1、1已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 2复数 z（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 已知等差数列an的前 n 项和 Sn有最小值， 且， 则使得 Sn0 成立的 n 的最小值是 （ ） A11 B12 C21 D22 4已知（1+x）5a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则 a3（ ） A40 B40 C10 D10 5已知向量，且，则（ ） A B C D 6执行如图所示的程序框图
2、，则输出 S 的值为（ ） A4097 B9217 C9729 D20481 7 某次知识竞赛规则如下： 在主办方预设的 7 个问题中， 选手若能连续正确回答出两个问题， 即停止答题， 晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.7，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手 恰好回答了 5 个问题就晋级下一轮的概率等于（ ） A0.07497 B0.92503 C0.1323 D0.6174 8已知函数，若 a，b，c 互不相等，且 f（a）f（b）f（c） ，则 abc 的取值 范围是（ ） A （1，10） B （5，6） C （10，12） D （20，24） 9322 路公交车每
3、日清晨 6：30 于始发站 A 站发出首班车，随后每隔 10 分钟发出下一班车甲、乙二人某 日早晨均需从 A 站搭乘该公交车上班，甲在 6：356：55 内随机到达 A 站候车，乙在 6：507：05 内 随机到达 A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（ ） A B C D 10已知 x，y 满足条件，若 zax+y 的最大值为 0，则实数 a 的值为（ ） A B2 C D2 11若函数 f（x）有最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C2，+） D 12已知 f（x）lnx+2，若对x1（0，1，x21，1，都有 f（x1）g（x2） ， 则 a 的取值范围为
4、（ ） A （，2e B （2，2e C D 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考 题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13设函数 f（x）的导数为 f（x） ，且 f（x）x3+f（）x2x，则 f（1） 14斜率为的直线过双曲线的左焦点 F1与双曲线的右支交于点 P，且 PF2 与 x 轴垂直（F2为右焦点） ，则此双曲线的离心率为 15设随机变量 XB（2，p） ，随机变量 YB（3，p） ，若 P（X1），则 D（3Y+1） &nbs
5、p; 16已知数列an的前 n 项和，如果存在正整数 n，使得（pan） （pan+1）0 成立，则 实数 p 的取值范围是 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设bsinAa（2+cosB） （1）求 B； （2）若ABC 的面积等于，求ABC 的周长的小值 18我国政府对 PM2.5 采用如下标准： PM2.5 日均值 m（微克/立方米） 空气质量等级 m35 一级 35m75 二级 m75 超标 某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中， 随机抽取 l0 天的数据作
6、为样本， 监测值如茎叶图所示 （十 位为茎，个位为叶） （）求这 10 天数据的中位数 （）从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据，记 表示空气质量达到一级的天数，求 的分布列； （）以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况，记 为这 180 天空气质量达到一级 的天数，求 的均值 19在四棱锥 PABCD 中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA2AB2 （）求四棱锥 PABCD 的体积 V； （）若 F 为 PC 的中点，求证：平面 PAC平面 AEF； （）求二面角 EACD 的大小 20已知椭圆 E：（ab0
7、）的短轴长为 2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的 四个顶点，过 E 的左焦点 F 且不与坐标轴垂直的直线 l 与 E 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线 m 与 x 轴，y 轴分别交于 M，N 两点，交线段 AB 于点 C （）求 E 的方程； （）设 O 为坐标原点，记FCM 的面积为 S1，OMN 的面积为 S2，且，当 2，5时，求 l 的斜率的取值范围 21若存在实数 k，b，使得函数 f（x）和 g（x）对其定义域上的任意实数 x 同时满足：f（x）kx+b 且 g （x）kx+b，则称直线：l：ykx+b 为函数 f（x）和 g（x）的“隔离直线” 已知 f（
8、x）x2，g（x） 2elnx（其中 e 为自然对数的底数） 试问： （1）函数 f（x）和 g（x）的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由； （2）函数 f（x）和 g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在， 请说明理由 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计 分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（其中 t 为参数，且 0） ，在以 O 为极 点、 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系 （两种坐标系取相同的单位长度）
9、 中， 曲线 C 的极坐标方程为 tan2 ，设直线 l 经过定点 P，且与曲线 C 交于 A、B 两点 （）求点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程； （）求证：不论 a 为何值时，为定值 23. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 f（x）|2x+1|x4| （1）解不等式 f（x）0； （2）若 f（x）+3|x4|m2|对一切实数 x 均成立，求 m 的取值范围 深圳市福田中学深圳市福田中学 2020 届高三质量监测数学（理）试卷届高三质量监测数学（理）试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5
10、分）分） 1解：A（1，3） ，B1，+） ， AB1，3） ， R（AB）（，1）3，+） ， 故选：A 2解：由 z+i； z+i，对应的点为（，）在第二象限 故选：B 3解：由题意可得等差数列an的公差 d0 因为，所以 a120，a110， 所以 a11+a120， 则， S2121a110故使得 Sn0 成立的 n 的最小值是 22 故选：D 4解：已知2（1x）5， 则 a3 （1）32240， 故选：A 5解：向量， 则2（2x，4） ； 又， 则 （2）0， 即（2x）+040， 解得 x； 所以+0（2） 故选：D 6解：阅读流程图可知，该流程图的功能是计算： S120+22
11、1+322+1029， 则 2S121+222+929+10210， 以上两式作差可得：S20+21+22+291021010210， 则：S9210+19217 故选：B 7解：在主办方预设的 7 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.7，且每个问题的回答结果相互独立， 该选手恰好回答了 5 个问题就晋级下一轮， 该选手第一和第二个问题一对一错，第三个问题错，第四和第五个问题全对，或前 3 题全错而第 4 第 5 全对， 则该选手恰好回答了 5 个问题就晋级下一轮的概率： P+0330720.07497 故选：A 8解：作
12、出函数 f（x）的图象如图， 不妨设 abc，则 ab1， 则 abcc（10，12） 故选：C 9解：由题意知本题是一个几何概型， 设甲和乙到达的分别为 6 时+x 分、6 时+y 分， 则 35x55，50y65， 他们能搭乘同一班公交车，则 50x55，50y60 则试验包含的所有区域是 （x，y）|35x55，50y65， 他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为 A（x，y）|50x55，50y60， 如图： 则他们能搭乘同一班公交车的概率是 故选：A 10解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0） ，B（1，2） ，C（4，2） 化目标函数 zax+y 为 yax+z， 若 zax+y
13、 过 A 时取得最大值为 0，则 2a0，解得 a0， 此时，目标函数为 zy， 平移直线 yz， 当直线与直线 BC 重合时时，截距最大，不满足条件，舍去， 若 zax+y 过 B 时取得最大值为 0，则 a+20，解得 a2， 此时，目标函数为 z2x+y， 即 y2x+z， 平移直线 y2x+z，当直线经过 B（1，2）时，截距最大，此时 z 最大为 0，满足条件， 故 a2 成立； 若 zax+y 过 C（4，2）时取得最大值为 0，则 4a+20，解得得 a， 此时，目标函数为 zx+y， 即 yx+z， 平移直线 yx+z，当直线经过 A（2，0）时，截距最大，此时 z 最大为 1
14、，不满足条件，舍去； 故符合条件的只有2 故选：B 11解：由 xa 时，f（x）2x1 递减，可得 f（x）2a1，无最大值， 函数 f（x）有最大值， 可得 xa 时，f（x）取得最大值 M，且 M2a1， 由 f（x）（x+1） ex的导数为 f（x）（x+2）ex， 可得 x2 时，f（x）0，f（x）递减；x2 时，f（x）0，f（x）递增 即有 f（x）在 x2 处取得极大值，且为最大值 e 2 若 a2，则 f（x）在（，a递增，可得 f（x）f（a）（a+1） ea， 由题意可得（a+1） ea2a1， 即有（a+1） ea2a10， 由 g（a）（a+1） ea2a1 的导数
15、为 g（a）（a+2） ea20， （a2） ， 则 g（a）在 a2 递减，可得 g（a）g（2）e 2+30， 则不等式（a+1） ea2a10 无实数解 故 a2，可得 x2 处 f（x）取得最大值，且为e 2， 由e 22a1， 解得 a， 综上可得，a 的范围是，+） 故选：A 12解：g（x）x（x2） ，1x0 时，g（x）0，0x1 时，g（x）0，g（x）maxg （0）2， f（x）lnx+ex2 在（0，1恒成立，即 axlnx+ex22x 在（0，1恒成立， 令 h（x）xlnx+ex22x（0x1） ，h（x）lnx+2ex1，h+2e恒成立， h（x）在 x（0，1
16、单调递增，又 x0 时，h（x），h（1）e20， 故存在 x0（0，1，使得 0xx0，h（x）0，x0x1，h（x）0， 即 h（x0）lnx0+2ex010，解得 x0， h（x）minh（）+e （）22， a， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13解：根据题意，f（x）x3+f（）x2x，其导数 f（x）3x2+2f（）x1， 令 x可得：f（）3（）2+2f（） 1，解可得 f（）1， 则 f（x）3x22x1， 故 f（1）3210， 故答案为：0 14解：斜率为的直线过双曲线的左焦点 F1， 可得直线方程为
17、：y（x+c） ， 直线与双曲线的右支交于点 P，且 PF2与 x 轴垂直（F2为右焦点） ， 可得 P 的纵坐标为：， 所以：， 可得，e1， 可得 e 则此双曲线的离心率 故答案为： 15解：随机变量 XB（2，p） ，随机变量 YB（3，p） ，P（X1）， P（X1）1P（X0）1， 解得 P， YB（3，） ，D（Y）3， D（3Y+1）9D（Y）96 故答案为：6 16解：数列an的前 n 项和， ， a2S2S1（1）3， 又， ， 由题意知数列an的奇数项为递减的等比数列且各项为正， 偶数项为递增的等比数列且各项为负， 不等式（pan） （pan+1）0 成立即存在正整数 k
18、使得 a2kpa2k1成立， 只需要 a2a4a2kpa2k1a3a1， 即即可， 故即实数 p 的取值范围是（，） 故答案为： （，） 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17解： （1）因为bsinAa（2+cosB） 由正弦定理得 显然 sinA0，所以 所以 2sin（B）2，B（0，） 所以， （2）依题意，ac4 所以时取等号 又由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c2+ac3ac12 当且仅当 ac2 时取等号 所以ABC 的周长最小值为 18解： （ I）由茎叶图知： 10 天的中位数为（38+44）241（微克/立方米）（2 分）
19、（ II）由 N10，M4，n3， 的可能值为 0，1，2，3 利用（k0，1，2，3）即得分布列： 0 1 2 3 P （ III）一年中每天空气质量达到一级的概率为， 由 ， 得到（天） ， 一年中空气质量达到一级的天数为 72 天（13 分） 19解： （）在 RtABC 中，AB1，BAC60， ，AC2（1 分） 在 RtACD 中，AC2，CAD60， ，AD4（2 分） （4 分） 则 （）PA平面 ABCD，PACD（6 分） 又 ACCD，PAACA， CD平面 PAC（7 分） E、F 分别为 PD、PC 中点， EFCD（8 分） EF平面 PAC（9 分） EF平面 A
20、EF， 平面 PAC平面 AEF （）取 AD 的中点 M，连接 EM，则 EMPA， EM平面 ACD，过 M 作 MQAC 于 Q， 连接 EQ，则EQM 为二面角 EACD 的平面角 M 为 AD 的中点，MQAC，CDAC， ，又， ，故EQM30 即三面角 EACD 的大小为 30（14 分） 20 （本小题满分 12 分） 解： （）由题意可得 2b2，b1，半焦距 c1， （2 分） 所以 a2b2+c22， （3 分） 所以 E 的方程 （4 分） （）由（）得 F（1，0） ， 设直线 l 的方程为 yk（x+1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立方程组消去 y，
21、得（2k2+1）x2+4k2x+2k220， （6 分） 由韦达定理得， （7 分） 所以点 C 的坐标为， （8 分） 可得直线 m 的方程为， 易得， （9 分） 所以， ， ， （11 分） 所以， 即 l 的斜率的取值范围为 21解： （1）F（x）f（x）g（x）x22elnx（x0） ， F（x）2x 令 F（X）0，得 x， 当 0x时，F（X）0，X时，F（x）0 故当 x时，F（x）取到最小值，最小值是 0 从而函数 f（x）和 g（x）的图象在 x处有公共点 （2）由（1）可知，函数 f（x）和 g（x）的图象在 x处有公共点，因此存在 f（x）和 g（x）的隔离 直线，那
22、么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 k则隔离直线方程为 yek（x，即 y kxk+e 由 f（x）kxk+e（xR） ，可得 x2 kxk +e， 由 f（x）kxk+e（xR） ，可得 x2kx+ke0 当 xR 恒成立， 则k24k+4e（k2 ）2 0，只有 k2 ，此时直线方程为：y2 xe， 下面证明 g（x）2 xeexx 0 恒成立， 令 G（x）2 xeg（x）2 xe2elnx， G（X）2 （2 x2c）/x2 （x）/x， 当 x时，G（X）0，当 0x时 G（X）0， 则当 x时，G（x）取到最小值，极小值是 0，也是最小值 所以 G（x）2 xeg（x）0，则
23、 g（x）2 xe 当 x0 时恒成立 函数 f（x）和 g（x）存在唯一的隔离直线 y2 xe 22. 解： （）直线 l 的参数方程为（其中 t 为参数，且 0） ， t0 时，得点 P（1，0） ，即点 P 的直角坐标为（1，0） ； 又曲线 C 的极坐标方程为 tan2， sin22cos0， 2sin22cos0， y22x（x0） ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 y22x（x0） ； （）证明：将直线 l 的参数方程代入 y22x（x0） ， 整理得 t2sin22tcos20，其中 0， 4cos2+8sin24+4sin20， t1+t2，t1t2； +1； 即不论 a 为何值时，都为定值 1 23.解： （1）当 x4 时，f（x）2x+1x+4x+5，原不等式即为 x+50， 解得 x5x4，x4； 当时，f（x）2x+1+x43x3，原不等式即为 3x30， 解得，1x4； 当时，f（x）2x1+x4x5，原不等式即为x50， 解得 x5，x5； 综上，原不等式的解集为x|x1 或 x5 （2）f（x）+3|x4|2x+1|+2|x4|2x+1（2x8）|9 当时，等号成立f（x）+3|x4|的最小值为 9， 要使 f（x）+3|x4|m2|成立，故|m2|9， 解得 m 的取值范围是：7m11
