1、AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数 值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计 数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 5 （5 分）已知直线 11：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10，则 11l2“的一个必要不充 分条件是（ ） A
2、m2 Bm1 Cm2 或 m1 Dm2 或 m1 6 （5 分）已知 a0，b0，并且，成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B9 C5 D4 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若 第 2 页（共 25 页） 输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n（ ） A5 B4 C3 D2 8 （5 分）若将函数 f（x）sin2x+cos2x 的图象向左平移 （0）个单位，所得的图象 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ） A B C D 9 （5 分）在正四棱锥
3、SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线 段 MN 上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（ ） EPAC；EPBD；EP平面 SBD；EP平面 SAC A B C D 10 （5 分）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为（ ） 第 3 页（共 25 页） A B C D 11 （5 分）设 F 为双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点，过 F 且斜率为的直 线 1 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且|2|，则双曲线 C 的离心 率为（ ） A2 B C或 2 D或 2 12 （5 分）已知求 O 的表面积为 64，A，B，C 在球
4、面上，且线段 AB 的长为 4，记 AB 的中点为 D，若 OD 与平面 ABC 的所成角为 60，则三棱锥 OABC 外接球的体积为 （ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 f（x）在点（1，2）处的切线方程为 14 （5 分）在数列an中，a13，an+1an+，则通项公式 an 15 （5 分）如图，ABC 上，D 是 BC 上的点，且 ACCD，2ACAD，AB2AD，则 sinB 等于 16 （5 分）设函数 f（x）x29lnx 在区间a1，a+1上单调递减，则实数 a 的取值
5、范 围是 第 4 页（共 25 页） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题，题为必考题， 每位考生都必须作答每位考生都必须作答.第第 22、23 题为题为选考题，考生根据要求作答选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）等比数列an中，已知 a12，a416 （1）求数列an的通项公式； （2）若 a3，a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn 18 （12 分）等腰直角三角形
6、ABC 中，BAC90，D 为 AC 的中点，正方形 BCC1B1与 三角形 ABC 所在的平面互相垂直 （1）求证：AB1平面 DBC1； （2）若 AB2，求点 D 到平面 ABC1的距离 19 （12 分）某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送学校为了解学生对这两家配餐公 司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分根据收集的 80 份问卷的评分， 得到如图 A 公司满意度评分的频率分布直方图和如表 B 公司满意度评 分的频数分布表： 满意度 评分分组 频数 50，60） 2 60，70） 8 70，80） 14 80，90） 14 90，100 2 （
7、）根据 A 公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数； （）从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给 A 公司评分的概 率； 第 5 页（共 25 页） （）请从统计角度，对 A、B 两家公司做出评价 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，短轴长为 2，过 定点 P（0，2）的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B（点 B 在点 A、P 之间） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若，求实数 的取值范围； （3）若射线 BO 交椭圆 C 于点 M（O 为原点） ，求ABM 面积的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）px2lnx
8、 （）若函数 f（x）在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； （）设函数 g（x），若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（x0）g（x0）成立， 求实数 p 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第- 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，再以原 点为极点，以 x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位， 在该极坐标系中
9、圆 C 的方程为 4sin （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 将于点 A、B，若点 M 的坐标为（1，4） ，求|MA|+|MB|的值 选修选修 4-5：不等：不等式选讲式选讲（10 分）分） 第 6 页（共 25 页） 23若 a，b，cR+，且满足 a+b+c2 （1）求 abc 的最大值； （2）求+的最小值 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题
10、小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，Bx|（x+1） （x2）0，xZ，则 AB 等于（ ） A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2， 3 【分析】先求出集合 A，B，由此利用并集的定义能求出 AB 的值 【解答】解：集合 A1，2，3， Bx|（x+1） （x2）0，xZ0，1， AB0，1，2，3 故选：C 【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运 用 2 （5 分）若复数 z 满足 z（1+i）2i（i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A1 B2 C D 【分析】 由条件利用两个复数代数形式的
11、乘除法法则、 虚数单位 i 的幂运算性质， 求出 z， 可得|z| 【解答】解：复数 z 满足 z（1+i）2i（i 为虚数单位） ，z 1+i， |z|， 故选：C 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，求复数 的模，属于基础题 3 （5 分）已知向量 （1，m） ， （3，2） ，且（ + ） ，则 m（ ） A8 B6 C6 D8 【分析】求出向量 + 的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于 m 的方程，解得答 第 8 页（共 25 页） 案 【解答】解：向量 （1，m） ， （3，2） ， + （4，m2） ， 又（ + ） ， 122（m2）0，
12、 解得：m8， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题 4 （5 分）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数 值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计 数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 【分析】对 4 个
13、选项分别进行判断，可得结论 【解答】解：这 12 天中，空气质量为“优良”的有 95，85，77，67，72，92，故 A 正 确； 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日，AQI 指数值为 67，故 B 正确； 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是99.5，故 C 不正确； 从 4 日到 9 日，AQI 数值越来越低，空气质量越来越好，故 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查 AQI 指数值的统计数据的分析，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题 第 9 页（共 25 页） 5 （5 分）已知直线 11：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10，则 11l2“的一个必要
14、不充 分条件是（ ） Am2 Bm1 Cm2 或 m1 Dm2 或 m1 【分析】直线 l1：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10 平行的充要条件是“m2” ， 进而可得答案 【解答】解：直线 l1：x+（m+1）y+m0，l2：mx+2y+10， 若 l1l2，则 m（m+1）20，解得：m2 或 m1 当 m1 时，l1与 l2重合，故“l1l2”“m2” ， 故“l1l2”的必要不充分条件是“m2 或 m1” ， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题 6 （5 分）已知 a0，b0，并且，成等差数列，则 a+9b 的最小值为（ ） A16 B
15、9 C5 D4 【分析】根据题意，由等差中项的定义分析可得+21，进而分析可得 a+9b （a+9b） （+）10+，由基本不等式的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，a0，b0，且，成等差数列， 则+21； 则 a+9b（a+9b） （+）10+10+216； 即则 a+9b 的最小值为 16； 故选：A 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到 +1 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长 两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n
16、（ ） 第 10 页（共 25 页） A5 B4 C3 D2 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当 n1 时，a，b4，满足进行循环的条件， 当 n2 时，a，b8 满足进行循环的条件， 当 n3 时，a，b16 满足进行循环的条件， 当 n4 时，a，b32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 8 （5 分）若将函数 f（x）sin2x+cos2x 的图
17、象向左平移 （0）个单位，所得的图象 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ） A B C D 【分析】将 f（x）化简只有一个函数名，通过变换后图象关于 y 轴对称建立关系，可得 第 11 页（共 25 页） 的最小值 【解答】解：函数 f（x）sin2x+cos2x图象向左平移 可得：sin （2x+2）图象关于 y 轴对称， 即 2（kZ） 解得： 0， 当 k0 时， 的值最小值为 故选：C 【点评】本题主要考查了函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 9 （5 分）在正四棱锥 SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，动点 P 在线 段 MN 上运动时，
18、下列四个结论，不一定成立的为（ ） EPAC；EPBD；EP平面 SBD；EP平面 SAC A B C D 【分析】在中：由已知得 SOAC ，AC平面 SBD，从而平面 EMN平面 SBD，由 此得到 ACEP；在中：由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线；在中：由 平面 EMN平面 SBD，从而得到 EP平面 SBD；在中：由已知得 EM平面 SAC， 从而得到 EP 与平面 SAC 不垂直 【解答】解：如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 EM，EN 在中：由正四棱锥 SABCD，可得 SO底面 ABCD，ACBD， SOAC SOBDO，AC平面 SBD， E，M，
19、N 分别是 BC，CD，SC 的中点， EMBD，MNSD，而 EMMNN， 平面 EMN平面 SBD，AC平面 EMN，ACEP故正确 第 12 页（共 25 页） 在中：由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线， 不可能 EPBD，因此不正确； 在中：由可知平面 EMN平面 SBD， EP平面 SBD，因此正确 在中：由同理可得：EM平面 SAC， 若 EP平面 SAC，则 EPEM，与 EPEME 相矛盾， 因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直即不正确 恒不一定成立的结论是： 故选：D 【点评】考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属
20、于中 档题 10 （5 分）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除 B，D，通过函数的单调性排除 C，推出结 果即可 第 13 页（共 25 页） 【解答】解：令 g（x）xlnx1，则， 由 g（x）0，得 x1，即函数 g（x）在（1，+）上单调递增， 由 g（x）0 得 0x1，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减， 所以当 x1 时，函数 g（x）有最小值，g（x）ming（0）0， 于是对任意的 x（0，1）（1，+） ，有 g（x）0，故排除 B、D， 因函数 g（x）在（0，1）上单调递减，则函数 f（x）
21、在（0，1）上递增，故排除 C， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的 判断，考查分析问题解决问题的能力 11 （5 分）设 F 为双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点，过 F 且斜率为的直 线 1 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且|2|，则双曲线 C 的离心 率为（ ） A2 B C或 2 D或 2 【分析】 设出过焦点的直线方程， 与双曲线的渐近线方程联立把 A， B 表示出来， 再由| 2|，求出 a，b，c 的关系，然后求双曲线的离心率 【解答】解：当点 A、B 在 x 轴上方时，设 F（c，0） ，则 C：1（a0
22、，b0） 的右焦点且斜率为 的直线 l：y（xc） ， 而渐近线的方程是：yx， 由 得： A（，） ， 由 得， 第 14 页（共 25 页） B（ ，） ， |2|， ， 可得：3a2b2， 3， e2 同理，当点 A、B 在 x 轴下方时，e 综上所述，双曲线 C 的离心率为 2 或 故选：D 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线 的合理运用 12 （5 分）已知求 O 的表面积为 64，A，B，C 在球面上，且线段 AB 的长为 4，记 AB 的中点为 D，若 OD 与平面 ABC 的所成角为 60，则三棱锥 OABC 外接球的体积为 （ ） A
23、 B C D 【分析】首先根据题意整理出球的球心的位置，进一步求出球的半径，最后求出球的体 积 第 15 页（共 25 页） 【解答】解：设ABC 所在截面圆的圆心为 O1，AB 中点为 D，连接 OD，O1D，OA OB， 所以 ODAB，同理 OD1AB，所以ODO1即为 OD 与平面 ABC 所成的角，故ODO1 60； 因为 OAOB4，AB4，所以OAB 是等腰直角三角形， 所以 OD2，在 RtODO1中， 由，得， 由勾股定理得：，因为 O1到 A、B、C 三点的距离相等， 所以三棱锥 OABC 外接球的球心 E 在射线 OO1上， 设四面体 OABC 外接球半径为 R，在 Rt
24、O1BE 中，BER， ， 由勾股定理可得：， 即 10+，解得 R， 故所求球体积 V， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：球和锥体的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转 换能力及思维能力及空间思维能力的应用，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）曲线 f（x）在点（1，2）处的切线方程为 xy30 【分析】利用导数求得曲线 f（x）在点（1，2）处的切线方程的斜率，再 利用直线的点斜式即可得到答案 【解答】解：f（x）2， f（x）， f（1）1，又 f（1）2， 曲线 f（x）在点（1，2）处
25、的切线方程为：y（2）（x1） ， 整理得：xy30， 第 16 页（共 25 页） 故答案为：xy30 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得切线的斜率是关键，考查运 算能力，属于中档题 14 （5 分）在数列an中，a13，an+1an+，则通项公式 an 4 【分析】由已知可得，an+1an，然后利用叠加法即可求解 【解答】解：an+1an anan1 以上 n1 个式子相加可得，ana1 a13， 故答案为：4 【点评】本题主要考查了 利用叠加法求解数列的通项公式，解题中要注意所写的项数 15 （5 分）如图，ABC 上，D 是 BC 上的点，且 ACCD，2ACAD，A
26、B2AD，则 sinB 等于 【分析】由题意设 AD2x，则 ACCDx，AB4x，在ADC 中由余弦定理可得 cosADC，进而可得 sinADB，在ADB 中由正弦定理可得 sinB 【解答】解：由题意设 AD2x，则 ACCDx，AB4x， 在ADC 中由余弦定理可得 cosADC， sinADBsinADC， 第 17 页（共 25 页） 在ADB 中由正弦定理可得 sinB， 故答案为： 【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题 16 （5 分）设函数 f（x）x29lnx 在区间a1，a+1上单调递减，则实数 a 的取值范 围是 （1，2 【分析】根据题意，求出函数
27、的导数，由函数的导数与单调性的关系可得 f（x）的递减 区间为（0，3，结合题意可得，解可得 a 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数，其导数 f（x）x， （x 0） 若 f（x）0，解可得 0x3，即 f（x）的递减区间为（0，3； 若函数 f（x）在a1，a+1上单调递减，则有， 解可得：1a2， 即 a 的取值范围为（1，2； 故答案为： （1，2 【点评】本题考查函数单调性的判定，涉及函数的导数与函数单调性的关系，属于基础 题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21
28、题为必考题，题为必考题， 每位考生都必须作答每位考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）等比数列an中，已知 a12，a416 （1）求数列an的通项公式； （2）若 a3，a5分别为等差数列bn的第 3 项和第 5 项，试求数列bn的通项公式及前 n 项和 Sn 【分析】 （1）由等比数列的通项公式求出公比和首项，由此能求出数列通项公式 an （2）由 b38，b532求出等差数列数列bn的公差和首项，从而求出前 n 项的和 Sn 【解答】解： （1）设an的公比为 q，由已
29、知得 162q3，解得 q2， an2n （2）由（1）得 a38，a532，则 b38，b532 第 18 页（共 25 页） 设bn的公差为 d，则，解得 从而 bn16+12（n1）12n28， 所以数列bn的前 n 项和 Sn6n222n 【点评】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和的求法，是基础题， 18 （12 分）等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，D 为 AC 的中点，正方形 BCC1B1与 三角形 ABC 所在的平面互相垂直 （1）求证：AB1平面 DBC1； （2）若 AB2，求点 D 到平面 ABC1的距离 【分析】 （1）连结 B1C，设 B1CBC1O，连结
30、OD，推导出 ODAB1，由此能证明 AB1 平面 DBC1 （2）推导出 BAAC，BACC1，从而 BA平面 ACC1，进而 BAAC1，由 ，能求出点 D 到平面 ABC1的距离 【解答】解： （1）证明：连结 B1C，设 B1CBC1O，连结 OD，如图， O 是 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，ODAB1， OD面 BDC1，AB1面 BDC1， AB1平面 DBC1 （2）解：等腰直角三角形 ABC 中，BAC90， BAAC，BACC1，BA平面 ACC1，BAAC1， 设点 D 到平面 ABC1的距离为 h， 由，代入可得： ， 解得点 D 到平面 ABC1的距离为 第
31、19 页（共 25 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送学校为了解学生对这两家配餐公 司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分根据收集的 80 份问卷的评分， 得到如图 A 公司满意度评分的频率分布直方图和如表 B 公司满意度评 分的频数分布表： 满意度 评分分组 频数 50，60） 2 60，70） 8 70，80） 14 80，90） 14 90，100 2 （）根据 A 公司的频率
32、分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数； （）从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给 A 公司评分的概 率； （）请从统计角度，对 A、B 两家公司做出评价 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （）设出中位数，根据频率分布直方图求出中位数的值即可； （）意度高于 9（0 分）的问卷共有 6 份，其中 4 份评价 A 公司，设为 a1，a2，a3，a4， 2 份评价 B 公司，设为 b1，b2，求出满足条件的个数，求出满足条件的概率即可； （）根据 A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数，A 公司得分的平均数数低于 B 公司得分的平均数，得出结论即可 【解答
33、】解： （）设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x， 则有 0.01510+0.02510+0.03（x70）0.5 解得：x73.3 所以，估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 （4 分） （）满意度高于 9（0 分）的问卷共有 6 份，其中 4 份评价 A 公司， 设为 a1，a2，a3，a4，2 份评价 B 公司，设为 b1，b2 从这 6 份问卷中随机取 2 份，所有可能的结果有： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a1，a4） ， （a1，b1） ， （a1，b2） ， （a2，a3） ， （a2，a4） ， （a2，b1） ， （a2，b2） ， （a3，a4）
34、 ， （a3，b1） ， （a3，b2） ， （a4，b1） ， （a4，b2） ， （b1，b2） ，共有 15 种 其中 2 份问卷都评价 A 公司的有以下 6 种： （a1，a2） ， （a1，a3） ， （a1，a4） ， （a2，a3） ， （a2，a4） ， （a3，a4） 设两份问卷均是评价 A 公司为事件 C，则有（9 分） （）由所给两个公司的调查满意度得分知： A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数，A 公司得分集中在70，80）这组， 而 B 公司得分集中在70，80）和80，90）两个组， 第 21 页（共 25 页） A 公司得分的平均数数低于 B 公司得分的
35、平均数，A 公司得分比较分散， 而 B 公司得分相对集中，即 A 公司得分的方差高于 B 公司得分的方差（13 分） 【点评】本题考查了古典概型以及概率计算公式，考查中位数、众数问题，是一道中档 题 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，短轴长为 2，过 定点 P（0，2）的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B（点 B 在点 A、P 之间） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若，求实数 的取值范围； （3）若射线 BO 交椭圆 C 于点 M（O 为原点） ，求ABM 面积的最大值 【分析】 （1）由题得 c1，b1，进而方程可求； （2）分斜率存在与不存在两种情
36、况讨论：当直线 l 斜率不存在时，其方程为 x0，此 时可算出 ； 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 方程为 ykx+2（k0） ，A（x1，y1 ） ，B（x2，y2 ） ， 由，得，整理得， （1） 联立，得64k224（1+2k2）0，解得 k2，且 x1+x2， x1x2，代入（1）中得，解得，又因为 B 在 A、P 之间，所以，综上：； （ 3 ） 椭 圆 对 称 性 可 知 BO MO ， SABM 2SAOB， SAOB |x2 x1| ，再利用基本不等式可求出最大值 【解答】 解： （1） 由题得 c1， b1， 所以 a21+12， 则椭圆 C 的方程为：； （2）当直线
37、l 斜率不存在时，其方程为 x0，此时 A（0，1） ，B（0，1） ，所以 （0，1） ，（0，3） ，因为，则 ； 第 22 页（共 25 页） 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+2（k0） ，A（x1，y1 ） ，B（x2，y2 ） ， 则（x1，y12） ，（x2，y22） ，由，得，整理 得， 联立，得 x2+2（kx+2）22，即（1+2k2）x2+8kx+60， 64k224（1+2k2）0，解得 k2， 且 x1+x2，x1x2，代入（1）中得， 因为 k2，所以 2，解得， 又因为 B 在 A、P 之间，所以， 综上：； （3）由椭圆对称性可知 BOMO，
38、SABM2SAOB，设 O 到直线 l 的距离为 d， 则S AOB |x2 x1| |x2 x1| ，当且仅当 2k23（k2）时取“” ， 所以ABM 面积的最大值2AOB 面积的最大值，即 【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及标准方程的求法，参数的范围及面积最 值，综合性强，属于难题 第 23 页（共 25 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）px2lnx （）若函数 f（x）在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； （）设函数 g（x），若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f（x0）g（x0）成立， 求实数 p 的取值范围 【分析】 （）求导得 f（x），令 h（x）
39、px22x+p，要使 f（x）在其 定义域（0，+）内是单调函数，只需 h（x）在（0，+）内满足：h（x）0 或 h（x） 0 恒成立，因为 x2+10，所以当且仅当 p时，h（x）0，p时，h（x） 0因为在（0，+）内有 01，当且仅当 x即 x1 时 取等号，所以当 p1 时，h（x）0，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递增， 当 p0 时，h（x）0，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递减，进而得 p 的 取值范围 （）由 g（x）单调性得，g（x）2，2e，分三种情况当 p0 时，当 0p1 时，当 p1 时，分析 f（x）单调性最值，去分析是否符合题意，进而得出
40、结论 【解答】解： （1）f（x）p+， 令 h（x）px22x+p，要使 f（x）在其定义域（0，+）内是单调函数，只需 h（x） 在（0，+）内， 满足：h（x）0 或 h（x）0 恒成立， 当且仅当 p（x2+1）2x 时，h（x）0，p（x2+1）2x 时，h（x）0， 因为 x2+10，所以当且仅当 p时，h（x）0，p时，h（x）0， 因为在 （0， +） 内有 01， 当且仅当 x即 x1 时取等号， 所以当 p1 时，h（x）0，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递增， 当 p0 时，h（x）0，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）单调递减， 综上，p 的取值范围为
41、p1 或 p0 （2）因为 g（x）在1，e上是减函数， 第 24 页（共 25 页） 所以 xe 时，g（x）min2；x1 时，g（x）max2e，即 g（x）2，2e， 当 p0 时，由（1）知 f（x）在1，e上递减，所以 f（x）maxf（1）02，不合 题意， 当 0p1 时，由 x1，ex0， 由（1）知当 p1 时，f（x）在1，e上单调递增， 所以 f（x）p（x）2lnxx2lnxe2lnee22，不合题意， 当 p1 时，（x）f（x）g（x） ，x1，e， 由题意可得，只需 x1，e时，（x）max0，即可， 由（1）知 f（x）在1，e上是增函数，f（1）02， 又
42、g（x）在1，e上是增函数，则 （x）maxf（x）maxg（x）min，x1，e， 而 f（x）maxf（e）p（e）2lne，g（x）min2， 只需 （x）maxp（e）2lne20，解得 p， 综上 p 的取值范围是（，+） 【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第如果多做，则按所做的第- 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，再以原
43、点为极点，以 x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位， 在该极坐标系中圆 C 的方程为 4sin （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 将于点 A、B，若点 M 的坐标为（1，4） ，求|MA|+|MB|的值 【分析】 （1）由 xcos，ysin，x2+y22，能求出圆 C 的直角坐标方程 （2）将直线 l 的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和 t 的几何 意义能求出|MA|+|MB|的值 【解答】解： （1）圆 C 的方程为 4sin， 24sin， 第 25 页（共 25 页） 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y24
44、y0 即 x2+（y2）24 （2）将直线 l 的参数方程代入圆的方程，整理，得 t23t+10， 184140，设 t1，t2为方程的两个实根， 则 t1+t23，t1t21，t1，t2均为正数， 又直线 l 过 M（1，4） ， 由 t 的几何意义得： |MA|+|MB|t1|+|t2|t1+t23 【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系， 考查直线参数方程的运用，是基础题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23若 a，b，cR+，且满足 a+b+c2 （1）求 abc 的最大值； （2）求+的最小值 【分析】 （1）由基本不等式 abc即可求解； （2）由+，展开后利用基本不等式即可求解 【解答】解：a，b，cR+，且满足 a+b+c2 （1）abc，当且仅当 abc 时取等号， 故 abc 的最大值； （2）+ （3）（3+2+2+2）， 当且仅当 abc 时取等号 +的最小值 【点评】本题考查了“乘 1 法
