1、若实数 x，y 满足约束条件，则 2x+y 的取值范围是（ ） A2，4 B2，10 C2，4 D2，10 3 （4 分）已知复数 z13i，z21+i（其中 i 是虚数单位） ，则（ ） A22i B12i C1+i D2+i 4 （4 分）函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 5 （4 分）已知 x（0，） ，则“x“是“sinx“成立的_条件（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 6 （4 分）若圆 x2+y22x2yk0 上的点到直线 x+y100 的最大距离与最小距离的差 为 6，则实数 k 的值是（ ） A34 B1 C4 D7 7 （4 分）设
2、 0p1，随机变量 的分布列是 第 2 页（共 20 页） 1 0 1 p 则当 p 在（0，1）内变化时， （ ） AD（）增大 BD（）减小 CD（）先增大后减小 DD（）先减小后增大 8 （4 分）如图，在三棱锥 DABC 中，已知 DA平面 ABC，ABBC，且 DAABBC， 设 P 是棱 DC 上的点（不含端点） 记PAB，PBC，二面角 PABC 的大小 为 ，则（ ） A，且 B，且 C，且 D，且 9 （4 分）已知 a，bR，设函数 f（x）x2+ax+b，若函数 yf（f（x） ）有且只有一个零点， 则（ ） Aa0，且 b0 Ba0，且 b0 Ca0，且 b0 Da0，
3、且 b0 10 （4 分）已知数列an满足 an+1，nN*，若 0a1，则（ ） Aa8+a92a7 Ba9+a102a8 Ca6+a9a7+a8 Da7+a10a8+a9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）若直线 l1：ykx 与直线 l2：xy+20 平行，则 k ，l1与 12之间的距 离是 12 （4 分）学校开设了 7 门选修课，要求每一个学生从中任意选择 3 门，共有 种不 同选法 13 （6 分）在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“
4、堑堵” ，已知某“堑 堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的 面积是 ，体积是 第 3 页（共 20 页） 14 （6 分） （x）6展开式中，各二项式系数的最大值是 ，常数项是 15 （6 分）在锐角ABC 中，D 是边 BC 上一点，且 AB2，BC3，ACAD，若 cos CAD，则 sinC ，ABC 的面积是 16 （4 分）已知单位向量 ， 满足| 2 |2 |，设向量 +x（2 ） ，x0，1， 则| + |的取值范围是 17 （4 分）已知函数 f（x）2|x|x1|，若对任意的实数 x 有|f（x+t）f（x）|1（tR） 成立，则实数
5、t 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知函数 f（x）2sin（x+）cos（x+）+cos（2x） （）求 f（x）的最小正周期； （）当 x0，时，求 f（x）的值域 19 （15 分）如图，已知四棱锥 PABCD，PCD 是等边三角形，ABCD，ABAD，AB ADCD，PAPD，E 是 PC 的中点 （）求证：直线 BE平面 PAD： （）求直线 BE 与平面 ABCD 的所成角的正弦值 20 （15 分）已知 P 是圆 C：x2+（y
6、1）24 上一点，A（t，0） ，B（t+4，3） ，其中 tR （）若直线 AB 与圆 C 相切，求直线 AB 的方程： 第 4 页（共 20 页） （）若存在两个点 P 使得 PAPB，求实数 t 的取值范围 21（15分） 已知数列an满足 a1+3a2+ （2n1） an3， nN*， 记 Sna1+a2+ +an （）求 an和 Sn； （）证明： （1+） Snlnn+1 22 （15 分）已知 kR，函数 f（x）exkx（其中 e 是自然对数的底数，e2.718） （）当 k1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若当 x0 时都有 f（x）x2+3x
7、+2（k+1）成立，求整数 k 的最大值 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市嵊州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，2，3，集合 B2，4，则（UA） B（ ） A B2 C4 D2，4 【分析】根据补集与交集的定义，计算即可 【解答
8、】解：全集 U1，2，3，4，5，集合 A1，2，3，集合 B2，4， 则UA4，5， 所以（UA）B4 故选：C 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题 2 （4 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 2x+y 的取值范围是（ ） A2，4 B2，10 C2，4 D2，10 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求 z 的取值范 围 【解答】解：作出实数 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图： 设 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z， 由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B（2，2）时，直线的截距最小， 此时 z 最小，为 z4+22，
9、 当直线 y2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大， 此时 z 最大， 由，解得 A（2，6） ，此时 z22+610， 即2z10， 第 6 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关 键，利用数形结合是解决问题的基本方法 3 （4 分）已知复数 z13i，z21+i（其中 i 是虚数单位） ，则（ ） A22i B12i C1+i D2+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z13i，z21+i， 得 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 4 （4 分）函数 f（x
10、）的图象大致是（ ） A B C D 第 7 页（共 20 页） 【分析】先求出函数的零点，结合函数取值的对应性进行判断即可 【解答】解：由 f（x）0 得 x22x0 得 x0 或 x2，排除 A，B， 当 x2 时，f（x）0，排除 D， 故选：C 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数零点取值以函数值的对应性是 解决本题的关键比较基础 5 （4 分）已知 x（0，） ，则“x“是“sinx“成立的_条件（ ） A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】x（0，） ，sinxx即可判断出关系 【解答】解：x（0，） ，sinxx “x“是“sinx“成立的
11、必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 6 （4 分）若圆 x2+y22x2yk0 上的点到直线 x+y100 的最大距离与最小距离的差 为 6，则实数 k 的值是（ ） A34 B1 C4 D7 【分析】先把圆的方程化为标准方程，设圆心到直线 x+y100 的距离为 d，则圆 x2+y2 2x2yk0 上的点到直线 x+y100 的最大距离为：d+r，最小距离为 dr，从而 求出半径，再求出 k 的值即可 【解答】解：圆的方程化为标准方程为： （x1）2+（y1）2k+2， 设圆心到直线 x+y100 的距离为
12、 d， 则圆 x2+y22x2yk0 上的点到直线 x+y100 的最大距离为：d+r，最小距离为 d r， （d+r）（dr）6， r3， k+2r29，k7， 第 8 页（共 20 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是中档题 7 （4 分）设 0p1，随机变量 的分布列是 1 0 1 p 则当 p 在（0，1）内变化时， （ ） AD（）增大 BD（）减小 CD（）先增大后减小 DD（）先减小后增大 【分析】计算出 E（） 、E（2） ，根据 D（）E（2）E2（）将 D（）表示成关于 p 的函数，研究函数的单调性即可 【解答】解：依题意，E（）1+0+1， E（2
13、）1+0+1， 所以 D（）E（2）E2（）（p2）2+， 是关于 p 的开口向下的抛物线，对称轴为 p2， 所以当 p（0，1）时，D（）单调递增， 即当 P 在（0，1）内增大时，D（）增大， 故选：A 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了二次函数的单调性，属中档 题 8 （4 分）如图，在三棱锥 DABC 中，已知 DA平面 ABC，ABBC，且 DAABBC， 设 P 是棱 DC 上的点（不含端点） 记PAB，PBC，二面角 PABC 的大小 为 ，则（ ） A，且 B，且 C，且 D，且 第 9 页（共 20 页） 【分析】根据图象，P 的变化规律，以及最小角原理，线
14、面角线线角，判断即可 【解答】解：若 P 从 D 到 C 运动，0，CAB， 若 P 从 C 运动到 D，则 ， 从极限分析，得 ； 由 BCAB，则二面角 PABC 等于 BC 与平面 PAB 所成的角， 由最小角原理，线面角线线角， 所以 ， 故选：D 【点评】考查空间线线，线面，面面所成角问题，中档题 9 （4 分）已知 a，bR，设函数 f（x）x2+ax+b，若函数 yf（f（x） ）有且只有一个零点， 则（ ） Aa0，且 b0 Ba0，且 b0 Ca0，且 b0 Da0，且 b0 【分析】由题意，f（x）2+af（x）+b0 有实数根，a24b0解得 f（x） ab0 时， 满足
15、条件 a24b0 时， 由 已知可得： f （x） 必然无解， 否则不满足条件 而且： f （x） 有且只有一解，即有两个相等实数根进而得出结论 【解答】解：由题意，f（x）2+af（x）+b0 有实数根， 则a24b0 解得 f（x） ab0 时， 此时0，方程化为：x20，函数 yf（f（x） ）有且只有一个零点，满足条件 a24b0 时， f（x）必然无解，否则不满足条件 第 10 页（共 20 页） 而且：f（x）有且只有一解，即有两个相等实数根 x2+（a1）x+b0 （a1）24b0，可得 b0 由 b， 化为：aa24b+0， 综上可得：a0，且 b0 故选：D 【点评】本题考查
16、了一元二次方程的实数根与判别式的关系、分类讨论、方程与不等式 的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10 （4 分）已知数列an满足 an+1，nN*，若 0a1，则（ ） Aa8+a92a7 Ba9+a102a8 Ca6+a9a7+a8 Da7+a10a8+a9 【分析】判断数列的特征，然后推出结果即可 【解答】解：数列an满足 an+1，nN*，0a1，a21，an+1 +，a31，a41，同理，a61，a71，a81，a91， 并且奇数项为增数列，且小于 1偶数项为减数列，且大于 1， a6+a9a7+a8 故选：C 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列与函数相结合，考查
17、转化思想以及计 算能力，是中档题也可以利用特殊值逐步求解判断即可 （例如：a1） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）若直线 l1：ykx 与直线 l2：xy+20 平行，则 k 1 ，l1与 12之间的距离 是 【分析】利用直线与直线平行的性质和两平行线间的距离公式直接求解 第 11 页（共 20 页） 【解答】解：直线 l1：ykx 与直线 l2：xy+20 平行， k1， l1与 12之间的距离是：d 故答案为：1， 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与
18、直线平行的性质和两平行线间的距离公式 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 12 （4 分）学校开设了 7 门选修课，要求每一个学生从中任意选择 3 门，共有 35 种不 同选法 【分析】根据题意，由组合数公式之间分析可得答案 【解答】解：根据题意，每一个学生从 7 门选修课中任意选择 3 门， 则有 C7335 种不同选法； 故答案为：35 【点评】本题考查组合数公式的应用，注意排列、组合的不同，属于基础题 13 （6 分）在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑 堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的 面积是 1 ，体积
19、是 2 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为三棱柱：该正视图为等腰直角三角形，且斜边上的高为 1，则斜边长为 2， 故该“堑堵”的正视图的面积是 体积 V 故答案为：1，2 第 12 页（共 20 页） 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 14 （6 分） （x）6展开式中，各二项式系数的最大值是 20 ，常数项是 15 【分析】利用二项展开式的通项公式，求得系数的最大值以及常数项 【解答】解： （x）
20、6展开式中，通项公式为 Tr+1 （1）r， 故各二项式系数为， 故当 r3 时，系数最大为 20 令 60，求得 r4，可得常数项为 15， 故答案为：20； 15 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 15 （6 分）在锐角ABC 中，D 是边 BC 上一点，且 AB2，BC3，ACAD，若 cos CAD，则 sinC ，ABC 的面积是 3 【分析】先根据已知条件求得 cos2Ccos（CAD）；进而求得 sinC；再借助 于正弦定理求出 sinA，结合三角形内角和，求出 sinB 即可求出面积 【解答】解：如图： 因为在锐角ABC
21、 中， D 是边 BC 上一点， 且 AB2， BC3， ACAD， 若 cosCAD ， CADC， cos2Ccos（CAD）； 12sin2Csin2CsinC；cosC； 第 13 页（共 20 页） sinA；cosA； sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， SABCBACBsinB33； 故答案为：；3 【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查 16 （4 分）已知单位向量 ， 满足| 2 |2 |，设向量 +x（2 ） ，x0，1， 则| + |的取值范围是 ， 【分析】 如图所示， 作 ，2 ， 2 ， 单位向量 ， 满足| 2 |2
22、|， 可得：|，A（1，0） ，B（，） 利用向量坐标运算性质、数量积运算性质 即可得出 【解答】解：如图所示作 ，2 ， 2 ， 单位向量 ， 满足| 2 |2 |， |，A（1，0） ，B（，） （1，0） ，2 （，） 向量 +x（2 ）（1，x） ，x0，1， + （2，x） ，x0，1， 则| + |， 故答案为：， 第 14 页（共 20 页） 【点评】本题考查了向量三角形法则、向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 17 （4 分）已知函数 f（x）2|x|x1|，若对任意的实数 x 有|f（x+t）f（x）|1（tR） 成立，则实数 t 的取值
23、范围是 ， 【分析】将 f（x）写成分段函数的形式，考虑图象平移的特点，不改变函数值，观察图 象变化趋势最快那段，可得|3t|1，解不等式可得所求范围 【解答】解：函数 f（x）2|x|x1|， 由 yf（x+t）的图象由 yf（x）的图象平移得到，不改变最值， 作出 yf（x）的图象，可得 f（x）的图象在（0，1）区间内变化最快， 则在（0，1）内，函数 f（x+t）f（x）的值的最大为|f（t）f（0）|3t|， 由对任意的实数 x 有|f（x+t）f（x）|1（tR）成立，可得|3t|1， 解得t 故答案为：， 【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查图象平移的特点和图象的变化趋势
24、， 考查运算能力和推理能力，属于中档题 第 15 页（共 20 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知函数 f（x）2sin（x+）cos（x+）+cos（2x） （）求 f（x）的最小正周期； （）当 x0，时，求 f（x）的值域 【分析】 （）利用诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解 即可 （）求出角的范围，结合函数的最值和角的关系进行求解即可 【解答】解： （）f（x）2sin（x+）cos（x+）+cos（2x）sin（2
25、x+） +sin2xsin2x+cos2x+sin2xsin2x+cos2x （sin2x+cos2x）sin（2x+） ， 则函数的最小周期为 T （）当 x0，时，2x0，2x+， 则当 2x+时，函数取得最大值为 ysin，当 2x时，函数取得 最小值 ysin（）， 即函数的值域为， 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式以及诱导公式进行化简 是解决本题的关键难度不大 19 （15 分）如图，已知四棱锥 PABCD，PCD 是等边三角形，ABCD，ABAD，AB ADCD，PAPD，E 是 PC 的中点 （）求证：直线 BE平面 PAD： （）求直线 BE 与平面 A
26、BCD 的所成角的正弦值 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （I）取 PD 的中点 G，连接 AG，EG，先证明平行四边形 ABEG，所以 BEAG， 再得出结论； （II）以 D 为原点，DA，DC，过 D 垂直底面的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系，设 AB1，根据题意，求出坐标 P，再求出向量，利用向量的夹角公式求出结论 即可 【解答】解： （I）取 PD 的中点 G，连接 AG，EG， 根据中位线定理，EGCD，且 EG， 又 ABCD，且 AB，所以 ABEG，ABEG， 故平行四边形 ABEG，所以 BEAG， 由 BE平面 PAD，AG平面 PAD， 所以 B
27、EPAD； （II）以 D 为原点，DA，DC，过 D 垂直底面的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系， 设 AB1，则 D（0，.0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，2，0） ，设 P（x，y， z） ， 由 DP，AP，CP， 上面联立解方程组得 x，y1，z， 故 P（） ，所以 E（） ， 得到， 平面 ABCD 的法向量为， 由 cos， 故直线 BE 与平面 ABCD 的所成角的正弦值为 第 17 页（共 20 页） 【点评】本题考查直线与平面的平行的判定定理，向量法求法向量和利用夹角公式求直 线和平面所成的角，中档题 20 （15 分）已知 P
28、是圆 C：x2+（y1）24 上一点，A（t，0） ，B（t+4，3） ，其中 tR （）若直线 AB 与圆 C 相切，求直线 AB 的方程： （）若存在两个点 P 使得 PAPB，求实数 t 的取值范围 【分析】 （）求出直线方程结合圆心到直线的距离等于半径即可求解； （）求出以 AB 为直径的圆的圆心和半径；结合已知条件转化为两圆相交即可求解 【解答】解：因为 P 是圆 C：x2+（y1） 24 上一点，A（t，0） ，B（t+4，3） ，其中 tR （）圆心为（0，1） ，半径 r2； KAB； 直线 AB 的方程：y（xt）3x4y3t0； 直线 AB 与圆 C 相切； 2|3t+4|
29、10t2 或 t； 直线 AB 的方程：3x4y60 或 3x4y+140； （）因为 A（t，0） ，B（t+4，3） ， 所以 AB 得中点 D（t+2，） ；且|AB|5； 即以 AB 为直径的圆的圆心为 D（t+2，） ；R； 存在两个点 P 使得 PAPB， 所以两圆相交， 即Rr|CD|R+r2+； 0（t+2）22022t22 且 t2； 实数 t 的取值范围是t|22t22 且 t2 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式， 圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆 的半径，熟
30、练掌握此性质是解本题的关键 21（15分） 已知数列an满足 a1+3a2+ （2n1） an3， nN*， 记 Sna1+a2+ +an （）求 an和 Sn； （）证明： （1+） Snlnn+1 【分析】 （I）数列an满足 a1+3a2+（2n1）an3，nN*，n2 时， a1+3a2+（2n3）an13，nN*，相减可得： （2n1）an，解得 ann1 时也成立利用等比数列的求和公式可得 Sn （）先证明 lnxx1， （x0） 令 f（x）lnxx+1，利用导数研究函数的单调性即 可证明结论令 x，可得 ln1，即可：ln（n+1）lnn利用 累加求和方法可得：1+lnn1+进
31、而证明结论 【解答】解： （I）数列an满足 a1+3a2+（2n1）an3，nN*， n2 时，a1+3a2+（2n3）an13，nN*， （2n1）an，解得 an n1 时，a13，对于上式也成立 an Sna1+a2+an+1 （）证明：先证明 lnxx1， （x0） 令 f（x）lnxx+1， f（x）1，可得 x1 时取得极大值即最大值 lnxx1， （x0） lnxx1（x0，且 x1） 第 19 页（共 20 页） 令 x，则 ln1， 化为：ln（n+1）lnn 分别令 n1，2，n， 则：ln2ln1，ln3ln2，lnnln（n1）， lnn+ 1+lnn1+ （1+）
32、Sn（1+） （1）1+lnn+1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值、构造法、数列递推关系、 等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 22 （15 分）已知 kR，函数 f（x）exkx（其中 e 是自然对数的底数，e2.718） （）当 k1 时，求曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）若当 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立，求整数 k 的最大值 【分析】 （I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线 方程； （II）由已知分离系数可得 k在 x0 时恒成立，然后构造函数 g（x） ，
33、 x0， 结合导数与函数单调性关系及函数的性质及零点判定定理可求 【解答】解： （I）k1 时，f（x）exx，f（x）ex1， 根据题意可得，f（0）1，f（1）0， 故曲线 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程 y1； （II）由 x0 时都有 f（x）x2+3x+2（k+1）成立可得，exkx（x2+3x+2（k+1） ， 即 k在 x0 时恒成立， 令 g（x），x0， 则 g（x）， 令 h（x）（x+1）ex（x+2）2，x0， 则 h（x）（x+2） （ex2） ， 第 20 页（共 20 页） 易得，当 x（0，ln2）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（ln2，+
34、）时，h （x）0，h（x）单调递增， 又 h（1）2e90，h（2）3e2160， 故存在 x0（1，2） ，使得 h（x0）0 即（x0+1）e（x0+2）2， 故当 x（0，x0）时，h（x）0 即 g（x）0，g（x）单调递减，当 x（x0，+）时， h（x）0 即 g（x）0，g（x）单调递增， 故 g（x）ming（x0）， ， 故 g（x）ming（x0）， ， 令 tx0+1，则 t（2，3） ， g（t）1+在（2，3）上单调递减， 所以 g（t），即g（x）min， 又 x0 时，kg（x）恒成立， 从而 kg（x）min， 故 k，故满足条件的 k2 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解不等式的恒成立问题，分离参 数转化求解函数的最值是处理此类问题常用方法
