1、2.4 二次函数的应用二次函数的应用 第第 1 课时课时 图形面积的最大值图形面积的最大值 1能根据实际问题列出函数关系式， 并根据问题的实际情况确定自变量取何值 时，函数取得最值；(重点) 2通过建立二次函数的数学模型解决 实际问题， 培养分析问题、 解决问题的能力， 提高用数学的意识， 在解决问题的过程中体 会数形结合思想(难点) 一、情境导入 如图所示，要用长 20m 的铁栏杆，围 成一个一面靠墙的长方形花圃， 怎么围才能 使围成的花圃的面积最大？ 如果花圃垂直于墙的一边长为 xm，花 圃的面积为 ym2，那么 yx(202x)试问： x 为何值时，才能使 y 的值最大？ 二、合作探究
2、探究点一：二次函数 yax2bxc 的 最值 已知二次函数 yax24xa1 的最小值为 2，则 a 的值为( ) A3 B1 C4 D4 或1 解析：二次函数 yax24xa1 有最小值 2，a0，y最小值4acb 2 4a 4a（a1）42 4a 2，整理，得 a23a4 0，解得 a1 或 4.a0，a4.故选 C. 方法总结：求二次函数的最大(小)值有 三种方法，第一种是由图象直接得出，第二 种是配方法，第三种是公式法 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 1 题 探究点二： 利用二次函数求图形面积的 最大值 【类型一】 利用二次函数求矩形面积 的最大值 如图，在一
3、面靠墙的空地上用长 为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的 长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积 为 S 平方米 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取 值范围； (2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最 大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8 米， 则求围 成花圃的最大面积 解析：(1)根据 AB 为 xm，则 BC 为(24 4x)m，利用长方形的面积公式，可求出关 系式；(2)由(1)可知 y 和 x 为二次函数关系， 根据二次函数的性质即可求围成的长方形 花圃的最大面积及对应的 AB 的长；(3)根据 BC 的长度大于 0 且小于等于 8 列出不等式 组求解即
4、可 解：(1)ABx，BC244x，S AB BCx(244x)4x224x(0x 6)； (2)S4x224x4(x3)236， 0x6，当 x3 时，S 有最大值为 36； (3) 244x8， 244x0，4x6. 所以，当 x4 时，花圃的面积最大， 最大面积为 32 平方米 方法总结： 根据已知条件列出二次函数 式是解题的关键 但要注意不要漏掉题中自 变量的取值范围 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练” 第 8 题 【类型二】 利用割补法求图形的最大 面积 在矩形 ABCD 的各边 AB，BC， CD，DA 上分别选取点 E，F，G，H，使得 AEAHCFCG， 如果
5、 AB60， BC40， 四边形 EFGH 的最大面积是( ) A 1350 B 1300 C 1250 D 1200 解析：设 AEAHCFCGx，四边 形EFGH的面积是S.由题意得BEDG60 x，BFDH40x，则 SAHESCGF1 2 x2，SDGHSBEF 1 2(60x)(40x)，所以 四边形EFGH的面积为S6040x2(60 x)(40x)2x2100x2(x25)2 1250(0x40)当 x25 时，S最大值1250. 故选 C. 方法总结： 考查利用配方法求二次函数 的最值，先配方，确定函数的对称轴，再与 函数的自变量的取值范围结合即可求出四 边形 EFGH 的面积
6、最大值 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升” 第 7 题 【类型三】 动点问题中的最值问题 如图， 在矩形 ABCD 中， ABm(m 是大于 0 的常数)，BC8，E 为线段 BC 上 的动点(不与 B、C 重合)连接 DE，作 EFDE，垂足为 E，EF 与线段 BA 交于点 F，设 CEx，BFy. (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)若 m8， 求 x 为何值时， y 的值最大， 最大值是多少？ (3)若 y12 m，要使DEF 为等腰三角 形，m 的值应为多少？ 解析：(1)利用互余关系找角相等， 证明 BEFCDE，根据对应边的比相等求函 数关系式；(2)
7、把 m 的值代入函数关系式， 再求二次函数的最大值；(3)DEF 90， 只有当 DEEF 时， DEF 为等腰三 角形，把条件代入即可 解：(1)EFDE，BEF90 CEDCDE.又BC90， BEFCDE，BF CE BE CD，即 y x 8x m ，解 得 y8xx 2 m ； (2)由(1)得 y8xx 2 m ，将 m8 代入， 得 y1 8x 2x1 8(x 28x)1 8(x4) 2 2，所以当 x4 时，y 取得最大值为 2； (3)DEF90，只有当 DEEF 时，DEF 为等腰三角形，BEF CDE，BECDm，此时 m8x.解方 程12 m 8xx2 m ， 得 x6
8、， 或 x2.当 x2 时， m6；当 x6 时，m2. 方法总结：在解题过程中，要充分运用 相似三角形对应边的比相等的性质建立函 数关系式，是解决问题的关键 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 【类型四】 图形运动过程中的最大面 积问题 如图，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰PQR，PQPR5cm，QR 8cm，点 B、C、Q、R 在同一条直线 l 上， 当 C、Q 两点重合时，等腰PQR 以 1cm/ 秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀速 运动，t 秒后正方形 ABCD 与等腰PQR 重 合部分的面积为 Scm2.解答下列问题： (1)当 t
9、3 秒时，求 S 的值； (2)当 t5 秒时，求 S 的值； (3)当 5 秒t8 秒时， 求 S 与 t 的函数 关系式，并求出 S 的最大值 解析：当 t3 秒和 5 秒时，利用三角 形相似求出重合部分的面积当 5 秒t8 秒时， 利用二次函数求出重合部分面积的最 大值 解：(1)如图，作 PEQR，E 为垂 足PQPR，QERE1 2QR4cm. 在 RtPEQ 中，PE 52423(cm)当 t 3 秒时，QC3cm.设 PQ 与 DC 交于点 G.PEDC， QCGQEP. S SQEP (3 4) 2.S QEP1 2436，S( 3 4) 26 27 8 (cm2)； (2)如
10、图，当 t5 秒时，CR3cm.设 PR 与 DC 交于 G，由RCGREP，可求 出 CG9 4， SRCG 1 23 9 4 27 8 (cm2) 又 SPQR1 28312(cm 2)，SS PQR SRCG1227 8 69 8 (cm2)； 图 (3)如图，当 5 秒t8 秒时，QBt 5，RC8t.设 PQ 交 AB 于点 H，PR 交 CD 于点 G.由QBHQEP，EQ4， BQEQ(t5)4，SBQHSPEQ(t 5)242，又 SPEQ6，SQBH3 8(t5) 2. 由RCGREP， 同理得 SRCG3 8(8t) 2， S123 8(t5) 23 8(8t) 23 4t
11、 239 4 t 171 8 .当 t 39 4 2（3 4） 13 2 时，S 最大，S 的最大值4acb 2 4a 165 16 (cm2) 方法总结：本题是一个图形运动问题， 解题的方法是将各个时刻的图形分别画出， 由“静”变“动”，再设法求解，这种分类 画图的方法在解动态的几何问题时非常有 效 探究点三： 利用二次函数解决拱桥问题 一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图 )，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的 距离均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中 (如图)，求抛物线的解析式； (2)求支柱 EF 的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间 是一条宽 2m 的隔离带
12、)， 其中的一条行车道 能否并排行驶三辆宽 2m、高 3m 的汽车(汽 车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由 解析：(1)根据题目可知 A，B，C 的坐 标，设出抛物线的解析式代入可求解；(2) 设 F 点的坐标为(5，yF)，求出 yF，即可求出 支柱 EF 的长度；(3)设 DN 是隔离带的宽， NG 是三辆车的宽度和作 GHAB 交抛物 线于点 H， 求出点 H 的纵坐标， 判断是否大 于汽车高度即可求解 解：(1)根据题目条件，A，B，C 的坐 标分别是(10，0)，(10，0)，(0，6)设抛 物线的解析式为 yax2c， 将 B， C 的坐标 代入 yax2c，得 6c， 0100
13、ac， 解得 a3 50， c6. 所以抛物线的解析式为 y 3 50 x26； (2)可设 F 点的坐标为(5，yF)，于是 yF 3 505 264.5，从而支柱 EF 的长度 是 104.55.5(米)； (3)如图，设 DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和， 则 G 点坐标是(7， 0) 过 G 点作 GHAB 交抛物线于 H 点，则 yH 3 507 263.063.根据抛物线的特点， 可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽 车 方法总结： 利用二次函数解决抛物线形 的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当 地把这些实际问题中的数据落实到平面直 角坐标系中的抛物线上， 从而确定抛物线的 解析式， 通过解析式可解决一些测量问题或 其他问题 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 6 题 三、板书设计 图形面积的最大值 1求函数的最值的方法 2利用二次函数求图形面积的最大值 3利用二次函数解决拱桥问题 由于本节课的内容是二次函数的应用问题， 重在通过学习总结解决问题的方法， 故而本 节课以“启发探究式”为主线开展教学活 动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以 小组合作讨论， 充分调动学生学习积极性和 主动性，突出学生的主体地位，达到“不但 使学生学会，而且使学生会学”的目的.
