1、四川省达州市四川省达州市 2020 届高三第二次诊断性测试数学试题（文科）届高三第二次诊断性测试数学试题（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|2x4，Bx|x1，则 AB（ ） A （1，2 B2，4 C （4，+） D （2，4） 2复数2: 1; =（ ） A1 2 3 2i B1 2 + 3 2i C3 2 1 2i D3 2 + 1 2i 3命题“x00，x02+x0+10”的否定是（ ） A
2、x0，x2+x+10 Bx0，x2+x+10 Cx0，x2+x+10 Dx0，x2+x+10 4函数 f（x）x2ln|x|+ 1 的图象大致是（ ） A B C D 5在甲乙丙丁四位志愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品，恰好选到丙和丁 的概率是（ ） A1 3 B1 4 C1 5 D1 6 6在公差不为零的等差数列an中，a11，a5是 a2，a14的等比中项，则 a7（ ） A12 B13 C14 D15 7 已知双曲线的两条渐近线的方程是 + 2 = 0和 2 = 0， 则双曲线离心率是 （ ） A6 B2 C6或 30 5 D3或 6 2 8 在ABC中， D， E分别为边A
3、B， AC的中点， BE与CD交于点P， 设 = ， = ， 则 = （ ） A1 3 + 1 3 B2 3 + 2 3 C3 4 + 3 4 D1 6 + 1 6 9已知 2alog2|a|，(1 2) = 1 2，csinc+1，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Babc Ccba Dacb 10 如图， 四面体各个面都是边长为 1 的正三角形， 其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上， 另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是（ ） A 2 3 B32 4 C22 3 D 2 2 11已知方程232 2 3 + 2 = 0(0)在区间（0，）内只有一个实根， 则 的取值范围（
4、） A(1 3， 7 3- B(7 6， 13 6 - C(4 3， 10 3 - D(1 6， 13 6 - 12已知函数() = + 1，0 ( 1)， 0，g（x）ax 3f（x） 若函数 g（x）恰有两个非负 零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A* 4 27+ (1， + ) B, 1 27 ， 1 8- * 4 27+ C, 1 27， 1 8- * 4 27+ (1， + ) D, 1 27 ， 1 8- (1， + ) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13设 x，y 满足约束条件 + 2 0 0 3 6 0
5、，则 zx+y 的最小值是 14函数() = 12 2+1+2 + 1，若 f（t）1.2，则 f（t） 15等比数列an的前 n 项和为 Sn，若= 3;1+ ，则实数 m 的值是 16 过点Q （2， 0） 的直线与抛物线C： y22x的一个交点是A， 与y轴交于D点， 且 = 2 ， P 为抛物线 C 上一动点，则 的最小值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题
6、，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17ABC 的内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， （2a+c）cosB+bcosC0 （1）求 B； （2）若 c2，B 的角平分线 BD1，求ABC 的面积 SABC 18某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有 职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训随机抽取了 140 人的培训成 绩，统计发现样本中 40 个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如 图统计图表： （1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小 数） ； （
7、2）得分 90 分及以上为成绩优秀，完成列联表，并判断是否有 95%的把握认为成绩优 秀与培训方式有关？ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 19如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PAACCB2， = 22，D 是 BC 中点，E 是 PD 中点，F 是线段 AB 上一动点 （1）当 F 为 AB 中点时，求证：平面 CEF平面 PAB； （2）当 EF平面 PAC 时，求 VPCDF 20已知动点 P 到两点(3，0)，(3，0)
8、的距离之和为 4，点 P 在 x 轴上的射影是 C， = 2 （1）求动点 Q 的轨迹方程； （2）过点(3，0)的直线交点 P 的轨迹于点 A，B，交点 Q 的轨迹于点 M，N，求 1 4 |2 |的最大值 21函数 f（x）ex+sinx+ax （1）若 x0 为 f（x）的极值点，求实数 a； （2）若 f（x）1 在0，+）上恒成立，求实数 a 的范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 2
9、2在直角坐标系 xOy 中，曲线1： = 3 + = 1 + （t 为参数） ，其中 0，） 在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4sin （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）若 C1与 C2相交于点 A，B 两点，点 P（3，1） ，求|PA|PB|来源:Zxxk.Com 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设 f（x）|x1|+|2x4| （1）解不等式 f（x）5； （2）若 a，b，c 均为正实数，f（x）最小值为 m，a+b+cm，求 1 :1 + 1 :1 + 1 :1 答案解析答案解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共
10、12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|2x4，Bx|x1，则 AB（ ） A （1，2 B2，4 C （4，+） D （2，4） 直接利用集合的交集运算求解 集合 Ax|2x4，Bx|x1， ABx|2x4， 故选：B 本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题 2复数2: 1; =（ ） A1 2 3 2i B1 2 + 3 2i C3 2 1 2i D3 2 + 1 2i 根据所给的复数的除法形式，先进行复数的除法运算
11、，分子和分母同乘以分母的共轭复 数，把结果变化成最简形式 复数2: 1; = (2:)(1:) (1;)(1:) = 1:3 2 = 1 2 + 3 2i 故选：B 本题考查复数的代数形式的运算，考查复数的基本概念，本题是一个基础题，题目若出 现一定是一个必得分题目 3命题“x00，x02+x0+10”的否定是（ ） Ax0，x2+x+10 Bx0，x2+x+10 Cx0，x2+x+10 Dx0，x2+x+10 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 命题的特称命题，则特称命题的否定是全称命题， 即x0，x2+x+10， 故选：A 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命
12、题是解决本题的关 键比较基础 4函数 f（x）x2ln|x|+ 1 的图象大致是（ ） A B C D 由 f（1）0，排除 BD；由 f（1）20，排除 A，进而得出正确选项 f（1）1ln110，可排除 BD； f（1）1ln1+120，可排除 A； 故选：C 本题考查由函数解析式确定函数图象，考查读图识图能力，利用特殊值结合选项，运用 排除法是解题的关键，属于基础题 5在甲乙丙丁四位志愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品，恰好选到丙和丁 的概率是（ ） A1 3 B1 4 C1 5 D1 6 求出基本事件总数 n= 4 2 = 6，由此能求出恰好选到丙和丁的概率 在甲乙丙丁四位志
13、愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品， 基本事件总数 n= 4 2 = 6， 恰好选到丙和丁的概率是 p= 1 6 故选：D 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6在公差不为零的等差数列an中，a11，a5是 a2，a14的等比中项，则 a7（ ） A12 B13 C14 D15 设出数列的公差，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出 设数列an的公差为 d，d0，由已知 a5是 a2，a14的等比中项，得： （1+4d）2（1+d） （1+13d） ， 可得 3d26d0，可得 d2， 所以 a71+6213 故选：B 本题考查了等差数列与等比数
14、列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题 7 已知双曲线的两条渐近线的方程是 + 2 = 0和 2 = 0， 则双曲线离心率是 （ ） A6 B2 C6或 30 5 D3或 6 2,来源:学科网- 通过双曲线的焦点坐标的位置，结合双曲线的渐近线方程可得 c 与 a 的比值，求出该双 曲线的离心率 当双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上， 双曲线的渐近线方程为 y x，结合题意两条渐近线的方程是 + 2 = 0和 2 = 0， 得 = 2 2 ，设 a= 2t，bt，则 c= 3t（t0） ， 该双曲线的离心率是 e= 6 2 ， 当双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上， 双曲线的渐近线
15、方程为 y x，结合题意两条渐近线的方程是 + 2 = 0和 2 = 0， 得 = 2 2 ，设 b= 2t，at，则 c= 3t（t0） ， 该双曲线的离心率是 e= 3， 故选：D 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题易错题 8 在ABC中， D， E分别为边AB， AC的中点， BE与CD交于点P， 设 = ， = ， 则 = （ ） A1 3 + 1 3 B2 3 + 2 3 C3 4 + 3 4 D1 6 + 1 6 根据 C，P，D 三点共线，B，P，E 三点共线分别以 与 表示出 ，列出方程组求解 即可得 由图，ABC 中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点
16、， = 1 2 ， = 1 2 B，P，E 三点共线，设 = + (1 ) = + 1 2(1 ) ， C，P，D 三点共线，设 = + (1 ) = 1 2 + (1 ) ， = 1 2 1 2 (1 ) = 1 ，解得 = 1 3 = 2 3 ， = 1 3 + 1 3 ， = ， = ， = 1 3 + 1 3 故选：A 本题考查平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，属于基础题，较简单 9已知 2alog2|a|，(1 2) = 1 2，csinc+1，则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） Abac Babc Ccba Dacb 根据指数、对数函数以及三角函数的性质作出图象可以得出
17、a，b，c 的范围，即可比较 出大小 作出函数 y2x和 ylog2|x|的图象，由图 1 可知，交点 A 的横坐标 a0； 作出函数 y= (1 2) 和 y= 1 2的图象，由图 2 可知，交点 B 的横坐标 0b1； 作出函数 yx 和 ysinx+1 的图象，由图 3 可知，交点 C 的横坐标 c1 所以，abc 故选：B 本题主要考查函数与方程的应用， 将方程的根转化为函数图象交点的坐标， 属于基础题 10 如图， 四面体各个面都是边长为 1 的正三角形， 其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上， 另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是（ ） A 2 3 B32 4 C22 3 D 2
18、2 如图所示，过点 P 作 PE平面 ABC，E 为垂足， 点 E 为的等边三角形 ABC 的中心AE= 2 3AD，AD= 3 2 可得 AEPE= 2 2设圆柱底面半径为 R，则 2R= 1 60，即 可得出圆柱的侧面积 如图所示，过点 P 作 PE平面 ABC，E 为垂足，点 E 为的等边三角形 ABC 的中心 AE= 2 3AD，AD= 3 2 AE= 2 3 3 2 = 3 3 PE= 2 2= 6 3 设圆柱底面半径为 R，则 2R= 1 60 = 2 3， 圆柱的侧面积2RPE= 2 3 6 3 = 22 3 ， 故选：C 本题考查了正四面体的性质、等边三角形的性质、正弦定理、圆
19、柱的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 11已知方程232 2 3 + 2 = 0(0)在区间（0，）内只有一个实根，则 的取值范围（ ） A(1 3， 7 3- B(7 6， 13 6 - C(4 3， 10 3 - D(1 6， 13 6 - 利用半角公式、和差公式化简可得：sin（x+ 3）1，于是 x+ 3 =2k+ 2，kZ，由 x （0， ） ， 可得 3 x+ 3 + 3， 根据方程23 2 2 3 + 2 = 0(0)在 区间（0，）内只有一个实根，可得 2 + 3 5 2 ，即可得出 利用半角公式可得：3（1cosx）sinx3+20， 化为：sin（x+ 3）1，
20、 x+ 3 =2k+ 2，kZ， x（0，） ，来源:Zxxk.Com 3 x+ 3 + 3， 方程232 2 3 + 2 = 0(0)在区间（0，）内只有一个实根， 2 + 3 5 2 ， 解得：1 6 13 6 故选：D 本题考查了三角函数的图象与性质、半角公式、和差公式、不等式的解法，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 12已知函数() = + 1，0 ( 1)， 0，g（x）ax 3f（x） 若函数 g（x）恰有两个非负 零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A* 4 27+ (1， + ) B, 1 27 ， 1 8- * 4 27+ C, 1 27， 1 8- * 4 27+
21、(1， + ) D, 1 27 ， 1 8- (1， + ) 根据题意做出函数 f（x）在0，1） ，1，2） ，2，3）上的图象，然后再作出 yax3的图 象，让它们除了（0，0）一个公共点外，再产生另外一个公共点即可注意相切和相交 的区别 显然，x0 满足 g（x）0，因此，只需再让 g（x）0 有另外一个唯一正根即可 ax3f（x）0，即为 ax3f（x） 作出 h（x）ax3，yf（x）图象如下： 说明：射线与线段是 yf（x）的部分图象，因为要分三种情况分析，故 yh（x）的图 象作了三个（只做出 y 轴右侧部分） ，分别对应、 （1）对于第一种情况：因为 h（0）01，所以当 yh
22、（x） （如图象）与 yf（x） x 在0，1）上的图象有交点 A 时，只需 h（1）a1 即可； （2）对于第二种情况：yh（x） （图象）与 yf（x）x1 在1，2）上的图象切于 点 B， 不防设切点为（m，m1） ，因为 h（x）3ax2，则3 2 = 1 1 = 3，解得 = 4 27； （3）当 yh（x） （图象）与 yx1（1x2）相交于点 C，且满足 h（2）1，即 1 8时，只需 x2，3）时，g（x）0 恒成立即可 所以 ax3x2，x0，2恒成立即可，且只能在 x3 处取等号，即 2 3 ， 令() = 2 3 ， ,2，3-，() = 2(3) 4 0在2，3上恒成立
23、，故 u（x）在2， 3上递增，所以 u（x）maxu（3）= 1 27，故 1 27故此时 1 27 1 8即为所求 综上可知，a 的范围是, 1 27， 1 8- * 4 27+ (1， + ) 故选：C 本题考查函数的零点问题，综合考查了学生运用分类讨论、数形结合、函数与方程以及 转化与化归思想的解题的能力属于较难的题目 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13设 x，y 满足约束条件 + 2 0 0 3 6 0 ，则 zx+y 的最小值是 2 画出约束条件对应的平面区域，结合图形找出目标函数的最优解，求出目标函数的最小 值
24、 画出 x，y 满足约束条件 + 2 0 0 3 6 0 对应的平面区域如图阴影部分； 由 zx+y 得 yx+z，平移直线 yx+z， 由平移可知当直线 yx+z 过线段 AB 时， 直线 yx+z 的截距最小，z 取得最小值； 因为 B（2，0） ， 即 z 的最小值是 2+02 故答案为：2 本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题 14函数() = 12 2+1+2 + 1，若 f（t）1.2，则 f（t） 0.8 根据题意，由函数的解析式变形可得 f（x）= 1 2（ 1;2 2:1）+1，求出 f（x）的解析式， 相加可得 f（x）+f（x）2，据此分
25、析可得答案 根据题意， () = 12 2+1+2 + 1 = 1 2 （1;2 2:1） +1， 则 f （x） = 1 2 （1;2 2:1） +1= 1 2 （1;2 2:1） +1， 则有 f（x）+f（x）2， 若 f（t）1.2，则 f（t）21.20.8； 故答案为：0.8 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意函数解析式的变形，分析 f（x）+f（x） 的值，属于基础题 15等比数列an的前 n 项和为 Sn，若= 3;1+ ，则实数 m 的值是 1 3 先由= 3;1+ 求出 an，再由 a1的值求出 m 由= 3;1+ ，可得 Sn+13n+m，由可得 an+123n 1
26、 又数列an是等比数列， an23n 2 当 n1 时， 有 S 11+ma1= 2 3， m= 1 3 故填： 1 3 本题主要考查由数列前 n 项和求等比数列的通项公式，属于基础题 16 过点Q （2， 0） 的直线与抛物线C： y22x的一个交点是A， 与y轴交于D点， 且 = 2 ， P 为抛物线 C 上一动点，则 的最小值是 9 根据 = 2 ， Q （2， 0） ， 易知A点和D点的坐标， 假设P （1 2 2 ，1） ， 用坐标表示 ， 通过二次函数的最值求解即可得 的最小值 由题， = 2 ， = ， Q（2，0） ，易知 A 点的横坐标为 4， 抛物线 C：y22x 中，x4
27、，y= 22， 设 A（4，22） ，则对应的 D（0，22） P 为抛物线 C 上一动点，设 P（1 2 2 ，1） ， = (4 1 2 2 ，22 1)， = ( 1 2 2 ， 22 1)， 则 = (4 1 2 2 )( 1 2 2 ) + (22 1)(22 1) = 1 4 4 1 2 8 = 1 4 (1 2 2)2 9 ( )= 9 故答案为：9 本题主要考查平面向量与抛物线的综合应用，需要通过抛物线的解析式假设点的坐标， 通过平面向量数量积求解，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
28、.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17ABC 的内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c， （2a+c）cosB+bcosC0 （1）求 B； （2）若 c2，B 的角平分线 BD1，求ABC 的面积 SABC （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cosB 的值，进而可求 B 的值 （2）由题意可求 = 3，由余弦定理可得 = 3，由 AB 2BD2+AD2，可得 BD AC，可得 = 2 =
29、23，进而根据三角形的面积公式即可求解 （1）（2a+c）cosB+bcosC0， 在ABC 中，由正弦定理得： （2sinA+sinC）cosB+sinBcosC0， 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC0， 2sinAcosB+sin（B+C）0 A+B+C， 2sinAcosB+sinA0 A 为三角形内角， sinA0， 可得 = 1 2 ，可得 = 2 3 （2）在ABC 中，BD 为角 B 的角平分线， = 2 3 ， = 3， 在ABD 中， = 3 ， = 2， = 1，由余弦定理可得 = 3， AB2BD2+AD2，ABD 为直角三角形，即 BDAC， AB
30、C 为等腰三角形，可得： = 2 = 23， = 1 2 = 1 2 1 23 = 3 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在 解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有 职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训随机抽取了 140 人的培训成 绩，统计发现样本中 40 个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如 图统计图表： （1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小 数） ； （2）得分 90 分及
31、以上为成绩优秀，完成列联表，并判断是否有 95%的把握认为成绩优 秀与培训方式有关？ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 （1）根据茎叶图的性质和中位数的概念即可得到茎叶图的中位数；设在线培训的中位数 为 x，依据中位数的性质列出关于 x 的方程，解之即可得解； （2）先填写 22 列联表，再根据 K2的公式计算出观测值，并与附录中的临界值进行对 比即可作出判断 （1）线下培训的茎叶图的中位数是 79； 设在线培训的中位数为 x，则 0.0051
32、0+0.01010+0.02010+0.035（x80）0.5， 解得 x84.3， 故可估计在线培训的中位数是 84.3 （2）根据题意得 22 列联表如下： 优秀 非优秀 合计 线下培训 5 35 40 在线培训 30 70 100 合计 35 105 140 ,来源:学科网- = 140(570;3035) 2 3510510040 = 14 3 4.6673.841， 有 95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关 本题考查茎叶图的数字特征、频率分布直方图和独立性检验，考查学生对数据的分析能 力和运算能力，属于基础题 19如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PAACCB2， =
33、 22，D 是 BC 中点，E 是 PD 中点，F 是线段 AB 上一动点 （1）当 F 为 AB 中点时，求证：平面 CEF平面 PAB； （2）当 EF平面 PAC 时，求 VPCDF （1）说明当 F 为 AB 中点时，CFAB证明 PACF得到 CF平面 PAB即可证 明平面 CEF平面 PAB （2）取 G 为 CD 中点，连接 FG，EG说明 EGPC，说明平面 EFG平面 PAC，FG AC，推出 F 为线段 AB 靠近点 A 的四等分点，然后求解棱锥的体积 （1）证明：AC2+BC2AB2，ABC 为等腰直角三角形， 当 F 为 AB 中点时，CFAB PA平面 ABC，CF平
34、面 ABC，PACF PAABA 且都在平面 PAB 中，CF平面 PAB CF平面 CEF，平面 CEF平面 PAB （2）解：如图取 G 为 CD 中点，连接 FG，EG EG 为三角形PDC 中位线，EGPC， PC平面 PAC，EG 不在平面 PAC 内，EG平面 PAC， EF平面 PAC，EGEFE 且都在平面 EFG 内， 平面 EFG平面 PAC，FGAC， = = 3 1，F 为线段 AB 靠近点 A 的四等分点 ;= 1 2 |= 1 3 2 (1 2 1 3 2) = 1 2 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力 逻辑推理能力以及计
35、算能力，是中档题 20已知动点 P 到两点(3，0)，(3，0)的距离之和为 4，点 P 在 x 轴上的射影是 C， = 2 （1）求动点 Q 的轨迹方程； （2）过点(3，0)的直线交点 P 的轨迹于点 A，B，交点 Q 的轨迹于点 M，N，求 1 4 |2 |的最大值 （1）判断点 P 的轨迹是以(3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆，求出点 P 的 轨迹方程，设点 Q 坐标为（x，y） ，利用向量关系，转化求解点 Q 的轨迹方程 （2） 若ABx轴， 推出结果， 若直线AB不与x轴垂直， 设直线AB的方程为 = + 3， 即 + 3 = 0， 求出坐标原点到直线 AB 的距离
36、 = 3| 2+1，MN 的弦长，设 A（x 1，y1） ，B（x2，y2） 将 = + 3代入 2 4 + 2= 1，利用韦达定理以及弦长公式，求出表达式，化简 1 4 |2 |，利用基本不等式求解最值即可 （1）点 P 到两点(3，0)，(3，0)的距离之和为 4， 点 P 的轨迹是以(3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 点 P 的轨迹方程是 2 4 + 2= 1 设点 Q 坐标为（x，y） ，因 = 2 所以点 P 的坐标为(， 2)， 2 4 + ( 2) 2 = 1， 化简得点 Q 的轨迹方程为 x2+y24 （2）若 ABx 轴，则|AB|1，|MN|2，1 4 |
37、2 | = 0 若直线 AB 不与 x 轴垂直，设直线 AB 的方程为 = + 3，即 + 3 = 0， 则坐标原点到直线 AB 的距离 = 3| 2+1，| 2 = 4(4 2) = 4(2+4) 2+1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 将 = + 3代入 2 4 + 2= 1，并化简得，(1 + 42)2+ 832 + 122 4 = 01+ 2= 832 1+42，12 = 1224 1+42 | = 1 + 2|1 2| = 1 + 2 (1+ 2)2 412= 1 + 2( 832 1+42) 24(12 24) 1+42 = 4+42 1+42， 1 4 |2 | = 9
38、2 44:52:1 = 9 42: 1 2:5 9 242 1 2 :5 = 1， 当且仅当42= 1 2即 = 2 2 时，等号成立 综上所述，1 4 |2 |最大值为 1 本题考查曲线与方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及分 析问题解决问题的能力是难题 21函数 f（x）ex+sinx+ax （1）若 x0 为 f（x）的极值点，求实数 a； （2）若 f（x）1 在0，+）上恒成立，求实数 a 的范围 （1）依题意，f（0）0，可求得 a2，再将 a2 代入原函数验证即可得出答案； （2）由 f（0）2+a，x0，+）时，f（x）为增函数，可分 a+20，及 a+
39、20 讨论， 即可得出结论 （1）f（x）ex+cosx+a，令 f（0）e0+cos0+a0， a2， 当 a2 时，f（x）ex+sinx2x，则 f（x）ex+cosx2， 当 x0 时，0ex1，f（x）ex+cosx20； 当 x0 时，令 g（x）f（x）ex+cosx2，g（x）exsinx0， 即 g（x）为增函数，g（x）g（0）e0+cos020，f（x）0， 综上 x0 时，f（x）0；x0 时，f（x）0， a2 时，x0 为 f（x）的极值点 （2）f（0）e0+sin0+0a1，f（0）e0+cos0+a2+a； 由（1）知 x0，+）时，f（x）为增函数， 当 a
40、+20，即 a2 时，f（x）f（0）2+a0， f（x）为增函数， f（x）f（0）1，即 f（x）1 在0，+）上恒成立； 当 a+20，即 a2 时，f（0）2+a0，2a4，ln（2a）0， f（ln（2a） ）eln （2a）+cos（2a）+aa+cos（2a）0， x0（0，+） ，使 f（x0）0， 当 x（x0，+） ，f（x0）0，f（x）为增函数； 当 x0，x0，f（x0）0，f（x）为减函数， f（x0）f（0）1，与 f（x）1 在0，+）上恒成立相矛盾， a2 不成立， 综上 a2 时，f（x）1 在0，+）上恒成立 所以，实数 a 的范围是2，+） 本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查隐零点问题， 考查分类讨论思想及运算求解能力
