1、第十六讲 多位数巧算 所谓多位数，顾名思义，就是位数较多的数例如 9999999999，我们可以把它读作“10 个 9” ，记作 109 999 个 这里“10 个 9”不要误认为是109，而是由 10 个 9 组成的十位数 与多位数有关的计算，一般来说看上去都有些复杂，直接计算往往会有较大的困难，但 也不是没有办法多位数只是较大的整数，所以整数四则运算中常用的凑整法、提公因数法 等运算技巧都可以应用到多位数的计算中 凑整法在多位数计算中极为常用，我们先来看加法型凑整例如计算999820004时， 为了避免过多的进位，我们可以把 9998 看成100002，把 20004 看成200004，再
2、把它们 相加 例题 1 计算： （1） 100 28208200820008 个 ； （2） 109 9899899989998 个 分析分析题（1）中如果是 20，200，2000，这样的数相加很容易算，现在每个 数都多了 8，该怎么办呢？题（2）又该怎么办呢？ 练习 1 计算： （1） 100 10510051000510005 个 ； （2） 109 8989989998999 个 乘法型凑整与加法型凑整有些相似，都是尽量把与整十、整百、整千等相近的乘数变成 整十、整百、整千等，使计算更简便 例题 2 计算： （1）999 123； （2）99997 1221； （3） 109 999
3、12345 个 分析分析题目中的 999、 99997 之类的数， 我们可以把它们变成 “整数” 进行计算， 大胆地试一下吧！ 练习 2 计算：123456789999999999 接下来我们看一下本讲学习的重要内容叠字型多位数， 简称 “叠数” ， 比如： 3333333， 121212，245245，312312312 等，我们把重复出现的数称之为“循环节” 对于叠字型多位数， 最重要的就是要能够熟练地进行分拆， 将其拆为循环节与另一个数 的乘积比如，3333333 11111，这是最基本、最简单的一类 而另外一类，比如 121212、245245 和 312312312，则要相对复杂一些
4、，要分拆这些叠 数，首先找出循环节及其个数，而另外一个乘数，1 的个数应该等于循环节的个数，相邻两 个 1 之间 0 的个数应该比循环节长度小 1 比如：12121212 10101，245245245 1001， 312312312312 1001001 叠数分拆的逆运算也是应该掌握的，比如12 10101121212，245 1001245245， 3142 100010001314231423142 试一试试一试 243 1001001_； 2 41 0 0 1 0 0 1 0 0 1_； 365365365365365_； 1201201201212_ 例题 3 计算：13131313
5、251325252525 分析分析算式中有两个叠数，拆开来看看该怎么办呢？ 练习 3 计算：357357 164357 164164 由相同数字组成的多位数都可以写成若干个 1 与一位数相乘的形式， 即最简单的叠数分 拆，例如： 101 109 9999 111 个 个 这个看上去很简单的“分解”的思想，在多位数乘除法中往 往会得到意想不到的效果 例题 4 计算： 203208 206 333 888666 个个 个 分析分析算式中的 3 个数都是 201 111 个 的倍数，不妨拆开来试试 练习 4 计算： 504509506 999444666 个个个 例题 5 计算：1981 19831
6、9831983 1982 198119811981 分析分析198319831983 和 198119811981 是两个叠字型多位数，我们该怎么办呢？ 例题 6 计算： （1）33333 3333； （2） 103 106 333666 个 个 分析分析题（1）中，如果有 99999，就能把 99999 变成1000001来计算了，那怎么才能变 出 99999 呢？题（2）该怎么办呢？ 课堂内外 数的起源数的起源 说到数， 首先会想到的问题就是： 数的概念是什么时候起源的？数的符号是怎么来的？ 人们一般把文字的发明和使用作为人类进入文明时代的标志之一， 数作为文字符号的组 成部分，它的起源与
7、人类文明史一样遥远 其实，从人类诞生的那一天开始，人类已经有数量的概念了为什么这样说呢？这只要 观察动物世界的行为，就能够得出这个结论动物虽然没有“数”的认知能力，但是它们都 本能地知道食物数量的多少例如蜜蜂采蜜回来，能通过“舞蹈”语言告诉巢里的同伴，在 什么方向有花可供采集，花的数量越多，“舞蹈”越是起劲作为最高级生物的人类，我们 由低级生物进化而来，当然“继承”了认识数量多少的能力而且由于人类有聪明的大脑， 对数量的认识更为精细，从而能从数量的多少，进一步总结出“数”的概念 从模糊的“多少”到精确的“数”的出现，经历了十分漫长的时间据说，直到距今 20000 年前的时候，人类才有了第一个数
8、字“1”不过这时的数字，还停留在实物表示阶 段，捕获了一头野兽，就用 1 块石子代表；捕获了 2 头，就放 2 块石子当然，石块只是众 多可以用来记数的一种方法， 其他如 “结绳记事” 也是古代人类做过的事 我国古书 易经 中就有“结绳而治”的记载传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数用利器在 树皮、兽皮或者骨头上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法这些办法用得 多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号 大约在公元前 4000 年，现中东两河流域，古代叫美索不达米亚的地方，苏美尔人首先 创造了代表数字的符号，这种符号很像一把楔子，所以也叫“楔形文字”人们把楔形文字 刻写在泥板上，凉
9、干后泥板变硬，就成了可以保存的记录之后古埃及、古希腊、古罗马、 古印度等地方的人们也先后创造了各自的数字符号 例如古罗马人创造了七个基本数字字符 来表示数，它们是：、L、C、D、M 作业 1. 计算： 100 20092000920000920009 个 2. 计算： （1）12349999； （2） 123 126 666333 个 个 3. 计算： 4. 计算： 202209206 999222666 个个个 5 计算：234 123123123123122234234234234 888888222222444444555556 第十六讲 多位数巧算 1. 例题 1 个 答案： （1）
10、92 222308 个 ； （2） 91 111080 个 详解： （1） 110 =20200200020008 11 个 原式 112 =222088 个 92 =222308 个 ； （2） 10191 11 =100+1000+10000+10002 10=1110020=111080 个个 个 0 原式 2. 例题 2 答案： （1）122877； （2）122096337； （； （3）123449999987655 详解： （1）100011231000 123 1 123123000123122877 原式； （2）= 10000031221100000 12213 12211
11、22096337 原式； （3） 1010 = 10001123451000 12345 1 12345123449999987655 个个 00 原式 3. 例题 3 答案：0 详解：=13 1010101 25 13 25 10101010原式 4. 例题 4 答案： 204 444 个 详解： 201201201 =111 3 111 8111 6 个个个 原式 201201201 =111 3 111 8 111 6 个个个 201201201 =111 111 111 3 86 个个个 201 =111 4 个 204 =444 个 5. 例题 5 答案：198119811981 详
12、解：=1981 1983 100010001 1982 1981 100010001原式 =1981 1000100011983 1982 =1981 100010001 =198119811981 6. 例题 6 答案： （1）111098889； （2） 9297 22217778 个个 详解： （1）=33333 3 111199999 111110000011111111098889 原式； （2） 3 2 =333 3 222 个 个 10 10 原式 102109 =999222 个个 102100 = 10001222 个个 102102100 222000222 个个个 929
13、7 22217778 个个 7. 练习 1 答案： （1） 101 11150 个 ； （2） 99 99980 个 简答： （1） 110 =100 1000 1000010005 10 个 原式 101 =1110050 个 101 =11150 个 ； （2） 10010999 =90+900+9000+9000 1 10=9990 10=99980 个个个 原式 8. 练习 2 答案：123456788876543211 简答：12345678910000000001123456788876543211原式 9. 练习 3 答案：0 简答：原式原式357 1001 164357 164
14、 10010 10. 练习 4 答案： 506 666 个 简答： 501501501 =111 9 111 4111 6 个个个 原式 501501501 =111 9 111 4 111 6 个个个 501501501 =111 111 111 946 个个个 501 =111 6 个 506 =666 个 11. 作业 1 答案： 92 222081 个 简答：原式 92110 200020000200099222081 个个 12. 作业 2 答案：12338766； 112117 22217778 个个 简答： （1）1234 9999=1234100001=12340000 123
15、4=12338766； （2） 122129 999 222 个个 原式 122120 10001222 个个 122122120 222000222 个个个 112117 22217778 个个 13. 作业 3 答案：444444000000 简答：444444 444444444444 555556444444000000原式 14. 作业 4 答案： 203 333 个 简答：原式= 201201201201203 111 9 111 2111 6111 3333 个个个个个 15. 作业 5 答案：234234234234 简答：=234 123 1001001001 122 234 1001001001原式 123 122234 1001001001 234234234234
