1、2020 年高考（文科）数学（年高考（文科）数学（4 月份）模拟试卷月份）模拟试卷 一、选择题（共 12 小题） 1若集合 Ax|3x4，By|y0，则 AB（ ） A B0，4） C（0，4） D（3，0） 2设 z2+（3i）2，则 （ ） A6+10i B610i C10+6i D106i 3已知 P 为椭圆 1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2的 面积为（ ） A2 B4 C D2 4 2020 年 1 月， 某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天
2、10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 5若函数 f（x）3x+log2（x2），则 （ ） A24 B25 C26 D27 6设等比数列an的前 6 项和为 6，且公比 q2，则 a1（ ） A B C D 7在平行四边形 ABCD 中，若 ，则 （ ） A B C D 8已知 AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于 A，B 的一点，D 为下底面圆 周上一点，且 AD圆柱的底面，则必有（ ） A平面 ABC平面 BCD B平面 B
3、CD平面 ACD C平面 ABD平面 ACD D平面 BCD平面 ABD 9 若函数 f （x） 2cos （2x ） 1 在0， m上的最小值小于零， 则 m 的取值范围为 （ ） A（ ， B（ ，+） C（ ， D（ ，+） 10已知函数 f（x）（x1）（x2）（x3）（x4）（x5），则曲线 yf（x）在 点（2，0）处的切线方程为（ ） Ay3x+6 By6x+12 Cy3x6 Dy6x12 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A B C25 D32 12已知函数 ， ， ， ， 若关于 x 的方程 2f2（x）（2m+1）f（
4、x）+m 0 恰有 3 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A（1，2） B2，5）1 C1，5 D（2，5）1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西 哥、 英国这7个国家中随机选取1个国家， 则他去旅游的国家来自亚洲的概率为 14设 x，y 满足约束条件 ，则当 z2x+y 取得最大值时，y 15已知双曲线 ： ， 的左焦点为 F，点 A 的坐标为（0，2b），若 直线 AF 的倾斜角为 45，则 C 的离心率为 16定义 p（n）为正整数 n 的各位
5、数字中不同数字的个数，例如 p（555）1，p（93）2， p（1714）3在等差数列an中，a29，a1025，则 an ，数列p（an）的 前 100 项和为 三、 解答题： 本大题共5小题， 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 18如图，E
6、A平面 ABC，ABBC，AB4，BCBD3，ACAD，CD3 （1）证明：BD平面 ACE （2）若几何体 EABCD 的体积为 10，求三棱椎 EABC 的侧面积 19 某公司准备上市一款新型轿车零配件， 上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销，定价为 1000 元/件试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量（单位： 件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 6 3 （1）若该 4S 店试销期间每个零件的进价为 650 元/件，求试销连续 30 天中该零件日销 售总利润不低于 24500 元的频率 （2）试销结束后，这款零件正式
7、上市，每个定价仍为 1000 元，但生产公司对该款零件 不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有 60 件，批发价为 550 元/件；小箱每箱有 45 件，批发价为 600 元/件，该 4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出 的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店， 假设该 4S 店试销后的连续 30 天的 日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 50 70 90 110 频数 5 15 8 2 （i）设该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润； （ii）以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应
8、该批发两大箱还是两 小箱？ 20已知函数 f（x）x3ex （1）求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）mx2对 xR 恒成立，求 m 的取值范围 21设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若 ， ，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示），并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题 目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系
9、 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 xR，任意 tR 恒成立，求 m 的取 值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1若集合 Ax|3x
10、4，By|y0，则 AB（ ） A B0，4） C（0，4） D（3，0） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：因为集合 Ax|3x4（3，4），B（0，+），所以 AB（0，4） 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2设 z2+（3i）2，则 （ ） A6+10i B610i C10+6i D106i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：因为 z2+86i106i， 所以 10+6i 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3已知 P 为椭
11、圆 1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2的 面积为（ ） A2 B4 C D2 【分析】根据方程可得到 b，c 的值，进而可求出面积 解：根据条件可得 b22，c2321，则 b ，c1， 则PF1F2的面积 2cbbc ， 故选：C 【点评】本题考查椭圆的性质，考查焦点三角形的面积，属于 基础题 4 2020 年 1 月， 某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型
12、冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 【分析】利用平均值的定义求解 解：因为 7， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天， 故选：B 【点评】本题主要考查了平均值的概念，是基础题 5若函数 f（x）3x+log2（x2），则 （ ） A24 B25 C26 D27 【分析】直接把变量代入解析式，再结合对数的运算性质即可求解 解：因为 f（x）3x+log2（x2）， ， ， 所以 故选：D 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 6设等比数列an的前 6 项和为 6，且公比 q2，则
13、 a1（ ） A B C D 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出 解：由题意可得 ， 即 故选：A 【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7在平行四边形 ABCD 中，若 ，则 （ ） A B C D 【分析】直接利用平行四边形的法则和向量的线性运算的应用求出结果 解：在平行四边形 ABCD 中，若 ， 所以 ，则 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力，属于基础题型 8已知 AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于 A，B 的一点，D 为下底面圆 周上一点，且 AD圆柱的底
14、面，则必有（ ） A平面 ABC平面 BCD B平面 BCD平面 ACD C平面 ABD平面 ACD D平面 BCD平面 ABD 【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出 结果即可 解：因为 AB 是圆柱上底面的一条直径，所以 ACBC，又 AD 垂直圆柱的底面， 所以 ADBC，因为 ACADA， 所以 BC平面 ACD，因为 BC平面 BCD， 所以平面 BCD平面 ACD 故选：B 【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查 空间想象能力以及逻辑推理能力 9 若函数 f （x） 2cos （2x ） 1 在0， m上的
15、最小值小于零， 则 m 的取值范围为 （ ） A（ ， B（ ，+） C（ ， D（ ，+） 【分析】由已知可求 2x ，2m ，利用换元法求出角的范围，结合余弦函数的 图象求出函数的零点，利用数形结合进行转化求就叫即可 解：x0，m， 2x ，2m ， 设 t2x ，则 t ，2m ， 作出函数 y2cost1 的图象如图， 由 y2cost10 得 cost ， 则 t 2k 或 t 2k， 则当 t0 时的，第一个零点为 t ， 即当 t 时，y2cost10， 要使 y2cost1 在 t ，2m 上的最小值小于 0， 则只需要 2m ，即可， 得 2m ，得 m ， m 的取值范围为
16、（ ，+） 故选：D 【点评】 本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用， 利用换元法， 求出函数的零点， 以及利用数形结合思想是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 10已知函数 f（x）（x1）（x2）（x3）（x4）（x5），则曲线 yf（x）在 点（2，0）处的切线方程为（ ） Ay3x+6 By6x+12 Cy3x6 Dy6x12 【分析】先求得 f（x）（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）的导函数，再利用 导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程 解：f（x）（x1）（x2）（x3）（x4）（x5），令（x2）（x3）（x 4）（x5）g（x） 则 f（x）g（x）+（
17、x1）g（x），令 h（x）（x3）（x4）（x5），则 h（x）（x4）（x5）+（x3）（2x9） f（x）g（x）+（x1）h（x）+（x2）h（x） 曲线 yf（x）在点（2，0）处的切线的斜率 kf（2）g（2）+h（2）h（2） 6， 曲线 yf（x）在点（2，0）处的切线方程为 y06（x2），即 y6x+12 故选：B 【点评】本题主要考查导数在求切线方程中的应用，属于基础题 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A B C25 D32 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等
18、边三角形，PA底面 ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球 的表面积公式得答案 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA底面 ABC， 设底面三角形ABC 的外心为 G， 过G 作底面的垂线GO， 且使GO AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，连接 OB， GB ，OG2，三棱锥外接球的半径 ROB 该几何体外接球的表面积为 4 故选：B 【点评】 本题考查由三视图还原原几何体， 考查多面体外接球表面积的求法， 是中档题 12已知函数 ， ， ， ， 若关于 x 的方程 2f2（x）（2m+1）f（x
19、）+m 0 恰有 3 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A（1，2） B2，5）1 C1，5 D（2，5）1 【分析】利用方程，求出 f（x）的值，结合函数的图象，判断求解即可 解：由 2f2（x）（2m+1）f（x）+m2f（x）1f（x）m0，得 或 f（x） m， 作出 yf（x）的图象，如图所示， 由图可知，方程 有 1 个实根，故方程 f（x）m 有 2 个实根， 故 m 的取值范围为2，5）1 故选：B 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13
20、小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西 哥、英国这 7 个国家中随机选取 1 个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为 【分析】这 7 个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国韩国，由此能求出他去旅游的国 家来自亚洲的概率 解：小周今年暑假打算带父母去国外旅游， 他决定从日本泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这 7 个国家中随机选取 1 个国 家， 这 7 个国家中是亚洲国家的有：日本、泰国韩国， 则他去旅游的国家来自亚洲的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 14设 x，y 满足约束
21、条件 ，则当 z2x+y 取得最大值时，y 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z，当直线 y2x+z 经过 A 点时，直线 y2x+z 的截距最大，此时 z 最大， A（3，4）， 则 z2x+y23+410， 此时 y4 故答案为：4 【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出图象，利用目标函数的几何意义利用平移 法是解决本题的关键 15已知双曲线 ： ， 的左焦点为 F，点 A 的坐标为（0，2b），若 直线 AF 的倾斜角为 45，则 C 的离心率为 【分析】
22、先通过 A、F 两点的坐标表示出直线 AF 的斜率，结合其倾斜角为 45，得到 c 2b，由于 b2c2a2，代入化简后得 3c24a2，于是可求得离心率 解：依题意得，点 F 的坐标为（c，0）， 直线 AF 的斜率 ， c2b，即 c24b24（c2a2），化简整理 3c24a2， 故答案为： 【点评】 本题考查双曲线的焦点、 离心率等几何性质， 考查学生的分析能力和运算能力， 属于基础题 16定义 p（n）为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如 p（555）1，p（93）2， p（1714）3在等差数列an中，a29，a1025，则 an 2n+5 ，数列p（an） 的前 100
23、 项和为 227 【分析】在等差数列an中，a29，a1025，公差 d2，利用通项公式可得 an可得 a17，a100205an为奇数，通过分类讨论：p（an）1p（an）2p（an）3即 可得出 解：在等差数列an中，a29，a1025，公差 d 2，an9+2（n2）2n+5 a17，a100205 an为奇数，an7，9，11，33，55，77，99，111 时，p（an）1 an101，113，115，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181， 191，199 时，p（an）2 在an中，小于 100 的项共有 47 项，这 47
24、 项中满足 p（an）2 的共有 47740 项， 故数列p（an）的前 100 项和为：18+2（40+17）+3（10084017）227 故答案为：2n+5，227 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、新定义、分类讨论方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 三、 解答题： 本大题共5小题， 共70分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一） 必考题：共 60 分. 17设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC
25、 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 【分析】（1）利用正弦定理化角，然后由三角函数值相等得到角之间的关系，即可求出 A 是直角； （2） 先在DBC 中利用余弦定理求出 C 角， 然后再在直角三角形 ABC 中求出 AB， AC， 则面积可求 【解答】解（1）由正弦定理 acosBbcosA+c 化为： sinAcosBsinBcosA+sinC， sinAcosBsinBcosAsinC，sin（AB）sinC， AB（，），C（0，）， ABC 或 ABC（舍） AB+C， 即ABC 是直角三角形 （2） 在 RtBCD 中， C
26、D3， BD5， BC6， 由余弦定理得 ，ADACCD ，又 【点评】本题考查正余弦定理、三角函数的定义及三角恒等变换等知识方法要注意对 这种多个三角形的解三角形问题，先将条件集中在一个三角形中挖掘隐含条件同时考 查了学生的逻辑推理、数学运算以及直观想象等数学核心素养 18如图，EA平面 ABC，ABBC，AB4，BCBD3，ACAD，CD3 （1）证明：BD平面 ACE （2）若几何体 EABCD 的体积为 10，求三棱椎 EABC 的侧面积 【分析】（1）推导出ABCABD，从而 ABBD，推导出 BDBC从而 BD平面 ABC，再由 EA平面 ABC，得 EABD，由此能证明 BD平面
27、 ACE （2） ABC 的面积 S6， 由几何体 EABCD 的体积为 10， 解得 EA2， 推导出 BCAE， ABBC，得 BCBE，三棱椎 EABC 的侧面积为 SSABE+SBCE+SAEC 解：（1）证明：BCBD，ACAD，ABAB，ABCABD， ABBC，ABBD， AB4，BCBD3，ACAD，CD3 BD2+BC2CD2，BDBC ABBCB，BD平面 ABC， EA平面 ABC，EABD， BD平面 ACE，AE平面 ACE， BD平面 ACE （2）解：ABC 的面积 S 6，几何体 EABCD 的体积为 10， 几何体 EABCD 的体积为： V ， 解得 EA2
28、， EA平面 ABC，BCAE，又 ABBC，AEABA， BC平面 ABE，BCBE， 三棱椎 EABC 的侧面积为： SSABE+SBCE+SAEC 4+3 5 9+3 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 某公司准备上市一款新型轿车零配件， 上市之前拟在其一个下属 4S 店进行连续 30 天的 试销，定价为 1000 元/件试销结束后统计得到该 4S 店这 30 天内的日销售量（单位： 件）的数据如表： 日销售量 40 60 80 100 频数 9 12 6 3 （1）若该 4S 店
29、试销期间每个零件的进价为 650 元/件，求试销连续 30 天中该零件日销 售总利润不低于 24500 元的频率 （2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为 1000 元，但生产公司对该款零件 不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有 60 件，批发价为 550 元/件；小箱每箱有 45 件，批发价为 600 元/件，该 4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出 的零件按批发价的 9 折转给该公司的另一下属 4S 店， 假设该 4S 店试销后的连续 30 天的 日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 50 70 90 110 频数 5 15 8 2 （i）设该 4S 店试
30、销结束后连续 30 天每天批发两大箱，求这 30 天这款零件的总利润； （ii）以总利润作为决策依据，该 4S 店试销结束后连续 30 天每天应该批发两大箱还是两 小箱？ 【分析】（1）要使得日销售总利润不低于 24500 元，则日销售零件的件数不能少于 ，根据题意，求出大于等于 70 件的频率即可； （2）（i）若 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，则批发成本为 602550 66000 元，分别求出日销售量为 50 件，70 件，90 件，110 件的利润，再求出总利润； （ii） 若该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两小箱， 则批发成本为 45260054000
31、元，分别求出日销售量为 50 件，70 件，90 件，110 件的利润，再求出总利润，根据（i） 的计算结果，比较判断出最好的方案即可 解：（1）因为试销期间每个零件的利润为 1000650350 元， 所以要使得日销售总利润不低于 24500 元，则日销售零件的件数不能少于 ， 根据题中数据大于等于 70 件的频数为 6+39， 故所求频率为 ； （2）（i）该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两大箱，则批发成本为 602550 66000 元， 当日销售量为 50 件时， 当日利润为 501000+0.9（12050）5506600018650 元； 当日销售量为 70 件时， 当
32、日利润为 701000+0.9（12070）5506600028750 元； 当日销售量为 90 件时， 当日利润为 901000+0.9（12090）5506600038850 元； 当日销售量为 110 件时， 当日利润为 1101000+0.9（120110）5506600048950 元 所以这 30 天这款零件的总利润为 186505+2875015+388508+48950293.32万元； （ii） 若该 4S 店试销结束后连续 30 天每天批发两小箱， 则批发成本为 45260054000 元， 当日销售量为 50 件时， 当日利润为 501000+0.9（9050）60054
33、00017600 元； 当日销售量为 70 件时， 当日利润为 701000+0.9（9070）6005400026800 元； 当日销售量为 90 件或 110 件时， 当日利润为 9010005400036000 元， 所以这 30 天这款零件的总利润为 176005+2680015+360001085 万元， 因为 93.32 万元85 万元，所以每天应该批发两大箱 【点评】本题考查了频数，频率的计算，考查了运算能力和实际运用能力，中档题 20已知函数 f（x）x3ex （1）求 f（x）的单调区间； （2）若不等式 f（x）mx2对 x一、选择题恒成立，求 m 的取值范围 【分析】（1
34、）求导得 f（x）x2ex（x+3），令 f（x）0，令 f（x）0，进而可 得函数得单调递增，递减区间 （2） 当 x0 时， 原不等式为 00， 显然成立， 当 x0 时， 原不等式等价于 mxex对 xR 恒成立，设 g（x）xex（x0），只需求出 g（x）的最小值，即可得到答案 解：（1）f（x）3x2ex+x3exx2ex（x+3）， 令 f（x）0，得 x3， 则 f（x）的单调递增区间为3，+）； 令 f（x）0，得 x3， 则 f（x）的单调递减区间为，3）； （2）当 x0 时，不等式 f（x）mx2，即 00，显然成立， 当 x0 时，不等式 f（x）mx2对 xR 恒成
35、立，等价于 mxex对 xR 恒成立， 设 g（x）xex（x0），g（x）（x+1）ex， 令 g（x）0，得 x1， 令 g（x）0，得 x1，且 x0， 所以 g（x）ming（1） ， 所以 m ，即 m 的取值范围为（， 【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，以及恒成立问题，属中档题 21设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若 ， ，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示），并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 【分析】 （1
36、） 当直线 l 的斜率不存在时， 判断是否满足题意； 设其方程为 联立直线与抛物线方程，设 M（x1，y1），N（x2，y2），通过韦达定理以及抛物线 的性质，求解即可 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）直线代入抛物线方程， 利用韦达定理以及判别式，转化求解 kPM+kPN0，说明直线 PM，PN 的斜率互补，从而 MPN 的平分线始终与 y 轴平行 解： （1） 当直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为 ， 代入抛物线方程可得 y 2p2， 即 yp， 所以|MN|2p， 但|MN|3p，故直线 l 的斜率存在，设其方程为 由 ， ， 得 ， 设
37、 M（x1，y1），N（x2，y2 ），则 ， 所以 ， 解得 ，所以直线 l 的斜率为 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1），N（x2，y2） 得 x2（2m+2p）x+m20， 则 ， 由（2m+2p）24m20，得 又 ，所以 ， 从而 l 在 y 轴上的截距的取值范围为 ， ， ， 所以直线 PM，PN 的斜率互补， 从而MPN 的平分线始终与 y 轴平行 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的方程的求法以及简单 性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题 选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
38、一个题 目计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解： （1） 曲线 E 的极坐标方程为 转换为直角坐标方程为 x2+y2 6x12y+270，整理得（x3）2+（y6）218 （2）易知曲线 E 过定点 M（3，0）其图象关于
39、直线 x3 对称的“V”字形 由于曲线 E 是以（3，6）为圆心 3 为半径的圆， 所以 k0， 当 x3 时，曲线 C 的方程为 ykx3k，即 kxy3k0， 则圆心（3，6）到直线的距离 d ， 解得 k21，由于 k0， 所以 k1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 xR，任意 tR 恒成立
40、，求 m 的取 值范围 【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集； （2）原不等式等价为|2x5|+|2x1|tm|t+4|+m，由绝对值不等式的性质分别求得 此不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围 解：（1）|2x5|2x+1|1 等价为 或 或 ， 解得 x 或 x 或 x， 所以原不等式的解集为（， ）； （2）不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 等价为|2x5|+|2x1|tm|t+4|+m， 可令 h（x）|2x5|+|2x1|，则 h（x）|2x52x1|6， 当且仅当（2x5）（2x+1）0，取得等号，即 h（x）min6， 而|tm|t+4|+m|tmt4|+mm+|m+4|， 由题意可得 6m+|m+4|，即 m6m+46m，解得 m1， 则 m 的取值范围是（，1） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和 等价转化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题
