1、设 m，n 表示不同直线， 表示不同平面，下列叙述正确的是（ ） A若 m，mn，则 n B若 mn，m，n，则 C若 ，则 D若 m，n，则 mn 5 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 ya x1，ylog a+1x（a0，且 a1）的图象可能 是（ ） A B C D 6 （3 分）已知 aR，则“a2”是“方程 ax2+2x+10 至少有一个负根”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （3 分）已知an是公差为 d 的等差数列，前 n 项和是 Sn，若 S9S8S10，则（ ） 第 2 页（共 20 页） Ad0，S170 Bd0，S17
2、0 Cd0，S180 Dd0，S180 8 （3 分）设实数 a，b 满足 b0，且 a+b2则+的最小值是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，在三棱台 ABCA1B1C1中，M 是棱 A1C1上的点，记直线 AM 与直线 BC 所成的角为 ， 直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ， 二面角 MACB 的平面角为 则 （ ） A， B， C， D， 10 （3 分）若关于 x 的不等式 4x3+ax10 对任意 x1，1都成立，则实数 a 的取值范 围是（ ） A4，3 B3 C3 D3，4 二、填空题二、填空题 11 （3 分）已知 a+bi（a，bR）是 z的共轭复数，则 a+
3、b ，|z| 12 （3 分）已知直线 l：xy+b0，与圆 C：x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，若AOB 30（O 为坐标原点） ，则 b ，|AB| 13 （3 分） 函数 f （x） 为定义在 R 上的奇函数， 则 m ， f （1og2） 14 （3 分）如图示，一个空间几何体的三视图如图所示（单位：cm） 则该几何体的体积为 cm3表面积为 cm2 第 3 页（共 20 页） 15 （3 分） 在ABC 中， AB5， BAC 的平分线交边 BC 于 D 若ADC45 BD， 则 sinC 16 （3 分）已知椭圆+1（ab0）的内接ABC 的顶点 B 为短轴的一个端点，
4、 右焦点 F，线段 AB 中点为 K，且2，则椭圆离心率的取值范围是 17 （3 分）已知向量 ， 满足| + |1，| |2，则| |+| |的取值范围为 三、解答题三、解答题 18 （14 分）已知角 的顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺 时针方向旋转后得到角 的终边，且经过点（，） （）求 cos 的值； （）求函数 f（x）cos2（x）+sin2（x+）的值域 19 （15 分）如图，三棱柱 ABCAlBll所有的棱长为 2，AlBAlC，M 是棱 BC 的中 点 （）求证：AlM平面 ABC； （）求直线 BlC 与平面 ABBlAl所成角的正弦值 2
5、0 （15 分）已知等差数列an的公差不为零，且 a33，al，a2，a4成等比数列，数列bn 满足 b1+2b2+nbn2an（nN*） （）求数列an，bn的通项公式； （）求证：+an+1（nN*） 21 （15 分）如图，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（1，0） ，过点 T（2，0）的直 线与抛物线 C 交于点 A，B，直线 AF，BF 分别与抛物线 C 交于点 A1，B1 （）求抛物线 C 的标准方程； （）求FAlB1与FAB 的面积之和的最小值 第 4 页（共 20 页） 22 （15 分）已知函数 f（x）alnx+（aR） （）若 a1，求函数 f（x）的单调区间
6、； （）若存在两个不等正实数 x1，x2，满足 f（x1）f（x2） 且 x1+x22，求实数 a 的 取值范围 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷学年浙江省高中发展共同体高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）设集合 U0，1，2，3，P0，1，Q1，3，则 P（UQ）（ ） A0，2 B0，3 C0，1，2 D0，1，3 【分析】根据题意，求出UQ，再运算 【解答】解：集合 U0，1，2，3，P0，1，Q1，3，UQ0，2， 则 P（UQ）0，1，2， 故选：C 【点评】考
7、查集合的交并补的运算，基础题 2 （3 分）双曲线1 的渐近线方程为（ ） A3x2y0 B2x3y0 C9x4y0 D4x9y0 【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2， b3，结合双曲线的渐近线方程计算可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为1， 则其焦点在 x 轴上，且 a2，b3， 则其渐近线方程为：yx，即 3x2y0； 故选：A 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线的焦点的位置 3 （3 分）设实数 x，y 满足条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A B1 C2 D4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意
8、义，即可得到结论 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 C 时， 直线 y2x+z 的截距最 小， 此时 z 最小， 由，即， 即 C（0，1） ，此时 z0+11， 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 4 （3 分）设 m，n 表示不同直线， 表示不同平面，下列叙述正确的是（ ） A若 m，mn，则 n B若 mn，m，n，则 C若 ，则 D若 m，n，则 mn 【分析】选项 A 中还有直线 n 在平面 内的情况，选项 B、
9、选项 C 中还有两个平面相交 的情况，D 选项中忙着直线与平面垂直的性质定理 【解答】解：选项 A 中若 m，mn，则 n，还有直线 n 在平面 内的情况，故 A 不正确， 选项 B 中若 mn，m，n，则 ，有可能两个平面相交，故 B 不正确， 选项 C 中若 ，则 ，还有两个平面相交的可能，故 C 不正确 选项 D，若 m，n，则 mn，满足直线与平面垂直的性质，所以 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查命题的真假的判断，平面的基本性质及推论，本题解题的关键是在推 导这种线面位置关系的问题时，注意容可能的情况属于基础题 第 7 页（共 20 页） 5 （3 分）在同一直角坐标系中，函数
10、ya x1，ylog a+1x（a0，且 a1）的图象可能 是（ ） A B C D 【分析】分情况当 a1，当 0a1，两种情况分析这两个函数的图象单调性，进而得 出结论 【解答】解：当 a1 时， 函数 ya x 在（，+）上单调递减且是曲线，向下平移一个单位长度得 ya x1， 排除 A，B，C，D，没有符合题意的， 当 0a1 时， 函数 ya x 在（，+）上单调递增且是曲线，向下平移一个单位长度得 ya x1， 排除 B，当 x0 时，y0，排除 D 此时 a+11，函数 yloga+1x（a0，且 a1）在（0，+）上单调递增，排除 A 故选：C 【点评】本题考查函数图象与性质，
11、属于中档题 6 （3 分）已知 aR，则“a2”是“方程 ax2+2x+10 至少有一个负根”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】分类讨论 a 的正负，利用两根与系数的关系、判别式，进而求解判断即可 【解答】解： （1）当 a0 时，方程变为 2x+10，有一负根 x，满足题意， （2）当 a0 时，44a0，方程的两根满足 x1x20，此时有且仅有一个负根， 满足题意， 第 8 页（共 20 页） （3）当 a0 时，由方程的根与系数关系可得， 方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件44a0， 0a1， 综上可得，a1， “a2”是
12、“方程 ax2+2x+10 至少有一个负根”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】考查分类讨论思想，韦达定理，判别式，充分必要条件以及集合的包含关系， 是一道基础题 7 （3 分）已知an是公差为 d 的等差数列，前 n 项和是 Sn，若 S9S8S10，则（ ） Ad0，S170 Bd0，S170 Cd0，S180 Dd0，S180 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出单调性，进而得出结论 【解答】解：S9S8S10， a90，a9+a100，a100，d0 S1717a90，S189（a9+a10）0 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力
13、与计算能 力，属于基础题 8 （3 分）设实数 a，b 满足 b0，且 a+b2则+的最小值是（ ） A B C D 【分析】由已知，分别讨论 a0，a0 两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较 可得最小值 【解答】解：由题意可知，a0， 当 a0 时，+， 当且仅当且 a+b2 即 a，b时取等号， 当a0时，+ ， 第 9 页（共 20 页） 当且仅当且 a+b2 时取等号， 综上可得，最小值 故选：C 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑 9 （3 分）如图，在三棱台 ABCA1B1C1中，M 是棱 A1C1上的点，记直线 AM 与直线 BC 所成
14、的角为 ， 直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ， 二面角 MACB 的平面角为 则 （ ） A， B， C， D， 【分析】根据最小角定理得 ，根据最大角定理得 【解答】解：在三棱台 ABCA1B1C1中，M 是棱 A1C1上的点， 记直线 AM 与直线 BC 所成的角为 ，直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ， 二面角 MACB 的平面角为 根据最小角定理得 ， 根据最大角定理得 故选：A 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、最小 角定理和最大角定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10 （3 分）若关于 x 的不等式 4x3+ax10 对
15、任意 x1，1都成立，则实数 a 的取值范 围是（ ） A4，3 B3 C3 D3，4 【分析】令 f（x）4x3+ax1，x1，1，将问题转化为 f（x）0 对任意 x1， 第 10 页（共 20 页） 1都成立，然后根据选项取 a4，a3 即可排除错误选项 【解答】解：令 f（x）4x3+ax1，x1，1 不等式 4x3+ax10 对任意 x1，1都成立，即 f（x）0 对任意 x1，1都成立， 取 a4，则 f（x）4x34x1，此时 f（）0，排除 A 取 a3，则 f（x）4x3+3x1，此时 f（）10，排除 CD 故选：B 【点评】本题考查了利用不等式恒成立求参数的范围，考查了转
16、化思想，属中档题 二、填空题二、填空题 11 （3 分）已知 a+bi（a，bR）是 z的共轭复数，则 a+b ，|z| 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，再由复数的基本概念求得 a 与 b 的值，则 a+b 与|z|可求 【解答】解：z， 且 a+bi（a，bR）是 z的共轭复数， a，b，则 a+b， |z| 故答案为：， 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法， 是基础题 12 （3 分）已知直线 l：xy+b0，与圆 C：x2+y22x2y0 相交于 A，B 两点，若AOB 30（O 为坐标原点） ，则 b ，|AB| 【分析】由圆的方程
17、求出圆心坐标与半径，再由余弦定理求弦长，然后利用圆心到直线 的列式求解 b 值，则答案可求 【解答】解：化圆 C：x2+y22x2y0 为（x1）2+（y1）22， 可知圆心坐标为（1，1） ，半径 r， 由题意，OAOB，由AOB30，得ACB60， 得|AB|22， 第 11 页（共 20 页） 即|AB|； 则圆心 C 到直线 l 的距离 d， 即|b|，即 b 故答案为：； 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题 13 （3 分） 函数 f （x） 为定义在 R 上的奇函数， 则 m 1 ， f （1og2） 8 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（0）4
18、0+m0，解可得 m 的值，进而求出 f （1og23）的值，由奇函数的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）为定义在 R 上的奇函数，则有 f（0） 40+m0， 解可得：m1， 则 f（1og23）118， 则 f（1og2）f（1og23）f（1og23）8； 故答案为：1，8 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，关键是求出 m 的值 14 （3 分）如图示，一个空间几何体的三视图如图所示（单位：cm） 则该几何体的体积为 cm3表面积为 cm2 第 12 页（共 20 页） 【分析】由三视图还原原几何体，再由棱锥体积公式求体积，由三角形面积公式求表面
19、积 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥 PABC，底面三角形为等腰直角三角形，ACBC1，ACBC， 侧面 PAC底面 ABC，过 P 作底面垂线 PO，则 PO1 该几何体的体积 V； 在PAB 中，求得 PA，AB，PB， 则 表面积 S 故答案为：； 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 15 （3 分） 在ABC 中， AB5， BAC 的平分线交边 BC 于 D 若ADC45 BD， 则 sinC 【分析】由已知结合正弦定理可求 sinBAD，结合 AD 为BAC 的平分线可得BAD CAD，再由 sinCsin（DAC+4
20、5） ，结合和角正弦公式即可求解 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：ABD 中，由正弦定理可得， 所以 sinBAD， AD 为BAC 的平分线即BADCAD， sinCsin（DAC+45） 故答案为： 【点评】本题主要考查了利用正弦定理求解三角形，属于基础题 16 （3 分）已知椭圆+1（ab0）的内接ABC 的顶点 B 为短轴的一个端点， 右焦点 F，线段 AB 中点为 K，且2，则椭圆离心率的取值范围是 （0，） 【分析】设 B（0，b） ，F（c，0） ，A（x1，y1） ，C（x2，y2） ，由线段 AB 中点为 K，且 2，可得 F 为ABC 的重心，运用三角形的重心坐标
21、公式，以及 AC 的中点在椭圆 内，结合离心率公式可得范围 【解答】解：由题意可设 B（0，b） ，F（c，0） ， 线段 AB 中点为 K，且2， 可得 F 为ABC 的重心，设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 由重心坐标公式可得， x1+x2+03c，y1+y2+b0， 即有 AC 的中点坐标，可得 x，y， 由题意可得中点在椭圆内， 第 14 页（共 20 页） 可得+1， 由 e，可得 e2，即有 0e 故答案为： （0，） 【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆离心率的范围的求法，注意运用三角形 的重心坐标，中点在椭圆内这是求解的关键所在，考查运算能力，属于中档题 17
22、 （3 分）已知向量 ， 满足| + |1，| |2，则| |+| |的取值范围为 2， 【分析】易得，结合（| |+| |）22（5，可得| |+| |又 | |+| | |，可得| + |2，即可求解 【解答】解：| + |1，| |2， ，则（| |+| |）22（5，则| |+| | 又| |+| | |，| + |2 2| | 故答案为：2， 【点评】本题考查了向量的模的取值范围，属于中档题 三、解答题三、解答题 18 （14 分）已知角 的顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺 时针方向旋转后得到角 的终边，且经过点（，） （）求 cos 的值； （）求函
23、数 f（x）cos2（x）+sin2（x+）的值域 【分析】 （I）利用） 的终边经过点（，） ，+，求出结论； （II）化简 f（x） ，再求出值域 【解答】解： （I） 的终边经过点（，） ， 由，故 cos，sin， +， 第 15 页（共 20 页） 所以 coscos（+）sin； （II）f（x）cos2（x）+sin2（x+） cos2（x）+sin2（x+） cos2（x）+cos2（x+） （cosxcos+sinxsin）2+（cosxcossinxsin）2 2（cos2xcos2+sin2xsin2） 【点评】考查三角函数的定义，考查三角函数的化简，三角函数的性质等，中
24、档题 19 （15 分）如图，三棱柱 ABCAlBll所有的棱长为 2，AlBAlC，M 是棱 BC 的中 点 （）求证：AlM平面 ABC； （）求直线 BlC 与平面 ABBlAl所成角的正弦值 【分析】 （）由题意证明 AMBC，A1MAM，即可证明 AlM平面 ABC； （）分别以 MA、MB、MA1为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 利用坐标表示向量以，求出平面 ABB1A1的法向量 ，计算|cos ，|即可 【解答】解： （）三棱柱 ABCAlBll所有的棱长为 2，AlBAlC，M 是棱 BC 的 第 16 页（共 20 页） 中点； 所以 AMBC，所以 A1M1； 又 A
25、MAB2，AA12， 所以 AM2+， 所以 A1MAM，且 AMBCM， 所以 AlM平面 ABC； （）分别以 MA、MB、MA1为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示； 则 M（0，0，0） ，A（，0，0） ，B（0，1，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，0，1） ， 所以（0，2，0）（，0，1）（，2， 1） ， 又（，1，0） ，（，0，1） ， 设平面 ABB1A1的法向量为 （x，y，z） ， 则，即， 令 x1，则 yz，所以 （1，） ； 所以 cos ， 所以直线 BlC 与平面 ABBlAl所成角的正弦值为 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考
26、查了空间角的计算问题，考查了 运算求解能力和逻辑思维能力，是中档题 20 （15 分）已知等差数列an的公差不为零，且 a33，al，a2，a4成等比数列，数列bn 第 17 页（共 20 页） 满足 b1+2b2+nbn2an（nN*） （）求数列an，bn的通项公式； （）求证：+an+1（nN*） 【分析】 （）设等差数列的公差为 d，d0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中 项性质，解方程可得首项和公差，进而得到 an；可令 n1，求得 b1，再将 n 换为 n1， 相减可得 bn； （）原不等式转化为+n+1，应用数学归纳法证明，注意 检验 n1 不等式成立，再假设 nk 时不等式
27、成立，证明 nk+1 时，不等式也成立，注 意运用分析法证明 【解答】解： （）等差数列an的公差 d 不为零，a33，可得 a1+2d3， al，a2，a4成等比数列，可得 a1a4a22，即 a1（a1+3d）（a1+d）2， 解方程可得 a1d1， 则 ann； 数列bn满足 b1+2b2+nbn2an，可得 b12a12， 将 n 换为 n1 可得 b1+2b2+（n1）bn12an1，联立 b1+2b2+nbn2an， 相减可得 nbn2an2an12，则 bn，对 n1 也成立， 则 bn，nN*； （）证明：不等式+an+1（nN*）即为 +n+1， 下面应用数学归纳法证明 （1
28、）当 n1 时，不等式的左边为，右边为 2，左边右边，不等式成立； （2）假设 nk 时不等式+k+1， 当 nk+1 时，+k+1+， 要证+k+2，只要证 k+1+k+2 ， 第 18 页（共 20 页） 即证1，即证（） （1）0， 由 kN*，可得上式成立，可得 nk+1 时，不等式也成立 综上可得，对一切 nN*，+n+1， 故+an+1（nN*） 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的递推式的运 用，考查数列不等式的证明，注意运用数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于中 档题 21 （15 分）如图，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（1，0）
29、 ，过点 T（2，0）的直 线与抛物线 C 交于点 A，B，直线 AF，BF 分别与抛物线 C 交于点 A1，B1 （）求抛物线 C 的标准方程； （）求FAlB1与FAB 的面积之和的最小值 【分析】 （）根据抛物线的性质，求得 p 的值，求得抛物线方程； （）设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，同理求得 AA1及 BB1的方程，并代入抛物 线方程求得 A1，B1，因此求得直线 A1B1方程，并且求得直线 A1B1方程恒过定点，因此 表示出FAlB1与FAB 的面积，即可求得FAlB1与FAB 的面积之和的最小值 【解答】解： （）由题意可知，则 p2， 所以抛物线 C 的标准方程 y24
30、x； （）由题意可知，设直线 AB 的方程：xmy+2，设 A（x1，y1） ，A1（x2，y2） ， 联立方程组，消去 x，整理得 y24my80， 则 y1+y24m，y1y28， 第 19 页（共 20 页） 设 A1（x3，y3） ，B1（x4，y4） ，直线 AA1的方程 xny+1，联立方程组，消去 x， 整理得 y24ny40，则 y1+y34n，y1y34， 则， 同理得到：，则， 则直线 A1B1的方程为：， 即 ， 则直线 A1B1过定点， 所以， ， 所以 ， 当且仅当 m0 时等号成立 所以FAlB1与FAB 的面积之和的最小值 【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与
31、抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长 公式及直线的斜率公式的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题 22 （15 分）已知函数 f（x）alnx+（aR） （）若 a1，求函数 f（x）的单调区间； （）若存在两个不等正实数 x1，x2，满足 f（x1）f（x2） 且 x1+x22，求实数 a 的 取值范围 第 20 页（共 20 页） 【分析】 （）将 a1 代入，求导，解关于导函数的不等式即可求得单调区间； （）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可 【解答】解： （）当 a1 时，则， 当 0x1 时，f（x）0；当 x1 时，f（x）0， 函数 f（x）的单调减区间为（0，1） ，单调增区间为（1，+） ； （） 设 x1x20， 由 f （x1） f （x2） 得， 则， a0， 又 x1+x22， ， 设，则， 令，则且 g（1）0， g（t）在（1，+）上存在两个不同的根， ，解得 a1 综上，实数 a 的取值范围为（1，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及参数的取值范围问题，考查逻辑推理 能力，属于中档题
