a ，bR，e 为自然对数的底数 （1）若1b ，0,)x，若函数 f x单调递增，求实数 a 的取值范围；若对任意0x ， 1f x 恒成立，求实数 a 的取值前围 （2）若0b，且 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求证： 12 3 1()() 2 f xf xe a 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 * , n anN满足奇数项 6 * 21 , n anN 成等差，公差为 d，偶数项 * 2 , n anN成等比， 公比为 q，且数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 1a ， 2 2a
8、（1）若 545 2Saa， 934 aaa 求数列 n a的通项公式； 若 12mmm a aa ，求正整数 m 的值； （2）若1d ，1q ，对任意给定的 q，是否存在实数，使得 21 2 | n n a a 对任意nN 恒成立？若 存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由 2020 届高三届高三 5 月学情调查月学情调查 数学试题数学试题 注意事项注意事项： 21 （B） （本小题满分 10 分）选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 40 01 A ， 12 05 B ，列向量 a X b （1）求矩阵 AB； （2）若 11 5 1 B A X ，求 a，b 的值 21 （C） （本小
9、题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为() 3 R，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面 直角坐标系， 曲线 C 的参数方程为 2cos , 1cos2 x y （为参数） ， 求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题题，每题每题 10 分分，共计共计 20 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答解答应写出文解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的
10、8 条棱中任取两条，按下列方式 定义随机变量的值： 若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ： 若这两条棱所在的直线平行，则0； 若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制） （1）求()0P的值： （2）求随机变量的分布列及数学期望( )E 23 （本小题满分 10 分） 给定整数3()n ， 记 f n为集1,2,21 n 满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值： （a） 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸规定区域内试题 1A
11、，21 n A ； （b）A 中的元素（除 1 外）均为 A 中的另两个（可以相同）元素的和 （1）求 3f的值； （2）求证：100108f 2020 届高三届高三 5 月学情调查月学情调查 数学试题答案数学试题答案 一、填空题一、填空题，本题共本题共 14 小题小题，每小题每小题 5 分分，计计 70 分分不需写出解答过程不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位请把答案写在答题纸的指定位 置上置上 10,1,2,4 234i 3 5 6 463 58 6 1 2 e 7 2 3 3 yx 86 92 10 1 9 11 9 5 12 25 2 137,3 7 1425b 二、解答题二、
12、解答题；本答题共本答题共 6 分分，计计 90 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，请把答案写在请把答案写在 答题卡的指定区域内答题卡的指定区域内 15 （本小题满分 14 分） 解： （1）在ABC中， 1 os 0 0 c 1 A ，2b，5c 222 cos 10 225225()9 10 Aabcbc ， 0a ，3a （2）在ABC中， 1 os 0 0 c 1 A (, ) 2 A ， 22 103 10 1cos1() 100 in 1 sAA ， 在ABC中， sinsin ab AB ，即 32 3 10 10 sinB
13、 ， sin 5 5 B ， 又(, ) 2 A ，(0,) 2 B ， 22 52 5 cos1sin1() 55 BB coscoscoss(in)nsiBAAABB 2 51053 102 () 51051010 16 （本小题满分 14 分） （1）因为AD 平面 PAB，PB 平面 PAB， 所以ADPB， 又因为PBPD， 且AD PDD，,AD PD 平面 PAD， 所以PB 平面 PAD， 又因为 PB?平面 PBD， 所以平面PBD 平面 PAD （2）取 PD 的中点 F，连结 EF， 因为 E，F 分别是 PA，PD 的中点， 所以/ /EFAD，且2ADEF， 又因为四
14、边形 ABCD 为直角梯形且/ /ADBC，2ADBC， 所以/ /EFBC且EFBC， 所以四边形 EFCB 是平行四边形，所以/ /BECF， 又CF 平面 PCD，BE 平面 PCD， 所以/ /BE平面 PCD 17 （本小题满分 14 分） 解： （1）因为椭圆的离心率为 1 2 ， 12 PFF的周长为 6， 设椭圆的焦距为 2c，则 22 226 1 2 ac c a bca 解得，2a ，1c ，3b ， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy （2）设,()P m n，则 22 1 43 mn ，(,)Qmn， 所以 AP 的方程为(2) 2 n yx m 若1m，则 2 Q
15、F方程为1x ， 由对称性不妨令 P 在x轴上方， 则 3 ( 1, ) 2 P ， 3 (1,) 2 Q，联立解得 9 (1, ) 2 M， 2 PF方程为 3 (1) 4 yx ， 代入椭圆方程得 139 (,) 714 N， 故 2 2 | 74 | M NN AF M AF S y Sy ，不合题 若1m，则 2 QF方程为(1) 1 n yx m 联立可得 34 3 xm yn ，(34,3 )Mmn 因为 22 4 AF MAF N SS，所以4 MN yy 又因为 M，N 位于x轴异侧，所以 3 4 N n y 由直线 2 PF方程(1) 1 n yx m 得： 73 4 N m
16、 x ， 将点 733 (,) 44 mn N ，代入椭圆方程得 22 733 ()() 44 1 43 m r 又 2 1 43 mn ，故 2 2() 16 3 439 7 m n 即 2 2() 7 3 49 7 4 m m ， 所以 1 2 m ， 3 5 4 n 所以点 P 坐标为 1 3 5 ( ,) 24 或 13 5 ( ,) 24 解法二：设,P m n，则 22 1 43 mn (,)Qmn， 所以 AP 的方程为(2) 2 n yx m 2 QF方程为 1 1 m xy n ， 联立解得34,3Mmn， 因为 22 4 AF MAF N SS，所以4 MN yy 又因为
17、M，N 位于x轴异侧，所以 3 4 N n y 山直线 2 PF方程 1 1 m xy n 得： 73 4 N m x （下同法一） 18 （本小题满分 16 分） 解： （1）在ABM中， 2 tan 2 BMA ac c c ， 在CDM中， 2 tanDMC bb cc ， 90BMD， 90BMADMC， tantan1BMADMC， 即 2 4cab，2cab （2） 2 222 1 1 abk abk k k 在CBD中，过点 B 作 CD 的垂线，垂足为 E， tanCB a E c ，tanDBE ba c ， tantan()CBDCBEDBE tantan 1tantan
18、CBEDBE CBEDBE 222 1 11 422 abab ababab ababa babab 3 22 ba ab . 因为 b k a ，则 2 31 22 k k ，即 32 2310kk ， 设 32 ( )231f xxx，1x ， 2 ( )666 (1)0fxxxx x， 函数 f x单调递增， 若0.8,1，则 15 2 2 k k ，即12k 120f ， 230f， 12k成立，0.8,1， 能满足委托单位的设计要求 答： （1）楼间距 AC 为2mab； （2）能满足委托单位的设计要求 19 （本题满分 16 分） 解： （1）因为 2 ( ) 1 x e f x
19、axx 单调递增， 所以 2 22 (12 ) ( )0 (1) x eaxa x fx axx 任意,)0x恒成立， 即21axa对任意,)0x恒成立， 210a ，即 1 0 2 a； 由当 1 0 2 a时， 2 ( ) 1 x e f x axx 单调递增， 故 1f x 成立， 当 1 2 a ，令 0fx 得 21a x a f x在 21 (0,) a a 上递减， 21 ()(0)1 a ff a 不合题； （2）因为 2 ( ) 1 x e f x ax ，xR存在两个极值点 1 x， 2 x 所以 2 22 (21) ( )0 (1) x e axax fx ax 有两个不
20、同的解， 故 2 440aa ，又0a ，所以1a ， 设两根为 1212 ,x xxx， 则 12 2xx， 12 1 x x a ，故 1 01x， 1212 12 22 12 12 21 11 11 xxxx eeee f xf x xx axax xx 11 12 2 11 21 12 2 2 xx xx exexe xe x xx 令 2 (2) ( ) 2 xx exe F x x ， 因为 2(1 ) (1) ( )0 2 x x ex ex e F x ， 所以 F x在0,1上递增， 所以 1F xFe； 又 1 1 2 1 2111 3 2( )23 (2) x x e x
21、 f xf xexxx ae 令 2 ( )(2)3 (2),(0,1) x y e x G xexxx x e ， 则 2 ( )(1)(6) x x e G xx e e ， 令 0G x得 2 39 x ee， 又(0,1)x，则 2 39 x ee， 即 2 ln(39)xe，记为 0 x， 则 G x在 0 0,x上递增，在 0,1 x上递减， 又 02G， 1232Ge ，所以 02G xG， 即 2 3 ( )()1 2 f xf x a ， 综上： 12 3 1()() 2 f xf xe a 解法二：由（1）当0x 时， 2 1 1 1 2 x e xx 恒成立， 所以有当0
22、x 时， 2 1 1 2 x exx， 所以 2112 12 22 12 12 21 ()() 11 11 xxxx eeee f xf x xx axax xx 22 211122 1 2 11 11 22 2 xx xxxxxx e xe x xx 1221212 12 1 2 33 2 11 222 x xxxx xxx x x a 20 （本题满分 16 分） （1）因为 545 2Saa， 934 aaa， 所以 1234 aaaa， 934 aaa 即 42 32 dq dq ，解得2d ，3q 当 n 为奇数时，设21nk， 则 211 (1)21 nk aaakdkn 当 n
23、为偶数时，设2nk， 则 1 1 2 22 2 3 n k nk aaa q 综上 1 2 ,21 , 2 3,2 n n n nk akN nk . 当 n 为奇数时， 1 2 2 32 m mm ，即 1 2 2 2 31 m m ， 当1m 时，不合题； 当3m时，右边小于 2，左边大于 2，等式不成立； 当 n 为偶数时，13m ，所以2m 综上，2m （2）当0时，由于 2 1 212 2 nn anaq 各项， 所以 21 2 0 n n a a ，所以0合题； 当0时，假设 21 2 | n n a a 对任意nN恒成立， 即 1 | 2 n n q 对任意nN恒成立，所以 2|
24、n qq . 令 0 2| q ，即 0 q n q 对任意nN恒成立 先证：lnxx对任意0x 恒成立 令( )lnf xxx，则 112 ( ) 22 x fx xxx ， 所以 f x在0,4上递减，在(4,)上递增， 所以 min 42ln40f xf， 即lnxx对任意0x 恒成立，所以lnnn， 所以 22 lnlnln2lnln2(ln2)qnnqnqnnnq， 所以当 2 4 ln n q 时， nn qn， 即 0 2n nn nq 解得 0 1 n ， 所以当 0 1 n 且 2 4 ln n q 时， 0 2 1 n nn qnn 这与 0 n n q 对任意nN恒成立不后， 所以当0时不合题； 综上的取值范围为0
