1、已知随机变量 的分布列如表： 第 2 页（共 24 页） 1 0 1 P a b 记“函数是偶函数”为事件 A，则（ ） A， B， C， D， 8 （3 分）已知点 A（2，1） ，P 为椭圆上的动点，B 是圆 C1： （x1）2+y2 1 上的动点，则|PB|PA|的最大值为（ ） A B C3 D 9 （3 分）正整数数列an满足：an+1（kN*） ，则（ ） A数列an中不可能同时有 1 和 2019 两项 Ban的最小值必定为 1 C当 an是奇数时，anan+2 Dan的最小值可能为 2 10 （3 分）设的最大值为 M，则（ ） A当 a1 时， B当 a2 时， C当 a1
2、时， D当 a3 时， 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 21 分）分） 11 （3 分）德国数学家阿甘得在 1806 年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数 的 “复平面” ， 后来又称 “阿甘得平面” 高斯在 1831 年， 用实数组 （a， b） 代表复数 a+bi， 并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化” 若复数 z 满 足（3+4i） z7+i，则 z 对应的点位于第 象限，|z| 12 （3 分）在的展开式中，各项系数的和是 ，二项式系数最大的项 第 3 页（共 24 页） 是 13 （3 分） 已
3、知双曲线的离心率是，左右焦点分别是 F1，F2， 过 F2且与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A，B 两点，则其渐近线方程是 ，AF1F2 14 （3 分）在ABC 中，M，N 分别在 AB，BC 上，且2，3，AN 交 CM 于 点 P，若x+y，则 x ，y 15 （3 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 cm3 16 （3 分）已知实数 x，y 满足，则 x2+y2的取值范围 为 17 （3 分）在三棱锥 PABC 中，顶点 P 在底面的射影为ABC 的垂心 O，且 PO 中点为 M， 过 AM 作平行于 BC 的截面 ， 记PAM1， 记 与底面 ABC 所成
4、的锐二面角为 2， 当 1取到最大，tan2 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 0 分）分） 18已知函数 f（x）sin2x+2cos2x1； 第 4 页（共 24 页） （）求函数 f（x）的单调减区间； （）将函数 f（x）分别向左、向右平移 m（m0）个单位相应得到 g（x） 、h（x） ，且 ，求函数的值域 19在如图的空间几何体中，ABC 是等腰直角三角形，A90，BC2，四边形 BCED 为直角梯形，DBC90，BD1，DE，F 为 AB 中点 （）证明：DF平面 ACE； （）若 AD，求 CE 与平面 ADB 所成角的正弦值 20已知数列an的前 n 项
5、和为 Sn，Sn是3 和 3an的等差中项； （）求数列an的通项公式； （）若对任意正整数 n 恒成立，求实数 的取 值范围 21已知：抛物线 C：y24x，斜率为1 的直线 l 与 C 的交点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 点 P（1，2）在直线 l 的右上方分别过点 P，A，B 作斜率不为 0，且与 C 只有一个交 点的直线为 l1，l2，l3 （）证明：直线 l2的方程是 yy12（x+x1） ； （）若 l1l2E，l1l3F，l2l3G；求EFG 面积的最大值； 第 5 页（共 24 页） 22已知其中 aR，e2.71828为自然对数的底数； （）若 x1 为函数
6、f（x）的极值点，求 a 的值； （）若|f（x）|6e 在 x0，2上恒成立，求 a 的取值范围； 第 6 页（共 24 页） 2019-2020 学年浙江省金华市十校高三（学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）已知全集 U2，1，0，1，2，集合 A2，0，1，B1，0，2， 则U（AB）（ ） A2，1，1，2 B0 C DU 【分析】由题意求出 AB，进而求出结果 【解答】解由题意 AB0，所以U（AB）2，1，1
7、，2， 故选：A 【点评】考查求交并补集，属于基础题 2 （3 分）在三角形 ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2，B120，c 3，则 b（ ） A B4 C D5 【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果 【解答】解：已知 a2，B120，c3， 则 b2a2+c22accosB19， 解得 b 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 3 （3 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 zx+y 的最大值是（ ） A0 B1 C6 D7 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用
8、线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大 值 【解答】解：作出实数 x，y 满足约束条件，对应的平面区域如图： （阴影 第 7 页（共 24 页） 部分） 由 zx+y 得 yx+z，平移直线 yx+z， 由图象可知当直线 yx+z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最大， 此时 z 最大由解得 A（，） 代入目标函数 zx+y 得 z+6 即目标函数 zx+y 的最大值为 6 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方 法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键 4 （3 分）用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，三
9、个奇数中仅有两个相邻的 五位数有（ ） A12 个 B24 个 C36 个 D72 个 【分析】先求出总数，再找到其对立面的个数；做差即可得出结论 【解答】解：用 1，2，3，4，5 组成一个没有重复数字的五位数，共有120 个； 三个奇数中仅有两个相邻； 其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻； 当三个奇数都相邻时， 把这三个奇数看成一个整体与 2 和 4 全排列共有36 个； 三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入 2 和 4 形成的三个空内共有12 第 8 页（共 24 页） 个； 故符合条件的有 120123672； 故选：D 【点评】本题考查分类计数原理，考查排列、组合知识，考查学生
10、的计算能力，属于中 档题 5 （3 分）已知 a，bR，则 1ba 是 a1|b1|的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】a1|b1|ab1，或 a+b2即可判断出关系 【解答】解：a1|b1|ab1，或 a+b2 1ba 是 a1|b1|的充分不必要条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 6 （3 分）在同一直角坐标系中，函数 yxa，ylog|a|（xa） （a0）的图象不可能的是 （ ） A B C D 【分析】根据幂函数和对数函数的性质讨论 a 的对应性即可 【解答】
11、解：A 中，幂函数过原点，则 a0 且 a1，函数的定义域为（a，+） ，对数 函数的定义域不满足条件故 A 错误， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合幂函数和对数函数的性质是解决本 第 9 页（共 24 页） 题的关键 7 （3 分）已知随机变量 的分布列如表： 1 0 1 P a b 记“函数是偶函数”为事件 A，则（ ） A， B， C， D， 【分析】由随机变量 的分布列知：E（）a+b，E（2）a+b1， 的所 在取值为1，0，1，满足事件 A 的 的可能取值为1，1，由此能求出 P（A） 【解答】解：由随机变量 的分布列知： E（）a+b，E（2）a+b1，
12、“函数是偶函数”为事件 A， 的所在取值为1，0，1，满足事件 A 的 的可能取值为1，1， P（A） 故选：C 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望、概率的求法，考查离散型随机变量的分 布列的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 8 （3 分）已知点 A（2，1） ，P 为椭圆上的动点，B 是圆 C1： （x1）2+y2 1 上的动点，则|PB|PA|的最大值为（ ） A B C3 D 【分析】如图所示，设椭圆的右焦点为 F，利用椭圆的定义可得：|PB|PA|1+|PF| |PA|5（|PF|+|PA|） ，再利用|PF|+|PA|AF|，即可得出 第 10 页（共 24
13、 页） 【解答】解：如图所示，由椭圆，可得：a2，b，c1，F（1，0） 设椭圆的右焦点为 F（1，0） ， 则|PB|PA|1+|PF|PA|1+2a|PF|PA|5（|PF|+|PA|） ， |PF|+|PA|AF|，当且仅当三点 A，P，F共线取等 号 |PB|PA|5（|PF|+|PA|）5， 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的本质方程及其性质、圆的标准方程、三角形三边大小关系、 转化方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题 9 （3 分）正整数数列an满足：an+1（kN*） ，则（ ） A数列an中不可能同时有 1 和 2019 两项 Ban的最小值必定为 1 C当
14、 an是奇数时，anan+2 Dan的最小值可能为 2 【分析】讨论若 a12019，a11，由递推式得到其余的项，即可判断 A，B，C；若 an 中含有 2，则 an中一定含有 1，可判断 D 【解答】解：an+1（kN*） ， 若 a12019，可得以后的项分别为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132， 66，33，36，18，9，12，6，3，6，3，其中最小值为 3， 若 a11，可得以后的项分别为：4，2，1，4，2，其中最小值为 1， 第 11 页（共 24 页） 故 A 正确，B 错误； 当 an是奇数时，假设 a11，可得 a32，即有
15、anan+2，故 C 错误； 若 an中含有 2，则 an中一定含有 1，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查数列的递推式的理解和应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题 10 （3 分）设的最大值为 M，则（ ） A当 a1 时， B当 a2 时， C当 a1 时， D当 a3 时， 【分析】结合选项中的不同的 a，对函数求导，结合导数判断函数在区间上单 调性，进而可求函数的最值即 M，即可判断 【解答】解：当 a1 时，f（x），则可得，f（x）0 在 上恒成立， 故 f（x）在上单调递减， 所以 Mf（），故 A 正确； 当 a2 时，f（x）x2cosx， 则 f（x）2xcosx
16、x2sinxx（2cosxxsinx） ， 易证 2cosxxsinx0 恒成立，故 f（x）0， 从而 f（x）在上单调递增，Mf（），故 B 成立； 当 a1 时，f（x）xcosx，则可得 f（x）cosxxsinx 在上单调递减， 所以 f（x）， 故 f（x）在上单调递增，Mf（），故 C 错误； 当 a3 时，f（x）x3cosx，则 f（x）x3sinx+3x2cosxx2（3cosxxsinx） ， 易得 h（x）3cosxxsinx 在上单调递减， 第 12 页（共 24 页） 所以 h（x）h（）0， 所以 f（x）在上单调递增，Mf（），故 D 错误 故选：AB 【点评】
17、本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，解题的关键是 单调性的确定 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 21 分）分） 11 （3 分）德国数学家阿甘得在 1806 年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数 的 “复平面” ， 后来又称 “阿甘得平面” 高斯在 1831 年， 用实数组 （a， b） 代表复数 a+bi， 并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化” 若复数 z 满 足（3+4i） z7+i，则 z 对应的点位于第 四 象限，|z| 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，
18、求出 z 的坐标可得 z 对 应的点位于第四象限，再由复数模的计算公式求模 【解答】解：由（3+4i） z7+i，得 z， z 对应的点的坐标为（1，1） ，位于第四象限 |z| 故答案为：四； 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 12 （3 分）在的展开式中，各项系数的和是 1 ，二项式系数最大的项是 160 【分析】令 x1，可得各项系数的和二项式系数最大的项是 T4 【解答】解：的展开式中，令 x1，则各项系数的和（21）61 二项式系数最大的项是 T4160 故答案为：1，160 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，
19、属 于基础题 13 （3 分） 已知双曲线的离心率是，左右焦点分别是 F1，F2， 第 13 页（共 24 页） 过 F2且与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A，B 两点，则其渐近线方程是 y ， AF1F2 【分析】由双曲线的离心率结合隐含条件求得渐近线方程；画出图形，结合双曲线的通 径求解三角形可得AF1F2 【解答】解：由题意，得，即 则双曲线的渐近线方程为 y； 如图，不妨设 A 在第一象限， 由双曲线的通径可知，F1F22c， tan 故答案为：y； 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （3 分）在ABC 中，M，N 分别在 AB，BC 上，且
20、2，3，AN 交 CM 于 点 P，若x+y，则 x ，y 【分析】 过点 M 作 MDBC 交 AN 于D； 结合已知条件以及平行线的性质求得NPAP； 再利用三角形法则即可求解 【解答】解：如图：过点 M 作 MDBC 交 AN 于 D； 2，3， 第 14 页（共 24 页） AD2DN；DP2PN； NPAP +； x+y， x，y 故答案为：， 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法 则的合理运用 15 （3 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 cm3 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积 【解答】
21、解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为四棱锥体： 如图所示： 第 15 页（共 24 页） 所以：V 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16（3 分） 已知实数 x， y 满足， 则 x2+y2的取值范围为 3， 5 【分析】方程两边平方整理，设参数 t，再由 x 的范围求出参数 t 的范围 【解答】解：两边平方可得： （x21）2+y4+y2（x+1） 2+y2（x1）216， 整理 x4+y4+2x2y2+2y22x215，即（x2+y2） 2+2y22x215，
22、设 tx2+y20，y2tx2， 则方程整理为：t2+2t4x215，所以 4x2t2+2t15， 因为，所以 4，所 以|x21|4，所以 x25，4x220， 所以 0t2+2t1520，即 t2+2t350 且 t2+2t150，解得：3t5 综上所述 t3，5， 故答案为：3，5 【点评】考查方程的解法，属于中档题 17 （3 分）在三棱锥 PABC 中，顶点 P 在底面的射影为ABC 的垂心 O，且 PO 中点为 第 16 页（共 24 页） M， 过 AM 作平行于 BC 的截面 ， 记PAM1， 记 与底面 ABC 所成的锐二面角为 2， 当 1取到最大，tan2 【分析】设 A
23、O1，PO2a，设 3PAO，则 tan2a，tan32a，由正切加法定理 得 tan1tan（32），由此能求出当 1取到最大，tan2的值 【解答】解：三棱锥 PABC 中，顶点 P 在底面的射影为ABC 的垂心 O， 且 PO 中点为 M，过 AM 作平行于 BC 的截面 ， 记PAM1，记 与底面 ABC 所成的锐二面角为 2， 设 AO1，PO2a，设 3PAO，则 tan2a，tan32a， tan1tan（32）， 当且仅当 a时，等号成立，此时 tan2 当 1取到最大，tan2 故答案为： 第 17 页（共 24 页） 【点评】本题考查角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、
24、面面间的位置关系、正 切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 0 分）分） 18已知函数 f（x）sin2x+2cos2x1； （）求函数 f（x）的单调减区间； （）将函数 f（x）分别向左、向右平移 m（m0）个单位相应得到 g（x） 、h（x） ，且 ，求函数的值域 【分析】 （）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的减区间，解不等式可 得所求区间； （）由图象平移和二倍角的余弦公式、和差化积公式，化简函数 y，再由正弦函数的图 象和性质，可得所求值域 【解答】 解： （） 函数 f （x）sin2x+2cos2x
25、1sin2x+cos2x（sin2x+cos2x） sin（2x+） ， 由 2k+2x+2k+，kZ，解得 k+xk+， 可得 f（x）的递减区间为k+，k+，kZ； （）由题意可得 g（x）sin（2x+2m+） ，h（x）sin（2x2m+） ， 由，可得 cos（2m）2cos2m1， 则 yg（x）+h（x）sin（2x+2m+）+sin（2x2m+）2sin（2x+） 第 18 页（共 24 页） cos（2m）sin（2x+） ， 由 x0，可得 2x+，即有 sin（2x+），1， 则sin（2x+），即函数 y 的值域为， 【点评】本题考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查
26、化简运算能力，属于中档题 19在如图的空间几何体中，ABC 是等腰直角三角形，A90，BC2，四边形 BCED 为直角梯形，DBC90，BD1，DE，F 为 AB 中点 （）证明：DF平面 ACE； （）若 AD，求 CE 与平面 ADB 所成角的正弦值 【分析】 （）取 AC 中点 G，连结 FG，推导出 DEFG，从而四边形 DFGE 是平行四 边形，进而 DFEG，由此能证明 DF平面 ACE （）延长 CE、BD，交于点 P，连结 AP，则 CE 与平面 ADB 所成角就是 CP 与平面 PAB 所成角，作 EHAD，则 EH平面 ADB，EPH 是直线 CP 与平面 PAB 所成角，
27、由此 能求出 CE 与平面 ADB 所成角的正弦值 【解答】解： （）证明：取 AC 中点 G，连结 FG，则 FGBC， DEBC，DEFG， 四边形 DFGE 是平行四边形，DFEG， DF平面 ACE，EG平面 ACE， DF平面 ACE （）解：延长 CE、BD，交于点 P，连结 AP， 则 CE 与平面 ADB 所成角就是 CP 与平面 PAB 所成角， BD1，AD，AB2， BD2+AD2AB2，BDAD， 第 19 页（共 24 页） BDDE，ADDED，BD平面 ADE， BD平面 ADB，平面 ADB平面 ADE， 平面 ADB平面 ADEAD， 作 EHAD，则 EH平
28、面 ADB， EPH 是直线 CP 与平面 PAB 所成角， PBAB2，PBA60， PAB 是等边三角形，PA2， PAAC，E 是 PC 的中点，AEPC，且 PC2，AE1， AE2+DE2AD2，AEDE， ，PE， CE 与平面 ADB 所成角的正弦值为 sin 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，Sn是3 和 3an的等差中项； （）求数列an的通项公式； 第 20 页（共 24 页） （）若对任意正整数 n 恒成立，求实数 的取 值范围
29、【分析】 （）由 Sn是3 和 3an的等差中项，得 2Sn3an3，由此求得数列首项与 an 3an1 （n2） ，可知数列an是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列，则通项公式可 求； （）由（）知，得到，把 对 任 意 正 整 数 n 恒 成 立 ， 转 化 为 对 任 意 正 整 数n恒 成 立 ， 令bn ，证明数列bn是递增数列，则当 n1 时，bn取得最小 值，可得 【解答】解： （）由 Sn是3 和 3an的等差中项，得 2Sn3an3， 取 n1，可得 a13， 当 n2 时，2Sn13an13， 两式作差可得：2an3an3an1（n2） ， an3an1 （n2） ，
30、 则数列an是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列， 则； （）由（）知， ， 第 21 页（共 24 页） 若对任意正整数 n 恒成立， 即对任意正整数 n 恒成立， 只需 对任意正整数 n 恒成立， 令 bn， 可得1 又 bn0，bnbn+1， 数列bn是递增数列，则当 n1 时，bn取得最小值， 只需 实数 的取值范围是（， 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，训练了利用数列的单调性求解恒 成立问题，是中档题 21已知：抛物线 C：y24x，斜率为1 的直线 l 与 C 的交点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 点 P（1，2）在直线 l 的右上方分别过点 P
31、，A，B 作斜率不为 0，且与 C 只有一个交 点的直线为 l1，l2，l3 （）证明：直线 l2的方程是 yy12（x+x1） ； （）若 l1l2E，l1l3F，l2l3G；求EFG 面积的最大值； 第 22 页（共 24 页） 【分析】 （）利用复合函数求导法则，求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程， 即可证明直线 l2的方程是 yy12（x+x1） ； （）将直线 l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理 y1+y24，y1y24m，分别 联立方程求得 E 和 G 点坐标， 再利用 F 到直线的距离和三角形的面积公式求得EFG 表 达式，利用均值不等式即可求得EFG 面积的最大值
32、； 【解答】解： （）证明：对于抛物线 y24x 的方程中变量 x 进行求导，则 2yy4， 即，设 A（x1，y1） ， 则在 A 点处的切线的斜率 k，直线 l2的方程， 所以； 所以直线 l2的方程是 yy12（x+x1） ； （）设直线 l 的方程为 yx+m， （点 P（1，2）在直线 l 的上方，则 m3） ， 联立方程组，消去 x，整理得 y2+4y4m0， 16+16m0，所以1m3， y1+y24，y1y24m， 所以， 直线 l1：2y2（1+x） ，即 yx+1，直线 l2：，直线 l3：， 联立方程组，解得， 第 23 页（共 24 页） 同理可得， 所以， 故， 联立
33、方程组，则， 则 F（m，2） ， 点 F 到直线 yx+1 的距离 d， EFG 的面积 S|EG|d2 ， 当且仅当 2m+23m，即 m时取等号， 综上所述，EFG 的面积的最大值为 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与我抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直 线的距离公式，均值不等式在解析几何中的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档 题 22已知其中 aR，e2.71828为自然对数的底数； （）若 x1 为函数 f（x）的极值点，求 a 的值； （）若|f（x）|6e 在 x0，2上恒成立，求 a 的取值范围； 【分析】 （）先求导，根据 f（1）3e（3e2a）0，即可求出 a
34、的值， （）不等式等价于+3ex2a+3ex，x0，2，分别构造函数，利用函数的导 数和函数单调的关系，求出函数的最值，即可求出 a 的范围 【解答】解： （）f（x）（3ex2a） ， f（x）3ex（3ex2a）， x1 为函数 f（x）的极值点， 第 24 页（共 24 页） f（1）3e（3e2a）0， 解得 ae （）|f（x）|6e 在 x0，2上恒成立，则6e（3ex2a） 6e， 当 x0 时，显然成立， 当 x0 时，可得3ex2a3ex，即+3ex2a+3ex，x0，2， 设 g（x）+3ex，易知函数 g（x）在（0，2上单调递增， g（x）g（2）3e23e， 设 h（x）+3ex，x0，2， h（x）3ex3ex，易知函数 h（x）在（0，2上单调递增， h（1）0， h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2上单调递增， h（x）h（1）9e， 3e23e2a9e， a 【点评】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常 转化为函数的最值解决，体现了转化思想
