1、设 ，随机变量 的分布列如表所示，则 E（ ） 1 2 3 P sin2 cos2 A有最大值，最小值 B有最大值，最小值 C有最大值，无最小值 D无最大值，有最小值 9 （4 分）设 a0，不等式（3x2+a） （2x+b）0，在（a，b）上恒成立，则 ba 的最大值 为（ ） A1 B C D 10 （4 分）设函数 f（x）sin（2x+）+cos2x记 f（x）的最大值为 M（） ，最小值为 m （） ，则（ ） A存在 R，使得 M（）+m（） 第 3 页（共 20 页） B存在 R，使得 M（）m（） C存在 R，使得|M（） m（）| D存在 R，使得| 二、填空题：本大题共二、
2、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 （6 分）设 alog23，blog38，则 2a ，ab 12 （6 分）设 a，b，c 分别为ABC 的三边长，若 a3，b5，c7，则 cosC ， ABC 的外接圆半径等于 13 （6 分）若双曲线 M：x21 的离心率小于，则 m 的取值范围是 ；若 m 2，双曲线 M 的渐近线方程为 14 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几体的体积是 cm3；表面 积是 cm2 15 （4 分）若实数 x、y 满足不等式组，则 2x+3y 的最小
3、值是 16 （4 分）若函数 f（x）+a（a0）存在零点，则 a 的取值范围是 17 （4 分）设 O 为ABC 的外接圆圆心若存在正实数 k，使得+k，则 k 的取 值范围为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （14 分）已知 f（x）sin2x+cos2x（xR） （）求 f（）的值 （）若 x0，求函数 f（x）的取值范围 第 4 页（共 20 页） 19 （15 分）设函数 f（x）k（x1）2 （）若 k1，解方程 f（x）0 （）若关于 x 的方程 f
4、（x）0 有四个不同的解，求 k 的取值范围 20 （15 分）如图，在ABC 中，AB8，AC6，ADBC，M，N 分别为 AB，AC 的中点 （）若6，求|BC| （）若+5，求BAC 的大小 21 （15 分）设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S660，且 a6为 a1和 a21 的等比中项 （）求 an和 Sn （）设数列bn满足 bn+1bnan，若 b13，求数列的前 n 项和 Tn（nN*） 22 （15 分）已知函数 f（x）x2+ax+lnx，aR （）若函数 f（x）存在两个极值， （i）求 a 的取值范围； （ii）证明：函数 f（x）存在唯一零点
5、 （）若存在实数 x1，x2，使 f（x1）+f（x2）0，且 x2x12x2，求 f（x1）f（x2） 取值范围 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有分，在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （4 分）设集合 A1，2，BxZ|x|2，则 AB（ ） A B1 C2 D1，2 【分析】可求出集合 B，
6、然后进行交集的运算即可 【解答】解：B1，0，1，A1，2； AB1 故选：B 【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算 2 （4 分）椭圆+1 的离心率等于（ ） A B C D 【分析】利用椭圆的标准方程，求解椭圆的离心率即可 【解答】解：椭圆+1，可得 a，b2，则 c1，所以椭圆的离心率等于 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 3 （4 分）设 xR，则“x2”是“|x|2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据绝对值不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由
7、|x|2 得 x2 或 x2， 即“x2”是“|x|2”充分不必要条件 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关 第 6 页（共 20 页） 键 4 （4 分）若复数 z 满足（12i）z2+i，则|z|（ ） A B1 C D 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】解：（12i）z2+i， z，则|z| 故选：B 【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题 5 （4 分）函数 y的图象大致为（ ） A B C D 【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x0方面考虑，还可从函数的单调 第 7 页（共 20 页） 性（
8、在函数当 x0 时函数为减函数）方面进行考虑即可 【解答】解析：函数有意义，需使 exe x0， 其定义域为x|x0，排除 C，D， 又因为， 所以当 x0 时函数为减函数，故选 A 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质本题的难点 在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质 6 （4 分）已知正三角形 ABC 的边长为 2，设2 ， ，则（ ） A| + |1 B C 1 D （4 + ） 【分析】画出图形，利用向量的运算性质求解 【解答】解：如图， 令 D 为 AB 中点，设 且 ADBDBE1，EBC120不垂直，故 B
9、 错； 作平行四边形 BEFC， |1故 A 错； ，故 C 错； 故选：D 【点评】本题考查了向量的运算性质，属于中档题 7 （4 分）已知函数 f（x） （xR）的周期为 T（T0） ，且在（0，T）上单调，则（ ） Af（x2）是周期函数，且在（0，）上单调 第 8 页（共 20 页） Bf（x2）不是周期函数，且在（0，）上单调 Cf（x2）是周期函数，且在（0，T2）上单调 Df（x2）不是周期函数，且在（0，T2）上单调 【分析】直接利用函数的性质单调性和周期性的应用求出结果 【解答】解：函数 f（x） （xR）的周期为 T（T0） ， 所以 f（x）f（x+T） ，所以 f（x2
10、）f（x2+T） ，故 f（x2）不是周期函数 因为 f（x）在（0，T）上单调，由 0x2T， 所以， 所以 f（x2）在（0，）上单调 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运 算能力和转化能力，属于基础题型 8 （4 分）设 ，随机变量 的分布列如表所示，则 E（ ） 1 2 3 P sin2 cos2 A有最大值，最小值 B有最大值，最小值 C有最大值，无最小值 D无最大值，有最小值 【分析】推导出 E+cos2，结合随机变量 的分布列的性质得： cos2，由此能求出 E 的最大值和最小值 【解答】解：，随机变量 的分布列如表所示， 1 2
11、 3 P sin2 cos2 E+2+cos2 +cos2， ， 第 9 页（共 20 页） ，cos2， 由随机变量 的分布列的性质得：cos2， E 故 E 有最大值，最小值 故选：B 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的取值范围的求法，考查离散型随机变量 的数学期望的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 9 （4 分）设 a0，不等式（3x2+a） （2x+b）0，在（a，b）上恒成立，则 ba 的最大值 为（ ） A1 B C D 【分析】若（3x2+a） （2x+b）0 在（a，b）上恒成立，则 3x2+a0，2x+b0 或 3x2+a 0，2x+b0，结
12、合一次函数和二次函数的图象和性质，可得 a，b 的范围，进而得到答 案 【解答】解：（3x2+a） （2x+b）0 在（a，b）上恒成立， 3x2+a0，2x+b0 或 3x2+a0，2x+b0， 若 2x+b0 在（a，b）上恒成立，则 2a+b0，即 b2a0， 此时当 x0 时，3x2+aa0 不成立， 若 2x+b0 在（a，b）上恒成立，则 2b+b0，即 b0， 若 3x2+a0 在（a，b）上恒成立，则 3a2+a0，即a0， 故 ba 的最大值为， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难 度中档 10 （4 分）设函数 f（x）s
13、in（2x+）+cos2x记 f（x）的最大值为 M（） ，最小值为 m （） ，则（ ） A存在 R，使得 M（）+m（） B存在 R，使得 M（）m（） 第 10 页（共 20 页） C存在 R，使得|M（） m（）| D存在 R，使得| 【分析】由三角函数的辅助角公式及三角函数求最值逐一检验即可得解 【 解 答 】 解 ： 由 f （ x ） sin （ 2x+ ） +cos2x sin （ 2x+ ） +cos2x sin2xcos+cos2xsin+cos2xcossin2x+（sin+）cos2x+sin （2x+）， 则 M（），m（）， 对于选项 A，M（）+m（）+（）1，即
14、不存在 R，使得 M（）+m（），故 A 错误， 对于选项 B， M （） m （） （） 21， 3，即不存在 R，使得 M（）m（），故 B 错误， 对于选项 C，M（） m（）（） （）1sin 2，0，即不存在 R，使得|M（） m（）|，故 C 错误， 对于选项D， |2， +） ， 即存在R， 使得|，故 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式及三角函数求最值，属中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 （6 分）设 alog23，blog3
15、8，则 2a 3 ，ab 3 【分析】由 alog23 即可得出 2a3，利用换底公式可得出，从而可求 出 ab3 【解答】解：alog23； 2a3； 又 blog38； 第 11 页（共 20 页） 故答案为：3，3 【点评】考查对数式和指数式的互化，对数的定义，对数的换底公式 12 （6 分）设 a，b，c 分别为ABC 的三边长，若 a3，b5，c7，则 cosC ， ABC 的外接圆半径等于 【分析】由已知利用余弦定理可求 cosC 的值，根据同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值，利用正弦定理即可求解 【解答】解：a3，b5，c7， cosC sinC， 设ABC 的外接圆半径
16、为 R，则由 2R，解得：R 故答案为：， 【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 13 （6 分）若双曲线 M：x21 的离心率小于，则 m 的取值范围是 （0，1） ； 若 m2，双曲线 M 的渐近线方程为 yx 【分析】利用双曲线的离心率的范围列出不等式，求解可得 m 的范围，通过 m 的值，求 解双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线 M：x21 的离心率小于， 可得：，解得 m（0，1） 则 m 的取值范围是： （0，1） m2，双曲线 M 化为：x21， 第 12 页（共 20 页） 双曲线的渐
17、近线方程：yx 故答案为： （0，1） ；yx 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 14 （6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几体的体积是 28824 cm3； 表面积是 264+12 cm2 【分析】根据三视图复原几何体的形状，结合图中数据求出几何体的体积和表面积 【解答】解：根据三视图知该几何体是一长方体，挖去两个对顶点的圆锥， 且圆锥的底面圆内切与长方体， 画出图形，如图所示； 则该几何体的体积为 V866232428824； 表面积为 S468+66232+23264+12 故答案为：28824，264+12 【点评】本题考查了利用三视
18、图求几何体的体积和表面积的应用问题，也考查了空间想 象能力和计算能力，是基础题 15 （4 分）若实数 x、y 满足不等式组，则 2x+3y 的最小值是 4 第 13 页（共 20 页） 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 2x+3y 中，求出 2x+3y 的最小值 【解答】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数 z2x+3y 在边界点（2， 0）处取到最小值 z22+304 故答案为：4 【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法” ，其步骤为：由约束条件画出可行 域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一
19、代入目标函数验证， 求出最优解 16 （4 分）若函数 f（x）+a（a0）存在零点，则 a 的取值范围是 2， 4 【分析】 先求出函数的定义域， 根据函数与方程之间的关系， 进行整理， 得到 有解，借助 y的几何意义，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：要使函数有意义，则， 即，即axa，则（a0） ， 由 f（x）+a0 得+a， 平方得 ax+a+x+2a2， 即 2a22a， 第 14 页（共 20 页） 即， 设 y， 则 y的图象是以原点为圆心半径为 a 的上半圆， 要使有解， 则满足 0a， 即，即，得， 得 2a4 或 a0（舍） ， 即实数 a 的取值范围是2，4， 故答
20、案为：2，4 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法，转化为两个函数交点问题，以 及利用数形结合是解决本题的关键 17 （4 分）设 O 为ABC 的外接圆圆心若存在正实数 k，使得+k，则 k 的取 值范围为 k 【分析】由三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点，结合向量的投影的几何意义 可得： 2，即 0， 同理： 2，即 2，又 0，即 20，即 1 2k0，即 k，故得解 【解答】解：由三角形外心的定义，结合向量的投影的几何意义可得： 第 15 页（共 20 页） 2， 即（+k） 2， 化简得：k 20， 又 k0，可得0， 同理： 2， 即（+k） 2， 化简得： 2，
21、 又0，即 20， 即 12k0， 即 k， 故答案为：k 【点评】本题考查了三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点、向量的投影，属中 档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （14 分）已知 f（x）sin2x+cos2x（xR） （）求 f（）的值 （）若 x0，求函数 f（x）的取值范围 【分析】 （）直接代值计算即可， （）先化简，再根据三角函数的性质即可求出 【解答】解： （）f（）sin+cos+0， （）f（x）sin2x+cos2x2sin（2x+
22、） ， 当 x0，时，2x+， sin（2x+），1， 函数 f（x）的取值范围为1，2 第 16 页（共 20 页） 【点评】本题考查了三角函数值的求法和三角函数的性质，属于基础题 19 （15 分）设函数 f（x）k（x1）2 （）若 k1，解方程 f（x）0 （）若关于 x 的方程 f（x）0 有四个不同的解，求 k 的取值范围 【分析】 （）当 k1 时，k（x1）20，推导出|x1|0 或 1|x1|（x2） 0，由此能求出方程 f（x）0 的解 （）|x1| （） ，得|x1|0 或，从而k|x1|0 有三个不等于 1 的解，由此能求出 k 的取值范围 【解答】解： （）当 k1
23、时，k（x1）20， |x1|0， |x1|0， |x1|0， |x1|0 或 1|x1|（x2）0， x1 或 x （）|x1| （） 即|x1|0 或， 当 x10 时，x1，此时 kR， k|x1|0 有三个不等于 1 的解， 根据函数 y|x1| （x2）的图象，得， 解得 k4，k 的取值范围是（，4） 【点评】本题考查方程的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识， 第 17 页（共 20 页） 考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 20 （15 分）如图，在ABC 中，AB8，AC6，ADBC，M，N 分别为 AB，AC 的中点 （）若6，求
24、|BC| （）若+5，求BAC 的大小 【分析】 （）由平面向量的数量积运算及余弦定理得：cosMAN，|BC|2 |AB|2+|AC|22|AB|AC|cosMAN148， （）由平面向量的数量积运算得：+（|DB|+|DC|）5，即|BC| 10，所以BAC90，得解 【解答】解： （）由 ADBC 可知，|DM|AM|，|DN|AN|， 所以MDNMAN， 因为12cosMAN6， 所以 cosMAN， 所以|BC|2|AB|2+|AC|22|AB|AC|cosMAN148， 所以|BC|2， 故答案为：2 （）因为+（|DB|+|DC|）5， 所以|BC|10， 所以BAC90， 故答
25、案为：90 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，属简单题 21 （15 分）设公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S660，且 a6为 a1和 a21 的等比中项 （）求 an和 Sn （）设数列bn满足 bn+1bnan，若 b13，求数列的前 n 项和 Tn（nN*） 【分析】 （）由题意可得设等差数列的公差为 d，则，计 算即可求出 a1，d 的值，即可求出 an和 Sn （）先根据迭代法求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可求出 【解答】解： （）设等差数列的公差为 d， 则，解得 a15，d2， an2n+3， Snn（
26、n+4） ， （）bn+1bnan， bnbn1an1，n2，nN*， 当 n2 时，bn（bnbn1）+（bn1bn2）+）+（b2b1）+b1 an1+an2+a1+b1， （n1） （n1+4）+3n（n+2） ， 对于 b13 也适合， bnn（n+2） ， （） ， Tn（1+）（） 第 19 页（共 20 页） 【点评】本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于 中档题 22 （15 分）已知函数 f（x）x2+ax+lnx，aR （）若函数 f（x）存在两个极值， （i）求 a 的取值范围； （ii）证明：函数 f（x）存在唯一零点 （）若存在实数 x1
27、，x2，使 f（x1）+f（x2）0，且 x2x12x2，求 f（x1）f（x2） 取值范围 【分析】 （） （i）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出 即可； （ii）令 g（x）x2+lnx1，求出 g（x）g（）ln0，得到 f（x） 至多只有 1 个零点，从而证明结论； （）求出 a（x1+x2），以及 f（x1）f（x2）（）+ln， 设 t（1，2） ，记 h（t）+lnt，根据函数的单调性求出其范围即可 【解答】解： （） （i）根据题意，f（x）， （x0） 方程 2x2+ax+10 有 2 个正根 m，n， （不妨设 mn） ， 故，解得 a2；
28、（ii）证明：易知 f（x）在 xm 时取极大值，在 xn 时取极小值， 由（i）知 2m2+am+10，故 f（m）m2+lnm1， 令 g（x）x2+lnx1，故 g（x）2x， 由2x0，解得 x，故 g（x）g（）ln0， 故 f（m）0，f（x）至多只有 1 个零点， 又 f（a）ln（a）0，故 f（x）存在唯一零点； （）由题意知 2x1+a+2x2+a+0， 即 a（x1+x2）， 第 20 页（共 20 页） 故 f（x1）f（x2）+a（x1x2）+ln（）+ln， 设 t（1，2） ，记 h（t）+lnt， 则 h（t）0， 故 h（t）递减，故 h（t）（h（2） ，h（1） ） ， 即 h（t）（+ln2，0） ， 即 f（x1）f（x2）取值范围是（+ln2，0） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思 想，是一道综合题
