1、 6 上一讲讨论了有关直线和环形上的排列问题，其实在日常生活中我们遇到的更多是排成一个阵列， 最常见的就是正方形阵和长方形阵，例如： 其中正方形阵又可以简称为方阵，这就是本讲主要讨论的问题，前图中的小山羊、卡莉娅和蛋糕就 一起组成了一个三层的方阵，大家可以仔细观察图中小山羊、卡莉娅和蛋糕的位置和数量，从中找出一 些关于方阵的规律来 先来看看小山羊的数量，一边上有 6 个小山羊，一共有 20 只小山羊，并不是6424只，因为角 落上的小山羊都被算了 2 次，要减去多算的 1 次，所以有64420只 数一数， 图中小山羊比卡莉娅多几个？卡莉娅又比蛋糕多了几个？不难发现， 每个方向上的小山羊 要比卡
2、莉娅多 2 个，每个方向上的卡莉娅要比蛋糕多 2 个，而小山羊、卡莉娅和蛋糕分别占据了这个方 阵的三层，并且小山羊比卡莉娅多 8 个，卡莉娅比蛋糕多 8 个 一般来说： 第第十十八八讲讲 阵列问题阵列问题 7 方阵里相邻的两层之间每条边上的人数差方阵里相邻的两层之间每条边上的人数差 2，而每层的人数总和差，而每层的人数总和差 8 但只有一种情况下不符合这条规律：当这个方阵最里层只有 1 个人的时候此层不符合 例题例题1若干名同学站成一个15 15的方阵， 请问： 最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？ 从里向外的第七层有多少人？ 分析分析方阵的最外一层每边有 15 人，是不是最外面一层共有
3、15460人呢？ 练习： 1. 一批同学站成一个10 10的方阵， 请问： 最外一层共有多少人？从外向里的第 3 层有多少人？ 例题例题2一个实心方阵，最外面一层共有 44 人，请问： （1）这个方阵共有多少人？ （2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？ 分析分析 （1）这个方阵最外一层每边有多少人？ （2）减少一行一列，那么最外一层每边多少人？ 练习： 2. 一个实心方阵，最外面一层共有 36 人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？ 前两个例题是有关实心方阵的，相比之下空心方阵的问题要稍难一些，而“相邻层每边差 2，总人 数差 8”仍然适用 例题例题3某小学三年级共
4、有学生 120 人， 排成一个三层的空心方阵 这个方阵最外层每边有多少人？ 如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五 层的空心方阵，那么还需要增加几个人？ 分析分析 要回答后面两问， 第一问是关键， 所以搞清楚这三层每边的人数， 就可以了解方阵的结构 然 后解决这个问题 练习： 3. 共有 240 人排成一个 5 层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层， 变成 6 层空心方阵，还需要增加多少人？ 8 例题例题4用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖 400 块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红 色瓷砖，由外到内的第二圈是绿
5、色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖，这样依次铺 下去请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？ 分析分析先不看颜色，400 块瓷砖一共铺了多少层？最外面一层是红色，那么最里面一层是什么颜 色呢？ 练习： 4. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共 256 块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白 色，第三层是黑色，这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？ 前几个例题都是关于方阵的， 但阵列的形式其实是很多的， 除了方阵， 还有三角阵、 六边形阵等等 这 些阵列也具有非常有趣的性质，只要稍加观察，也可以像方阵那样，总结出很多简单的数量关系与计算 方法 右图就是一个每边
6、7 人的三角形阵列如果我们从上往下数，就会发觉 人数正好构成一个自然数列最上面那层是 1 个人，第二层是 2 个人，第三 层是 3 人， ， 最后一层正好是 7 个人， 总数就等于 1234567=28 由此可见，只要知道三角形阵列的大小，就可以从上往下把总人数加出 来上图是一个每边 7 人的阵列，所以总人数正好是 1 一直加到 7，如果是 每边 8 个人，总人数就应该是从 1 一直加到 8如果每边人数是 n，那总人数就是： 12n 这就是实心 三角形阵列总数的求法 下面来看一个有关三角形阵列的问题 例题例题5如图， 一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成 现 在要在草地上种花，
7、 要求在草地与草地的公共点都种上 （即图中的 A、 B、 C 点） ， 且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有 10 朵花请问：整 个绿地一共要种多少朵花？ 分析分析总共有三片草地，每一片草地上应该种多少朵花？有没有花同时 算在两片草地里的？ 图 4 1 个 2 个 3 个 4 个 5 个 6 个 7 个 草地 草地 草地 水池 A B C 9 例题例题6在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中 的阵列类似从外向内一共 8 层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学 以及两层三年级的同学已知参加表演的六年级同学有 126
8、 名，那么： （1）最外层有多少人？ （2）现在阵列中一共有多少人？ （3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？ 课课 堂堂 内内 外外 自公元前 333 年的伊萨斯之战和公元前 332 年的高伽米拉会战以来， 马其顿方阵的威名传 遍了古代地中海区域，马其顿的敌人提起马其顿方阵就会感到颤栗，因为亚历山大大帝使得方 阵变成了一种传奇：他是不可战胜的马其顿方阵，是一种早期步兵作战时的战术在荷马时 代以前，步兵打起仗来像一窝蜂似地杂乱无章，所以，具有严格阵法的马其顿方阵能轻易地打 败数量上占优势但较混乱的敌人， 这在当时可以说是战术上的创新 古代战争同现代战争一样， 战术也是
9、很重要的因素马拉松之战希腊人之所以大胜波斯人，主要就是在战术上占了上风 马其顿方阵马其顿方阵 10 作业： 1. 请问：一个13 13的方阵中，最外一层共有多少人？从里向外的第 3 层有多少人？ 2. 一个实心方阵，最外面一层共有 56 人，那么这个方阵一共有多少人？ 3. 共有 200 人排成一个 5 层空心方阵， 这个方阵最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一 行一列，那么需要增加多少人？ 4. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了 324 块，最里面一层是蓝色的， 第二层是白色，第三层是蓝色，这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少 块？ 5. 某班
10、所有学生恰好可以排成一个每边为 8 人的三角阵，请问：这个班共有多少人？ 11 第十八讲 阵列问题 1. 例题 1 答案：56；8；48 详解：最外层每边 15 人，但角落上的 4 个人每人都同时位于两条边上，所以最外层共有：15 4456 人； 每往里一层，每边人数会减少 2 个，最里层的每边应该有：152 71 人，共有718 层；从里向外第 7 层每边有：127113人，所以这一层共有：13 4448 人 2. 例题 2 答案： （1）144； （2）23 详解： （1） “最外一层共有 44 人” ， 说明最外层每边有：444 1 12 ， 所以， 这个方阵是一个12 12的方阵， 共
11、有12 12 144人 （2）减少一行一列，也就是变成一个11 11的方阵，需要减少144 11 1123人 3. 例题 3 答案：13；56；24 详解：一个三层方阵，外层比中层多 8 人，中层比内层多 8 人，所以中层有：120340人，最外层共有 40848人，所以，最外层每边484113 人；外面加一层需要有48856人；内部加一层需要 408824 人 4. 例题 4 答案：红色；40 块 详解：共有 400 块瓷砖，所以整个方阵是一个20 20的方阵，共有 10 层，从外往里依次为红、绿两种颜色 相间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它里面相邻的那层绿色瓷砖多 8 块
12、，所以红色比 绿色多5 840块 5. 例题 5 答案：162 详解：每个三角形草地里每边都有 10 朵花，所以每片草地有：123456789 1055 朵花，三 片草地共有：55 3165 朵花但这样算，三角形的连接处都被算了 2 次，多算 1 次，所以整个绿地一共种 花1653162朵 6. 例题 6 答案： （1）66； （2）360； （3）36 详解： （1）六边形阵列中，相邻两层相差 6 人，所以最外层共有：1266266人 （2）共有： 6660544842363024360人 （3）还需要：18 12636人 7. 练习 1 12 答案：36；20 简答：最外层每边 10 人，
13、共有10 4436 人从外向里的第 3 层有：368 220 人 8. 练习 2 答案：21 简答：最外层 36 人，每边364 1 10 人，增加一行一列需要11 11 10 1021人 9. 练习 3 答案：32；24 简答：5 层中间一层共有：240548人，所以最内一层共有：488 232 人，每边324 19 人，内部 增加一层需要32824 人 10. 练习 4 答案：144 简答：25616 16，所以最外层每边 16 块，从外往里共有 8 层，所以黑的共有：604428 12144块 11. 作业 1 答案：48；17 简答：最外层共有：13 4448 人；最里边一层只有 1 人，所以从里向外第 3 层有1 8 217 人 12. 作业 2 答案：225 简答：最外层每边有：564 1 15 人，所以共有15 15225人 13. 作业 3 答案：15；31 简答：中间层共有：200540人，所以最外层共有：408 256 人，每边有564 1 15 人；增加一行 一列需要：16 16 15 1531人 14. 作业 4 答案：蓝色；144 块 简答：32418 18，共有 9 层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12284460144块 15. 作业 5 答案：36 简答：每边为 8 人的三角阵共有：123836 人
